Giáo án "Đại số 11: Phương pháp quy nạp toán học" trình bày tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề phương pháp quy nạp toán học, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Đại số lớp 11: Phương pháp quy nạp toán học - Trường THPT Bình Chánh
- Cô: Lê Thị Thanh Phương
Tổ Toán
Trường THPT Bình Chánh
- Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) :"3n 3n + 1"& Q(n) :"2n n", n *
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi n * thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Trả lời:
a. P(n) Q(n)
n 3n ? 3n+1 n 2n ? n
1 3 4 S 1 2 1 Đ
2 9 7 Đ 2 4 2 Đ
3 27 10 Đ 3 8 3 Đ
4 81 13 Đ 4 16 4 Đ
5 243 16 Đ 5 32 5 Đ
b. Với mọi n * P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định
chắc chắn là đúng hay sai.
- Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n * ta thực hiện theo các
bước sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 (Giả thiết qui nạp-GTQN)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
2. Ví dụ áp dụng:
- Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi n N*, ta có:
n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n = (1)
Lời giải: 2
1(1 + 1)
+) Với n = 1, ta có VT(1) = 1, VP(1) = =1 , vậy đẳng thức (1) đúng.
2 k (k + 1)
+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 1 + 2 + 3 + ... + k = (GTQN)
2
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
(k + 1)[(k + 1) + 1]
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (2)
2
Thật vậy: VT (2) = (1 + 2 + 3 + ... + k ) + (k + 1)
k (k + 1) k 2 + k + 2 ( k + 1) k 2 + 3k + 2
= + (k + 1) = =
2 2 2
(k + 1) (k + 1) + 1 (k + 1) ( k + 2 ) k 2 + 3k + 2
VP(2) = = =
2 2 2
VT (2) = VP(2)
n(n + 1)
Vậy với mọi n N*, ta có: 1 + 2 + 3 + ... + n = (1)
2
- Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi n N*, ta có: Q ( n ) :"2 n " đúng.
n
Lời giải:
+) Với n = 1, ta có VT = 21 = 2 VP = 1 ,vậy Q(n) đúng.
+) Giả sử Q(n) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: 2 k ( GTQN )
k
Kiểm tra Q(n)
Ta phải chứng minh Q(n) đúng với n = k+1, tức là
đúng với n=1
k +1
phải chứng minh: 2 k + 1
Thật vậy, theo GTQN: 2k k
2.2k 2.k
2k +1 k + k k + 1 ( vì k 1)
2k +1 k + 1
Vậy với mọi n N*, ta có: Q ( n ) :"2 n " đúng.
n
- §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n * ta thực hiện theo các
bước sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 (Giả thiết qui nạp-GTQN)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
2. Ví dụ áp dụng:
Chú ý: (SGK- 82)
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n ≥ p ta thực hiện theo các
bước sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=p
B2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k ≥ p (Giả thiết qui nạp-GTQN)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
- CMR :n N * un = 13n − 1 6 (1)
▪ Với n = 1 ta có: u1 = 131 − 1 = 12 6 (Mệnh đề (1) đúng)
▪ Giả sử mệnh đề (1) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: uk = 13k − 1 6
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1, tức là : uk +1 = 13k +1 − 1 6
Thật vậy: uk +1 = 13k +1 − 1 = 13.13k − 1
= 13.13k − 13 + 12
= 13(13k − 1) + 12
= 13uk + 12 6
Vậy với mọi n N*, ta có: un = 13n − 1 6
- CMR n *
: 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2 ( 2)
▪ Với n = 1, ta có VT= 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1)2=VP, đẳng thức (2) đúng
▪ Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:
1.4 + 2.7 + ... + k (3k + 1) = k (k + 1)2 (GTQN)
Ta phải chứng minh đúng với n = k+ 1, tức là :
1.4 + 2.7 + ... + k (3k + 1) + (k + 1) 3(k + 1) + 1 = (k + 1) (k + 1) + 1 ( *)
2
Thật vậy: = (k + 1)(k + 2)2
VT (*) = [1.4 + 2.7 + ... + k (3k + 1)] + (k + 1) 3(k + 1) + 1
= k (k + 1) 2 + (k + 1) 3(k + 1) + 1
= (k + 1)[k (k + 1) + 3k + 4]
= (k + 1)(k 2 + 4k + 4)
= (k + 1)(k + 2)2
= VP(*)
Vậy với mọi n N*, ta có: 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2
- CMR : n 2, n N : 3n 3n + 1 ( 3)
▪ Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng
▪ Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: 3
k
3k + 1
Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là : 3k +1 3(k + 1) + 1
Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có:
3k 3k + 1 3k +1 3(3k + 1)
k +1
3 9k + 3
3k +1 3k + 4 + 6k − 1
V× 6k − 1 0 nª n : 3k +1 3k + 4
Vậy: n 2, n N cã : 3n 3n + 1
- §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
•Nêu phương pháp qui nạp toán học ?
•Chú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ p ?
• Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài toán bằng
phương pháp qui nạp.
• Các bài tập về nhà 1,2,3,4,5 SGK/82+83.
• Đọc bài : Bạn có biết Suy luận qui nạp.
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
