Tổng hợp đề thi thử ĐH môn Toán các khối Đề 30

Chia sẻ: Phung Tuyet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo đề thi - kiểm tra 'tổng hợp đề thi thử đh môn toán các khối đề 30', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp đề thi thử ĐH môn Toán các khối Đề 30

BOXMATH Đ THI TH Đ I H C NĂM 2013 .vn http://boxmath.vn Môn: TOÁN Đ S 1 NGÀY 20.10.2012 PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m) Câu 1. (2 đi m) Cho hàm s y = x3 + 3mx2 + 3(m + 1)x + 1 (Cm ) a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho khi m = −1. b) Tìm t t c các giá tr th c cu tham s m đ đư ng th ng d : y = x − 2 c t đ th t i ba đi m phân bi t A, B,C sao cho a th AB = BC, trong đó A có hoành đ b ng −1. Câu 2. (2 đi m) √ a) Gi i phương trình 2 2 cos2 x − 3 sin 2x = 4 cos x sin 2x + 2(sin x − cos x). √ 3x2 − 2x − 5 + 2x x2 + 1 = 2(y + 1) y2 + 2y + 2 b) Gi i h phương trình (x, y ∈ R) x2 + 2y2 = 2x − 4y + 3 e 2 ln x − ln2 x Câu 3. (1 đi m) Tính tích phân I= dx. 1 x(x + ln x) Câu 5. (1 đi m) √ m Câu 4. (1 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh b ng 2a. M t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng đáy, SA = a, SB = a 3. Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai đư ng th ng SB và AC theo a. Cho x, y là hai s th c dương th a mãn : x + y = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P=x √ 1 − y2 + y 1 − x 2 ox PH N RIÊNG (3 đi m): Thí sinh ch làm m t trong hai ph n A ho c B A. Theo chương trình chu n Câu 6a. (2 đi m) a) Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho đư ng tròn (C) : x2 + (y − 3)2 = 25 có tâm I. Vi t phương trình đư ng /b th ng d đi qua M(6; 1) và c t đư ng tròn (C) t i hai đi m A, B sao cho di n tích tam giác IAB b ng 10. x+2 y+1 z−3 x−2 y+3 z−1 b) Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz , cho hai đư ng th ng d1 : = = , d2 : = = . −2 1 2 1 2 2 Vi t phương trình m t c u (S) ti p xúc v i hai đư ng th ng d1 , d2 và có bán kính nh nh t. n 2 Câu 7a. (1 đi m) Tìm h s c a s h ng ch a x2 trong khai tri n nh th c Niu-tơn c a x2 + , bi t: x p:/ 3 3Cn+1 − 3A2 = 52(n − 1). n B. Theo chương trình nâng cao Câu 6b. (2 đi m) √ a) Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy vi t phương trình elip (E) đi qua M(2 3; 1) và phương trình ti p tuy n t i M √ là 3x + 2y − 8 = 0. x+3 y−1 z+3 x−1 y+1 z−3 b) Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz , cho hai đư ng th ng d1 : = = , d2 : = = . 2 1 1 2 −2 1 và m t ph ng (P) : x + 2y + 2z + 7 = 0. Vi t phương trình m t c u (S) có tâm n m trên đư ng th ng d1 , ti p xúc v i đư ng htt th ng d2 và m t ph ng (P). Câu 7b. (1 đi m) Gi i phương trình: log3 (2x − 3) = log5 (3x + 7). ———————————————–H t—————————————————- Cảm ơn (hynagacu@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl
T NG H P L I GI I TRÊN DI N ĐÀN vn Câu 1.a Cho hàm s y = x3 + 3mx2 + 3(m + 1)x + 1 (Cm ). Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho khi m = −1. L i gi i: () Khi m = −1ta có : y = f (x) = x3 − 3x2 + 1. T p xác đ nh D = R. x=0 y=1 Đ th y = 3x2 − 6x ⇒ y = 0 ⇔ ⇒ x=2 y = −3 2 . lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞. x→+∞ x→−∞ B ng bi n thiên: 1 ath x −∞ 0 2 +∞ f (x) + 0 − 0 + −2 −1 0 1 2 3 1 +∞ −1 f (x) −2 −∞ −2 Hàm s đông bi n trên (−∞; 0); (2; +∞) −3 Hàm s ngh ch bi n trên (0; 2) Đi m c c đ i (0; 1), Đi m c c ti u (2; −3)xm −4 Câu 1.b Cho hàm s y = x3 + 3mx2 + 3(m + 1)x + 1 (Cm ). Tìm t t c các giá tr th c cu tham s m đ đư ng th ng d : y = x − 2c t đ th t i ba đi m phân bi t A, B,C sao cho AB = BC, trong đó A có hoành đ b ng −1. L i gi i: (l94) Phương trình hoành đ giao đi m: (x + 1)[x2 + (3m − 1)x + 3] = 0 √ √ 2 + (3m − 1)x + 3 có 2 nghi m phân bi t x ; x khác −1 ⇔ m < 1 − 2 3 ho c 1 + 2 3 < m bo (d) c t C t i 3 đi m phân bi t ⇔ x 1 2 3 3 A(−1; −3); B(x1 ; x1 − 2);C(x2 ; x2 − 2) AB = BC ⇔ 2x1 = x2 − 1 3 3 M t khác x1 + x2 = 1 − 3m x1 x2 = 3 Gi i h tìm đư c m = −1; m = . Th l i c hai đ th a yêu c u bài toán. V y m = −1; m = 2 2 √ Câu 2.a Gi i phương trình 2 2 cos2 x − 3 sin 2x = 4 cos x sin 2x + 2(sin x − cos x). L i gi i: (thienlonghoangde) :// Ta vi t l i bi u th c bài toán v √ √ 2 2. cos2 x + 2 cos x − 2 sin x[3 2 cos x + 4 cos2 x + 1] = 0 √ √ ⇔ ( 2 cos x + 1)(2 cos x − 2 sin x − 4 2 sin x cos x) = 0 (1) √ 1 − t2 T (2) ta đ t t = (sin x − cos x) v i |t| ≤ 2. Ta có : sin x cos x = . T đó th vào (1) ta đư c phương trình: 2 √ √ t + 2 − 2t 2 = 0. √ √ − 2 Ta tìm đư c nghi m phương trình trên là: t = 2vt = . Đ n đây ta d tìm ra đư c nghi m bài toán. 2 p L i gi i: (akashi_95) √ √ 2 2. cos2 x − 6 2. cos x. sin x = 8 cos2 x. sin x + 2 sin x − 2 cos x √ √ ⇔ cos2 x(8 sin x − 2 2) + 2 cos x(3 2 sin x − 1) + 2 sin x = 0 √ √ ∆ = ( 2 sin x − 1)2 mà 8 sin x √ 2 2 = 0 − htt √ 2−4 2 − 2 (+) cos x = √ = 8 sin x − 2 2 √ 2 − 2 √ (+) cos x = √ ⇔ 4 sin x. cos x + 2(sin x − cos x) = 0 4 sin x − 2 Đ n đây ta gi i tương t cách (1). √ 3x2 − 2x − 5 + 2x x2 + 1 = 2(y + 1) y2 + 2y + 2 Câu 2.b Gi i h phương trình (x, y ∈ R) x2 + 2y2 = 2x − 4y + 3 2
L i gi i: (thienlonghoangde & Huy n Đ c) H đã cho tr thành √ vn 3x2 − 2x − 5 + 2x x2 + 1 − 2(y + 1) y2 + 2y + 2 = 0 (1) ⇐⇒ x2 + 2y2 − 2x + 4y − 3 = 0 (2) Hay 3x2 − 2x − 5 + 2x x2 + 1 − 2(y + 1) y2 + 2y + 2 = x2 + 2y2 − 2x + 4y − 3 ⇐⇒ x2 + x x2 + 1 = (y + 1)2 + (y + 1) (y + 1)2 + 1. . √ √ t2 T đó ta xét hàm s : f (t) = t 2 + t t 2 + 1 Mà f (t) = 2t + t 2 + 1 + √ > |2t| + 2t > 0 > 0 t2 + 1 ath Suy ra f (t) là hàm đ ng bi n nên ta có x = y + 1. 2 5 T h th hai ta có: 3y2 + 4y − 4 = 0 ⇒ (x; y) = (−1; −2); ; 3 3 e 2 ln x − ln2 x Câu 3. Tính tích phân I= dx. 1 x(x + ln x) L i gi i: (thienlonghoangde) 1 Đ t t = ln x. Suy ra đư c t = 1 khi x = e, t = 0 khi x = 1. Và dt = dx ; x = et . Khi đó x 1 1 1 2t − t 2 2t − t 2 − et + et et + 2t Đ n đây ta d dàng suy ra : I= 0 xm et + t 2 dt = 0 et + t 2 1 dt = I = (ln(et + t 2 ) − t) = ln(e + 1) − 1 0 et + t 2 −1 dt 0 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh b ng 2a. M t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng đáy, √ SA = a, SB = a 3. Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai đư ng th ng SB và AC theo a. bo L i gi i: (thiencuong_96) S :// P E A T Q H D O B C √ p Ta có : SA = a, SB = 3a, AB = 2a nên tam giác SAB vuông t i S. Có m t ph ng (SAB) ⊥ (ABCD) và AB = (SAB) ∩ (ABCD). √ a 3 V y t trong m t ph ng k AH vuông v i AB suy ra AH ⊥ (ABCD) D dàng tính đư c SH = 2 √ 3 1 2 3a htt VABCD = SH.SABCD = 3 3 Trong m t ph ng ABCD k Bx//AC c t AD t i E ⇒ AC (SBE), d(AC; SB) = d(AC; (SBE)) = d(A; (SBE)) d(A; (SBE)) AB 4 Có AH ∩ (SBE) = B ⇒ = = Trong m t ph ng (ABE) k HQ ⊥ EB, AT ⊥ EB d(H; (SBE)) HB 3 Có EB ⊥ HQ, EB ⊥ SH ⇒ EB ⊥ (SAQ) K HP ⊥ SQ suy ra HP = d(H; (SEB)) √ √ 1 √ HQ BH 3 3 2a 3 5a M t khác d dàng có AT = BD = a 2 Và = = ⇒ HQ = Suy ra HP = 2 √ AT BA 4 √ 4 10 2 5a 2 5a Th lên trên suy ra d(A; SBE) = . V y d(AC; SB) = 5 5 3
√ Câu 5. Cho x, y là hai s th c dương th a mãn : x + y = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P = x 1 − y2 + y 1 − x2 L i gi i: (Ntspbc) vn √ √ Đ u tiên ta ch ng minh BĐT: a2 + b2 + c2 + d 2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 , ∀ a, b, c, d ∈ R B ng cách bình phương 2 v và thu g n, ta đưa v BĐT tương đương là: (a2 + b2 )(c2 + d 2 ) ≥ ac + bd √ √ BĐT đúng theo BĐT Bunhiacovsky. V y a2 + b2 + c2 + d 2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 Đ ng th c x y ra khi a = kc và b = kd (k ∈ R). Tr l i bài Toán. S d ng đi u ki n và BĐT trên ta có: . P=x 1 − y2 + y 1 − x2 =x (x + y)2 − y2 + y (x + y)2 − x2 ath =x x2 + 2xy + y y2 + 2yx = (x2 )2 + (x 2xy)2 + (y2 )2 + (y 2xy)2 ≥ (x2 + y2 )2 + 2xy(x + y)2 Mà (x2 + y2 )2 + 2xy(x + y)2 = (x2 + y2 )2 + 2xy = (x2 + y2 )2 + (x + y)2 − (x2 + y2 ) 3 √ 3 xm = x 2 + y2 − 1 2 2 + 3 3 ≥ 4 4 Nên ta suy ra P≥ = 4 2 √ 1 3 1 Đ ng th c x y ra khi x = y = . V y GTNN c a P là khi x = y = . 2 2 2 L i gi i: (thienlonghoangde) bo Ta có : P2 = x2 (1 − y2 ) + y2 (1 − x2 ) + 2xy (1 − x2 )(1 − y2 ) = x2 + y2 − 2x2 y2 + 2xy (x2 y2 + 2xy) = 1 − 2xy − 2x2 y2 + 2xy (x2 y2 + 2xy) 1 √ :// Đ t t = xy.Ta có 0 < t ≤ f (t) = 1 − 2t + 2t 2 + 2t t 2 + 2t 4 2t(t + 1) 3 f (t) = −2 + 4t + 2 t 2 + 2t + √ < 0 v i m i t tho 0 < t ≤ . t 2 + 2t 4 √ 1 3 3 Suy ra : f (t) là hàm ngh ch bi n. f (t) ≥ f ( ) = . Suy ra P ≥ 4 4 2 L i gi i: (cokeu14) Ta có : x + y = 1 ⇒ x; y ∈ (0; 1) Do đó ta có : p P=x 1 − (1 − x)2 + (1 − x) 1 − x2 = x 2x − x2 + (1 − x) 1 − x2 3x − 2x2 (1 − x)(1 + 2x) Ta s kh o sát hàm s P(x), Có P (x) = √ − √ 2x − x 2 1 − x2 htt 3x − 2x2 (1 − x)(1 + 2x) 3x − 2x2 (1 − x)(1 + 2x) P (x) = 0 ⇔ √ − √ =0⇔ √ = √ 2x − x2 1 − x2 2x − x2 1 − x2 ⇔(3x − 2x2 ) (1 − x)(1 + x) = (1 − x)(1 + 2x) x(2 − x) 1 ⇔(3 − 2x) x(1 + x) = (1 + 2x) (1 − x)(2 − x) ⇔ x = 2 √ 3 1 L p b ng bi n thiên suy ra Pmin = đ t đư c khi và ch khi x = y = 2 2 4
Câu 6a.a Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho đư ng tròn (C) : x2 + (y − 3)2 = 25 có tâm I. Vi t phương trình đư ng th ng d đi qua M(6; 1) và c t đư ng tròn (C) t i hai đi m A, B sao cho di n tích tam giác IAB b ng 10. vn L i gi i: (thienlonghoangde) Ta có : (C) có I(0; 3) có R = 5. Phương trình đư ng th ng d : a(x − 6) + b(y − 1) = 0 v i a2 + b2 > 0. | − 6a + 2b| 1 1 √ Ta có: d(I; d) = √ = x Mà di n tích tam giác IAB = 10 = .d(I; d).AB = .d(I; d).2 25 − x2 a2 + b2 √ 2 2 Theo gi thi t ta có SI AB = 10 suy ra: x. 25 − x2 = 10. Ta tìm đư c hai giá tr x2 = 5 hay x2 = 20. V i x2 = 5 ta đư c ... V i x2 = 20 ta đư c ... . x+2 y+1 z−3 x−2 y+3 ath Câu 6a.b Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz , cho hai đư ng th ng d1 : = = , d2 : = = −2 1 2 1 2 z−1 . Vi t phương trình m t c u (S) ti p xúc v i hai đư ng th ng d1 , d2 và có bán kính nh nh t. 2 L i gi i: (thienlonghoangde) Ta vi t l i vi t trình c a hai đư ng th ng d1 ; d2 dư i d ng tham s như sau:    x = −2 + 2a   x = 2+b  (d1 ) y = −1 + a ; (d2 ) y = −3 + 2b   z = −3 + 2a z = 1 + 2b   xm G i A, B l n lư t là hai đi m thu c d1 ; d2 . A(−2 − 2a; −1 + a; 3 + 2a); B(2 + b; −3 + 2b; 1 + 2b) Theo yêu c u bài toán,m t c u (S) có bán kính nh nh t khi nh n đo n vuông góc chung c a d1 ; d2 làm đư ng kính. − → V y ta ch c n tìm hai đi m A, B là bài toán đư c gi i quy t. Ta có :AB(4 + 2a + b; 2b − a − 2; 2b − 2a − 2). → − → − G i vecto ch phương d1 ; d2 l n lư t là d1 (−2; 1; 2); d2 (1; 2; 2). − → →− AB. d1 = 0 ⇔ −2(4 + 2a + b) + 2b − a − 2 + 4b − 4a − 4 = 0 ⇔ −9a + 4b = 14 − → →− AB. d2 = 0 ⇔ 4 + 2a + b + 4b − 2a − 4 + 4b − 4a − 4 = 0 ⇔ −4a + 9b = 4 bo T đó, ta có h sau : −9a + 4b = 14 a = −22/13 ⇔ −4a + 9b = 4 b = −4/13 18 −35 −5 22 −67 5 Ta đư c to đ hai đi m A, B là :A ; ; ;B ; ; 13 13 13 13 13 13 20 −41 AB2 285 G i I là trung đi m AB ta có :I ; ; 0 G i R là bán kính m t c u (S), ta có : R2 = = 13 13 4 169 :// V y ta có phương trình m t c u (S) nh n I làm tâm, R làm bán kính là : 2 2 20 41 x− + y+ + z2 = 0 13 13 n 2 Câu 7a. Tìm h s c a s h ng ch a x2 trong khai tri n nh th c Niu-tơn c a x2 + , bi t: x 3Cn+1 − 3A2 = 52(n − 1). 3 n p L i gi i: (thienlonghoangde) T đ ng th c đ bài cho d dàng suy ra đư c : (n + 1)! 3n! − = 52(n − 1) htt 3!.(n − 2)! (n − 2)! Tương đương v i: n(n + 1) − 6n = 104 13 2 T đây suy ra n = 13. V i n = 13 thì ta có bi u th c đ bài tr thành tìm h s x2 trong khai tri n c a x2 + . x Ta vi t l i bi u th c 13 13 2 x2 + x = ∑ C13 x2(13−k) .2k .x−k k k=0 5
Do h s c n tìm ch a x2 nên 2(13 − k) − k = 2. V y k = 8. Do đó h s khai tri n c n tìm là: 28 .C13 8 .vn √ Câu 6b.a Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy vi t phương trình elip (E) đi qua M(2 3; 1) và phương trình ti p tuy n t i √ M là 3x + 2y − 8 = 0. L i gi i: (thienlonghoangde) x 2 y2 √ G i phương trình (E) : 2 + 2 = 1. (E) đi qua M(2 3; 1) ⇒ a2 + 12b2 − a2 b2 = 0 (1) a b √ 2 3x y Phương trình ti p tuy n theo phương pháp phân đôi to đ qua M là : + 2 = 1 (2) √ a2 b Theo gi thi t thì phương trình ti p tuy n t i M là 3x + 2y − 8 = 0 (3) a th a2 a2 b2 Ta đ ng nh t hai h s phương trình ti p tuy n l o như sau: 2b2 = = 2 8 2 2 K t h p v i (1) ta có a2 = 16; b2 = 4. V y phương trình (E) là : x + y = 1. 16 4 x+3 y−1 z+3 x−1 y+1 Câu 6b.b Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz , cho hai đư ng th ng d1 : = = , d2 : = = 2 1 1 2 −2 z−3 . và m t ph ng (P) : x + 2y + 2z + 7 = 0. Vi t phương trình m t c u (S) có tâm n m trên đư ng th ng d1 , ti p xúc v i 1 đư ng th ng d2 và m t ph ng (P). L i gi i: (thienlonghoangde & hungchng) Ta có kho ng cách t I đ n (P) là : d[I; (P)] = − − → [IM; →] n2 m G i I là tâm m t c u (S). (d1 ) có vecto ch phương là → = (2; 1; 1) và I ∈ (d1 ) nên I(2t − 3;t + 1;t − 3) v i t ∈ R. −n1 |2t − 3 + 2(t + 1) + 2(t − 3) + 7| √ 1 + 22 + 22 − → = |2t| √ − − → (d2 ) đi qua đi m M(1; −1; 3) và có vecto ch phương là → = (2; −2; 1). IM = (4 − 2t; −2 −t; 6 −t), [IM; →] = (10 − 3t; 8; 6t − 4) − n2 n2 ox (10 − 3t)2 + 64 + (6t − 4)2 45t 2 − 108t + 180 d[I; (d2 )] = = = |→| − n2 22 + (−2)2 + 1 3 d[I; (P)] = d[I; (d2 )] ⇔ 45t 2 − 108t + 180 = 36t 2 ⇔ t 2 − 12t + 20 = 0 ⇔ t = 2 ho c t = 10 Thay vào ta tìm đư c hai phương trình m t c u (S) là : (x − 1)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 16 ho c (x − 17)2 + (y − 11)2 + (z − 7)2 = 400 /b Câu 7b. Gi i phương trình: log3 (2x − 3) = log5 (3x + 7). L i gi i: (thienlonghoangde & thiencuong_96) Ta đ t log3 (2x − 3) = log5 (3x + 7) = t. T đó ta có h : 3t = 2x − 3 (1) p:/ 5t = 3x + 7 (2) Nhân 3 vào (1) và nhân 2 vào (2) và sau đó l y hai pt m i tr v theo v ta đư c: t t t 3 23 3 3 23 1 3.3t + 23 = 2.5t ⇔ 3. + =2⇔ . + . =1 5 5t 2 5 2 5 3 3 t 23 1 t 3 3 t 3 23 1 t 1 Xét f (t) = . + . f (t) = . . ln + . . ln < 0 ∀t 2 5 2 5 2 5 5 2 5 5 V y hàm s luôn ngh ch bi n. Nh n th y f (2) = 1 V y t = 2 là nghi m c a phương trình trên. Suy ra x = 6. htt Cảm ơn (hynagacu@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl 6