CHUYEÂN ÑEÀ 10: HÌNH CAÀU
TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC
(1) Phöông trình maët caàu
1) Phöông trình maët caàu (S) coù taâm I(a, b, c) baùn kính R laø
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
2) Daïng toång quaùt cuûa phöông trình maët caàu laø
x
2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
seõ coù taâm I(a, b, c) baùn kính R = 222
abcd
+
+−
neáu ta coù ñieàu kieän
a2 + b2 + c2 – d > 0
3) Ñieàu kieän tieáp xuùc giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) coù taâm I baùn kính R laø khoaûng
caùch töø I ñeán (P) baèng baùn kính R.
Ví duï 1:
Laäp phöông trình maët caàu coù taâm I(2, 3, –1) caét ñöôøng thaúng (d)
54320
34 80
xyz
xyz
−++=
⎧
⎨−+−=
⎩
0
taïi hai ñieåm A vaø B sao cho AB = 16
Giaûi
Goïi (P) laø maët phaúng qua I vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d). Ta coù phöông trình tham soá ñöôøng
(d) laø
14
12
22
xt
yt
zt
=−
⎧
⎪
⎪=−
⎨
⎪=−
⎪
⎩
5
Goïi (P) laø maët phaúng qua I(2, 3, –1) vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d) neân coù phaùp vectô laø a
G
=
1
1, , 1
2
⎛
−
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
. Vaäy phöông trình (P) vieát
(x – 2) + 1
2(y – 3) - (z + 1) = 0
⇔
2x + y – 2z – 9 = 0
Giao ñieåm K giöõa (d) vaø (P) coù toïa ñoä
(
t – 14, 1
2t – 25
2, –t
)
thoûa phöông trình (P). Vaäy ta coù
1
2(t – 14) +
(
1
2t – 25
2
)
+2t – 9 = 0
Suy ra t = 11. Vaäy ta coù K (–3, –7, –11).
Khoaûng caùch töø I ñeán (d) laø IK = 25 100 100++ = 15
Do ñoù baùn kính maët caàu laø R =
2
2
4
A
B
IK + = 225 64+
Neân phöông trình maët caàu vieát laø :
(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289
Ví duï 2:
Laäp phöông trình maët caàu coù taâm thuoäc ñöôøng thaúng (d)
24 70
4 5 14 0
xyz
xyz
+−−=
⎧
⎨++−=
⎩
vaø tieáp xuùc vôùi hai maët phaúng coù phöông trình
(P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ; (Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0
Giaûi
Ta coù (P) // (Q) neân khi goïi A, B laø giao ñieåm cuûa (d) vôùi (P) vaø (Q) thì taâm I maët caàu tieáp xuùc
vôùi (P) vaø (Q) phaûi laø trung ñieåm ñoaïn AB vaø baùn kính maët caàu baèng khoaûng caùch töø I ñeán (P).
Ta coù toïa ñoä A laø nghieäm cuûa heä
A(2, 1, 1)
24 70
45 14
2220
xyz
xyz
xyz
+−−=
⎧
⎪++−=
⎨
⎪+−−=
⎩
0
0
⇒
Ta coù toïa ñoä B laø nghieäm cuûa heä
B(–4, 5, 5)
24 70
45 14
2240
xyz
xyz
xyz
+−−=
⎧
⎪++−=
⎨
⎪+−+=
⎩
⇒
Vaäy taâm maët caàu laø I(–1, 3, 3) vaø baùn kính R = 1
Neân phöông trình maët caàu vieát thaønh
(x + 1)
2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 1.
Ví duï 3 ( ÑH KHOÁI D –2004) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 3 ñieåm
A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) vaø maët phaúng (P): x + y + z – 2 = 0. Vieát phöông trình maët caàu ñi qua 3
ñieåm A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P).
Giaûi
2
Caùch 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Maët caàu qua A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P)
neân ta coù:
⇔
++=−
⎧
⎪+=−
⎪
⎨+++=−
⎪
⎪++=−
⎩
4a 2c d 5
2a d 1
2a 2b 2c d 3
abc 2
=−
⎧
⎪=
⎪
⎨=−
⎪
⎪=
⎩
a1
b0
c1
d1
⇔ x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + 1 = 0
Caùch 2: Goïi I(x; y; z) laø taâm maët caàu
Giaû thieát cho:
22
IA IB IC
I(P)
⎧==
⎪
⎨∈
⎪
⎩
2
2
⇔
⎧−++−=−++
⎪
⎪−++=−+−+−
⎨
⎪++−=
⎪
⎩
22 2 222
222 2 2
(x 2) y (z 1) (x 1) y z
(x 1)
y
z(x1)(
y
1) (z 1)
xyz20
⇔ ⇔ ⇒ I (1; 0; 1)
+−=
⎧
⎪+=
⎨
⎪++−=
⎩
2x 2z 4 0
yz1
xyz20
x1
y0
z1
=
⎧
⎪=
⎨
⎪=
⎩
Baùn kính R = IB = 1
Suy ra phöông trình maët caàu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1
Ví duï4 ( Ñeà Döï Tröõ KHOÁI D -2002) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng
thaúng d : vaø maët caàu
⎩
⎨
⎧
=−−+
=+−−
04z2y2x
01zy2x2
(S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0. Tìm m ñeå ñöôøng thaúng d caét maët caàu (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho khoaûng
caùch giöõa hai ñieåm ñoù baèng 9.
Giaûi
Phöông trình maët caàu (S) : (x + 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 13 – m
ÑK : m < 13
(S) coù taâm I(−2; 3; 0), R = 13 m−.
Vì MN = 9 ⇒ HM = HN = 9
2 (IH ⊥ MN)
(d) cho x = 0 ⇒ ⇒
2y z 1 0
2y 2z 4 0
−−+=
⎧
⎨−−=
⎩
y1
z1
=
⎧
⎨
=
−
⎩⇒ A(0; 1; −1)
(d) coù ⇒ = 3(2; 1; 2)
1
2
n (2, 2, 1)
n(1,2,2)
→
→
⎡=−−
⎢
⎢=−
⎢
⎣
a
→
I
⎯
→ = (−2; 2; 1), [
A
I
⎯
→, ] = (9; 18; − 18) = 9(1; 2; − 2) a
→
IH = d(I, d) =
⎯→ →
→
⏐
⏐++
==
++
⏐⏐
[AI,a] 9 1 4 4 3
34 1 4
a
.
Δ vuoâng IHN ta coù :
IM2 = IH2 + HN2 ⇔13 – m = 9 + 81 117
44
=
3
⇔ m = 65
4
−.
Ví duï 5 ( ÑEÀ DÖÏ TRÖÕ KHOÁI D -2003) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng
(P) : 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 (m laø tham soá) vaø maët caàu
(S) : (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 9
Tìm m ñeå maët phaúng (P) tieáp xuùc vôùi maët caàu (S). Vôùi m tìm ñöôïc haõy xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm cuûa maët
phaúng (P) vaø maët caàu (S).
Giaûi
Maët caàu (S) coù taâm I(1; −1; 1), baùn kính R = 3.
Maët phaúng P tieáp xuùc vôùi (S) ⇔ d(I: P) = R
⇔ 1443m3m122 2++=−−+−
⇔ m2 + 3m – 1 = 9 hay m2 + 3m – 1 = −9
⇔ m2 + 3m – 10 = 0 hay m2 + 3m + 8 = 0 (VN)
⇔ m = −5 hay m = 2 ⇒ (P) : 2x + 2y + z – 10 = 0
Phöông trình ñöôøng thaúng Δ qua I vaø ⊥ (P) :
x12t
y12
z1t
=+
⎧
⎪
Δ=−+
⎨
⎪=+
⎩
t
Theá vaøo phöông trình mp (P)
⇒ 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) + 1 + t – 10 = 0 ⇒ t = 1
⇒ Tieáp ñieåm M cuûa P vaø (S) laø M(3; 1; 2).
Caùch khaùc IM2 = 9 ⇔ 4t2 + 4t2 + t2 = 9 ⇒ t =
±
1
⇒ M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M∈ P ⇒ M(3; 1; 2)
PHAÏM HOÀNG DANH-TRAÀN MINH QUANG –TRAÀN VAÊN TOAØN
( TRUNG TAÂM LUYEÄN THI CLC VÓNH VIEÃN )
4