Tổng quan bài toán tính giá trị hợp lý đối với mô hình ( B, S ) thị trường chứng khoán

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong số các ứng dụng đó có mô hình của Black-Scholes. Mô hình này đã được sử dụng rất thành công trong việc đánh giá quyền chọn mua (option) trên các thị thường tài chính nói chung và thị trường chứng khoán nói riêng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng quan bài toán tính giá trị hợp lý đối với mô hình ( B, S ) thị trường chứng khoán

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 3(43)/N¨m 2007 TỔNG QUAN BÀI TOÁN TÍNH GIÁ TRN HỢP LÝ ĐỐI VỚI MÔ HÌNH (B, S) THN TRƯỜNG CHỨNG KHOÁN Đinh Trung Thực (Khoa KH Tự nhiên&Xã hội- ĐH Thái Nguyên) 1. Mở đầu Như ta đã biết, trong nhiều năm qua lý thuyết xác suất nói chung và lý thuyết phương trình vi phân nói riêng đã được áp dụng rất có hiệu quả trong các hoạt động tài chính. Trong số các ứng dụng đó có mô hình của Black-Scholes. Mô hình này đã được sử dụng rất thành công trong việc đánh giá quyền chọn mua (option) trên các thị thường tài chính nói chung và thị trường chứng khoán nói riêng. Mô hình Black – Scholes đã cho biết diễn biến của giá chi phí St tại thời điểm t xác định bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên: dSt = µ.dt + σ .dwt , trong đó µ , σ là các hằng số, Wt là một chuyển động Brown tiêu chuNn. Dựa trên mô hình này, sử dụng kiến thức về xác suất người ta có thể tìm được thời điểm bán hợp lý nhất. Tuy nhiên, mô hình Black – Scholes cần có một số giả thiết như: Thị trường hoạt động liên tục, lãi xuất không đổi, không có chi phí giao dịch… Cơ sở về quyền lựa chọn mua (đầu tư), bán (thanh toán) cổ phiếu đã được nói đến trong các công trình của Harison, Kreps, Pliska, Bensossa và Karatzas. Trên thế giới đã hình thành nhiều loại quyền chọn mua, bán nhưng người ta thường quan tâm đến hai loại chủ yếu: 1, Quyền chọn mua, bán kiểu châu Âu (European Option) trong đó chỉ cho phép kinh doanh tại chính một thời điểm cố định T. 2, Quyền chọn mua, bán kiểu Mỹ (American Option ) trong đó cho phép có thể kinh doanh tại bất cứ thời điểm t nào mà: t ≤T. Trong bài báo này, chúng tôi xin trình bày mô hình quyền lựa chọn kiểu Nga và xây dựng mô hình tổng quan cách tìm thời điểm thanh toán tối ưu, sao cho trung bình lợi nhuận thu được là lớn nhất trong trường hợp dãy các thời điểm thanh toán là hữu hạn. 2. Quyền lựa chọn kiểu Nga Xét mô hình (B,S) thị trường chứng khoán gồm hai đối tượng: + Vốn ngân hàng B = (Bn )n ≥0 (1) + Cổ phiếu S = (S n )n≥ 0 Sự thay đổi của Bn và Sn được thể hiện bởi công thức sau: + Bn = (1 + r ).Bn −1 , n ≥ 1 , B0 > 0 , với r > 0 , (r là lãi suất) + Sn = (1 + ρ ).Sn −1 , n ≥ 1 , S0 > 0 , 120 (2) T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 3(43)/N¨m 2007 ở đây dãy ρ = ( ρ n ) n ≥ 1 được gọi là dãy “bất thường” và ρ n nhận một trong hai giá trị a hoặc b với -1< a < r < b (3) Trong đó : a = λ −1 -1, b = λ − 1 với λ > 1 (4) λ .S n −1 khi ρ n = b S n =  −1 λ .S n −1 khi ρ n = a (5) Khi đó Giả sử đại lượng ε n nhận 2 giá trị 1 và -1, ε n = 1 ⇔ ρ n = b, ε n = − 1 ⇔ ρ n = a khi đó : S n = S 0 .λ ε 1 + ε 2 + ...+ε n (6) Ta giả sử kết cấu “Xác suất” của dãy ε = (ε n ), n ≥ 1 được cho trên không gian (Ω, ℑ) với Ω = {− 1,1} ∞ 1 ; ε n = ε n (ω ), ω ∈ Ω . Và trên (Ω, ℑ) đã cho họ P^ các độ đo xác suất P sao cho ε 1 , ε 2 , ... là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với : P(ε i =1) = p, P(ε i = −1) = 1− p ( 0 ℑ n = σ (ε 1 , ε 2 ,..., ε n ) và ký hiệu Pn = P ℑ n là giới hạn độ đo xác suất trên σ đại số ℑ n , n ≥1, ℑ0 = ( φ , Ω ) và: Giả sử S n = S n (ω ) = S 0 .λ ε1 (ω ) + ε 2 (ω ) + ...+ε n (ω ) Ký hiệu τ = τ (ω ) và τ nhận các giá trị 0, 1, 2, … là thời điểm mà người mua cổ phiếu có quyền bán (thanh toán) cổ phiếu của mình và thời điểm này độc lập với tương lai tức là nó sẽ là thời điểm Markov đối với nhóm σ đại số (ℑ n )n ≥ 0 với hàm thanh toán đối với quyền lựa chọn là f τ = f τ (ω ) (ω ) ở đây fτ (ω ) (ω ) = β và β τ (ω ) . max S k (ω ) (7) k ≤τ là yếu tố giảm giá nào đó : 0 < β < 1 . Giá hợp lý V được xác định dưới dạng : V = sup E τ ở đây α = (1+ r ) −1 và E* là kỳ vọng E *α .λε i =1 ứng với độ đo α τ ( ω ) . fτ ( ω ) * (8) P* ∈ P ^ sao cho (9) 121 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 3(43)/N¨m 2007 3. Kết quả * Mô hình quyền lựa chọn kiểu Nga chỉ đề cập đến yếu tố giảm giá chứ chưa đề cập rõ đến yếu tố rủi ro. Trong thực tế, mọi cuộc đầu tư đều có thể gặp những rủi ro nhất định như: rủi ro lãi suất, rủi ro sức mua, rủi ro thị trường lên – xuống, rủi ro quản lý, rủi ro phá sản, rủi ro bị mua lại… Do đó trong quyền lựa chọn kiểu Nga cần quan tâm thêm đến hệ số rủi ro. * τ (ω ) * Từ (7), (8) giá hợp lý V = Sup E (α .β ) . max S k (ω ) . k ≤τ τ Giả sử nhà đầu tư cần tìm thời điểm bán (thanh toán) cổ phiếu sao cho trung bình lợi nhuận thu được là lớn nhất. Đây chính là dạng bài toán tìm thời điểm dừng tối ưu. Thời điểm E *α τ dừng τ (ω) mà τ * hợp lý nhất (tối ưu) là thời điểm (ω ) τ* mà . f τ * (ω ) = Sup E *α τ (ω ) . f τ (ω ) ở đây Sup được lấy theo tất cả các thời điểm τ (ω ) Eα * τ (ω ) . fτ ( ω ) tồn tại. Dưới đây ta xét trường hợp đơn giản: dãy các thời điểm thanh toán (bán) cổ phiếu là hữu hạn. Ký hiệu C = {τ (ω ) : τ (ω ) ≤ N } với N τ (ω ) là thời điểm thanh toán cổ phiếu. V N = Sup E *α τ (ω ) . fτ (ω ) . τ ∈C N Khi đó thời điểm τ * (ω )∈C N và E *α τ Để xác định * (ω ) τ * (ω ) là thời điểm thanh toán tối ưu trong CN nếu . fτ * ( ω ) = V N τ * (ω ) và VN ta sử dụng “kỹ thuật lồng” như sau: Giả sử với mỗi n= 1, 2, …N ta ký hiệu: C n = {τ : n ≤ τ ≤ N N } VnN = Sup E *α τ (ω ) . fτ (ω ) τ (ω )∈CnN Khi đó : + Nếu n = N thì trong C nN có duy nhất một thời điểm dừng và như vậy τ = n = N là thời điểm dừng tối ưu duy nhất trong C nN và V N = E *α n . f n ( ) + Với n = N- 1 ta so sánh α N − 1 . f N −1 với E α . f N ℑ N − 1 và sử dụng quy tắc: thời * điểm dừng tối ưu τ sẽ là:  N −1  τ =  N 122 N ( < E (α khi α N −1 . f N − 1 ≥ E * α N . f N ℑ N − 1 khi α N − 1 f N −1 * N . f N ℑ N −1 ) ) T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 3(43)/N¨m 2007 4. Kết luận Với điều kiện cụ thể ta có thể xây dựng được mô hình tổng quan của bài toán tìm thời điểm bán cổ phiếu. Khi đã có dạng của bài toán ta có thể vận dụng quy tắc tìm thời điểm tối ưu để tìm thời điểm sao cho tại thời điểm đó ta thu được lợi nhuận cao nhất. Tuy nhiên theo chúng tôi trước khi đầu tư ta cần tính toán từng yếu tố ảnh hưởng tới quá trình đầu tư, so sánh để rồi đi đến quyết định lựa chọn một danh mục đầu tư sao cho các yếu tố bất lợi xảy ra thấp nhất SUMMARY This writing mentions the Russian option on the model BS of the stock market. Aslo, it builds the comprehensive model to find the way of the best liquidation time. In the model, profit average is the biggest if the range of liquidation time is limited. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. A. N. Shiryae (1994), “Về việc tính giá trị hợp lý trong mô hình thị trường chứng khoán (B , S) đối xứng”, “Lý thuyết xác suất và ứng dụng của nó ”, Nxb Khoa học Maxcơva, trang 191 – 200, . [2]. A. N. Shiryaev (1994), “Phân tích thống kê liên tiếp và các quy tắc dừng tối ưu”, Nxb Khoa học Maxcơva. [3]. D. Gaustin (1936), “Asample property of martingales”, Ann Math, Stat 37, 1396 – 1397. [4]. Lý Vinh Quang (1998), “Chứng khoán và phân tích đầu tư chứng khoán”. [5]. Trần Hùng Thao (2000), “Tích phân ngẫu nhiên & phương trình vi phân ngẫu nhiên”, Nxb Khoa học và kỹ thuật. 123