CT 2
TỔNG HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN PID
ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG
ThS. LÊ THỊ TUYẾT NHUNG
Bộ môn Điều khiển học
Trường Đại học Giao thông Vận tải
Tóm tắt: Bài báo đề cập tới tiêu chí đánh giá ổn định bền vững (Quantitative robust
stability). Tiêu chí được đề xuất kết hợp chặt chẽ cả thông tin về biên độ và góc pha của hệ
thống bất định, được dùng để xây dựng bộ điều khiển PID bền vững tương ứng với trường hợp
xấu nhất về độ dự trữ biên độ và pha. Cuối cùng các kết quả mô phỏng được giới thiệu nhằm
minh hoạ cho phương pháp vừa được đề xuất.
Summary: The Quantitative robust stability is presented in this paper. The proposed
criterion makes use of both the gain and phase information of the uncertain parametric open-
loop system. Based on it, a robust PID design for the worst gain and phase margins is given.
Finally, simulation shows the effectiveness of the method.
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Các phương pháp đánh giá ổn định bền vững là các chủ điểm nghiên cứu quan trọng trong
lĩnh vực điều khiển và hệ thống. Nhiều kết quả nghiên cứu đã đạt được trong lĩnh vực điều
khiển bền vững. Tuy nhiên còn có một vài hạn chế trong một số trường hợp do chỉ thông tin về
biên độ được sử dụng trong khi thông tin về pha bị bỏ qua.
Trong các ứng dụng công nghiệp, có hơn 90% của các mạch vòng điều khiển là kiểu PID.
Hệ kín kiểu PID là dựa trên bộ điều khiển quá khứ (I), hiện tại (P), và tương lai (D). Bộ điều
khiển PID khá dễ để thực hiện. Hơn 50 năm qua, các phương pháp khác nhau để xác định tham
số bộ điều khiển PID đã phát triển. Một vài tác giả đã tận dụng thông tin về đáp ứng quá độ hệ
hở, ví dụ như phương pháp đáp ứng tần số Ziegler- Nichols. Tuy nhiên, các phương pháp hiệu
chỉnh đó sử dụng chỉ với phần thông tin nhỏ về phản ứng động học của hệ thống và thường
không đưa ra được phương pháp hiệu chỉnh tốt do chưa quan tâm tới bất định của hệ thống.
Để giải quyết bài toán tổng hợp PID cho đối tượng bất định, trở ngại đầu tiên là khó khăn
khi tìm vùng ổn định cho PID. Vùng ổn định là kết quả bước đầu cần thiết cho việc thiết kế PID
hoàn toàn có thể phát triển lý thuyết kinh điển dựa vào GPM để xác định. Bộ điều khiển PID
được thiết kế nhằm thoả mãn tiêu chí GPM được đề cập lần đầu tiên vào năm 1984 [1] Độ dự
trữ biên độ, dự trữ pha (gain and phase margins GPM) được sử dụng như các đại lượng đo
lường tính ổn định bền vững và còn được dùng cho định lượng quá trình vận hành.
Bài báo đề xuất phương pháp đánh giá ổn định bền vững mà trong đó cả thông tin về biên
và pha của hệ thống đều được sử dụng. Việc tổng hợp bộ điều khiển PID bền vững cho trường
hợp xấu nhất. Kết quả mô phỏng minh hoạ cho kết quả đạt được của phương pháp.
II. ĐÁNH GIÁ ĐỊNH LƯỢNG ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG
Xét hệ thống điều khiển tự động phản hồi âm đơn vị, có mạch hở gồm bộ điều khiển C(s)
và đối tượng P(s) mắc nối tiếp.
Theo tiêu chuẩn Nyquist kinh điển: Nếu hàm truyền hệ hở không có nghiệm nằm ở nửa
phải mặt phẳng phức thì hệ kín ổn định khi và chỉ khi Đồ thị Nyquist
{
}
)j(P)j(C ω
ω
không bao
điểm (-1,j0). Lớp đối tượng bất định thường là tập các mô hình tham số (mô hình với tập các
tham số). Mỗi một mô hình tương ứng với một đồ thị Nyquist và tập các mô hình tham số nói
trên trải thành một tập các đồ thị.
Theo tiêu chuẩn Nyquist, hệ thống kín ổn định bền vững khi và chỉ khi tập các đồ thị
Nyquist (the band of Nyquist curves) không bao điểm (-1,j0).
{
}
{}{
π−≥ωω
≤ωω
)j(P)j(Cargmin
1)j(P)j(Cmax
P
P
}
(1)
Ngược lại, hệ thống không ổn định bền vững khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một đồ thị
Nyquist trong dải đồ thị nói trên bao điểm (-1,j0), hoặc tồn tại một tần số 0
ω
mà vùng bất định
tương ứng thoả mãn đồng thời 2 điều kiện:
{
}
{}{
π−≤ωω
≥ωω
)j(P)j(Cargmin
1)j(P)j(Cmax
00
P
00
P
}
(2)
Ta có:
{}
{
}
)j(Pmax)j(C)j(P)j(Cmax PP ωω=ωω (3)
CT 2
{}{}
{
}
{
}
{
}
)j(Pargmin)j(Carg)j(C)j(Pargmin PP
ω
+
ω
=
ω
ω
(4)
Giả sử có ít nhất một mô hình tham số kín ổn định (từ đây sẽ gọi là mô hình danh định), từ
(1) (3) và (4) suy ra: Hệ thống kín với đối tượng bất định ổn định khi và chỉ khi các bất đẳng
thức sau thoả mãn
{}
)j(C
)j(Pmax
1
P
ω≥
ω (5)
{}
{
}
{
}
)j(Pargmin)j(Carg P
ω
−
π
−
>ω (6)
Tiêu chí đánh giá ổn định bền vững cho hệ thống vừa được trình bày ở trên có thể kiểm tra
bằng đồ hoạ như sau:
Vẽ đồ thị Bode cho biên độ
{}
)j(Pmax
1
Pωvà pha tương ứng
{}
{
}
)j(Pargmin
Pω
−
π
−
, với cấu
trúc hệ thống đã cho có đối tượng bất định
Vẽ các đồ thị Bode cho trên cùng một hệ trục )j(C ω
Kiểm tra điều kiện (5) và (6)
III. TỔNG HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG
Khi tổng hợp được bộ điều khiển với đối tượng danh định, nếu phạm vi bất định tham số là
xác định thì phương pháp đánh giá ổn định bền vững vừa được trình bày ở trên (mục 2) sẽ được
sử dụng để tổng hợp bộ điều khiển.
Tiêu chuẩn ổn định bền vững được đề xuất trong mục 2 sẽ được sử dụng để hiệu chỉnh
tham số cho PID với mục tiêu là thoả mãn các yêu cầu độ dự trữ biên độ và pha của hệ kín.
Trong mục này thuật toán hiệu chỉnh PID sẽ được đề xuất đảm bảo các yêu cầu về độ dự trữ ổn
định biên độ và pha của hệ kín. Hàm truyền đạt của bộ điều khiển PID quen thuộc:
sK
s
K
K)s(C D
I
P++= (7)
Độ dự trữ biên độ (gain margin) thoả mãn các điều kiện [7]
)j(P)j(C
1
A
)j(P)j(C
pp
m
pp
ωω
=
π
−
=
ω
ω
∠
(8)
Độ dự trữ pha thoả mãn các điều kiện:
π+ωω∠=ϕ
=ωω
)j(P)j(C
1)j(P)j(C
ppm
pp (9)
CT 2
Trong đó:
p
ω là tần số tương ứng tại đó đồ thị Nyquist có góc pha
π
−
(phase crosover frequency)
g
ωlà tần số tương ứng tại đó đồ thị Nyquist có biên độ bằng 1 (tương ứng đồ thị Bode hệ
hở bằng 0(db)(gain crosover frequency)
Để thiết kế hệ kín với độ dự trữ biên độ Am và độ dự trữ pha m
ϕ
thì các biểu thức sau phải
được thoả mãn
m
j
g
i
gdpgw
mp
i
pdppw
e)
K
K(jK)j(P
A
1
)
K
K(jK)j(P
ϕ−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
−ω+ω
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
−ω+ω
(10)
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
ω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
−ω+
ω
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
−ω+
⇒
ϕ− m
j
gwg
i
gdp
mpwp
i
pdp
e
)j(P
1
)
K
K(jK
A)j(P
1
)
K
K(jK
(11)
Ở đây là hàm truyền đạt phức đặc trưng cho trường hợp xấu nhất của đối tượng
điều khiển:
)j(Pwω
{
}
}
))j(Parg(minj
we)j(Pmax)j(P ω
ω=ω (12)
Mục tiêu của bài toán là tìm ra bộ tham số KP, KI, KD mà theo đó đạt được độ dự trữ về
biên độ và pha cho trước. Như vậy có 5 tham số KP, KI, KD, p
ω
,g
ω
cần xác định.
Từ (11), cân bằng phần thực và phần ảo hai phương trình :
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ω
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ω
−
=
ϕ− m
j
gw
P
mpw
P
e
)j(P
1
reK
A)j(P
1
reK
(13)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ω
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ω
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ω
ω
−
ω
ω
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ϕ− m
j
gw
mpw
g
g
p
p
D
I
e
)j(P
1
Im
A)j(P
1
Im
1
1
K
K (14)
Trong kỹ thuật ứng dụng có thể lấy gần đúng pp
ω
≈
ω
Từ (13) tính được KP và có thoả mãn
g
ω
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ω
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ω
−ϕ− m
j
gwmpw
e
)j(P
1
re
A)j(P
1
re (15)
CT 2
Để kiểm tra ổn định bền vững của hệ kín với bộ tham số PID tính theo (13), (14), (15),
chúng ta kiểm tra trường hợp xấu nhất của độ dự trữ biên độ và độ dự trữ pha.
Độ dự trữ pha của đối tượng bất định là lớn hơn m
ϕ
khi
{}{}
{
}
{
}
{
}
m
PP )j(Pargmin)j(Carg)j(C)j(Pargmin ϕ
+
π
−
≥
ω
+
ω
=
ωω (16)
khi
{}
{
}
1)j(C)j(Pmax)j(P)j(Cmax PP >ωω=ωω
Độ dự trữ biên độ là Am nếu
{} {}
m
PP A
1
)j(Pmax)j(C)j(P)j(Cmax ≤ωω=ωω (17)
khi
{}
{
}
{
}
π
−
<
ω
+ω )j(Pargmin)j(Carg P
Tóm lại, với đối tượng điều khiển P(s) cho trước, Bộ điều khiển PID có dạng như (7), có
thể hiệu chỉnh cho trường hợp xấu nhất của độ dự trữ biên độ và pha (16), (17) theo thuật toán
sau:
1. Tìm p
ωlà tần số tương ứng với trường hợp xấu nhất.
2. Chọn pp ω≈ω
3. Tính KP theo (13): ⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ω
−
=
mpw
PA)j(P
1
reK
4. Tính ωg theo p
ω
(15)
5. Tính KI, KD theo (14)
IV. MÔ HÌNH MÔ PHỎNG VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ
Ví dụ: Xét mô hình bậc 2 có trễ:
s
21
2e
a
ˆ
sa
ˆ
s
b
ˆ
)s(P
ˆτ−
++
= (18)
Trong đó các tham số bất định là
[
]
+−
∈b,bb
ˆ,
[
]
+−
∈111 a,aa
ˆ,
[
]
+−
∈222 a,aa
ˆ,
[
]
+− ττ∈τ ,,
; ; ;
2.1b,8.0b == +− 8.1a,2.1a 11 == +− 2.1 ,4 τ=τ−
a,8.0a 22 == +− 6=
+
Với yêu cầu độ dự trữ biên độ 3 và độ dự trữ pha 600.
Từ (18) có:
ω+ω−
=ω
1
2
2a
ˆ
)a
ˆ
(
b
ˆ
)j(P và ω−ω+ω−−=ω L)a
ˆ
ja
ˆ
arg())j(Parg( 1
2
2
để biểu diễn (3) và (4) đặt:
CT 2
{
}
)j(Pmax)j(C)(L P
wωω=ω (19)
{
}
{
}
{
}
)j(Pargmin)j(Carg)( P
w
ω
+
ω
=
ωϕ (20)
Ứng với thuật toán mục 3 tìm được KP = 0.222, KI = 0.071, KD = 0.478 thoả mãn cho
trường hợp xấu nhất của đối tượng bất định tham số.
Tiến hành vẽ 2 đường đặc tính )(
w
L
ω
và )(
w
ω
ϕ
Điểm cắt 0)(
w
=
ωϕ tương ứng với )s/rad(389.0
p
=
ω
Hình vẽ 3 biểu diễn đường đặc tính biên độ và đặc tính pha hệ hở tương ứng với trường
hợp xấu nhất của đối tượng điều khiển(12). Tại
π
−
=
ω
ϕ
)(
w thì 1)(Lw>
ω
ứng với điều kiện
(5) và (6) được thoả mãn. Vậy hệ thống đã cho ổn định bền vững với bộ tham số PID nói trên.
V. KẾT LUẬN
Bài báo cố gắng phát triển một tiêu chí mới đánh giá ổn định bền vững và tổng hợp bộ điều
khiển PID thoả mãn cho trường hợp xấu nhất của đối tượng bất định tham số, đảm bảo đồng
thời 2 thông tin về độ dự trữ biên độ và góc pha. Bộ tham số PID đảm bảo hệ ổn định bền vững.