Giáo án Đại số lớp 11: Chuyên đề - Một số phương trình lượng giác thường gặp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Đại số lớp 11: Chuyên đề - Một số phương trình lượng giác thường gặp" được biên soạn dành cho các bạn học sinh lớp 11 nắm được lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề một số phương trình lượng giác thường gặp. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Đại số lớp 11: Chuyên đề - Một số phương trình lượng giác thường gặp

CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết được các dạng phương trình lượng giác thường gặp và cách giải.  Kĩ năng + Biết áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản. + Vận dụng phương pháp giải phương trình phù hợp vào từng trường hợp. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỀ Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác BÀI 4 phương trình lượng giác cơ bản 4 dạng phương trình lượng giác Đưa về phương trình tích hoặc thường gặp đánh giá bất đẳng thức, hàm số a sin x  b cos x  c 4 phương trình lượng giác cơ bản a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 a  tan 2 x  cot 2 x   b  tan x  cot x   c  0 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình thuần nhất Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình 3 sin 3 x  cos 3 x  2. a sin x  b cos x  c  a, b   \ 0 . Hướng dẫn giải Để giải phương trình có dạng trên, ta thực hiện theo các bước sau Bước 1. Kiểm tra - Nếu a 2  b 2  c 2 phương trình vô nghiệm. Trang 1
- Nếu a 2  b 2  c 2 khi đó phương trình có nghiệm, ta thực hiện tiếp Bước 2. Bước 2. Chia hai vế phương trình cho Ta có 3 sin 3 x  cos 3 x  2. a 2  b 2  0 ta được 3 1    sin 3 x  cos 3 x  1  sin  3x    1 a b c 2 2  6 sin x  . ** cos x  a b 2 2 a b2 a  b2 2   2 2 k 2  3 x    k 2  k     x    k  . a b 6 2 9 3 Đặt  cos ;  sin , a2  b2 a2  b2 phương trình (**) trở thành Vậy phương trình đã cho có nghiệm 2 k 2 sin x.cos   cos x.sin   c x   k  . 9 3 a2  b2 c  sin  x     . a  b2 2 c Phương trình sin  x     là phương a 2  b2 trình lượng giác dạng cơ bản nên dễ dàng giải được. Một số dạng mở rộng: a sin u  b cos u  a 2  b 2 sin v a b   sin u  cos u  sin v a b 2 2 a  b2 2  sin  u     sin v. a sin u  b cos u  a 2  b 2 cos v a b   sin u  cos u  cos v a b 2 2 a  b2 2  cos  u     cos v. a sin u  b cos u  a sin v  b cos v với a 2  b 2  a2  b2  sin  u     sin  v    .  Dạng đặc biệt:  1) sin x  cos x  0  x    k   k    . 4  2) sin x  cos x  0  x   k  k  . 4 TOANMATH.com Trang 2
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giải phương trình sin 2 x  2 cos 2 x  1  sin x  4 cos x. Hướng dẫn giải Ta có sin 2 x  2 cos 2 x  1  sin x  4 cos x  2sin x cos x  2  2 cos 2 x  1  1  sin x  4 cos x  0  sin x  2 cos x  1  4 cos 2 x  4 cos x  3  0  sin x  2 cos x  1   2 cos x  1 2 cos x  3  0   2 cos x  1 2sin x  2 cos x  3  0  1   cos x   x    k 2  k     2 3   2sin x  2 cos x  3 Xét phương trình 2sin x  2 cos x  3; có 22  22  8   3 nên vô nghiệm. 2  Vậy phương trình có nghiệm x    k 2  k    . 3 Ví dụ 2. Giải phương trình 3sin 3x  3 cos 9 x  1  4sin 3 3x. Hướng dẫn giải Ta có 3sin 3x  3 cos 9 x  1  4sin 3 3x.   3sin 3x  4sin 3 3 x   3 cos 9 x  1   2  x  k    18 9  sin 9 x  3 cos 9 x  1  sin  9 x    sin    k  .  3 6  x  7   k 2  54 9  2 7 2 Vậy phương trình có nghiệm x  k ,x  k  k  . 18 9 54 9 Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Phương trình 3 sin x  cos x  1 có nghiệm là  2  x    k 2  x   3  k 2 A.  , k  . B.  , k  .  x    k 2  x    k 2  6  6    x  k 2  x   k 2 C. , k  . D.  , k  .  x    k 2 3   x    k 2   6 Câu 2: Phương trình sin x  3 cos x  0 có nghiệm âm lớn nhất bằng   5 5 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3 TOANMATH.com Trang 3
Câu 3: Nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 là  x  k 2 A. x  k 2  k    . B.   k  .  x    k 2  2     x  4  k 2 C. x   k 2  k    . D.   k  . 4  x     k 2  4 Câu 4: Số nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 trên khoảng  0;   là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 5: Điều kiện để phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm là  m  4 A.  . B. m  4. C. m  4. D. 4  m  4. m  4 Câu 6: Điều kiện để phương trình m sin x  3cos x  5 có nghiệm là  m  4 A. m  4. B. 4  m  4. C. m  34. D.  . m  4 Câu 7: Phương trình 3 sin 3 x  cos 3 x  1 tương đương với phương trình nào sau đây?   1    A. sin  3 x     . B. sin  3 x     .  6 2  6 6   1   1 C. sin  3 x     . D. sin  3 x    .  6 2  6 2 Câu 8: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm? 1 1 A. 3 sin x  2. B. cos 4 x  . 4 2 C. 2sin x  3cos x  1. D. cot 2 x  cot x  5  0. Câu 9: Cho phương trình 3 cos x  sin x  2 trên đoạn  0;  . Chọn câu trả lời đúng.  3 5 A. Phương trình có nghiệm x  ;x  . B. Phương trình có nghiệm x  . 4 4 12 3 4 2 C. Phương trình có nghiệm x  ;x  . D. Phương trình có nghiệm x  . 7 7 5 Câu 10: Phương trình sin 8 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos8 x  có nghiệm là     x  3  k x  5  k A.  , k  . B.  , k  . x    x    k k  6 2  7 2 TOANMATH.com Trang 4
     x  4  k x  8  k C.  , k  . D.  , k  . x    k  x   k   12 7  9 3 Câu 11: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? A. 3 sin 2 x  cos 2 x  2. B. 3sin x  4 cos x  5.  C. sin x  cos . D. 3 sin x  cos x  3. 4  5   Câu 12: Số nghiệm của phương trình sin 2 x  2 cos x  0 thuộc đoạn   ;  là  2 2 A. 3. B. 4. C. 5. D. 2. Câu 13: Phương trình cos 7 x  3 sin 7 x   2 có các họ nghiệm là  5 2  5 2  x  84  k 7  x  84  k 7 A.  , k  . B.  , k  .  x  11  k 2  x  11  k 2  84 7  84 7   2  5 2  x  84  k 7 x  84 k 7 C.  , k  . D.  , k  .  x    k 2 x  11 k 2  84 7  84 7 Câu 14: Phương trình sin x  3 cos x  0 có nghiệm dương nhỏ nhất bằng 2 5 A. . B. . C. . D. 0. 3 6  1  Câu 15: Phương trình tan x  sin 2 x  cos 2 x  2  2 cos x    0 có nghiệm dương nhỏ nhất bằng  cos x    A. . B. . C. . D. 0. 4 2 Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 với k   là    x    k 2  x  4  k 2  A. x  k 2. B.  . C. x   k 2. D.  .  x     k 2 4  x     k 2  2  4 Câu 17: Để phương trình 2sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x  m có nghiệm thì giá trị của m là 1  10 1  10 A. m  . B. m  . 2 2 1  10 1  10 1  10 C. m  . D. m . 2 2 2 Câu 18: Phương trình cos 2 x  sin x  1  0 có số họ nghiệm là A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. TOANMATH.com Trang 5
 1  Câu 19: Phương trình tan x  sin 2 x  cos 2 x  2  2 cos x    0 có các họ nghiệm là  cos x     A. x   k , k  . B. x   k , k  . 4 2 4     C. x    k , k  . D. x    k , k  . 4 2 6 2   Câu 20: Cho phương trình tan x  3cot x  4 sin x  3 cos x . Với k   thì nghiệm của phương trình là          x   3  k 2 x   3  k x  3  k 2  x  12  k 2 A.  . B.  . C.  . D.  .  x  4  k 2  x  4  k 2 x  4 k 2  x  4  k 2  9 3  9 3  9 3  9 3 Dạng 2:Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình 2sin 2 x  sin x  3  0. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng Hướng dẫn giải giác có dạng tổng quát at 2  bt  c  0. Trong đó: Đặt t  sin x, điều kiện t  1. t là một trong các hàm số sin u , cos u , tan u, cot u Phương trình đã cho trở thành và u  u  x  . t  1 2t  t  3  0   3 . 2 a; b; c  , a  0. t   2 Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều Kết hợp với điều kiện t  1 ta được t  1. kiện của ẩn phụ. Nếu đặt  +) t  sin u, t  cos u thì điều kiện t  1. Với t  1 thì sin x  1  x   k 2,  k    . 2 +) t  sin 2 u , t  cos 2 u thì điều kiện 0  t  1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm +) t  sin u , t  cos u thì điều kiện 0  t  1.  x  k 2,  k    . 2 Khi tìm được t1 ; t2 thỏa mãn thì phải giải tiếp sin  t1 ;sin u  t2 ;... Ví dụ mẫu Ví dụ. Giải phương trình 3sin 2 2 x  7 cos 2 x  3  0. Hướng dẫn giải Ta có 3sin 2 2 x  7 cos 2 x  3  0  3 1  cos 2 2 x   7 cos 2 x  3  0 cos 2 x  0  3cos 2 2 x  7 cos 2 x  0  cos 2 x  3cos 2 x  7   0   . 3cos 2 x  7  0    Trường hợp 1: cos 2 x  0  2 x   k  x   k ,  k  . 2 4 2 TOANMATH.com Trang 6
7 Trường hợp 2: 3cos 2 x  7  0  cos 2 x   1 (loại). 3   Vậy phương trình đã cho có nghiệm x   k ,  k  . 4 2 Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Phương trình 2sin 2 x  sin x  3  0 có nghiệm là  A. k   k    . B.   k  k  . 2   C.  k 2  k    . D.   k 2  k    . 2 2 Câu 2: Với k   , phương trình cos 2 x  2 cos x  3  0 có nghiệm là  A. x  k 2. B. x  0. C. x   k 2. D. Vô nghiệm. 2 Câu 3: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin 2 x  5sin x  3  0 là   3 5 A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 6 2 2 6 Câu 4: Xét phương trình 3cos 2 x  2 cos x  4  0 trên đoạn  0;3 . Chọn câu trả lời đúng. A. Phương trình có 3 nghiệm. B. Phương trình có 4 nghiệm. C. Phương trình có 2 nghiệm. D. Phương trình vô nghiệm.  Câu 5: Nghiệm của phương trình 2sin 2 x  3sin x  1  0 thỏa mãn điều kiện 0  x  là 2    5 A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 3 2 6 6 Câu 6: Nghiệm của phương trình tan 2 x  2 tan x  1  0 là     A.  k , k  . B.   k , k  . C.  k 2, k  . D. k , k  . 4 2 4 2 3 Câu 7: Với k  , phương trình cos 2 2 x  cos 2 x   0 có nghiệm là 4  2 A. x  k . B. x  k 2. C. x    k . D. x    k 2. 6 3 Câu 8: Với k  , phương trình sin 2 x  2sin x  0 có nghiệm là A. x  k 2. B. x  k . C. x    k 2. D. x  k 2. Câu 9: Nghiệm của phương trình cot 2 3x  cot 3x  2  0 là      4 k 3  4  k 3 A. x   , k  . B. x   , k  .  1 arccot 2  k    1 arccot 2  k   3 3  3 3 TOANMATH.com Trang 7
   4  k  4  k C. x   , k  . D. x   , k  .  1 arccot 2  k   1 arccot 2  k   3 3  3 Câu 10: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 cos 2 x  2 cos x  2  0 là 5 7   A. x   . B. x   . C. x   . D. x   . 6 6 3 4 Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm? 1 1 A. 3 sin x  2. B. cos 4 x  . 4 2 C. 2sin x  3cos x  5. D. cot 2 x  cot x  5  0. Câu 12: Xét phương trình 13sin 2 x  78sin x  15  0 trên đoạn  0; 2 . Lựa chọn phương án đúng. A. Phương trình có 2 nghiệm. B. Phương trình có 4 nghiệm. C. Phương trình vô nghiệm. D. Cả A, B, C đều sai. Câu 13: Phương trình 3cos x  2 sin x  2 có nghiệm là   A. x   k  k  . B. x   k  k  . 8 2   C. x   k  k  . D. x   k k  . 4 6 4 3 Câu 14: Xét phương trình tan 2 x  tan x  1  0 trên đoạn  0;3 . Chọn câu trả lời đúng? 3 A. Phương trình có 5 nghiệm. B. Phương trình có 4 nghiệm. C. Phương trình có 6 nghiệm. D. Phương trình có 3 nghiệm. Câu 15: Xét phương trình sin 2 x  5sin x  6  0 trên đoạn  0; 2 . Chọn câu trả lời đúng? A. Phương trình có 2 nghiệm. B. Phương trình có 4 nghiệm. C. Cả A, B, D đều sai. D. Phương trình có 3 nghiệm. Câu 16: Cho x thỏa mãn phương trình sau  tan x  cot x    tan x  cot x   2 2 1 Giá trị của biểu thức tan x  là tan x A. 0. B. 2. C. 3. D. 2. x Câu 17: Cho x thỏa mãn phương trình sin x  sin 2  0,5. Giá trị của biểu thức y  tan x là 2 A. 1. B. 0,5. C. 3. D. 0.  1  Câu 18: Cho x  arctan    k  là nghiệm của một trong phương trình sau, hỏi đó là phương trình  3  nào? A. 3sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  0. B. 3sin 2 2 x  4 cos 2 2 x  2. TOANMATH.com Trang 8
1 1 2 C.   . D. cos x  2 cos 2 x  0. sin 2 x cos 2 x sin 4 x sin 3 x  cos3 x Câu 19: Cho phương trình  cos 2 x. Nếu giải phương trình bằng cách đặt tan x = t thì 2 cos x  sin x phương trình trên sẽ tương đương với phương trình nào dưới đây? A. 2t 2  t  1  0. B. t 2  2t  1  0. 1 C. t 2  t   0. D. t 2  t  1  0. 2 Câu 20: Cho phương trình 2sin x  2 cos x  1  3. Nếu giải phương trình bằng cách bình phương hai vế thì ta được phương trình nào sau đây?   A. sin 2 x  sin . B. sin 2 x  sin . 4 6   C. sin 2 x  sin . D. cos 2 x  cos . 3 3 Dạng 3. Phương trình lượng giác đẳng cấp Phương pháp giải Phương trình lượng giác đẳng cấp có dạng tổng Ví dụ: Giải phương trình sau quát 2 3 cos 2 x  6sin x.cos x  3  3. 1 a.sin x  b.sin x cos x  c.cos x  d . 2 2 Hướng dẫn giải Ta có thể giải phương trình lượng giác đẳng cấp theo hai cách sau Cách 1: Bước 1. Kiểm tra cos x  0 có là nghiệm của  Với cos x  0  x   k , k  . phương trình hay không, nếu có thì nhận nghiệm 2 này. Thay vào phương trình (1) ta có 0  3  3 Bước 2. Nếu cos x  0 thì chia cả hai vế của  phương trình vô nghiệm. 2 phương trình cho cos x đưa về phương trình bậc Với cos x  0 . Chia cả hai vế của phương trình hai theo tan x . (1) cho cos 2 x ta được 1  a sin 2 x 2 cos x  b sin x cos x 2 cos x  c cos 2 x  d cos x cos 2 x 2   2 3  6 tan x  3  3 1  tan 2 x   a tan 2 x  b tan x  c  d 1  tan 2 x  .    3  3 tan 2 x  6 tan x  3  3  0  2  . Đặt Bước 3. Đặt t  tan x đưa về phương trình bậc tan x  t phương trình (2) trở thành hai để giải. t  1   3  3 t  6t  3  3  0   3  3 2 t  3  3 TOANMATH.com Trang 9
 tan x  1    x   k   3 3   4 , k  . tan x     3 3 x   k  12 Vậy phương trình đã cho có nghiệm   x  4  k  , k  . x    k  12 Ta có 2 3 cos 2 x  6sin x.cos x  3  3  3 1  cos 2 x   3sin 2 x  3  3 Cách 2: Dùng công thức hạ bậc. 1  cos 2 x 1  cos 2 x  cos 2 x  3 sin 2 x  3 sin 2 x  ;cos 2 x  ; 2 2 1 3 3  cos 2 x  sin 2 x  sin 2 x 2 2 2 sin x cos x  . 2   3  cos  2 x    Đưa phương trình đã cho về phương trình  3 2 b sin 2 x   c  a  cos 2 x  d  c  a.    x  4  k Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cosin  , k  .  x    k ta đã biết cách giải ở dạng 1.  12 Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là    x  4  k  ,k   x    k  12 Tổng quát: Đối với phương trình đẳng cấp bậc  n n  2 : A  sin n x, cos n x,sin k x cos h x   0  trong đó k  h  n; k , h, n  , ta cũng giải tương tự theo hai cách. Cách 1: Nếu cos x  0 thì chia cả hai vế cho cos n x . Cách 2: Dùng công thức hạ bậc. Ví dụ mẫu Ví dụ. Cho phương trình 2sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x  m. Tìm m để phương trình có nghiệm. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 10
- Nếu cos x  0  Phương trình có dạng 2sin 2 x  m Để phương trình có nghiệm thì m  2.  * - Nếu cos x  0  m  2 thì ta chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x . m Phương trình đã cho trở thành 2 tan 2 x  tan x  1  0 cos 2 x   2  m  tan 2 x  tan x  m  1  0. 1 Với m  2 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn t  tan x. Xét   4m2  4m  9. 1  10 1  10   0  m Để phương trình đã cho có nghiệm thì   2 2 . ** m  2 m  2  1  10 1 0 Kết hợp (*) và (**), ta được m là những giá trị cần tìm. 2 2 1  10 1 0 Vậy với m thì phương trình đã cho có nghiệm. 2 2 Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Phương trình cos 2 x  3sin x cos x  2sin 2 x  1 có nghiệm là  x  k 2  x  k 2 A.   k  . B.   k  .  x    k   x    k 2  4  4  x  k  x  k C.   k  . D.   k  .  x    k 2  x    k   3  4 1 Câu 2: Phương trình 3 sin x  cos x  có nghiệm là cos x  x  k  x  k 2 A.   k  . B.   k  .  x    k  x    k 2  3  3  k x  2 C.   k  . D. x  k   k    . x    k  3 Câu 3: Phương trình 3cos 2 4 x  5sin 2 4 x  2  2 3 sin 4 x.cos 4 x có nghiệm là    A. x   k , k  . B. x   k , k  . 6 12 2     C. x   k , k  . D. x   k , k  . 18 3 24 4 TOANMATH.com Trang 11
1 3 Câu 4: Cho x thỏa mãn phương trình sin 2 x  sin 2 x  3 cos 2 x  0 . Giá trị nguyên của tan x là 2 A. 1. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 5: Phương trình 2sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  1 có nghiệm là      x    k 2  x   k A. 4 , k  . B. 4 , k  .    x  arctan 2  k   x  arctan 2  k     x  k x    k C.  , k  . D.  4 , k  .  x  arctan 2  k    x  arctan 2  k  Câu 6: Giải phương trình  sin 2 x  2 3 sin x cos x  1  2 ta được nghiệm là   A. x   k , k  . B. x   k , k  . 6 3  1 3  x  arctan  k  C.  2 , k  . D. x   k , k  .  1  3 3  x  arctan  k  2 Câu 7: Cho x thỏa mãn phương trình sin 3 x  3 cos3 x  sin x.cos 2 x  3 sin 2 x.cos x. Giá trị nguyên của tan x là  tan x   3 A. 1. B. 1. C. 3. D.  .  tan x  1 Câu 8: Phương trình 2sin 2 x  5sin x cos x  cos 2 x  2 có thể được đưa về phương trình nào trong các phương trình sau A. 4sin 2 x  5sin 2 x  cos 2 x  0. B. 5sin 2 x  3cos 2 x  5. C. 4sin 2 x  5sin x cos x  cos 2 x  0. D. Một phương trình khác. x x Câu 9: Kết quả nào cho dưới đây là đúng? Phương trình sin 2  sin x  3cos 2  0 có tập nghiệm là 2 2 A. S  . B. S    k 2, k   .   C. S    k 2, k    . D. Đáp án khác. 2  Câu 10: Khi m  2 thì phương trình  4  6m  sin 3 x  3  2m  1 sin x  2  m  2  sin 2 x.cos x   4m  3 cos x  0 có bao nhiêu họ nghiệm? A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Câu 11: Cho phương trình sin 3 x  3 cos3 x  sin x.cos 2 x  3 sin 2 x.cos x. Nghiệm của phương trình là TOANMATH.com Trang 12
  A. x   k . B. x   k , k  . 3 4    x  4  k 2    C.  , k  . D. x   k , x    k , k  .  x     k 4 2 3  3 Câu 12: Phương trình 2sin 2 x  sin 2 x  1  0 có tập nghiệm là A. S  . B. S  k , k   . C. Phương trình vô số nghiệm. D. Đáp án khác. Câu 13: Phương trình sin 2 2 x  3 sin 4 x  3cos 2 2 x  0 có nghiệm là   A. x   k  k  . B. x   k k  . 3 4      C. x   k  k  . D. x   k , x   k  k  . 6 2 4 2 3 Câu 14: Phương trình sin 2 4 x  3cos 2 4 x  0 có tập nghiệm là A. S  . B. S  k , k   . C. Phương trình vô số nghiệm. D. Đáp án khác. Câu 15: Cho x thỏa mãn phương trình sin 2 x  2 tan x  3. Giá trị của biểu thức  tan x  1  2 tan 2 x  tan x  3 là A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. x x Câu 16: Cho phương trình 3sin 2  3 sin x  cos 2  0. Số nghiệm của phương trình đã cho trong 2 2 khoảng  0; 2  là A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Câu 17: Cho phương trình 2 3 cos 2 x  sin 2 x  0, khẳng định đúng là A. Phương trình có 1 họ nghiệm. B. Phương trình vô nghiệm. C. Phương trình có 2 họ nghiệm. D. Cả A, B, C đều sai.   Câu 18: Cho x thỏa mãn phương trình sin 3  x    2 sin x. Giá trị của biểu thức  4  2 tan 2 x  tan x  3 tan x là A. 1. B. 6. C. 3. D. 2. 1  tan x Câu 19: Cho phương trình  1  sin 2 x, khẳng định đúng là 1  tan x A. Phương trình có 2 họ nghiệm. B. Phương trình vô nghiệm. C. Phương trình có 1 họ nghiệm. D. Cả A, B, C đều sai. TOANMATH.com Trang 13
Câu 20: Cho phương trình sin 2 x   2m  2  sin x.cos x   m  1 cos 2 x  m  0. Giá trị của m để phương trình có nghiệm là A. 2  m  1. B. 0  m  1. C. 0  m. D. m  2. Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng Phương pháp giải Phương trình lượng giác đối xứng có dạng tổng Ví dụ. quát sin x  cos x  2sin x cos x  1  0. 1 a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 Hướng dẫn giải Trong đó a, b, c  . Để giải phương trình lượng giác đối xứng, ta làm như sau.   Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   .  Đặt t  sin x  cos x  2  t  2   4 t 2 1  sin x cos x  . Điều kiện t  2. 2 Ta có  sin x  cos x   1  2sin x cos x 2 Khi đó phương trình (1) trở thành  t 2 1  t  1 t 2 1 t  2  1  0  t  t  2  0   2 .  sin x cos x  .  2  t  2 2 Khi đó phương trình đã cho trở thành Kết hợp với điều kiện  2  t  2 ta được bt 2  2at  b  2c  0.   t  1  sin x  cos x  1  2 sin  x    1 Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải.  4 Chú ý: Cách giải trên áp dụng cho phương trình     2  x    k 2  sin  x       2  k  . a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0.  4 2  x    k 2 1 t2 Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x  . 2    x   2  k 2  k    .   x    k 2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giải phương trình sin x  cos x  14sin x cos x  1. 1 Hướng dẫn giải 1 t2   Đặt t  sin x  cos x  2  t  2  sin x cos x  2 . t  1 Khi đó phương trình (1) trở thành t  7 1  t 2   1  7t 2  t  6  0   . t   6  7 TOANMATH.com Trang 14
      x   k 2 - Nếu t  1 thì sin x  cos x  1  sin  x    sin   2 k  .  4 4  x    k 2 6 6 - Nếu t   thì sin x  cos x  7 7   3 2  x   arcsin  k 2    3 2 4 7  sin  x       k  .  4 7  5 3 2 x   arcsin  k 2  4 7  Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm x   k 2; x    k 2 2  3 2 5 3 2 x  arcsin  k 2; x   arcsin  k 2  k    . 4 7 4 7 3 Ví dụ 2. Giải phương trình sin 3 x  cos3 x  1  sin 2 x.  2  2 Hướng dẫn giải  2   1   sin x  cos x   sin 2 x  sin x cos x  cos2 x   3sin x cos x  1   sin x  cos x 1  sin x cos x   3sin x cos x. * t 2 1   Đặt t  sin x  cos x  2  t  2  sin x cos x  2 .  t 2 1  t 2 1 Khi đó phương trình (*) trở thành 1  t  1    3.  2  2 t  1   t 3  3t 2  3t  5  0   t  1  t 2  2t  5   0  t  1  6   2  t  1. t  1  6  2    Suy ra sin x  cos x  1  2 cos  x    1  4  x    k 2   3  cos  x    cos   k  .  4  4  x    k 2  2  Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm x    k 2; x   k 2  k    . 2 Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: Cho phương trình  2  sin x  cos x   2sin x cos x  1  0 . Đặt t  sin x  cos x, ta được phương trình nào dưới đây? A. t 2  2t  0. B. t 2  2t  2  0. C. t 2  2t  0. D. t 2  2t  2  0. TOANMATH.com Trang 15
  Câu 2: Nếu 1  sin x 1  cos x   2 thì cos  x   nhận giá trị là  4 2 2 A. 1. B. 1. C.  . D. . 2 2 Câu 3: Phương trình sin x  cos x  2sin 2 x  1  0 có nghiệm là  x  k 2  x  k A.  , k  . B.  , k  .  x  3  k 2  x  3  k   2  2 3 C. x   k 2, k  . D. Vô nghiệm. 2 Câu 4: Cho phương trình sin 2 x  2  sin x  cos x   2  0. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là  3 5 A. x  . B. x  0. C. x  . D. x  . 2 2 6 Câu 5: Phương trình sin 2 x  2  cos x  sin x   1  0 có nghiệm là   A. x   k , k  . B. x   k 2, k  . 4 4  C. x    k , k  . D. Vô nghiệm. 4 Câu 6: Cho phương trình 2  sin x  cos x   tan x  cot x. Nếu t  sin x  cos x thì giá trị của t thỏa mãn t  2 là 2 A. 1. B. 2. C.  2. D.  . 2 Câu 7: Cho phương trình sin 2 x  4  sin x  cos x   5  0. Số nghiệm của phương trình thỏa mãn 0  x   là A. 1. B. 0. C. 2. D. 4. Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? A. 3 sin 2 x  cos 2 x  2. B. sin 2 x  sin x  cos x  1.  C. sin x  cos . D. 3 sin x  cos x  3. 4   Câu 9: Cho x thỏa mãn phương trình sin 2 x  sin x  cos x  1. Giá trị lớn nhất tìm được của sin  x    4 là 2 1 A. 0. B. . C. . D. 1. 2 2 Câu 10: Số họ nghiệm của phương trình sin 2 x  sin x  cos x  1  0 là TOANMATH.com Trang 16
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 11: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? A. 4  sin x  cos x   sin 2 x  5  0. B. 2 cos 2 x  cos x  1  0. C. 2  sin x  cos x   sin 2 x  2  0. D. 3sin x  2  0. 1 Câu 12: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin x  cos x  1  sin 2 x là 2   3 5 A. x   . B. x   . C. x   . D. x   . 6 2 2 6 Câu 13: Số nghiệm của phương trình 2 2  sin x  cos x   sin 2 x  3  0 thỏa mãn điều kiện   x  5 là A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Câu 14: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm? 1 1 A. 3 sin x  2. B. cos 4 x  . 4 2 C. 2 2  sin x  cos x   sin 2 x  3  0. D. cot 2 x  cot x  5  0. Câu 15: Điều kiện để phương trình 2  sin x  cos x   m  2  0 có nghiệm là A. m  0. B. Không có giá trị nào của m. C. m  4. D. 0  m  4. 1 Câu 16: Phương trình 3  sin x  cos x   sin 2 x  3 có nghiệm là 2    x    k 2 A. x    k , k  . B.  2 , k  . 4   x    k 2  C. x    k 2, k  . D. Vô nghiệm. 2 Câu 17: Nghiệm của phương trình 2  sin x  cos x   sin 2 x  1  0 thỏa mãn điều kiện 0  x   là 3   A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 4 2 4 3   Câu 18: Từ phương trình sin 3 x  cos3 x  1  sin 2 x ta tìm được cos  x   có giá trị bằng 2  4 2 2 2 A. 1. B.  . C.  . D. . 2 2 2 Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin x cos x  sin x  cos x  m  0 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 20: Giá trị của m để phương trình m  sin x  cos x   sin 2 x  0 có nghiệm là TOANMATH.com Trang 17
A. Không có giá trị nào của m. B. m. C. m  1. D. Cả A, B, C đều sai. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1. Phương trình thuần nhất 1- C 2- A 3- B 4- B 5- D 6- D 7- C 8- C 9- B 10- C 11- D 12- B 13- A 14- A 15- A 16- B 17- D 18- B 19- A 20- B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Phương trình 3 sin x  cos x  1 có nghĩa x    D  . 3 1 1   1 Ta có 3 sin x  cos x  1  sin x  cos x   sin  x    2 2 2  6 2     x    k 2      6 6 x   k 2  sin  x    sin    3 , k  .  6 6  x        k 2    x    k 2 6 6 Câu 2. Phương trình sin x  3 cos x  0 có nghĩa x    D  . 1 3     Ta có sin x  3 cos x  0  sin x  cos x  0  sin  x    0  x   k   x    k . 2 2  3 3 3  Vậy phương trình có nghiệm âm lớn nhất x   là với k  0. 3 Câu 3. Phương trình sin x  cos x  1 có nghĩa x    D  . 1 1 1   1 Ta có sin x  cos x  1  sin x  cos x   sin  x    2 2 2  4 2     x    k 2  x  k 2    4 4  sin  x    sin   , k  .  4 4  x        k 2  x    k 2  4 4 2 Câu 4. Phương trình sin x  cos x  1 có nghĩa x    D  . 1 1 1   1 Ta có sin x  cos x  1  sin x  cos x   sin  x    2 2 2  4 2     x    k 2  x  k 2    4 4  sin  x    sin   , k  .  4 4  x        k 2  x    k 2  4 4 2  Theo bài ra x   0;    x  . 2 TOANMATH.com Trang 18
Câu 5. Phương trình 3sin x  m cos x  5 có nghĩa x    D  .  m  4 Điều kiện để phương trình có nghiệm 32  m 2  52  m 2  16   . m  4 Vậy phương trình vô nghiệm khi 4  m  4. Câu 6. Phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghĩa x    D  .  m  4 Điều kiện để phương trình có nghiệm m 2   3  52  m 2  16   2 . m  4 Câu 7. Phương trình 3 sin 3 x  cos 3 x  1 có nghĩa x    D  . 3 1 1   1 Ta có 3 sin 3 x  cos 3x  1  sin 3 x  cos 3x    sin  3 x     . 2 2 2  6 2 Câu 8. Phương trình 2sin x  3cos x  1 có nghĩa x    D  . Ta có 22  32  12  12  0. Vậy phương trình 2sin x  3cos x  1 có nghiệm. Câu 9. Phương trình 3 cos x  sin x  2 có nghĩa x    D  . 3 1 2   2 Ta có 3 cos x  sin x  2  cos x  sin x   sin  x    2 2 2  3 2      x    k 2  x    k 2    3 4 12  sin  x    sin   , k  .  3 4  x        k 2  x  5  k 2  3 4 12 5 Vì x   0;  nên x  . 12 Câu 10. Phương trình sin 8 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos8 x  có nghĩa x    D  . Ta có sin 8 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos8 x   sin 8 x  3 cos8 x  cos 6 x  3 sin 6 x 1 3 1 3     sin 8 x  cos8 x  cos 6 x  sin 6 x  sin  8 x    sin  6 x   2 2 2 2  3  6      8 x   6 x   k 2  x   k      3 6 4 sin  8 x    sin  6 x     , k  .  3  6 8 x      6 x    k 2  x    k   3 6 12 7 Câu 11. Phương trình 3 sin x  cos x  3 có nghĩa x    D  .  3 2   1   3  4  9 (vô lí). 2 2 Để phương trình có nghiệm thì Vậy phương trình 3 sin x  cos x  3 vô nghiệm. Câu 12. Phương trình sin 2 x  2 cos x  0 có nghĩa x    D  . TOANMATH.com Trang 19
Ta có sin 2 x  2 cos x  0  2sin x cos x  2 cos x  0   cos x  0  x  2  k    2 cos x  sin x  1  0    x   k . sin x  1  x    k 2 2  2  5   5 3   Vì x    ;  nên x   ; x   ; x   ; x  .  2 2 12 2 2 2 Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn đề bài. Câu 13. Phương trình cos 7 x  3 sin 7 x   2 có nghĩa x    D  . 1 3 2 Ta có cos 7 x  3 sin 7 x   2  cos 7 x  sin 7 x   2 2 2    5 k 2 3 1 2     7 x  6  4  k 2  x  84  7  sin 7 x  cos 7 x   sin  7 x    sin   , k  . 2 2 2  6 4  7 x        k 2  x  11  k 2  6 4 84 7 Câu 14. Phương trình sin x  3 cos x  0 có nghĩa x    D  . 1 3     Ta có sin x  3 cos x  0  sin x  cos x  0  sin  x    0  x   k   x    k . 2 2  3 3 3 2 Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là x  với k  1. 3 Câu 15.    Phương trình có nghĩa  cos x  0  x   k   D   \   k  . 2  2   1  sin x 2 Ta có tan x  sin 2 x  cos 2 x  2  2 cos x  0  sin 2 x  cos 2 x  4 cos x  0  cos x  cos x cos x  sin x  2sin x cos 2 x  cos 2 x cos x  2  2 cos 2 x  1  0  sin x 1  2 cos 2 x   cos 2 x cos x  2 cos 2 x  0   sin x cos 2 x  cos 2 x cos x  2 cos 2 x  0  cos 2 x  sin x  cos x  2   0  cos 2 x  0     x   k , k  . sin x  cos x  2 4 2  Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là x  với k  0. 4 Câu 16. Phương trình sin x  cos x  1 có nghĩa x    D  . 1 1 1   1 Ta có sin x  cos x  1  sin x  cos x    sin  x     2 2 2  4 2      x     k 2  x    k 2    4 4 2  sin  x    sin  , k  .  4 4  x        k 2  x    k 2  4 4 Câu 17. TOANMATH.com Trang 20