TỔNG HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN PID ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG

Chia sẻ: Le Thuy Duong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

675
lượt xem 234
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

TỔNG HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN PID ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG ThS. LÊ THỊ TUYẾT NHUNG Bộ môn Điều khiển học Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Bài báo đề cập tới tiêu chí đánh giá ổn định bền vững (Quantitative robust stability). Tiêu chí được đề xuất kết hợp chặt chẽ cả thông tin về biên độ và góc pha của hệ thống bất định, được dùng để xây dựng bộ điều khiển PID bền vững tương ứng với trường hợp xấu nhất về độ dự trữ biên độ và pha. Cuối cùng các kết quả mô phỏng được...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TỔNG HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN PID ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG

TỔNG HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN PID ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG ThS. LÊ THỊ TUYẾT NHUNG Bộ môn Điều khiển học Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Bài báo đề cập tới tiêu chí đánh giá ổn định bền vững (Quantitative robust stability). Tiêu chí được đề xuất kết hợp chặt chẽ cả thông tin về biên độ và góc pha của hệ thống bất định, được dùng để xây dựng bộ điều khiển PID bền vững tương ứng với trường hợp xấu nhất về độ dự trữ biên độ và pha. Cuối cùng các kết quả mô phỏng được giới thiệu nhằm minh hoạ cho phương pháp vừa được đề xuất. Summary: The Quantitative robust stability is presented in this paper. The proposed criterion makes use of both the gain and phase information of the uncertain parametric open- loop system. Based on it, a robust PID design for the worst gain and phase margins is given. Finally, simulation shows the effectiveness of the method. I. ĐẶT VẤN ĐỀ Các phương pháp đánh giá ổn định bền vững là các chủ điểm nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực điều khiển và hệ thống. Nhiều kết quả nghiên cứu đã đạt được trong lĩnh vực điều CT 2 khiển bền vững. Tuy nhiên còn có một vài hạn chế trong một số trường hợp do chỉ thông tin về biên độ được sử dụng trong khi thông tin về pha bị bỏ qua. Trong các ứng dụng công nghiệp, có hơn 90% của các mạch vòng điều khiển là kiểu PID. Hệ kín kiểu PID là dựa trên bộ điều khiển quá khứ (I), hiện tại (P), và tương lai (D). Bộ điều khiển PID khá dễ để thực hiện. Hơn 50 năm qua, các phương pháp khác nhau để xác định tham số bộ điều khiển PID đã phát triển. Một vài tác giả đã tận dụng thông tin về đáp ứng quá độ hệ hở, ví dụ như phương pháp đáp ứng tần số Ziegler- Nichols. Tuy nhiên, các phương pháp hiệu chỉnh đó sử dụng chỉ với phần thông tin nhỏ về phản ứng động học của hệ thống và thường không đưa ra được phương pháp hiệu chỉnh tốt do chưa quan tâm tới bất định của hệ thống. Để giải quyết bài toán tổng hợp PID cho đối tượng bất định, trở ngại đầu tiên là khó khăn khi tìm vùng ổn định cho PID. Vùng ổn định là kết quả bước đầu cần thiết cho việc thiết kế PID hoàn toàn có thể phát triển lý thuyết kinh điển dựa vào GPM để xác định. Bộ điều khiển PID được thiết kế nhằm thoả mãn tiêu chí GPM được đề cập lần đầu tiên vào năm 1984 [1] Độ dự trữ biên độ, dự trữ pha (gain and phase margins GPM) được sử dụng như các đại lượng đo lường tính ổn định bền vững và còn được dùng cho định lượng quá trình vận hành. Bài báo đề xuất phương pháp đánh giá ổn định bền vững mà trong đó cả thông tin về biên và pha của hệ thống đều được sử dụng. Việc tổng hợp bộ điều khiển PID bền vững cho trường hợp xấu nhất. Kết quả mô phỏng minh hoạ cho kết quả đạt được của phương pháp.
II. ĐÁNH GIÁ ĐỊNH LƯỢNG ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG Xét hệ thống điều khiển tự động phản hồi âm đơn vị, có mạch hở gồm bộ điều khiển C(s) và đối tượng P(s) mắc nối tiếp. Theo tiêu chuẩn Nyquist kinh điển: Nếu hàm truyền hệ hở không có nghiệm nằm ở nửa phải mặt phẳng phức thì hệ kín ổn định khi và chỉ khi Đồ thị Nyquist {C( jω)P( jω)} không bao điểm (-1,j0). Lớp đối tượng bất định thường là tập các mô hình tham số (mô hình với tập các tham số). Mỗi một mô hình tương ứng với một đồ thị Nyquist và tập các mô hình tham số nói trên trải thành một tập các đồ thị. Theo tiêu chuẩn Nyquist, hệ thống kín ổn định bền vững khi và chỉ khi tập các đồ thị Nyquist (the band of Nyquist curves) không bao điểm (-1,j0). max{C( jω)P( jω) } ≤ 1 P (1) min{arg{C( jω)P( jω)}} ≥ −π P Ngược lại, hệ thống không ổn định bền vững khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một đồ thị Nyquist trong dải đồ thị nói trên bao điểm (-1,j0), hoặc tồn tại một tần số ω 0 mà vùng bất định tương ứng thoả mãn đồng thời 2 điều kiện: max{C( jω0 )P( jω0 ) } ≥ 1 P (2) min{arg{C( jω0 ) P( jω0 )}} ≤ −π P Ta có: max{C( jω)P( jω) } = C( jω) max{P( jω) } CT 2 (3) P P min{arg{P( jω)C( jω)}} = arg{C( jω)} + min{arg{P( jω)}} (4) P P Giả sử có ít nhất một mô hình tham số kín ổn định (từ đây sẽ gọi là mô hình danh định), từ (1) (3) và (4) suy ra: Hệ thống kín với đối tượng bất định ổn định khi và chỉ khi các bất đẳng thức sau thoả mãn 1 ≥ C( jω) (5) max{P( jω) } P arg{C( jω)} > −π − min{arg{P( jω)}} (6) P Tiêu chí đánh giá ổn định bền vững cho hệ thống vừa được trình bày ở trên có thể kiểm tra bằng đồ hoạ như sau: 1 và pha tương ứng − π − min{arg{P( jω)}} , với cấu Vẽ đồ thị Bode cho biên độ max{P( jω) } P P trúc hệ thống đã cho có đối tượng bất định Vẽ các đồ thị Bode cho C( jω) trên cùng một hệ trục Kiểm tra điều kiện (5) và (6)
III. TỔNG HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG Khi tổng hợp được bộ điều khiển với đối tượng danh định, nếu phạm vi bất định tham số là xác định thì phương pháp đánh giá ổn định bền vững vừa được trình bày ở trên (mục 2) sẽ được sử dụng để tổng hợp bộ điều khiển. Tiêu chuẩn ổn định bền vững được đề xuất trong mục 2 sẽ được sử dụng để hiệu chỉnh tham số cho PID với mục tiêu là thoả mãn các yêu cầu độ dự trữ biên độ và pha của hệ kín. Trong mục này thuật toán hiệu chỉnh PID sẽ được đề xuất đảm bảo các yêu cầu về độ dự trữ ổn định biên độ và pha của hệ kín. Hàm truyền đạt của bộ điều khiển PID quen thuộc: KI C(s) = K P + + K Ds (7) s Độ dự trữ biên độ (gain margin) thoả mãn các điều kiện [7] ∠C( jω p )P( jω p ) = −π 1 (8) Am = C( jωp ) P( jω p ) Độ dự trữ pha thoả mãn các điều kiện: C( jω p )P( jω p ) = 1 (9) ϕ m = ∠C( jω p ) P( jω p ) + π CT 2 Trong đó: ω p là tần số tương ứng tại đó đồ thị Nyquist có góc pha − π (phase crosover frequency) ω g là tần số tương ứng tại đó đồ thị Nyquist có biên độ bằng 1 (tương ứng đồ thị Bode hệ hở bằng 0(db)(gain crosover frequency) Để thiết kế hệ kín với độ dự trữ biên độ Am và độ dự trữ pha ϕ m thì các biểu thức sau phải được thoả mãn ⎛ K ⎞ −1 Pw ( jω p )⎜ K p + j(K d ω p − i ) ⎟ = ⎜ ωp ⎟ A m ⎝ ⎠ (10) ⎛ K⎞ Pw ( jω g )⎜ K p + j(K d ω g − i ) ⎟ = e − jϕ m ⎜ ωg ⎟ ⎝ ⎠ ⎧⎛ K⎞ −1 ⎪⎜ K p + j(K d ω p − i ) ⎟ = ⎟ Pw ( jω p )A m ⎜ ωp ⎠ ⎪⎝ ⎪ ⇒⎨ (11) Ki ⎞ ⎪⎛ 1 ⎟ ⎜ − jϕ m ⎪⎜ K p + j(K d ω g − ω ) ⎟ = P ( jω ) e ⎪⎝ g⎠ ⎩ w g
Ở đây Pw ( jω) là hàm truyền đạt phức đặc trưng cho trường hợp xấu nhất của đối tượng điều khiển: Pw ( jω) = max{P( jω) } e j min{arg( P ( jω))} (12) Mục tiêu của bài toán là tìm ra bộ tham số KP, KI, KD mà theo đó đạt được độ dự trữ về biên độ và pha cho trước. Như vậy có 5 tham số KP, KI, KD, ω p , ω g cần xác định. Từ (11), cân bằng phần thực và phần ảo hai phương trình : ⎫ ⎧ −1 ⎪ ⎪ K P = re⎨ ⎬ ⎪ Pw ( jω p )A m ⎪ ⎭ ⎩ (13) ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 1 e − jϕ m ⎬ K P = re⎨ ⎪ Pw ( jω g ) ⎪ ⎩ ⎭ ⎤⎤ ⎤⎡ ⎡ −1 ⎡1 ⎥⎥ ω p ⎥ ⎢Im⎢ ⎢− ⎢ ⎢ Pw ( jω p )A m ⎥ ⎥ ⎡K I ⎤ ⎢ ω p ⎣ ⎦ ⎥⎢ ⎥= (14) ⎥ ⎢ ⎣K D ⎦ ⎢− 1 ⎥⎢ ⎡ ⎤⎥ 1 ω g ⎥ Im⎢ ⎢ e − jϕ m ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎢ ωg ⎦ ⎣ ⎣ Pw ( jω g ) ⎣ ⎥⎥ ⎢ ⎦⎦ Trong kỹ thuật ứng dụng có thể lấy gần đúng ω p ≈ ωp Từ (13) tính được KP và có ω g thoả mãn ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 e − jϕ m ⎬ ⎬ = re⎨ CT 2 (15) re⎨ ⎪ Pw ( jω p )A m ⎪ ⎪ Pw ( jω g ) ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Để kiểm tra ổn định bền vững của hệ kín với bộ tham số PID tính theo (13), (14), (15), chúng ta kiểm tra trường hợp xấu nhất của độ dự trữ biên độ và độ dự trữ pha. Độ dự trữ pha của đối tượng bất định là lớn hơn ϕ m khi min{arg{P( jω)C( jω)}} = arg{C( jω)} + min{arg{P( jω)}} ≥ − π + ϕ m (16) P P khi max{C( jω)P( jω) } = max{P( jω) }C( jω) > 1 P P Độ dự trữ biên độ là Am nếu max{C( jω)P( jω) } = C( jω) max{P( jω) } ≤ 1 (17) Am P P arg{C( jω)} + min{arg{P( jω)}} < −π khi P Tóm lại, với đối tượng điều khiển P(s) cho trước, Bộ điều khiển PID có dạng như (7), có thể hiệu chỉnh cho trường hợp xấu nhất của độ dự trữ biên độ và pha (16), (17) theo thuật toán sau: 1. Tìm ωp là tần số tương ứng với trường hợp xấu nhất. 2. Chọn ω p ≈ ωp
⎧ ⎫ −1 ⎪ ⎪ 3. Tính KP theo (13): K P = re⎨ ⎬ ⎪ Pw ( jω p )A m ⎪ ⎩ ⎭ 4. Tính ωg theo ωp (15) 5. Tính KI, KD theo (14) IV. MÔ HÌNH MÔ PHỎNG VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ Ví dụ: Xét mô hình bậc 2 có trễ: ˆ b ˆ e − τs P(s) = (18) 2 s + a 1s + a 2 ˆ ˆ [ ] [ ] [ ] [ ] ˆ Trong đó các tham số bất định là b ∈ b − , b + , a 1 ∈ a 1 , a 1 , a 2 ∈ a − , a + , τ ∈ τ − , τ + , − + ˆ ˆ 2 2 b − = 0.8, b + = 1.2 ; a 1 = 1.2, a 1 = 1.8 ; a 2 = 0.8, a + = 1.2 ; τ − = 4, τ + = 6 − + − 2 Với yêu cầu độ dự trữ biên độ 3 và độ dự trữ pha 600. Từ (18) có: ˆ b và arg(P( jω)) = − arg(a 2 − ω 2 + ja 1ω) − Lω P( jω) = ˆ ˆ 2 (a 2 − ω ) + a 1ω ˆ ˆ để biểu diễn (3) và (4) đặt: CT 2 L w (ω) = C( jω) max{P( jω) } (19) P ϕ w (ω) = arg{C( jω)} + min{arg{P( jω)}} (20) P Ứng với thuật toán mục 3 tìm được KP = 0.222, KI = 0.071, KD = 0.478 thoả mãn cho trường hợp xấu nhất của đối tượng bất định tham số. Tiến hành vẽ 2 đường đặc tính L w (ω) và ϕ w (ω) Điểm cắt ϕ w (ω) = 0 tương ứng với ωp = 0.389( rad / s) Hình vẽ 3 biểu diễn đường đặc tính biên độ và đặc tính pha hệ hở tương ứng với trường hợp xấu nhất của đối tượng điều khiển(12). Tại ϕ w (ω) = −π thì L w (ω) > 1 ứng với điều kiện (5) và (6) được thoả mãn. Vậy hệ thống đã cho ổn định bền vững với bộ tham số PID nói trên. V. KẾT LUẬN Bài báo cố gắng phát triển một tiêu chí mới đánh giá ổn định bền vững và tổng hợp bộ điều khiển PID thoả mãn cho trường hợp xấu nhất của đối tượng bất định tham số, đảm bảo đồng thời 2 thông tin về độ dự trữ biên độ và góc pha. Bộ tham số PID đảm bảo hệ ổn định bền vững.
Hình 1. Đặc tính Lw ( ω ) tương ứng Hình 2. Đặc tính ϕ w ( ω ) tương ứng với đối tượng Pw ( ω ) với đối tượng Pw ( ω ) Hình 3. Lw ( ω ) và Pw ( ω ) CT 2 Hình 4. Đáp ứng quá trình quá độ Tài liệu tham khảo [1]. K.J. Astrom, T.Hagglund, Automatic Tuning of Simple Regulators with specifications on phase and Amplitude Margins, Vol.20,No.5, pp645-651, Automica, 1984 [2]. Ching-hung lee, a survey of PID controller degign based on gain and phase margins, Vol.2, pp63- 100, International Journal of computational,2004 [3]. Kiselov O.N, Lan L.H , Polyak B.T, The frequency charatericstics with parametric uncertainty, Automation and Remote Control, Vol.57, pp 155-173/in russian/ [4]. BONDIA J., PICO J., Analysis of linear systems with fuzzy parametric uncertainty. Fuzzy Sets and Systems, V.135. 81-121. [5]. Lê Hùng Lân, Lê Thị Tuyết Nhung, Đánh giá độ dự trữ ổn định hệ thống điều khiển đối tượng mờ, VICA 6 (2003) [6]. Lê Hùng Lân, Lê Thị Tuyết Nhung, Tổng hợp bộ điều khiển PID bền vững cho đối tượng tham số mờ đảm bảo độ dự trữ mờ về biên độ và pha., Tuyển tập báo cáo KH HNKHKT Đo lường IV, 2005♦