Giáo án Đại số 11: Phương pháp quy nạp toán học, dãy số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Đại số 11: Phương pháp quy nạp toán học, dãy số" trình bày tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề phương pháp quy nạp toán học, dãy số, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Đại số 11: Phương pháp quy nạp toán học, dãy số

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. DÃY SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Biết được thứ tự các bước giải toán bằng phương pháp quy nạp. + Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, tính chất đơn điệu và bị chặn của dãy số. + Nắm được phương pháp giải các dạng bài tập của dãy số như tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và bị chặn.  Kĩ năng + Chứng minh được các bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học. + Biết cách xác định dãy số. + Xét được tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số. + Tính được tổng của một dãy số. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương pháp quy nạp toán học Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) Để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi giá trị nguyên đúng với mọi số nguyên dương n  p thì: +) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với dương n, ta thực hiện như sau: n = p.  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. +) Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số  Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương nguyên dương bất kì n  k  p và phải chứng n = k tùy ý  k  1 , chứng minh rằng mệnh đề đúng với minh mệnh đề đúng với n  k  1 n  k 1. Dãy số a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). u : *   Kí hiệu: n  u  n. Dạng khai triển: u1 ; u2 ; u3 ;...; un ;... Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số. b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M  1; 2;3;...; m với m  * c) Các cách cho một dãy số: Ví dụ 1: Cho dãy (un) với un  3n 2  n  1 Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát. Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay quy nạp): Trang 1
 Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu). u1  1  n  1 un 1  un  2n 3  Với n  2 , cho một công thức tính uk nếu biết uk-1 (hoặc vài số hạng đứng ngay trước nó). Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) bán kính R. Cho Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy dãy (un) với un là độ dài cung tròn có số đo là số. 2 của đường tròn (O). n Dãy số tăng, dãy số giảm a) Dãy số (un) được gọi là tăng nếu un 1  un với mọi n  * un 1  un 1  un  0, n  * hay  1, n  *  un  0  un b) Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un 1  un với mọi n  * un 1  un 1  un  0, n  * hay  1, n  *  un  0  un Dãy số bị chặn a) Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un  M , n  * . b) Dãy số (un) được gọi bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un  m, n  * c) Dãy số (un) được gọi bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m  un  M , n  * . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1:Quy nạp toán học Phương pháp giải Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số n  2 , ta luôn có 2n 1  2n  3 (*) tự nhiên n đúng với mọi n  no (no là só tự nhiên Hướng dẫn giải: cho trước), ta thực hiện theo các bước sau Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n  no Với n = 2 ta có 221  2.2  3  8  7 (đúng). Vậy (*) đúng với n = 2. Bước 2: Giả sử P(n) đúng khi n  k  k  no  (xem Giả sử với n  k , k  2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có đây là giả thiết để chứng minh bước 3). 2k 1  2k  3 (1) Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) đúng khi Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có n  k 1 nghĩa ta phải chứng minh 2k  2  2(k  1)  3 Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được TOANMATH.com Trang 2
2.2k 1  2(2k  3)  2k  2  4k  6  2(k  1)  3 Vậy 2k  2  2  k  1  3 (đúng). Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết Do đó theo nguyên lí quy nạp (*) đúng với mọi số luận rằng P(n) đúng với mọi n  no nguyên dương n  2. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 1.4  2.7  ...  n(3n  1)  n  n  1 2 (1) Hướng dẫn giải Với n = 1, ta có VT (1)  1.4  4; VP (1)  1. 1  1  4 2 Suy ra VT(1) = VP(1) với n = 1. Vậy (1) đúng với n = 1. Giả sử (1) đúng với n = k Khi đó ta có 1.4  2.7  ...  k  3k  1  k  k  1 2 Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 hay 1.4  2.7  ...  k  3k  1   k  1 3k  4    k  1 k  2  2 Thật vậy 1.4  2.7  ...  k  3k  1   k  1 3k  4   k  k  1   k  1 3k  4  2     k  k 1 2   k  1 k  2  (điều phải chứng minh). 2 Vậy (1) đúng khi n  k  1 Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2 , ta có n  n 2  1  3n  2  1.2  2.3  3.4  ...   n  1 n  2 3 4 2 (1) 12 Hướng dẫn giải 2.3.8 Với n = 2, ta có VT (1)  1.22  4; VP (1)  4 12 Suy ra VT(1) = VP(1) với n = 2. Vậy (1) đúng với n = 2. Giả sử (1) đúng với n = k. Khi đó ta có k  k 2  1  3k  2  1.22  2.33  3.44  ...   k  1 k 2  12 Ta phải chứng minh (1) đúng với n  k  1 . Có nghĩa ta phải chứng minh TOANMATH.com Trang 3
 k  1   k  1   1 3  k  1  2  2 1.22  2.33  3.44  ...   k  1 k 2  k  k  1  2 12  k  1  k  2k   3k  5 2  1.22  2.33  3.44  ...   k  1 k 2  k  k  1  2 12 Thật vậy 1.22  2.33  3.44  ...   k  1 k 2  k  k  1 2 k  k 2  1  3k  2  k  k  1  3k 2  11k  10   k  k  1  2  12 12 k  k  1 k  2  3k  5   k  1  k  2k   3k  5  2   (điều phải chứng minh) 12 12 Vậy (1) đúng khi n  k  1 . Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n  2 Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 1 1 1 n  n  3   ...   (1) 1.2.3 2.3.4 n  n  1 n  2  4  n  1 n  2  Hướng dẫn giải 1 1.4 1 Với n = 1, ta có VT (1)  ;VP(1)   6 4.2.3 6 Suy ra VT(1) = VP(1) khi n = 1. Vậy (1) đúng với n = 1 Giả sử (1) đúng với n = k. Khi đó ta có 1 1 1 k  k  3   ...   1.2.3 2.3.4 k  k  1 k  2  4  k  1 k  2  Ta phải chứng minh (1) đúng với n  k  1 . Có nghĩa ta phải chứng minh 1  1  ...  1  1   k  1 k  4  1.2.3 2.3.4 k  k  1 k  2   k  1 k  2  k  3 4  k  2  k  3 1 1 1 1 Thật vậy   ...   1.2.3 2.3.4 k  k  1 k  2   k  1 k  2  k  3   k  k  3  4 k 1 k  2  k  k  3 1 1  4      k  k  3  4  k  1 k  2   k  1 k  2  k  3 4  k  1 k  2   k  3   k  1  k  4  2 k 3  6k 2  9k  4   4  k  1 k  2  k  3 4  k  1 k  2  k  3  k  1 k  4  (điều phải chứng minh). 4  k  2  k  3 Vậy (1) đúng khi n  k  1 . TOANMATH.com Trang 4
Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2, ta có 1 1 1 13   ...   (1) n 1 n  2 n  n 24 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Đặt un    ...   n 1 n  2 n   n  1 n  n 1 1 7 13 Với n = 2 ta có u2     (đúng) 2  1 2  2 12 24 1 1 1 13 Giả sử với n = k thì (1) đúng, có nghĩa ta có   ...   k 1 k  2 k  k 24 Ta phải chứng minh (1) đúng với n  k  1 , có nghĩa ta phải chứng minh 1 1 1 1 13   ...    k 2 k 3 k  k  k  1   k  1 24 Thật vậy, xét hiệu 1 1 1 1 1  1 1 1    ...       ...   k 2 k 3 k  k 2k  1  k  1   k  1  k  1 k  2 k k  1 1 1 1 1 1 1 1         0 2k  1  k  1   k  1 k  1 2k  1 2  k  1 k  1 2k  1 2k  2 Suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1   ...       ...  k 2 k 3 k  k 2k  1  k  1   k  1 k  1 k  2 k k 13 Do đó uk 1  uk  . Vậy (1) đúng với n  k  1 . 24 Suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương n  2 n  n  3 Ví dụ 5: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh  n  4  là . 2 Hướng dẫn giải n  n  3 Đặt S  n   2 Khi n = 4, ta có S(4) = 2. Suy ra mệnh đề đúng với n = 4. TOANMATH.com Trang 5
k  k  3 Giả sử mệnh đề đúng khi n  k  4 , tức là S  k   2 Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k +1, tức là chứng minh S  k  1   k  1 k  2  2 Thật vậy, ta tách đa giác  k  1 cạnh thành đa giác k cạnh và tam giác A1 Ak Ak 1 bằng cách nối đoạn A1 Ak . Khi đó trừ đi đỉnh Ak 1 và 2 đỉnh kề với nó là A1, Ak thì ta còn lại  k  1  3  k  2 đỉnh, tương ứng với (k – 2) đường chéo kẻ từ đỉnh Ak 1 cộng với đường chéo A1 Ak thì ta có số đường chéo của đa giác k  k  3 k  k  3 k 2  k  2  k  1 k  2   k  1 cạnh là S  k  1    k  2  1   k 1   2 2 2 2  mệnh đề đúng khi n  k  1 . Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi n  * ,  n  4  . Ví dụ 6: Chứng minh rằng mọi n – giác lồi  n  5  đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi. Hướng dẫn giải Khi n = 5, ta có một ngũ giác lồi nên mệnh đề đúng với n = 5. Giả sử mệnh đề đúng khi n  k  5 , tức là ta có k – giác lồi được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n  k  1 , tức là chứng minh mọi  k  1  giác lồi đều được chia thành hữu hạn các ngũ giác lồi. Thật vậy, trên các cạnh A1 Ak 1 và A3 A4 ta lấy các điểm E, F không trùng với các đỉnh. Khi đó đoạn EF chia  k  1  giác lồi thành 2 đa giác lồi, đó là ngũ giác lồi A1 A2 A3 FE và k – giác lồi EFA4 A5 ... Ak 1 . Theo giả thiết quy nạp thì k – giác lồi EFA4 A5 ... Ak 1 sẽ được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi đồng thời ta có thêm một ngũ giác lồi A1 A2 A3 FE nên  k  1  giác lồi sẽ được chia thành hữu hạn các ngũ giác lồi  mệnh đề đúng khi n  k  1 . Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi n  *  n  4  Ví dụ 7: Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un  9n  1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 6
Ta có u1  91  1  8 chia hết cho 8 (đúng) Giả sử uk  9k  1 chia hết cho 8 Ta cần chứng minh uk 1  9k 1  1 chia hết cho 8 Thật vậy, ta có uk 1  9k 1  1  9.9k  1  9  9k  1  8  9uk  8 Vì 9uk và 8 chia hết cho 8 nên uk 1 chia hết cho 8. Theo quy nạp với mọi số nguyên dương n, un chia hết cho 8. Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi n  * , n  n  1 n  2  n  3 n  4  chia hết cho 120. Hướng dẫn giải Trước hết chứng minh bổ đề “Tích của hai số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8”. Thật vậy, với n là số nguyên thì 2n và  2n  2  là hai số chẵn liên tiếp. Khi đó 2n  2n  2   4n  n  1 Mà n  n  1 là tích hai số nguyên liên tiếp nên n  n  1 2 Suy ra 4n  n  18 Đặt P  n   n  n  1 n  2  n  3 n  4  Khi n  1 , ta có P 1  120120 . Suy ra mệnh đề đúng với n = 1. Giả sử mệnh đề đúng với n  k  1 , tức là P  k   k  k  1 k  2  k  3 k  4 120 Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n  k  1 , tức là chứng minh P  k  1   k  1 k  2  k  3 k  4  k  5 120 Thật vậy, ta có P  k  1   k  1 k  2  k  3 k  4  k  5   k  k  1 k  2  k  3 k  4   5  k  1 k  2  k  3 k  4   P  k   5  k  1 k  2  k  3 k  4  Mà k  1, k  2, k  3, K  4 là số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn có 2 sỗ chẵn liên tiếp và một số chia hết cho 3 trong bốn số đó. Suy ra 5  k  1 k  2  k  3 k  4  5.3.8  120 Mặt khác P  k 120 nên P  k  1120  mệnh đề đúng khi n  k  1 . Vậy theo nguyên lí quy nạp mệnh đề đúng với mọi n  * Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n  p (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng? TOANMATH.com Trang 7
A. k  p. B. k  p. C. k  p. D. k  p. Câu 2: Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un  5.23n  2  33n 1 Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau: Bước 1: Khi n  1, ta có u1  5.21  32  19  u1 19 Bước 2: Giả sử uk  5.23k  2  33k 1 chia hết cho 19 với k  1. Khi đó ta có uk 1  5.23k 1  33k  2  8  5.23k  2  33k 1   19.33k 1 Bước 3: Vì 5.23k  2  33k 1 và 19.33k 1 chia hết cho 19 nên uk 1 chia hết cho 19, n  * Vậy un chia hết cho 19, n  * Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào? A. Sai từ bước 1. B. Sai từ bước 3. C. Sai từ bước 2. D. Lập luận hoàn toàn đúng. Câu 3: Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho I  k  A;  II  n  A  n  1 A, n  k Lúc đó ta có A. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A. B. Mọi số nguyên dương đều thuộc A. C. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A. D. Mọi số nguyên đều thuộc A. Câu 4: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên n  p, với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n  1 Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n  k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n  k  1 Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên. A. Chỉ có bước 2 đúng. B. Cả hai bước đều đúng. C. Cả hai bước đều sai. D. Chỉ có bước 1 đúng. Câu 5: Với mọi n   , khẳng định nào sau đây sai? * n  n  1 A. 1  2  ...  n  . B. 1  3  5  ...   2n  1  n 2 . 2 n  n  1 n  2  2n  n  1 2n  1 D. 22  42  62  ...   2n   2 C. 12  22  ...  n 2  . . 6 6 1 1 1 1 Câu 6: Cho S n     ...  với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1.2 2.3 3.4 n  n  1 n 1 n n 1 n2 A. S n  . B. S n  . C. S n  . D. S n  . n n 1 n2 n3 TOANMATH.com Trang 8
u1  1 Câu 7: Cho dãy số  un  với  2 n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới un 1  un   1 đây? C. un  1   1 . 2n A. un  1  n. B. un  1  n. D. un  n. u1  3  Câu 8: Cho dãy xác định bởi công thức  1 . Số hạng tổng quát của dãy un là un 1  2 un , n   * 3 3 3 3 A. un  . B. un  . C. un  . D. un  . 2n 1 2n 2 1 n 2 1 n u  un2  2vn2 Câu 9: Cho hai dãy số  un  ,  vn  được xác định như sau u1  3, v1  2 và  n 1 với n  2. vn 1  2un .vn Công thức tổng quát của hai dãy  un  và  vn  là    u  2  1 2 n  2  1 2 n   1      2n 2n  n un  2  2  1  2  1  A.  . B.  . 1           2n 2n vn  1  2  1  2  1  2n 2n vn  2  1  2 1  2 2    2 2    1      1      2n 2n 2n 2n un  2  2  1  2  1  un  4  2 1 2 1  C.  . D.  .  vn  1  2  1  2  1     v  1       2n 2n 2n 2n 2 1 2 1  3 2    n 2   u1  cos   0       Câu 10: Cho dãy số  un  xác định bởi  1  un . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là un 1  , n  1  2       A. u2020  cos  2020  . B. u2020  cos  2019  . 2  2        C. u2020  sin  2021  . D. u2020  sin  2020  . 2  2  Dạng 2: Tìm số hạng và xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số Phương pháp giải Tìm số hạng của dãy số Ví dụ 1: Cho dãy số  an  Dãy số  un  : un  f  n  với f  n  là một biểu thức của n. n 1 Đặt un   ak với ak  Bài toán yêu cầu tìm số hạng uk ta thay trực tiếp n = k vào k 1 k  k  1 un  f  n  a) Tính u1 ; u2 ; u3 ; u4 . u1  a b) Tính u2020 . Dãy số  un  cho bởi  với f  un  là một biểu un 1  f  un  Hướng dẫn giải thức của un. Bài toán yêu cầu tìm số hạng uk ta tính lần lượt TOANMATH.com Trang 9
u2 ; u3 ;...; uk bằng cách thế u1 vào u2, thế u2 vào u3,… thế 1 1 a) Ta có u1  a1   ; 1.2 2 uk 1 vào uk 1 . 1 1 2 u2  a1  a2    ;  u  a; u 2  b 2 2.  2  1 3 Dãy số  un  cho bởi  1 un  2  c.un 1  d .un  e 2 1 3 u3  a1  a2  a3  u2  a3    ; Bài toán yêu cầu tìm số hạng uk. Ta tính lần lượt 3 3.  3  1 4 u3 ; u4 ;...; uk bằng cách thế u1;u2 vào thế u3; thế u2, u3 vào 3 1 4 u4  a1  a2  a3  a4  u3  a4    . 4 4.5 5 u4;…; thế uk  2 , uk 1 vào uk. 1 1 1 b) Ta có ak    . u1  a k  k  1 k k  1 Dãy số  un  cho bởi  với f  n; un  là kí un 1  f  n; un  n  1 1 1 do đó un   ak  1        ... hiệu của biểu thức un 1 tính theo un và n. Bài toán yêu cầu k 1  2  2 3 tìm số hạng uk ta tính lần lượt u2 ; u3 ;...; uk bằng cách thế  1 1 1 1  1       1  n 1 n   n n 1  n 1 1;u1  vào u2; thế  2;u2  vào u3; ...; thế  k  1; uk 1  vào uk. Suy ra có thể quy nạp Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số 1 2020 u2020  1   Nếu  un  có dạng un  a1  a2  ...  an (kí hiệu 2021 2021 n n Ví dụ 2:Xác định công thức un  ;n 1 un   ak ) thì ta biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, n 1 k 1 số hạng tổng quát un của dãy số dựa vào đó thu gọn un. u1  3 Nếu dãy số  un  được cho bởi một hệ thức truy hồi, ta tính  un 1  un  2 một số số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính Hướng dẫn giải u1 ; u2 ; u3 ;...), từ đó dự đón công thức un theo n, rồi chứng Ta có u2  u1  2  3  2  5; minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. u3  u2  2  5  2  7; Có thể tính hiệu un 1  un dựa vào đó để tìm công thức un u4  u3  2  7  2  9; theo n. u5  u4  2  9  2  11. Từ các số hạng trên, ta dự đoán số hạng tổng quát có dạng un  2n  1, n  1 (*) Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng. Với n  1; u1  2.1  1  3 (đúng). Vậy (*) đúng với n = 1. Giả sử (*) đúng với n = k. Khi đó ta có uk  2k  1 (1) Ta cần chứng minh (*) đúng với n  k  1 . TOANMATH.com Trang 10
Có nghĩa là ta phải chứng minh uk 1  2  k  1  1  2k  3 Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (1) ta có uk 1  uk  2  2k  1  2  2k  3 Do đó (*) đúng khi n  k  1 . Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un  2n  1, n  1. Ví dụ mẫu u  1 Ví dụ 1: Cho dãy số  un  được xác định như sau  1 . Tìm số hạng u50 . un 1  un  2 Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có u1  1; u2  u1  2; u3  u2  2; ... u50  u49  2. Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được u50  1  2.49  99 u  1; u2  2 Ví dụ 2: Cho dãy số  un  được xác định như sau  1 . Tìm số hạng u7. un  2  2un 1  3un  5 Hướng dẫn giải Ta có u3  2u2  u1  5  12; u4  2u3  3u2  5  35; u5  2u4  3u3  5  111; u6  2u5  3u4  5  332; Vậy u7  2u6  3u5  5  1002. u1  1  Ví dụ 3: Cho dãy số  un  xác định bởi  un  2 . Tìm số hạng u8. un 1  u  1  n Hướng dẫn giải 3 u  2 1 2 3 u2  2 2  2 7 Ta có u2  1   ; u3    ; u1  1 1  1 2 u2  1 3  1 5 2 TOANMATH.com Trang 11
7 17 u3  2 5  2 17 u4  2 12  2 41 u4    ; u5    ; u3  1 7  1 12 u4  1 17  1 29 5 12 41 99 Ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi 2 u5  2 29 99 u6  2 70  2 239 để tính số hạng u8 như sau u6    ; u7    ; u5  1 41  1 70 u6  1 99  1 169 Quy trình bấm phím: 29 70 Nhập : 1  239 2 u7  2 169 577 ANS  2 Vậy u8    ; Nhập: u7  1 239  1 408 ANS  1 169 Lặp dấu  (ấn dấu “=” 7 lần) 577 ta được giá trị số hạng u8  . 408 u1  1  Ví dụ 4: Cho dãy số  un  với  un un 1  2 a) Tìm công thức của số hạng tổng quát. b) Tính số hạng thứ 10 của dãy số. Hướng dẫn giải u1  1  u2  u1  2 a) Ta có  ...  u un  n 1  2 Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được n 1 u1.u2 .u3 ...un 1 1 1 u1.u2 .u3 ...un   1 .  un   1 . n 1   1 .   2.2.2...2   2 2 n 1sè 2 n 1 Vậy un   1 .   . 2 9 1 1 b) Số hạng thức 10 của dãy là u10   1 .     . 2 512 u1  1 Ví dụ 5: Dãy số  un  được xác định bằng công thức  n 1 un 1  un  n 3' a) Tìm công thức của số hạng tổng quát. b) Tính số hạng thứ 30 của dãy số. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 12
a) Ta có un 1  un  n3  un 1  un  n3 . Từ đó suy ra u1  1; u2  u1  13 ; u3  u2  23 ; ... un 1  un 2   n  2  ; 3 un  un 1   n  1 . 3 Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được u1  u2  u1  u1  u2  ...  un 1  un 2  un  un 1  1  13  23  33  ...   n  2    n  1 3 3  un  1  13  23  33  ...   n  2    n  1 3 3 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được  n  1 2 .n 2 1  2  3  ...   n  1 3 3 3 3  4 n 2  n  1 2 Vậy un  1  4 302.292 b) Số hạng thứ 30 của dãy số là u30  1   189226 4 Ví dụ 6: Cho dãy số  un  , biết u1  3; un 1  1  un2 với n  1 a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số. b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Hướng dẫn giải a) Ta có u2  1  u12  10; u3  1  u22  11; u4  1  u32  12; u5  1  u42  13; b) Ta có u1  1  8, u2  2  8, u3  3  8, u4  4  8, u5  5  8 Ta dự đoán un  n  8 (1) Với n  1 , ta có u1  1  8  3 (đúng). Vậy (1) đúng với n  1 Giả sử (1) đúng với n = k, có nghĩa ta có uk  k  8 (2) Ta cần chứng minh (1) đúng với n  k  1 Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có   2 uk 1  1  uk2  1  k 8  k 9 TOANMATH.com Trang 13
Do đó (1) đúng với n  k  1 Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số là un  n  8, n  1. Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Cho dãy số  un  có u1  7; un 1  2un  3. Khi đó u3 bằng A. 17. B. 77. C. 37. D. 9. Câu 2: Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số un  n  1? 2 A. 79. B. 89. C. 69. D. 99. Câu 3: Cho dãy số  un  có un  n 2  n  1 . Số -19 là số hạng thứ mấy của dãy? A. 5. B. 7. C. 6. D. 4. n 2  2n  1 Câu 4: Cho dãy số un  . Giá trị u11 là n 1 182 1142 1422 71 A. u11  . B. u11  . C. u11  . D. u11  . 12 12 12 6 u1  2 Câu 5: Cho dãy số  un  xác định bởi  . Giá trị u10 là un 1  un  5, n   * A. 57. B. 62. C. 47. D. 52. Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36,… Số hạng tổng quát của dãy số này là A. un  7 n  7. B. un  7.n. C. un  7.n  1. D. un  n  7. 1 2 3 4 Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là 0; ; ; ; ;... Số hạng tổng quát của dãy số này là 2 3 4 5 n 1 n n 1 n2  n A. un  . B. un  . C. un  . D. un  . n n 1 n n 1 Câu 8: Cho dãy số  un  với un  2n  1 . Số hạng thứ 2019 của dãy là A. 4039. B. 4390. C. 4930. D. 4093. 2n  1 167 Câu 9: Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát un  . Số là số hạng thứ mấy của dãy? n2 84 A. 300. B. 212. C. 250. D. 249. an 2 Câu 10: Cho dãy số  un  với un  (a là hằng số). Hỏi un+1 là số hạng nào sau đây? n 1 a.  n  1 a.  n  1 2 2 a.n 2  1 a.n 2 A. un 1  . B. un 1  . C. un 1  . D. un 1  . n2 n 1 n 1 n2 u  5 Câu 11: Cho dãy số  un  với  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? un 1  un  n A. un   n  1 n . B. un  5   n  1 n . C. un  5   n  1 n . D. un  5   n  1 n  2  . 2 2 2 2 TOANMATH.com Trang 14
u1  0  Câu 12: Cho dãy số  un  được xác định như sau  n . Số hạng u11 là  u    u  1 n 1 n 1 n 11 9 A. u11  . B. u11  4. C. u11  . D. u11  5. 2 2 u1  1 Câu 13: Cho dãy số  un  với  . Số hạng tổng quát un là un 1  un  2n  1, n   * A. un  n2 . B. un  2n2 . C. un  n2  1. D. un  3n2  1. u  1 Câu 14: Dãy số  un  được cho bởi  1 . Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau. un 1  un  2 A. n, un là số lẻ. B. u1  u2  ...  un  n2 . C. n, un  2 n  1. D. un  un 1  4 n.  1 u1  Câu 15: Cho dãy số  un  với  2 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số là un 1  2un 1 1 A. un  2 n 1. B. un  . C. un  . D. un  2 n 2. 2 n 1 2n un  2  Câu 16: Cho dãy số  un  với  1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số là un 1  2  u  n n 1 n 1 n 1 n A. un   . B. un  . C. un   . D. un   . n n n n 1 u1  1 Câu 17: Cho dãy số  un  với  Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? un 1  un  n 2 n  n  1 2 n  1 n  n  1 2 n  2  A. un  1  . B. un  1  . 6 6 n  n  1 2n  1 n  n  1 2n  2  C. un  1  . D. un  1  . 6 6 n 1 2 Câu 18: Cho dãy số  un  với un  , biết uk  . Hỏi uk là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho? n 1 2 13 A. Thứ năm. B. Thứ sáu. C. Thứ ba. D. Thứ tư. 1 Câu 19: Cho dãy  un  xác định bởi u1  và un  un 1  2n với mọi n  2 . Số hạng u50 bằng 2 A. 1274,5. B. 2548,5. C. 5096,5. D. 2550,5. Câu 20: Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0,001; 0,001; 0,0001;… Số hạng tổng quát của dãy số có dạng 1 1 A. un  0,00...01.   B. un  0,00...01.   C. un  . D. un  . n ch÷ sè 0 n 1ch÷ sè 0 10n 1 10n 1 TOANMATH.com Trang 15
143Pn 5 Câu 21: Số hạng âm trong dãy số x1 ; x2 ; x3 ;...; xn với xn  Cn45  là 96 Pn 3 A. x1 ; x2 . B. x1 ; x2 ; x3 . C. x1 ; x2 ; x3 ...xn . D. x1 ; x2 ; x3 ; x4 . u  2 Câu 22: Cho dãy số  un  được xác định bởi  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là un 1  un  2n  1 C. un  2   n  1 . D. un  2   n  1 . 2 2 A. un  n 2  1. B. un  2  n 2 . u1  1 Câu 23: Cho dãy số  un  với  2 n 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới un 1  un   1 đây? A. un  2  n. B. không xác định. C. un  1  n. D. un  n với mọi n. Câu 24: Cho dãy số  un  thỏa mãn u1  2 và un 1  2  un với mọi n  1. Số hạng u2018 là    A. u2018  2 cos 2017 . B. u2018  2 cos 2019 . C. u2018  2 cos 2018 . D. u2018  2. 2 2 2 u1  1 Câu 25: Cho dãy số  un  xác định bởi  . Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho un 1  un  n , n   3 * un  1  2039190 là A. n  2017. B. n  2019. C. n  2020. D. n  2018. Dạng 3: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số Bài toán 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số Phương pháp giải Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số Cách 1: Xét hiệu un 1  un  Nếu un 1  un  0, n  * thì  un  là dãy số tăng.  Nếu un 1  un  0, n  * thì  un  là dãy số giảm un 1 Cách 2: Khi un  0, n  * ta xét tỉ số un un 1  Nếu  1 thì  un  là dãy số tăng. un un 1  Nếu  1 thì  un  là dãy số giảm. un Cách 3: Nếu dãy số  un  được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh un 1  un , n  * (hoặc un 1  un , n  * ) . Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số  Dãy số  un  có un  an  b tăng khi a  0 và giảm khi a  0 . TOANMATH.com Trang 16
 Dãy số  un  có un  q n - Không tăng, không giảm khi q  0 . - Giảm khi 0  q  1. - Tăng khi q  1. an  b  Dãy số  un  có un  với điều kiện cn  d  0, n  * cn  d - Tăng khi ad  bc  0. - Giảm khi ad  bc  0  Dãy số đan dấu là dãy số không tăng, không giảm.    Nếu dãy số  un  tăng hoặc giảm thì dãy số q n .un (với q  0) không tăng, không giảm. a  0 a  0  Dãy số  un  có un 1  au  b tăng nếu  ; giảm nếu  và không tăng, không u2  u1  0 u2  u1  0 giảm nếu a < 0.  aun  b un 1  cu  d ad  bc  0 ad  bc  0  Dãy số  un  có  tăng nếu  và giảm nếu  u2  u1  0 u2  u1  0 n c, d  0, u  0, n  *  n  aun  b un 1  cu  d  Dãy số  un  có  n không tăng, không giảm nếu ad  bc  0 c, d  0, u  0, n  *  n  un    un    Nếu  thì dãy số  un  vn   .  Nếu  thì dãy số  un  vn   .  vn    vn    un  ; un  0, n  *  un  ; un  0, n  *  Nếu  thì dãy số  un ; vn   .  Nếu  thì dãy số  un ; vn   .  vn  ; vn  0, n    vn  ; vn  0, n   * *  Nếu  un   và un  0, n  * thì dãy số  u  n  Nếu  un   và un  0, n  * thì dãy số và dãy số  u   , m   n m *  u   và dãy số  u   , m   . n n m * 1 1   Nếu  un   và un  0, n  * thì dãy số    .  Nếu  un   và un  0, n  * thì dãy số  .  un   un  Ví dụ mẫu n5 Chú ý: Dãy số có dạng Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số  un  biết un  . n2 un  an  d cn  d Hướng dẫn giải Với cn  d  0, n  * n5 3 3 Ta có un   1  un 1  1  - Nếu c; d  0 và ad  bc  0 thì n2 n2 n3 TOANMATH.com Trang 17
3 3 3  un  là dãy số tăng. Xét hiệu un 1  un     0, n  * n  3 n  2  n  2  n  3 - Nếu ad  bc  0 thì  un  là Vậy  un  là dãy số giảm. dãy số giảm. u1  2  Ví dụ 2: Cho dãy số  un  :  3un 1  1 . Xét tính tăng, giảm của dãy số  un  . un  4 , n  2 Hướng dẫn giải Dãy số này cho bởi công thức truy hồi. Ta dự đoán dãy số giảm dựa trên việc thử giá trị ban đầu uk  1 3un 1  1 1  un 1 Ta có un  un 1   un 1  4 4 Để chứng minh dãy  un  giảm, ta chứng minh un  1, n  1 bằng phương pháp quy nạp. Thật vậy. Với n  1  u1  2  1 (đúng). 3uk  1 3  1 Giả sử uk  1  uk 1   1 4 4 Theo nguyên lí quy nạp ta có un  1, n  1. Suy ra un  un 1  0  un  un 1 , n  2 hay dãy  un  là dãy số giảm.  a1  1 Ví dụ 3: Cho dãy  an  được xác định bởi  . Xét tính tăng giảm của dãy số  an  .  an 1an  an  1 2 Hướng dẫn giải 1 Ta có an 1.an  an2  1  an 1  an  Ta đi chứng minh an  0 với mọi n  * an . Thật vậy.  Với n  1 thì an  1  0 (đúng). 1  Với n  2 thì a2  a1   2  0 (đúng). 2 Giả sử an  0 đúng với n  k ta chứng minh nó cũng đúng với n  k  1 1 Ta có ak 1  ak  là tổng của hai số dương nên nó cũng dương. ak Do đó an  0 đúng với n  k  1 . Suy ra an  0 với mọi n  * . Vậy an 1  an  0  an 1  an . Do đó dãy  an  là một dãy tăng. TOANMATH.com Trang 18
n   1 n Ví dụ 4: Xét tính tăng, giảm của dãy số un  n2 Hướng dẫn giải 1 2 u  u1 Ta có u1  0; u2  ; u3    2 2 9 u3  u2  Dãy số không tăng, không giảm. Bài toán 2. Xét tính bị chặn của dãy số Phương pháp giải Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.  Dãy số  un  có un  f  n  là hàm số có biểu thức. Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un  f  n   M, n  * hoặc un  f  n   m, n  *  Dãy số  un  có un  v1  v2  ...  vk  ...  vn (tổng hữu hạn). Ta làm trội kiểu vk  ak  ak 1 Lúc đó un   a1  a2    a2  a3   ...  an  an 1  . Suy ra un  a1  an 1  M, n  * ak 1  Dãy số  un  có un  v1 .v2 .v3 ....vn với vn  0, n  * (tích hữu hạn). Ta làm trội kiểu vk  . ak a2 a3 an 1 Lúc đó un  . ... a1 a2 an an 1 Suy ra un   M, n  * . a1 Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nếu dãy số  un  được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh. Chú ý: Nếu dãy số  un  giảm thì nó bị chặn trên, dãy số  un  tăng thì nó bị chặn dưới. Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn  Dãy số  un  có un  q n  q  1 bị chặn.  Dãy số  un  có un  q n  q  1 không bị chặn.  Dãy số  un  có un  q với q  1 bị chặn dưới.  Dãy số  un  có un  an  b bị chặn dưới nếu a  0 và bị chặn trên nếu a  0 .  Dãy số  un  có un  an2  bn  c bị chặn dưới nếu a  0 và bị chặn trên nếu a  0 .  Dãy số  un  có un  am n m  am 1n m 1  ...  a1n  ao bị chặn dưới nếu am  0 và bị chặn trên nếu am  0 . TOANMATH.com Trang 19
   Dãy số  un  có q n am n m  am 1n m 1  ...  a1n  ao với am  0 và q  1 không bị chặn.  Dãy số  un  có un  am n m  am 1n m 1  ...  a1n  ao bị chặn dưới với am  0 .  Dãy số  un  có un  3 am n m  am 1n m 1  ...  a1n  ao bị chặn dưới với am  0 và bị chặn trên nếu am  0. P  n  Dãy số  un  có un  trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P(n) nhỏ Q n hơn hoặc bằng bậc của Q(n). P  n  Dãy số  un  có un  trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, chỉ bị chặn dưới hoặc bị chặn Q n trên nếu bậc của P(n) lớn hơn bậc của Q(n). Ví dụ mẫu 1 Chú ý: Dãy số  un  có bậc Ví dụ 1: Cho dãy số  un  biết un  . Xét tính bị chặn dãy số  un  . 2n  3 của tử thấp hơn bậc của mẫu Hướng dẫn giải thì bị chặn. Ta có 1 1 1 1 2n  3  5, n  *  0   , n  *     0, n  * 2n  3 5 5 2n  3 1   un  0. Suy ra dãy số  un  bị chặn. 5 Chú ý: Dãy số  un  có bậc 4n  5 Ví dụ 2: Cho dãy số  un  biết un  . Xét tính bị chặn dãy số  un  của tử bằng bậc của mẫu thì n 1 bị chặn. Hướng dẫn giải 4n  5 Ta có un   0, n  * n 1 4n  5 4  n  1  1 1 1 9 un    4  4   , n  * n1 n1 n1 2 2 9 Suy ra 0  un  , n  * 2 Vậy dãy số  un  bị chặn. 1.3.5...  2n  1 Ví dụ 3: Cho dãy số  un  biết un  . Xét tính bị chặn dãy số  un  . 2.4.6.2 n Hướng dẫn giải  2k  1 2 2k  1 2k  1 2k  1 Xét    , k  1. 2k 4k 2  1  2k  1 2k  1 2k  1 TOANMATH.com Trang 20