Giáo án Đại số 11: Phương trình lượng giác cơ bản

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Đại số 11: Phương trình lượng giác cơ bản" được biên soạn nhằm giúp các em học sinh nắm được tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề phương trình lượng giác cơ bản, có đáp án và lời giải chi tiết. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Đại số 11: Phương trình lượng giác cơ bản

BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Mục tiêu: Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.  Kiến thức + Biết cách áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản. + Vận dụng để giải những trường hợp mở rộng của 4 phương trình lượng giác cơ bản. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương trình sin x = a  Nếu a  1 : Phương trình vô nghiệm.  Nếu a  1 . Đặt a  sin  hoặc a  sin   , phương trình tương đương với  x    k 2 sin x  sin    k   .  x      k 2  x     k .360 sin x  sin     k   .  x  180     k .360  x  arcsin a  k 2 sin x  a   k   .  x    arcsin a  k 2 Tổng quát:  f  x   g  x   k 2 sin f  x   sin g  x    k   .  f  x     g  x   k 2 Các trường hợp đặc biệt   sin x  1  x   k 2 k   . 2   sin x  1  x    k 2 k   . 2  sin x  0  x  k k   . 2. Phương trình cos x  a  Nếu a  1 : Phương trình vô nghiệm.  Nếu a  1 . Đặt a  cos  hoặc a  cos   , phương trình tương đương với cos x  cos   x    k 2 k   . cos x  cos    x      k .360  k    . cos x  a  x   arccos a  k 2 k   . Tổng quát: cos f  x   cos g  x   f  x    g  x   k 2 k   . Các trường hợp đặc biệt Trang 1
 cos x  1  x  k 2 k   .  cos x  1  x    k 2 k   .   cos x  0  x   k k   . 2 3. Phương trình tan x  a Điều kiện cos x  0 .  tan x  tan   x    k  k    .  tan x  tan    x     k .180  k    .  tan x  a  x  arctan a  k  k    . Tổng quát: tan f  x   tan g  x   f  x   g  x   k  k    . 5. Phương trình cot x = a Điều kiện sin x  0 .  cot x  cot   x    k  k    .  cot x  cot    x     k .180  k    .  cot x  a  x  arc cot a  k  k    . Tổng quát: cot f  x   cot g  x   f  x   g  x   k  k    . TOANMATH.com Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA  Điều kiện: x   k , k   . 2 Đặt a  tan  .  đặc biệt  x    k .  không đặc biệt  x  arctan a  k . Trường hợp 1: a  1 . Trường hợp 1: a  1 . tan x = a Phương trình vô nghiệm. Phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2: a  1 . Trường hợp 2: a  1 . Phương Đặt a  sin  . sin x = a cos x  a Đặt a  cos  . trình lượng  đặc biệt  đặc biệt giác cơ bản  x    k 2  x    k 2    x      k 2  x    k 2 k   k    không đặc biệt  không đặc biệt cot x = a  x  arcsin a  k 2  x  arccos a  k 2    x    arcsin a  k 2  x   arccos a  k 2 k   k   . Điều kiện x  k , k   . Đặt a  cot  .  đặc biệt  x    k .  không đặc biệt  x  arc cot a  k . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình sin x = a Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 3
  Ví dụ 1. Giải phương trình 2sin  3 x    3 . 1  4 Hướng dẫn giải    1  sin  3x   3   sin  3 x    sin  4 2  4 3         2 3 x  4  3  k 2 3 x   4  3  k 2  x  36  k 3    k   . 3 x        k 2 3 x        k 2  x  5  k 2  4 3  3 4  36 3   2  x  36  k 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  k   .  x  5  k 2  36 3  2   7  Ví dụ 2. Giải phương trình sin  3 x    sin  x    0 .  2  3   5  Hướng dẫn giải 2  2  2  2   2   sin  3x     sin  x     0  sin  3 x     sin  x    3   5   3   5   2 2  8 3 x  3  x  5  k 2  x   15  k   k   . 3 x  2     x  2   k 2  x  11  k     3  5  60 2  8  x   15  k Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  k   .  x  11  k  60 2  4    Ví dụ 3. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình sin  3 x  9 x 2  16 x  80   0 .  Hướng dẫn giải  4    Ta có sin  3 x  9 x 2  16 x  80   0    4  3 x  9 x 2  16 x  80  k   3x  9 x 2  16 x  80  4k  9 x 2  16 x  80  3 x  4k 3 x  4k 3 x  4k   2   2k 2  10 . 9 x  16 x  80  9 x  24kx  16k  2 2  x  3k  2 18k 2  90 2  9k  4   98 2 2k 2  10 98 Xét x   9x    2  3k  2   . 3k  2 3k  2 3k  2 3k  2 TOANMATH.com Trang 4
Vì x  * nên 9 x  *  3k  2  Ư  98   1; 2; 7; 14; 49; 98 .  x  * Lại có  2  3k  2  0  3k  2  1; 2;7;14; 49;98  k  1;3;17 . 2k  10  0  k     Với k  1 thì x  12 (thỏa mãn 3x  4k ).  Với k  3 thì x  4 (thỏa mãn 3 x  4k ).  Với k  17 thì x  12 (không thỏa mãn 3 x  4k ). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là x  4;12 . Bài tập tự luyện dạng 1 m2 Câu 1: Cho phương trình sin  x     , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình có m 1 nghiệm? 1 1 A. m   . B. m   . 4 2 C. m   . D. Không tồn tại giá trị của m 1   Câu 2: Phương trình sin x  có nghiệm thỏa mãn  x  là 2 2 2 5  A. x   k 2 , k   . B. x  . 6 6   C. x   k 2 , k   . D. x  . 3 3 sin 2 x Câu 3: Số nghiệm của phương trình  0 trên đoạn  0;3  là 1  cos x A. 8. B. 7. C. 4. D. 5. x Câu 4: Cho phương trình sin  m 2  9 , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình vô 3 nghiệm? A. 3  m  3 . B. m  3 . C. m   . D. Không tồn tại giá trị của m . ĐÁP ÁN 1-B 2-B 3-D 4-C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. m2 Phương trình sin  x     có nghĩa x    D   , m  1 . m 1 TOANMATH.com Trang 5
 m  2 1 1  m  1 Ta có 1  sin  x     1   . m  2 1 2  m  1   m  1 m2 2m  1 Giải 1 . Ta có 1   0 . m 1 m 1  m  1  2 m2 3 Giải  2  . Ta có 1  0  m 1  0  m  1 . m 1 m 1 1 Kết hợp nghiệm ta có m   . 2 Câu 2. 1 Phương trình sin x  có nghĩa x    D   . 2      x   k 2  x   k 2  1 1  6 6 Do sin  nên sin x   sin x  sin    k   . 6 2 2 6  x      k 2  x  5  k 2  6  6    Vì  x nên x  . 2 2 6 Câu 3. sin 2 x Phương trình  0 có nghĩa  1  cos x  0  cos x  1  x  k 2  D   \ k 2  . 1  cos x sin 2 x k Ta có  0  sin 2 x  0  x  k   . 1  cos x 2  x   2k  1  Kết hợp với điều kiện ta có  k   .  x    k  2  3 5 Do x   0;3   x  , x  , x  , x , x  3 . 2 2 2 Vậy phương trình có 5 nghiệm. Câu 4. x Phương trình sin  m 2  9 có nghĩa x    D   . 3 x Ta có 1  sin  1  1  m 2  9  1  10  m 2  8 (vô lí). 3 Vậy phương trình vô nghiệm với m   . Dạng 2: Phương trình cos x = b TOANMATH.com Trang 6
Ví dụ mẫu   Ví dụ 1. Giải phương trình 2 cos  2 x    2 . 1  6 Hướng dẫn giải  1  cos  2 x  2   6 2       cos  2 x    cos  2 x     k 2  k    .  6 4 6 4         2 x  6  4  k 2  2 x  12  k 2 x  24  k    k   .  2 x       k 2  2 x  5  k 2 x  5  k  6 4  12  24   x   k 24 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  k   . x  5  k  24   Ví dụ 2. Giải phương trình cos  2 x    sin 5 x  0 .  2  3 Hướng dẫn giải     2   cos  2 x      sin 5 x  cos  2 x    cos   5 x   3  3 2       k 2  2 x  3  2  5 x  k 2  x  42  7   k   .  2 x       5 x  k 2  x  5  2k  3 2  18 3   k 2  x  42  7 Vậy nghiệm của phương trình là  k   .  x  5  2k  18 3 m2 Ví dụ 3. Cho phương trình cos  x     , m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. m 1 Hướng dẫn giải m2 Phương trình cos  x     có nghĩa x    D   , m  1 . m 1  m  2 1 1  m  1 Ta có 1  cos  x     1   .  m  2  1  2  m  1 TOANMATH.com Trang 7
m  1 m2 2m  1 Giải 1 . Ta có 1   0 . m 1 m 1  m  1  2 m2 3 Giải  2  . Ta có 1  0  m 1  0  m  1 . m 1 m 1 1 Kết hợp nghiệm ta có m   . 2 1 Vậy với m   thì phương trình đã cho có nghiệm. 2 Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Phương trình 2 cos x  2  0 có nghiệm là    3  x  4  k 2  x  4  k 2 A.  ,k  . B.  ,k  .  x  3  k 2  x  3  k 2  4  4  5    x  4  k 2  x  4  k 2 C.  ,k  . D.  ,k  .  x  5  k 2  x    k 2  4  4 x Câu 2: Phương trình 2 cos  3  0 có nghiệm là 2 5 5 A. x    k 2 , k   . B. x    k 2 , k   . 3 6 5 5 C. x    k 4 , k   . D. x    k 4 , k   . 6 3  Câu 3: Phương trình cos 3 x  cos có nghiệm là 15   k 2 A. x    k 2 , k   . B. x    ,k  . 15 45 3  k 2  k 2 C. x    ,k . D. x   ,k  . 45 3 45 3 1 Câu 4: Phương trình cos 2 x  có nghiệm là 2    A. x  k ,k  . B. x    k , k   . 4 2 2   C. x   k 2 , k   . D. x    k 2 , k   . 2 2 Câu 5: Phương trình cos 2 x  cos x có cùng tập nghiệm với phương trình TOANMATH.com Trang 8
3x A. sin  0. B. sin x  1 . C. sin 4 x  1 . D. sin 2 x  1 . 2   Câu 6: Số nghiệm của phương trình 2 cos  x    1 với 0  x  2 là  3 A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.  5  1 Câu 7: Phương trình sin  cos  x   có bao nhiêu họ nghiệm?  3  2 A. 1 họ nghiệm. B. 4 họ nghiệm. C. 6 họ nghiệm. D. 2 họ nghiệm. ĐÁP ÁN 1-B 2-D 3-B 4-A 5-A 6-C 7-C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Phương trình 2 cos x  2  0 có nghĩa x    D   .  2 Ta có 2 cos x  2  0  cos x  . 2  3  x  k 2 3  2  2 3 4 Do cos  nên cos x   cos x  cos  k   . 4 2 2 4  x  3  k 2  4 Câu 2. x Phương trình 2 cos  3  0 có nghĩa x    D   . 2 x x  3 Ta có 2 cos  3  0  cos  . 2 2 2 5  3 x  3 x 5 5 Do cos  nên cos   cos  cos  x  k 4  k    . 6 2 2 2 2 6 3 Câu 3. Phương trình cos 3 x  cos12 có nghĩa x    D   .   Do cos12  cos nên cos 3x  cos12  cos 3 x  cos 15 15     k 2 3 x  15  k 2 x  45  3   k   . 3 x    k 2 x   k 2   15  45 3 Câu 4. 1 Phương trình cos 2 x  có nghĩa x    D   . 2 TOANMATH.com Trang 9
 2 1 cos x  2 . Ta có cos 2 x    2   2 cos x   2 2   Xét cos x   cos x  cos  x    k 2  k    . 2 4 4  2 3 3 Xét cos x   cos x  cos x  k 2  k    . 2 4 4  k Kết hợp nghiệm ta được x   k   . 4 2 Câu 5. Phương trình cos 2 x  cos x có nghĩa x    D   .  2 x  x  k 2  x  k 2 k 2 Ta có cos 2 x  cos x   k 2 x k   .  2 x   x  k 2  x  3  3 3x 3x 2 k sin 0  k  x  k   ; 2 2 3  sin x  1  x   k 2  k    ; 2   k sin 4 x  1  4 x   k 2  x   k   ; 2 8 2   sin 2 x  1  2 x   k 2  x   k  k    . 2 4 3x Vậy phương trình sin  0 có cùng tập nghiệm với phương trình cos 2 x  cos x . 2 Câu 6.   Phương trình 2 cos  x    1 có nghĩa x    D   .  3    x    k 2    1    12 Ta có 2 cos  x    1  cos  x     x     k 2   .  3   3  2 3 4  x   7  k 2  12 23 17 Do 0  x  2 nên x  ; x . 12 12 Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 0  x  2 . Câu 7.  5  1 Phương trình sin  cos  x   có nghĩa x    D   .  3  2 TOANMATH.com Trang 10
 5  1   5  1  5    3 cos  x  6  k 2 Vì sin  nên sin  cos  x    sin  cos  x   sin   6 2  3  2  3  6  5 cos  x  5  k 2  3 6  1  cos  x   1 6 10  cos  x  10  k 5  1    cos  x  (vì 1  cos  x  1 ).  cos  x  1  k 6  2   2 5  cos  x  7  10 1 1 Ta có cos  x    x   arc cos  k 2 k   ; 10 10 1   1 cos  x   cos   x    k 2 k    x    2k  k    ; 2 3 3 3 7 7 1 7 cos  x    x   arc cos  k 2 k    x   arc cos  2k  k    . 10 10  10 Vậy phương trình có 6 họ nghiệm. Dạng 3: Phương trình tan x = m Ví dụ mẫu   Ví dụ 1. Giải phương trình 3 tan  5 x    3 . 1  4 Hướng dẫn giải      k Điều kiện cos  5 x    0  5 x    k  x   , k   .  4 4 2 20 5    1  tan  5 x   3   tan  5 x    tan  4 3  4 6       5x    k  5 x    k  x   k , k   . 4 6 12 60 5   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   k , k   . 60 5   Ví dụ 2. Giải phương trình tan  2 x    cot x .  2  4 Hướng dẫn giải        3 k cos  2 x    0  2 x    k x   Điều kiện   4  4 2  8 2 k;l   . sin x  0  x  l  x  l       k  2   tan  2 x     tan   x   2 x    x  k  x   , k   .  4 2  4 2 4 3 TOANMATH.com Trang 11
 k Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   , ( k  ) . 4 3 Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Nghiệm của phương trình tan  x  15   1 với 90  x  270 là A. x  210 . B. x  135 . C. x  60 . D. x  120 . Câu 2: Phương trình 3 tan x  3  0 có nghiệm là   A. x   k , k   . B. x    k 2 , k   . 3 3   C. x   k , k   . D. x    k , k   . 6 3 Câu 3: Phương trình tan 2 x  3 có nghiệm là   A. x    k , k   . B. x    k , k   . 3 3  C. Vô nghiệm. D. x   k , k   . 3    Câu 4: Nghiệm của phương trình tan x   tan trong khoảng  ;   là 5 2  4 2 3 2 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 5   3 Câu 5: Phương trình tan  sin 4 x   có bao nhiêu họ nghiệm? 4  2 A. 2 họ nghiệm. B. 6 họ nghiệm. C. Vô nghiệm. D. 4 họ nghiệm.   Câu 6: Phương trình lượng giác 2 tan   2 x   2  0 có nghiệm là 4     A. x  k ,k  . B. x  k ,k  . 2 2 2  C. x  k , k   . D. x    k , k   . 3 ĐÁP ÁN 1-A 2-D 3-B 4-A 5-C 6-A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Ta có tan 45  1  tan  x  15   tan 45  x  15  45  k .180  x  30  k .180  k    . Với 90  x  270  90  30  k .180  270  k  1  x  210 . Câu 2.    Phương trình 3.tan x  3  0 có nghĩa  cos x  0  x   k  D   \   k  . 2 2  TOANMATH.com Trang 12
  Ta có 3 tan x  3  0  tan x   3  tan x  tan  x    k  k    . 3 3 Câu 3.    Phương trình tan 2 x  3 có nghĩa  cos x  0  x   k   D   \   k  . 2  2   tan x  3 Ta có tan 2 x  3   .  tan x   3   Xét tan x  3  tan x  tan x  k  k    . 3 3   Xét tan x   3  tan x  tan x  k  k    . 3 3  Vậy x    k  k    . 3 Câu 4.     Phương trình tan x   tan có nghĩa  cos x  0  x   k  D   \   k  . 5 2 2     Ta có tan x   tan  tan x  tan x  k  k    . 5 5 5   4 Do x   ;   nên x  . 2  5 Câu 5.      Ta có  sin 4 x   cos  sin 4 x   0 , x   . 4 4 4 4  Phương trình xác định với x    D   .   3  3 4 3 tan  sin 4 x    sin 4 x  arc tan  k  sin 4 x  arc tan  4k . 4  2 4 2  2 4 3 Với k  0 thì arc tan  4k  1  sin 4 x  1 (vô lí).  2 4 3 Với k  1 thì arc tan  4k  1  sin 4 x  1 (vô lí).  2 Vậy đã cho phương trình vô nghiệm. Câu 6.   Phương trình 2 tan   2 x   2  0 có nghĩa 4       k   k   cos   2 x   0   2 x   k  x    D \   k   . 4  4 2 8 2  8 2         Ta có 2 tan   2 x   2  0  tan   2 x   1   2 x   k  x  k  k    . 4  4  4 4 2 TOANMATH.com Trang 13
Dạng 4: Phương trình cot x = n Ví dụ mẫu   1 Ví dụ 1. Giải phương trình cot  2 x    . 1  6 3 Hướng dẫn giải     k Điều kiện sin  2 x    0  2 x   k  x   , k   .  6 6 12 2     1  cot  2 x    cot  2 x    k  6 3 6 3     2x   k  x  k , k   . 2 4 2   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  k , k   . 4 2  4    Ví dụ 2. Giải phương trình tan   x   2 cot   x   3 .  2   9   18  Hướng dẫn giải Điều kiện   4   4    cos  9  x   0   x   k  x   k     9 2  18      x   k ,  k ; m    . sin    x   0    x  k  x    k 18    18  18  18   4      4    Ta có   x     x    tan   x   cot   x  .  9   18  2  9   18      2   cot      x   2 cot   x   3  3cot   x   3  18   18   18    3   5  cot   x     x   k  x    k ,  k    .  18  3 18 3 18 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x    k ,  k    . 18 Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: Phương trình 3cot x  3  0 có nghiệm là   A. x   k , k   . B. x   k , k   . 6 3  C. x   k 2 , k   . D. Vô nghiệm. 3  3  Câu 2: Cho phương trình cot  x    m  4 , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình 2  4  trên vô nghiệm? A. m  2 . B. 2  m  2 . TOANMATH.com Trang 14
C. m   . D. Không tồn tại giá trị của m . Câu 3: Phương trình cot x.cot 2 x  1  0 có nghiệm là     x  6  k A. x   k , k   . B.  ,k  . 4  x  5  k  6    C. x   k , k   . D. x  k ,k  . 6 2 3 ĐÁP ÁN 1-B 2-D 3-B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Phương trình 3cot x  3  0 có nghĩa sin x  0  x  k  D   \ k   k    . 3   Ta có 3cot x  3  0  cot x   cot x  cot  x   k  k    . 3 3 3 Câu 2.  3  Tập giá trị y  cot  x     nên với m   phương trình luôn có nghiệm.  4  Vậy không tồn tại giá trị m để phương trình vô nghiệm. Câu 3. sin x  0  x  k k Phương trình cot x.cot 2 x  1  0 có nghĩa    x . sin 2 x  0  2 x  k 2  k  Tập xác định D   \  x  .  2  cos x cos 2 x cos x 1  2sin 2 x 1  2sin 2 x 1 Ta có cot x.cot 2 x  1  . 1  . 1  2 1  2. sin x sin 2 x sin x 2sin x cos x 2sin x 2sin 2 x  1    sin x   sin x  sin 1 1 2  6 cot x.cot 2 x  1  0   2  0  sin 2 x     . sin x  1 sin x  sin  2 2sin x 4  2  6    x   k 2  6 Nếu sin x  sin   . 6  x  5  k 2  6    x  k 2  6 Nếu sin x  sin  . 6  x  7  k 2  6 TOANMATH.com Trang 15
   x  6  k Kết hợp nghiệm ta có  k   .  x  5  k  6 TOANMATH.com Trang 16