Tóm tắt công thức về Xác suất - Thống kê

Tóm tắt công thức -1- Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất 1. Xác suất cổ điển  Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).  A1, A2,…, An xung khắc từng đôi  P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).  Ta có o A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B). o A, B, C xung khắc từng đôi  P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). o P ( A)  1  P( A) . P( AB) P( AB)  Công thức xác suất có điều kiện: P( A / B)  , P( B / A)  . P( B) P( A)  Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).  A1, A2,…, An độc lập với nhau  P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An).  Ta có o A, B độc lập  P(AB)=P(A).P(B). o A, B, C độc lập với nhau  P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).   k Công thức Bernoulli: B(k ; n; p)  Cn p k q nk , với p=P(A): xác suất để biến cố A xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép phân  A . A  i  j;i, j 1, n  hoạch của    i j  A1  A2  ...  An    o Công thức xác suất đầy đủ: n P ( B )   P ( Ai ).P ( B / Ai ) P ( A1 ).P ( B / A1 )  P ( A2 ).P ( B / A2 )  ...  P( An ).P( B / An ) i 1 o Công thức Bayes: P( Ai ).P( B / Ai ) P( Ai / B)  P( B) với P ( B )  P ( A1 ).P ( B / A1 )  P ( A2 ).P( B / A2 )  ...  P( An ).P( B / An ) 2. Biến ngẫu nhiên a. Biến ngẫu nhiên rời rạc  Luật phân phối xác suất X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn với pi  P ( X  xi ), i  1, n. Ta có: n  pi  1 và P{a  f(X)  b}=  i 1 pi a f(xi b -1- XSTK Tóm tắt công thức -2 Hàm phân phối xác suất FX ( x )  P ( X  x)   pi xi  x    Mode ModX  x0  p0  max{ pi : i  1, n} Median   pi  0,5  P ( X  xe )  0, 5  x x MedX  xe   i e  P ( X  xe )  0,5   pi  0, 5  xi  xe Kỳ vọng n EX   ( xi . pi ) x1. p1  x2 . p2  ...  xn . pn i 1 n E ( ( X ))   ( ( xi ). pi )  ( x1 ). p1   ( x2 ). p2  ...   ( xn ). pn i 1  Phương sai VarX  E ( X 2 )  ( EX )2 n 2 2 2 2 với E ( X )   ( xi2 . pi ) x1 . p1  x2 . p2  ...  xn . pn i 1 b. Biến ngẫu nhiên liên tục.   f(x) là hàm mật độ xác suất của X   f ( x)dx  1 ,  b P{a  X  b}   f ( x).dx a  Hàm phân phối xác suất x FX ( x )  P ( X  x )   f (t )dt     Mode ModX  x0  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x0. Median xe 1 1 MedX  xe  FX ( xe )    f ( x )dx  . 2 2  Kỳ vọng  EX   x. f ( x)dx .   E ( ( X ))    ( x). f ( x)dx  -2- XSTK Tóm tắt công thức -3 Phương sai  VarX  E ( X 2 )  ( EX )2 với EX 2   x 2 . f ( x)dx .  c. Tính chất - E (C )  C ,Var (C )  0 , C là một hằng số. - E (kX )  kEX ,Var (kX )  k 2VarX - E (aX  bY )  aEX  bEY - Nếu X, Y độc lập thì E ( XY )  EX .EY ,Var (aX  bY )  a 2VarX  b 2VarY -  ( X )  VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX. 3. Luật phân phối xác suất a. Phân phối Chuẩn ( X ~ N (;  2 ))  X ()   , EX=ModX=MedX=  , VarX   2 Hàm mđxs f ( x,  ,  )    1  2 e ( x  )2 2 2  Với   0,  1: x2 1 2 f ( x)  e (Hàm Gauss) 2 t2 x 1 2 b  a  P (a  X  b)  ( )  ( ) với ( x)   e dt (Hàm Laplace)   2 0   Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Tính x ( x)   0 x t2 1 2 e dt 2 Shift 3 2 x ) = Shift 1 7 2 x ) = Shift 3 1 x ) = Shift 1 7 1 x ) = Mode 1 Mode 1 t2 1 2 F ( x)   e dt 2  Thoát khỏi gói Thống kê Lưu ý: F ( x )  0,5  ( x ) b. Phân phối Poisson ( X ~ P())  X ()   , EX  VarX   .ModX=k   -1  k    P(X=k)=e  k ,k   k! -3- XSTK -4- Tóm tắt công thức c. Phân phối Nhị thức ( X ~ B(n; p ))  X ()  {0..n} , EX=np, VarX=npq, ModX=k  (n  1) p  1  k  (n  1) p  P(X=k)=Ck . p k .q nk ,q   p0  k  n,k   n  Nếu (n  30;0,1  p  0,9; np  5, nq  5) thì X ~ B (n; p)  N (;  2 ) với    n. p,  npq 1 k   P (X=k)  f ( ),0  k  n,k     b  a   P (a  X20n N p= A , q=1-p N n30, np<5 p0,1  =np Nhị thức: X~B(n;p) k n k P ( X  k )  C . p .q n k Poisson: X~ P ( )  k  P( X  k )  e k! n30, np  5 , nq  5 0,1