Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm từ năm 2003 đến năm 2010

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:207

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu được tổng hợp từ các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi cấp trường, huyện, tỉnh, thành phố, quốc gia từ năm 2003 đến năm 2010 phục vụ cho quá trình ôn luyện, luyện thi và nâng cao kiến thức môn Toán cho học sinh lớp 12.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm từ năm 2003 đến năm 2010

Trêng THPT Yªn M« B §Ò thi chän häc sinh giái líp 12 (Thêi gian lµm bµi 180 phót kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1 1. cos5x + sin7x + (cos3x + sin5x)sin2x = cosx + sinx 2 2. x + x  7 + 2 x 2  7 x = 35 - 2x x 1 C©u 2. Cho hµm sè y = x2 1. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng y = m - x lu«n c¾t ®å thÞ hµm sè ®· cho t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt thuéc hai nh¸nh cña ®å thÞ. Khi nµo th× hai tiÕp tuyÕn t¹i hai ®iÓm ®ã song song víi nhau? 2. T×m ®iÓm A thuéc ®å thÞ hµm sè ®· cho sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn hai trôc to¹ ®é nhá nhÊt. C©u 3. 1. Chøng minh r»ng víi mäi x, y ta cã : x2.sin2y + cos2y + 2x(sinx + cosy) + x2 + 1 > 0  x2  y 2  9  2. Trong c¸c nghiÖm cña hÖ  z 2  t 2  16 H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña x + y  xt  yz  12  C©u 4. 1. Cho 13 sè thùc kh¸c nhau chøng minh r»ng lu«n t×m ®îc hai sè a, b trong 13 sè ®ã a b 2 3 tho¶ m·n 0< < 1  ab 2 3  1 u1   1 1 1 1  2. Cho d·y sè (un) tho¶ m·n:  2 T×m lim     ...   u  u 2  u  u1  1 u2  1 u3  1 un  1   n 1 n n C©u 5 Cho hai ®êng th¼ng chÐo nhau vµ vu«ng gãc víi nhau d1 vµ d2, AB lµ ®o¹n vu«ng gãc chung, A thuéc d1 B thuéc d2. BiÕt AB = 2a, C lµ ®iÓm n»m trªn d1 D lµ ®iÓm n»m trªn d2 §Æt AC = x, BD = y. a. CMR c¸c mÆt cña tø diÖn ABCD lµ tam gi¸c vu«ng khi ®ã tÝnh tæng b×nh ph¬ng diÖn tÝch c¸c mÆt cña tø diÖn ABCD theo a, x, y ®Æt tæng nµy lµ S. b. T×m hÖ thøc gi÷a x, y vµ a ®Ó CD = x + y. khi ®ã t×m x, y sao cho S nhá nhÊt. ---------------------- HÕt ----------------------
UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011 ================ Câu 1:(5 điểm) 1/ Cho hàm số y  x 3  3x  2 có đồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng trên (T), tiếp tuyến của (T) tại các điểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các điểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng. 2/ Cho hàm số y  x 2n 1  2011x  2012 (1) , chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm. Câu 2:(5 điểm) 1/ Giải phương trình: log 2 x  log 4 x  log 6 x  log3 x  log 5 x  log7 x  x   . 2 1 1 2/ Giải phương trình:  5x  6    x2  x  . 5x  7 x 1 Câu 3:(3 điểm) Kí hiệu Ckn là tổ hợp chập k của n phần tử  0  k  n; k, n   , tính tổng sau: S  C02010  2C12010  3C 2010 2 2009  ...  2010C 2010 2010  2011C2010 . Câu 4:(5 điểm) 1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành, AD  4a  a  0  , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất. 2/ Cho tứ diện ABCD có BAC  60 0 , CAD  1200 . Gọi E là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông. Câu 5:(2 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x 2  y 2   . Chứng minh rằng: cos x  cos y  1  cos  xy  . …………………… HẾT…………………… (Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 - 1 (Thời gian làm bài 180’) ĐỀ SỐ 1 Câu 1: Chứng minh rằng hàm số y = x4- 6x2 + 4x + 6 luôn luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của các tam giác tạo bởi 3 đỉnh và 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Câu 2: Giải hệ phương trình. x+y = 4z 1 y+z= 4x  1 z+x= 4y 1 Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc oxy cho parabôn (P): y2 = 4x. M là một điểm di động trên (P). M  0, T là một điểm trên (P) sao cho T  0, OT vuông góc với OM. a. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đường thẳng MT luôn đi qua một điểm cố định. b. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì thì trung điểm I của MT chạy trên 1 pa ra bol cố định . Câu 4: Giải phương trình sau: 3 3 sinx + siny + sin (x+y) = 2 4 n cos x Câu 5: Cho dãy số In =  dx , nN* 2n x Tính lim In n   Câu 6: Cho 1  a > 0, chứng minh rằng. ln a 1 3 a < a 1 a  3 a
ĐÁP ÁN Câu 1: (3 điểm ) Tập xác định: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + 6. y’ = 4x3 - 12x + 4 y’ = 0 g(x) = x3 - 3x + 1 = 0 (1) Ta có g(x), liên tục g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = 3  g(- 2).g(-1)  0   g(-1).g(1)  0  g( 1).g( 2)  0  g(x) liên tục nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn : - 2 < x1 < -1 < x2 < 1 < x3 < 2 1 * Ta có y = y’.x- 3.(x2 - x - 2) (1) 4 Gọi các điểm cực trị là A (x1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) và G (x0,y0) là trọng tâm tam giác ABC. Theo ĐL Viet có x1 + x2 + x3 = 0 (2) x1 x2 + x2x3 = x3 x1 = -3 (3) x  x  x3 Từ (2) suy ra x0 = 1 2 =0 3 Từ (1) (2) (3) suy ra: 1 y0 = (y1+y2+y3) = -3 ( x12  x22  x32 )-(x1+x2+x3) - 6 3 = -3 (x1 + x2 + x3)2 - 2 (x1x2 + x2x3 + x3 x1) - 6 = -3 (0 - 2 (-3) - 6) = 0 Vậy G (0;0)  0(0;0) (ĐPCM) Câu 2: ( 2 điểm) x+y = 4 z  1 (1) 1 y + z = 4x  1 (2) (I) đk x,y,z > 4 z + x = 4y 1 (3) áp dụng bất đẳng thức cosi tacó: (4 z  1)  1 4 z  1  (4 z  1).1 < = 2z (1’) 2 Tương tự 4 x  1 < 2x (2’) 4 y  1 < 2y (3’) Từ (1’) ;(2’) ; (3’) và (1) ; (2) ; (3) suy ra. 2(x+y+z) = 4 z  1  4 x  1  4 y  1 < 2z + 2x + 2y (4) Từ (4) suy ra: 4z - 1 = 1 1 (I) 4x - 1 = 1 x=y=z= nghiệm đúng (I) 2 4y - 1 = 1 1 Vậy hệ (I) có nghiệm x = y = z = 2 2 Câu 3: (P): y = 4x
 y 12   y 22  a. (3điểm ) Giả sử M  ; y   4 1  ; T  4 ; y 2  với y1,y2  0; y1  y2.     2 2 y y OTOM  OT.OM  0  1 . 1  y 1 .y 2  0 4 4  y1 . y2 + 16 = 0 (1) 2 y x- 1 4 y - y1 Phương trình đường thẳng MT: 2 2  y 2 y1 y 2 - y1 - 4 4 2  4x - y 1 = (y1 + y2). (y-y1)  4x - (y1 + y2) y - 16 = 0  4(x- 4)- (y1 + y2) y= 0 Nên đường thẳng MT luôn đi qua điểm cố định J (4;0) b. (3điểm) Gọi I (x0, y0) là trung điểm MT thì 1 x0 = y 12  y 22  (1) 8 y  y2 y0 = 1 (2) 2 1 1 Từ (1) suy ra x0 = (y1+y2)2 - 2y1 y2 = (2y0)2 - 2 (-16) 8 8 1 2 = . y 0  4  y 02 = 2x0 - 8 2 Từ đó  I chạy trên parabôn (P) : y2 = 2x = 8 cố định . Câu 4: (3 điểm) 3 3 sin x + sin y + sinz (x+y) = (1) 2 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki và từ (1) ta có . 27 3 3 2 ( ) = [sinx + siny + sinz (x+y)] 2 < (12 + 12+12).(sin2x + zin2 y + sin2(x+y)) 4 2 1  cos 2 x 1  cos 2 y = 3.   +sin2 (x+y) 2 2 = 3.[1- cos (x+y) . cos (x-y) + 1 - cos2 (x+y)] 1 1 = 3. 2-(cos (x+y)+ cos (x-y)2) + cos2 (x-y) 2 4 1 27 1 < 3 (2- 0 + ) = (2) (Do cos2 (x-y) < 1; (cos (x+y) + cos (x-y)2 > 0 4 4 2 Từ (2) suy ra: cos2 (x-y) = 1 1 (1)  cos (x+y) + cos (x-y) = 0 2
3 sinx = sin y = sin (x+y) = 2    x  3  2k   víi k , n  Z  y    2n  3 4n  cosx Câu 5: (3 điểm) In   dx 2n x 1 Ta chứng minh: 0 < In < (1) 4n 4 n 4 n 4 n cos x d (sin x) sin x 4n 1 Ta có: In =  dx =  = -  sin x.d ( x ) 2n x 4n x x 2n 2n 4 n sin x =  dx 2n x2 sin x 1 * Ta có: < x  2n , 4n  nên x2 x2 4 n dx 1 4n 1 1 1 In <  2  =-   (2) 2n x x 2n 4 n 2n 4 n 2 n 1 2 ( k 1) sin x 2 ( k 1) sin x * Ta có: In =   dx đặt JK =  dx k n 2k x2 2k x2 ( 2 k 1) 2 ( k 1) 2 ( k 1) sin x sin x 1 1 => JK =  +  dx > sin x ( x  )dx >0 (3) 2k x2 ( 2 k 1) x2 2k 2 (x   )2 2 n 1 Ta lại có: In =  Jk do (3) nên In > 0 (4) k n 1 Từ (2) (4) suy ra 0 < In   (1) đúng 4n 1 Ta lại có Lim = 0 nên Lim I n  0 4n n   n   Câu 6: (3 điểm) ln a 1 3 a < (1) với 1  a > 0 a 1 a3 a Trong hợp 1: a >1 (1) (a + 3 a )lna < (1 + 3 a ) (a-1) (2) Đặt x = 3 a => x >1 3 3 (2) 3(x +x) lnx < (1+x).(x -1) x > 1 4 3 3 x + x - x - 1 - 3 (x +x)lnx > 0 (3) x > 1 Đặt f(x) = x4 + x3 - x - 1 -3 (x3 + x)lnx x 1;+  )
1 Ta có f’(x) = 4 x3 + 3x2 - 1 - 3 (3x2 + 1) lnx + (x3 + x) .  x = 4x3 - 4 - 3 (3x2 + 1) lnx 1 1 f”(x) = 3.(4x2 - 3x - 6xln x - ) f(3)(x) = 3 ( 8x + 2 -6ln x - 9) x x 3 2 6 2 6(4 x  3 x  1) 6( x  1)(4 x  4 x  1 f(4)(x) = 3.(8-  3 ) = = > 0 , x > 1 x x x3 x3 Suy ra f(3)(x) đồng biến nên [1;+  ) f(3)(x) > f(3)(1) = 0 ... tương tự f’(x)> 0 với x > 1  f(x)> f (1) = 0 với x >1 suy ra (3) đúng. 1 Trường hợp 2: 0 < a < 1 đặt a = , a1 > 1 quay về trường hợp 1. a1
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Trường THPT chuyên ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN LỚP 12 Nguyễn Bỉnh Khiêm Thời gian : 45 phút (Dành cho lớp chuyên Anh) x3 4 Bài 1) ( 8 điểm) Cho hàm số y =  2 x 2  3x  3 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2) Xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt : x3 – 6x2 + 9x – 4 = 3m2 – 7m 5 3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị , biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 1; ) 3 x3 Bài 2) ( 2 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị (C) x 1 Xác định m để đường thẳng d: y = m(x – 3) + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh. ĐÁP ÁN Bài 1) ( 8 điểm) 1) (3 điểm) + TXĐ: D = R + lim y    , lim y    x  x  x  1 y  0 2 + y’ = x – 4x + 3 , y’ = 0   x  3  y   4  3 +BBT x - 1 3 + y’ + 0 - 0 + 0 + y 4 -  3 + Hàm số đồng biến trên các khoảng (-  ; 1) và ( 3; +  ), nghịch biến trên khoảng (1; 3) 4 Điểm cực đại đồ thị (1,0), điểm cực tiểu đồ thị (3,  ) 3 2 2 +y” = 2x – 4 , y” = 0  x = 2  y   . Suy ra điểm uốn đồ thị (2,  ) 3 3 4 x  1 + Điểm đặc biệt : x = 0  y   ., y = 0   3 x  4 + Đồ thị
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. x3 hx =  3   -2x2 +3x - 4 3 4 2 -5 5 -2 2) (2,5 điểm) x3 4 7 Phương trình : x3 – 6x2 + 9x – 4 = 3m2 – 7m   2 x 2  3x   m 2  m (1) 3 3 3 7 + Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m 2  m cắt đồ thị 3 x3 4 4 7 y=  2 x 2  3x  tại 3 điểm phân biệt    m 2  m  0 3 3 3 3  2 7 4  4 m  3 m  3  0 m  1  m  3 0  m  1    4 7 7 m 2  m  0 0  m  7  m   3 3 3 3 3) (2,5 điểm) 5 5 + Đường thẳng d qua A(1, ) với hệ số góc k có phương trình : y = k(x – 1) + 3 3 + Đường thẳng d tiếp xúc đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm  x3 2 4 5   2 x  3 x   k ( x  1)  (1) 3 3 3  2  x  4 x  3  k (2) x3 4 5 Thế (2) vào (1) ta có  2 x 2  3x  = (x – 1) ( x2 – 4x + 3) + 3 3 3 2  x(2x – 9x + 12) = 0  x = 0 . 5 Thế x = 0 vào (2) ta có k = 3 suy ra phương trình tiếp tuyến y = 3(x – 1) + 3
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Bài 2) (2 điểm) x3 + Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d :  m( x  3)  1 x 1 m  1  2 mx  2mx  3m  4  0 (1) + Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện x1 < - 1 < x2  m  0 m  0 m  0  2  2     m  m(4  3m)  0  4m  4m  0  m  0  m  1 m0 ( x  1)( x  1)  0 x x  ( x  x )  1  0  4  3m  1 2  1 2 1 2   2 1  0  m **********************
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO PHÚ YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG Năm học 2010 – 2011 TỔ TOÁN MÔN TOÁN – LỚP 12 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ------------------------------ Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y = x 4 + 2(m + 2)x 2 + m 2 + 3m + 1 . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. Bài 2: (4 điểm)  π Cho f (x) = cos 2x − 2 2 cos  x −  + 2x .  4 π Giải phương trình: f '(x) = f '   − 4 . 2 Bài 3: (5 điểm) 2 Cho phương trình: m + x − x2 = x + 1− x . 3 a/ Giải phương trình khi m = 1. b/ Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm. Bài 4: (4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a 2 . Mặt phẳng (P) đi qua AB và chia tam giác SCD thành hai phần sao cho diện tích phần thứ nhất bằng 8 lần diện tích phần thứ hai (phần thứ hai là phần chứa đỉnh của hình chóp). Giả sử mp(P) vuông góc với mp(SCD), tính diện tích hình thiết diện tạo bởi hình chóp S.ABCD với mp(P). Bài 5: (2 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx < 3xyz . x+y y+z z+x Chứng minh rằng: + +
SỞ GD-ĐT BẠC LIÊU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐBSCL MÔN TOÁN Thời gian làm bài 180’ Caâu 1 (4ñ) Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn điều kiện : a 4  b 4  c 4  d 4  e42  1 Chứng minh rằng : a3 b3 c3 d3 e3 54 5      b4  c4  d 4  e4 c 4  d 4  e4  a 4 d 4  e4  a 4  b4 e4  a 4  b4  c4 a4  b4  c 4  d 4 4 Câu 2 (4đ) Giải phương trình sau : sin 3 x  4 cos 3 x  3 cos x Câu 3 (4đ) 2 Cho dãy số (an) , n= 1,2,3…. được xác định bởi a1  0, an 1  can  an với n = 1,2,3 … Còn c là hằng số dương. Chứng minh rằng : an  c n 1.n n .a1n 1 Câu 4 (4đ) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác không vuông ABC . Chứng minh rằng:     (tgA  tgB )OC  (tgB  tgC )OA  (tgC  tgA)OB  0 Câu 5 (4đ) Các cạnh AC,ADvàBC,BD của tứ diện ABCD tiếp xúc với mặt càu S tâm I nằm trên cạnh AB bán kính R. còn các cạnh CA,CBvà DA,DB tiếp xúc với mặt cầu S’ tâm J nằm trên cạnh CD bán kính r. Chứng minh rằng : AB 4 (CD 2  4r 2 )  CD 4 ( AB 2  4 R 2 ) Hết
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HẬU GIANG ĐỀ THI ĐBSCL MÔN TOÁN BÀI 1 (số học ) Cho a, b  Z . Chứng minh rằng : Nếu 24a2 + 1 = b2 thì một và chỉ một trong các số a và b chia hết cho 5. BÀI 2 (Đại số) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : f(x) = 20x144 – 1.x120 + 2006, xIR. BÀI 3 (Hình học phẳng) Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động sao cho 1 1 1   (không đổi). AM AN l Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định. BÀI 4 (Hình học không gian) Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC nhọn. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại A lấy điểm S di động, gọi K và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên AC và SC, đường thẳng l đi qua K và H cắt đường thẳng d tại N. Định điểm S trên d sao cho đoạn SN ngắn nhất. BÀI 5 (dãy số) f (1). f (3)... f (2n  1) Cho dãy un nN * và un  , n  1; 2;3;... f (2). f (4)... f (2n) Trong đó : f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 2 Chứng minh rằng : lim n un  n  2
SỞ GD&ĐT BẾN TRE KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẾN TRE ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN Thời gian: 180 phút Câu 1 (3đ) : Giải hệ phương trình: ( x  3 y  4 z  t ) 2  27( x 2  y 2  z 2  t 2 )  3 3 3 3  x  y  z  t  93 Câu 2 (3đ): Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vuông góc với AB kẻ từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy. Câu 3 (2đ): Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 4 y 3  4 x 2 y 2  4 xy 2  x 2 y  5 x 2  4 y 2  4 xy  8 x  0 Câu 4 (3đ): Cho dãy số (un ) xác định như sau :  2008 u1   2009 u 2  2u  1  0 , n  1, 2,3,...  n n 1 Tìm lim un n  Câu 5 (3đ): Cho hai số tự nhiên n, k thỏa : 0  k  n . Chứng minh rằng : C2nn k .C2nn k  ((Cn0 )2  (Cn1 )2  ...  (Cnn )2 )2 Câu 6 (3đ): Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  1. xy yz zx Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f    . z x y Câu 7 (3đ): Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Các điểm X,Y,Z lần lượt di động trên các cạnh C’D’, AD, BB’. Định vị trí của X,Y,Z để chu vi tam giác XYZ nhỏ nhất. 1
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH Trường THPT Cao lãnh 2 NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 21 tháng 9 năm 2009 (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: (3.0 điểm) x2 1.1. Cho hàm số y  (C). Cho điểm A (0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ được hai tiếp tuyến x 1 tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục ox. 1.2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: x 6  z 3  15x 2 z  3x 2 y 2 z   y 2  5  3 Câu 2: (3.0 điểm) sin 2 x sin 2 2 x 2.1. Giải phương trình:  2 sin 2 2 x sin 2 x 2.2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:  A  B  C   A B C   tg  3  tg  3  tg  3   4 tg  tg  tg  3   3  3  3   3 3 3  Câu 3: (3.0 điểm) 3.1. Giải bất phương trình: x 2  3x  2  2 x 2  3x  1  x  1 3.2. Tìm m để phương trình: m   x 2  2x  2  1  x(2  x)  0 (2) có nghiệm x   0; 1  3    Câu 4: (3.0 điểm) 4.1. Cho đa thức P (x) = x5 + x4 – 9x3 + ax2 +bx + c. Biết rằng P (x) chia hết cho (x - 2)(x + 2)(x + 3). Hãy tìm đa thức ấy. u1  2 4.2. Cho dãy số (un) xác định bởi:  với n  1  un  3 un1   1  3.un Xác định số hạng tổng quát (un) theo n. Câu 5: (3.0 điểm) 5.1. Cho tam giác ABC. Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB, sáu đường thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo ra bao nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang?   2 2   2 n   5.2. Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức: C n1  2 C n2  ...  n C nn  C 2nn 2 Câu 6: (2.0 điểm) 1  a b c 7 Cho a, b, c   ;3 . Chứng minh rằng:    3  ab bc ca 5 Câu 7: (3.0 điểm) 7.1. Trên mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxy cho các đường thẳng d1 : 3 x  y  4  0; d 2 : x  y  6  0; d 3 : x  3  0 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng A và C thuộc d3, B thuộc d1, D thuộc d2. 7.2. Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2 6 . Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó./.Hết. Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH Trường THPT Cao lãnh 2 NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày 21-9-2009 (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có trang) Điểm Đáp án 3.0 Câu 1 2.0 1.1. Phương trình tiếp tuyến. 0.25 Phương trình tiếp tuyến qua A (0;a) có dạng y =kx+a (1) x  2  x  1  kx  a (2 ) Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A: có nghiệm x  1 0.25    3 k (3)  (x  1) 2 Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được: (a  1)x  2(a  2)x  a  2  0 2 0.25 ( 4) a  1 Để (4) có 2 nghiệm x  1 là: f (1)  3  0  a  1 0.25   '  3a  6  0 a  2  0.25 Hoành độ tiếp điểm x 1 ; x 2 là nghiệm của (4) . Tung độ tiếp điểm là y  x1  2 , y 2  x 2  2 1 x1  1 x2  1 0.5 Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là : y 1 .y 2  0  (x 1  2)(x 2  2)  0 (x 1  1)(x 2  2) x 1 x 2  2(x 1  x 2 )  4 9a  6 2 0.25 0 2  0  a   . Vậy   a  1 thoả mãn đkiện bài toán x 1 x 2  (x 1  x 2 )  1 3 3 3 1.0 1.2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương. (1)   x 2    y 2  5   x 3  3x 2 z  5  y 2  3 3 0.25 0.25 Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đđược: VT  VP . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x 2  y 2  5  z 0.25 Từ phương trình: x 2  y 2  5   x  y  x  y   5 0.25 Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là:  x, y, z    3, 2,9  3.0 Câu 2 2.0 2.1. Giải phương trình lượng giác. sin 2 x  0 sin 2 x sin 2 2 x  0.5 PT    2   sin x sin 2 x  2 sin 2 2 x sin 2 x    0  sin 2 x sin x  sin 2 x  0 1.0 hay sin 2 x  0  sin 2 x  0  2    2 1. sin x  sin 2 x sin x  sin 2 x cos x  4 2 2 2    x   3  2k 0.5 VËy   x   2  2k , k  Z  3 1.0 2.2. CMR B C  A  A    , ta suy ra: tan     tan    B C 0.25 Tõ 3 3 3 3  3 3  3 3 Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 2
B C A tg  tg 3  tg 0.25 Hay 3 3  3 B C A 1  tg .tg 1  3.tg 3 3 3 A B C A B C 0.25  tg  tg  tg  3  tg .tg .tg 3 3 3 3 3 3  A  B  C   A B C  0.25   tg  3  tg  3  tg  3   4  tg  tg  tg  3   3  3  3   3 3 3  3.0 Câu 3 1.5 3.1. Giải bất phương trình: x 2  3x  2  2 x 2  3x  1  x  1 ĐS *BPT có tập nghiệm S=(-;1/2]  {1} 1.5 3.2. Tìm tham số m. t2  2 2 2 ĐS Do đó, ycbt  bpt m  có nghiệm t  [1,2]  m  max g(t)  g(2)  Vậy m  t 1 t1;2 3 3 3.0 Câu 4 1.5 4.1. Tìm đa thức. ĐS Vậy đa thức phải tìm là P (x) = x5 + x4 – 9x3 - x2 +20x - 12. 1.5 4.2. CMR ĐS Suy ra: u2008  tan  2007    tan  502     tan     2  3  3  3  3  1 6 3.0 Câu 5 1.0 5.1. 0.5 Số hình bình hành là: C 52 .C 62  C 52 .C 72  C 62 .C 72  675 (hình). 0.5 Số hình thang là: C 52 .C 61 .C 71  C 62 .C 51 .C 71  C 72 .C 61 .C 51  1575 (hìnhh) 2.0 5.2. CMR 0.5 Đặt S là vế trái hệ thức cần chứng minh, lưu ý C n0  C nn  1 và C nk  C nn  k Ta thấy: 2 S  nC n1   nC n2   ....  nC nn 1   nC nn  1 2 2 2 2 0.5 Từ 1  x  1  x   1  x  , x  R . So sánh hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của n n 2n n và 1  x  ta suy ra: C n1   C n2   ...  C nn   C 2nn 0.75 1  x n 1  x n 2n 2 2 2 2 0.25 Từ (1) và (2) có đpcm. 2.0 Câu 6 Đặt F a, b, c   Giả sử a  maxa, b, c . a b c 0.25   ab bc ca    2 a b ab  c 0.5   Ta có: F  a, b, c   F a, b, ab  a  b  c  2 b  0 1 ab bc ca a  b  a  c  b  c  a  b   0.5  Để ý rằng F a, b, ab  7  1   a 5 b 2  7 . Đặt x  5 a b  3 , ta thấy 1 1 b a 0.5 b 1  a 2 7 x2   2  2 7 5 x 1 x 1 5 1 2 2    0   3  x   2 x  1  1  0   2 1 1 a b BĐT ( 2) đúng, từ (1), (2) có bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0.25 a, b, c    3;1; 1  và các hoán vị.  3 3.0 Câu 7 Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 3
1.5 7.1. Tìm tọa độ. 0.5 Ta có: B (b;3b  4)  d1 ; Dd ;6  d   d 2 . Vì A, C  d 3 // Oy nên B và D đối xứng nhau qua d3 0.5 Suy ra b  d  6 b  2 .  Do đó B (2; 2), D(4;2), dẫn tới tâm hình vuông ABCD là I (3; 2). 3b  4  6  d d  4 Mặt khác A(3; a )  d 3 và IA 2  IB 2 nên a  2   1  a  3 hoặc a = 1. 2 0.25 0.25 Bài toán có hai nghiệm hình: A (3; 3), B (2; 2), C (1; 3), D (4; 2); A(1; 3), B (2; 2), C (3; 3), D (4; 2) . 1.5 7.2. Tính thể tích và tìm bán kính mặt cầu nội tiếp. 1 3 0.5 * Ta có: VSAMN  SO.S AMN  3 2 0.5 * Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp SAMN. Sử dụng công thức: S SAMN  r S AMN  S ASN  S SMN  , ta tính được: r  1 3 0.5 3 42 2 Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì không chấm phần dưới. Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 4