TÓM TẮT CÔNG THỨC HÌNH HỌC 12

Chia sẻ: Nguyen Van Huy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

7.784
lượt xem 1.211
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÓM TẮT CÔNG THỨC HÌNH HỌC 12

HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12 I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG AB AC 1. sin α = (ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos α = (KỀ chia HUYỀN) BC BC A AB AC α= α= (ĐỐI chia KỀ) 4. cot (KỀ chia ĐỐI) 3. tan AC AB II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2 α B C 2. AB2 = BH.BC 3. AC2 = CH.BC H 1 1 1 = + 4. AH2 = BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6. 2 AB AC2 2 AH III. ĐỊNH LÍ CÔSIN 1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 – 2accosB 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC a b c A = = = 2R IV. ĐỊNH LÍ SIN sin A sin B sin C V. ĐỊNH LÍ TALET MN // BC N M AM AN MN AM AN = = = a) ; b) B C AB AC BC MB NC VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG 1. Tam giác thường: 1 p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rông) ah a) S = b) S = 2 c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) a3 a2 3 2. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = ; b) S = 2 4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 1 ab (a, b là 2 cạnh góc vuông) 3. Tam giác vuông: a) S = 2 b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): 12 a (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2 a) S = 2 5. Nửa tam giác đều: A a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o a2 3 a3 b) BC = 2AB c) AC = d) S = 8 2 60 o 30 o B C 1 6. Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 2 b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) 1 d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo) 8. Hình thoi: S= 2 THPT QT 1 www.thaydo.net
b) Đường chéo bằng a 2 9. Hình vuông: a) S = a2 10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) A 11. Đường tròn: a) C = 2 π R (R: bán kính đường tròn) b) S = π R2 (R: bán kính đường tròn) VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC N M 1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm G 2 1 C B b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN P 3 3 2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy). Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều .Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 3. Đường thẳng d vuông góc với mp( α ): d ⊥ a; d ⊥ b a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp( α ) Tức là: a b d ⊥ (α ) a,b �α (α) ⊥ (β) d ⊥ (α ) b) (α) �(β) = a d a ⊥ d �(β) A c) Đt d vuông góc với mp( α ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp( α ) 4. Góc ϕ giữa đt d và mp( α ): d cắt ( α ) tại O và A d AH ⊥ (α) O ϕ thì góc giữa d và ( α ) là ϕ hay AOH = ϕ ˆ N ếu d' H � α)( H α β 5. Góc giữa 2 mp( α ) và mp( β ): F (α) �(β) = AB Nếu FM ⊥ AB;EM ⊥ AB E B EM �(α),FM �(β) ϕ M thì góc giữa ( α ) và ( β ) là ϕ hay EMF = ϕ ˆ α A 6. Khoảng cách từ điểm A đến mp( α ): Nếu AH ⊥ ( α ) thì d(A, ( α )) = AH (với H ( α )) IX. KHỐI ĐA DIỆN: 1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) 1 Bh (diện tích đáy là đa giác) 2. Thể tích khối chóp: V= 3 THPT QT 2 www.thaydo.net
VS.A B C SA SB SC = . . 3. Tỉ số thể tích của khối chóp: VS.ABC SA SB SC Sxq = πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) 4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay: 1 V = Bh (diện tích đáy là đường tròn) 5. Thể tích của khối nón tròn xoay: 3 Sxq = 2 πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) 6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: V = Bh = πR 2 h ( h: chiều cao khối trụ) 7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: S = 4 πR 2 (R: bk mặt cầu ) 8. Diện tích của mặt cầu: 43 V = πR (R: bán kính mặt cầu) 9. Thể tích của khối nón tròn xoay: 3 THPT QT 3 www.thaydo.net
PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN I. CÔNG THỨC VECTƠ: x A +x B +x C  G = x ℵ. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3   a = ( a1 ; a 2 ; a3 ) y A +y B +yC  G = y  b = ( b1; b 2 ; b3 ) 3 và k ∈ R  z A +z B +zC  G = Ta có: z  3  1) a ± b = ( a1 ± b1; a 2 ± b2 ; a 3 ± b3 )  2) ka = ( ka 1; ka 2 ; ka 3 ) 4) G là trọng tâm tứ diện ABCD   3) a.b = a1b1 + a 2 b2 + a 3 b3 ⇔ GA + GB + GC + GD = 0 x A + x B + xC + X D   4) a = a1 + a 2 + a 3 2 2 2 x G = 4    5) Tích có hướng của hai vectơ a và b là y + y B + yC + y D  ⇔ y G = A [ a, b ] =  a b    a a 3 a 1 a 1a 2 4   2 3 ; ; b  z A + z B + zC + z D  b3 b1 b1b 2  23  z G = [] ()    4  a , b = a . b .Sin a , b 6) 5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta có: a1 = b1 x A −kx B  x M = 1−k   7) a = b ⇔ a 2 = b 2  y A −ky B  a = b , k ≠1 M= y 3 1−k 3  []     z A −kz B  8) a cùng phương b ⇔ a , b = 0  M = 1−k z [] []      9) a ⊥ a , b hay b ⊥ a , b 6) I là trung điểm của đoạn AB thì: []   a , b , c đồng phẳng ⇔ a , b .c = 0 10) xA + xB   x I = 11) a ⊥b ⇔ a1b1 + a 2 b 2 + a 3 b3 = 0 2  y A + yB  ↑ Ứng dụng của vectơ: y I = [ ] 2 1  S ∆ABC = . AB, AC • z A + z2  2 z I = [ ] 2  VHoäpABCDA B C D = AB, AD .AA / • III. MẶT PHẲNG: / / / / . 1) Giả sử mp ( α ) có cặp VTCP là : [ ] 1  a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) VTöùdieänAB = . AB, AC .AD • CD 6  b = ( b1; b 2 ; b3 ) II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM: Trog không gian Oxyz cho A( x A ; y A ; z A ) Nên có VTPT là: B( x B ; y B ; z B )     a 2 a 3 a 3 a 1 a 1a 2  [] n = a, b =   b b ;b b ;b b  1) AB = ( x B − x A ; y B − y A ; zB − z A )  2 3 31 1 2 2) Phương trình tổng quát của mp ( α ) có 2) ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( zB − z A ) 2 2 2 AB = dạng: Ax + By + Cz + D = 0 3) G là trọng tâm ∆ABC , ta có: Với A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ; trong đó  n = ( A; B; C ) là VTPT của mp ( α ) 3) Phương trình các mặt phẳng toạ độ: THPT QT 4 www.thaydo.net
• Mp ( β) ⊥ AB. Nên có VTPT là AB đi ♦ (Oxy) : z = 0 ; (Ozy) : x = 0 ♦ (Oxz) : y = 0 qua I là trung điểm của AB 4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt • Kết luận. nhau: ( α 1 ) : A1 x + B1 y + C 1z + D1 = 0 Vấn Đề 5: Viết phương tình mp ( β ) đi qua ( α 2 ) : A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và song song với mặt P.tr của chùm mp xác định bởi ( α 1 ) và ( α 2 ) phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 P.pháp: là: • ( β ) //( α ) . Nên phương trình ( β ) có λ ( A1x + B1y + C1z + D1) + µ ( A2x + B2y + C2z + D2 ) = 0 dạng: với λ2 + µ 2 ≠ 0 Ax + By + Cz + D / = 0 5) Các vấn đề viết phương trình mặt • M 0 ∈ ( β) ⇒ D / phẳng: Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng • Kết luận P.Pháp: Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi  • Tìm VTPT n = ( A; B; C ) và điểm đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q) qua M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 ) P.Pháp: • Mp (P) có cặp VTCP là: AB và VTPT • dạng:  A( x − x 0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 của (Q) là n Q [ ]   Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng • Mp (P) có VTPT là n = AB, n Q và qua qua ba điểm A, B, C A P.Pháp: • Kết luận. Vấn Đề 7: Viết phương trình mp ( α ) đi • Tính AB, AC [ ]  qua các điểm là hình chiếu của điểm • Mp (ABC) có VTPT là n = AB, AC M ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) trên các trục toạ độ. và qua A P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình • Kết luận. Vấn Đề 3: Viết phương trình mp ( α ) đi chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0) qua điểm A và vuông góc BC y x z P.Pháp: * Phương trình mp ( α ) là: ++ =1 Mp ( α ) ⊥ BC. Nên có VTPT là BC qua A x0 y z0 Vấn Đề 8: Viết phương trình mp ( α ) đi Chú ý:  • Trục Ox chứa i = ( 1 0;0) ; qua điểm M0 và vuông góc với hai mặt  • Trục Oy chứa j = ( 0;1 0) phẳng (P) và (Q). ;  P.Pháp: • Trục Oz chứa k = ( 0;0;1)  • (P) có VTPT là n P Vấn Đề 4: Viết phương tình mp ( β ) là  • (Q) có VTPT là n Q mặt phẳng trung trực của AB. • Mp ( α ) có VTPT là [ n P , n Q ] và qua Mo  P.Pháp: • Kết luận. • ϑ Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A. P.Pháp: • Xác định tâm I của mặt cầu (S) • Mặt phẳng ( α ) : Mp tiếp diện có VTPT : IA • Viết phương trình tổng quát. THPT QT 5 www.thaydo.net
IV. ĐƯỜNG THẲNG: Viết phương trình tổng quát về phương trình ϑ Phương trình đường thẳng: tham số Hoặc chính tắc. Ta tìm:  - VTCP u = ( a1; a 2 ; a 3 ) bằng vấn đề 11 1) Phương trình tổng quát của đường thẳng:  A1 x + B1 y + C 1z + D1 = 0 - Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị  nào đó. Giải hệ tìm x, y => z  A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 - Có điểm thuộc đường thẳng với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 - Kết luận. 2) Phương trình tham số của đường thẳng đi ϑ Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng ∆ đi qua qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) có VTCP điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với mặt  a ( a1; a 2 ; a 3 ) là: phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0  x = x 0 + a1t P.Pháp:   Mp ( α ) có VTPT là n = ( A; B; C )  ( t ∈ R)  y = y 0 + a 2t Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 và có VTCP là z = z + a t   n 0 3 • Viết phương trình chính tắc => Ptr 3) Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm M0 có VTCP: a ( a1; a 2 ; a 3 ) là tổng quát ϑ Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu x − x 0 y − y 0 z − z0 của d trên mp ( α ) = = Với a1 a2 a3 P.Pháp: • Gọi d/ là hình chiếu của d trê mp ( α ) a1 + a 2 + a 3 ≠ 0 2 2 2 • Gọi ( β ) là mặt phẳng chứa d và ( β ) ⊥( α ) Σ Qui ước: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0 • Nên ( β ) có cặp VTCP là ϑ Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đường thẳng   tổng quát. • VTCP của d là u d và n α là VTPT của mặt  A1 x + B1 y + C 1z + D1 = 0 phẳng ( α ) ∆:    Mp ( β ) có VTPT n β = [ u d , n α ]  A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 • Mp ( β ) đi qua điểm M0 ∈ d P.Pháp: •   B1C1 C1 A1 A1 B1  • Viết phương trình tổng quát của Mp ∆ có VTCP là : a =   ; ;  B2 C 2 C 2 A2 A1 B2  ( β)   ( α ) : ϑ Vấn Đề 2: Viết phương trình đường Phương trình đường thẳng d/:  • thẳng ∆ : ( β) : P.Pháp:  Cần biết VTCP a = ( a1; a 2 ; a 3 ) và ϑ Vấn Đề 5: Viết phương trình đường • thẳng d qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ ∆ góc với hai đường ∆ 1 và ∆ 2 • Viết phương trình tham số theo công P.Pháp: thức (2)  • ∆ 1 có VTCP u1 • Viết phương trình chính tắc theo  • ∆ 2 có VTCP u 2 công thức (3) • Viết phương trình tổng quát. thì từ • d vuông góc với ∆ 1 và ∆ 2 . Nên d có VTCP   phương trình chính tắc , ta có phương trình là u d = [ u1 , u 2 ] tổng quát: ϑ Vấn Đề 6: Viết phương trình đường  x − x0 y − y0 = thẳng d đi qua điểm A và cắt cả hai đường a a2 1 ∆ 1 và ∆ 2 .   x − x 0 = z − z0 P.Pháp: • Thay toạ độ A vào phương trình ∆ 1 và ∆ 2  a1 a3  ⇒ A ∉ ∆ 1, A ∉ ∆ 2 • Rút gọn về dạng (1) Σ Chú ý: THPT QT 6 www.thaydo.net
Gọi ( β ) là mặt phẳng chứa • Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa • ∆1 ∆ 2 và có một VTCP là n P ( VTPT của (P) ) Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β ) • Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa • ∆2 ϑ Vấn Đề 11: Viết phương trình đường ( P ) : thẳng d đi qua điểm M0 vuông góc với đường • P.tr đường thẳng d:  thẳng ∆ 1 và cắt đường thẳng ∆ 2 ( Q ) : P.Pháp: ϑ Vấn Đề 7: Viết phương trình đường • Gọi ( α ) là mặt phẳng đi qua M0 và vuông thẳng d ⊂ ( P ) cắt cả hai đường ∆ 1 và ∆ 2 . góc ∆ 1 P.Pháp: • Gọi ( β) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và • Gọi A = ∆ 1 ∩ ( P ) • Gọi B = ∆ 2 ∩ ( P ) chứa ∆ 2 • Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β ) • Đường thẳng chính là đường thẳng AB ϑ Vấn Đề 12: Viết phương trình đường ϑ Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d // d1 và cắt cả hai đường ∆ 1 và ∆ 2 . thẳng d đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( α ) và d ⊂ ( α ) , d⊥∆ P.Pháp P.Pháp: • Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆ 1 và (P) // d1  Gọi { A} = ∆ ∩ ( α ) • Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ 2 và (Q) // d1  Gọi ( β) là mặt phẳng đi qua A và • d = ( P) ∩ (Q) vuông góc với ∆ . Nên ( β ) có VTPT ( P ) : là VTCP của ∆ • Phương trình đường thẳng d  ( Q ) : Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β ) ϑ Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo V. MẶT CẦU: nhau ∆ 1 và ∆ 2 . 1. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán P.Pháp: kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2   • Gọi u1 và u 2 lần lượt là VTCP của ∆ 1 và 2. Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 - ∆2 2ax - 2by -2cz + d = 0 với đk a2 + b2 + c2 –d >   • Gọi v = [ u1 , u 2 ] 0 thì (S) có : Tâm I(a ; b ; c) • Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆ 1 và có một Bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d   VTCP là v . Nên có VTPT là n P = [ u1 , v ] ⇒ ϑ Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu  phương trình mặt phẳng (P) Cần: P.Pháp: • Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ 2 và có một • Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu   VTCP là v . Nên có VTPT là n Q = [ u 2 , v ]  • Bán kính R • Viết phương trình mặt cầu ⇒ phương trình mặt phẳng (Q) (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 • Phương trình đường vuông góc chung ϑ Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu ( P ) : đường kính AB của ∆ 1 và ∆ 2 :  ( Q ) : P.Pháp:  • Gọi I là trung điểm của AB. Tính toạ ϑ Vấn Đề 10: Viết phương trình đường độ I => I là tâm mặt cầu thẳng d vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 1 • Bán kính R = AB 2 P.Pháp: ( α ) là mặt phẳng chứa • • Viết phương trình mặt cầu Gọi ∆ 1 và có một VTCP là n P ( VTPT của (P) ) THPT QT 7 www.thaydo.net
 ϑ Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) • Gọi u và u / lần lượt là VTCP của có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với ( α ) : Ax + By ∆ và ∆/ + Cz + D = 0 • ∆ đi qua điểm M0 , M 0 ∈ ∆ / / P.Pháp: []  • Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với u , u / .M 0 M 0 / ( α ) . Nên có bán kính d ( ∆ , ∆/ ) = [] R = d ( I , ( α) )  • u, u / Ax I + By I + Cz I + D = VII.GÓC:   A + B +C 2 2 2 1. Góc giữa hai vectơ a và b   Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a và b • Viết phương trình mặt cầu  ϑ Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) a1b1 + a 2 b2 + a 3b3 a.b ngoại tiếp tứ diện ABCD Cos ϕ =   = a1 + a 2 + a 3 . b1 + b2 + b3 a .b 2 2 2 2 2 2 P.Pháp: • Phương trình mặt cầu (S) có dạng 2. Góc giữa hai đường thẳng (a) và (b) x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 0 Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng (a) và (b) ( 0 ≤ ϕ ≤ 90 ) • A, B, C, D thuộc (S). Ta có hệ 0 phương trình Đường thẳng (a) và (b) có VTCP lần lượt là : • Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D  a = ( a1 , a 2 , a 3 ) • Kết luận  b = ( b1 , b2 , b3 ) ϑ Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu đi  qua ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt a.b a1b1 + a 2 b2 + a 3b3 phẳng Oxy Cos ϕ =   = P.Pháp: a1 + a 2 + a 3 . b1 + b2 + b3 a .b 2 2 2 2 2 2 • Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm của mặt cầu,  I ∈ ( Oxy )  Đặc biệt: a⊥b ⇔ a.b = 0 3. Góc giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( α / ) • Ta có AI2 = BI2 = CI2 ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0  AI 2 = BI 2 ( α / ) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0 • Ta có Hpt  2  AI = CI 2 Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( α / ) • Giải Hpt ⇒ I ⇒ IA = R AA / + BB / + CC / • Kết luận Cos ϕ = VI. KHOẢNG CÁCH: A2 + B 2 + C 2 . A/ 2 + B / 2 + C / 2 1) Khoảng cách giữa hai điểm AB 4. Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng ( α ) AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) 2 2 2  (d): có VTCP là u = (a, b, c) ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 Gọi ϕ là góc nhọn giữa (d) và ( α ) Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D Aa + Bb + Cc d ( M 0 ,( α) ) = Sinϕ = A2 + B 2 + C 2 A2 + B2 + C 2 . a2 + b2 + c2 3) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d • Lấy M0 ∈ d 5. Vị trí tương đối giữa mp ( α ) và mặt cầu  • Tìm VTCP của đường thẳng d là u (S) có tâm I, bán kính R [ ]  P.Pháp: M 0 M1,u • Tính d(I, ( α ) ) d ( M1, d ) =  • Nếu d(I, ( α ) ) > R => ( α ) không cắt (S) u • Nếu d(I, ( α ) ) = R => ( α ) tiếp xúc (S) 4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆/ THPT QT 8 www.thaydo.net
• Nếu d(I, ( α ) ) < R => ( α ) cắt (S) theo một Gọi d/ là đường thẳng đi qua tâm I và d / ⊥( α ) Gọi { H } = d / ∩ ( α ) ⇒ H là tâm đường tròn đường tròn giao tuyến có bán kính r = R 2 − [ d( I ,( α) ) ] 2 giao tuyến 5. Tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt cầu (S) P.Pháp: * Viết phương trình đường ∆ về dạng phương trình tham số * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình () theo t ♦ Nếu ptr () vô nghiệm => ∆ không cắt mặt cầu (S) ♦ Nếu ptr () có nghiệm kép => ∆ cắt (S) tại một điểm Nếu ptr () có hai nghiệm => ∆ cắt (S) tại hai điểm. Thế t = ... vào phương trình tham số của ∆ => Tọa độ giao điểm ϑ Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng của M qua mặt phẳng ( α ) P.Pháp: • Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) là điểm đối xứng của M qua ( α )  • Gọi d là đường thẳng đi qua M và d⊥( α ) . Nên d có VTCP là n • Viết phương trình tham số của d • Gọi { H } = d ∩ ( α ) ( d ) : Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình  • => Tọa độ điểm H ( α ) : • Vì H là trung điểm của MM/ => Tọa độ điểm M/ ϑ Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng của M0 qua đường thẳng d P.Pháp: Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ )  Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và ( P ) ⊥d . Nên (P) nhận VTCP của d làm VTPT  Gọi { H } = d ∩ ( P )  M/ là điểm đối xứng của M0 qua đường thẳng d. Nên H là trung điểm của đoạn M0M/   x0 + x / x H = 2  y0 + y /  Ta có:  y H = => M/ 2   z + z/ zH = 0  2  THPT QT 9 www.thaydo.net