http://www.diendantoanhoc.netUploadbyMagus
Tuyểntậpđềthi
IMO
IMOTaskCollection
HàNội2002
TuyểntậpcácđềthiIMO Page2
TuyểntậpcácđềthiIMO
KỳthiIMOlầnthứnhất 1959
1.Chứngminhrằng 21 4
14 3
n
n
+
+làphânsốtốigiảnvớimọisốtựnhiênn.
2.Vớigiátrịthựcnàocủaxthìbiểuthức 2 1 2 1x x x x + + + - -=Anhậncác
giátrị:
(a)A= 2
(b)A=1
(c)A=2
Ởđâychỉcócácsốthựckhôngâmchophéptrongdấucănvàgiátrịcủacăn
luônlấygiátrịkhôngâm?
3.Giảsửa,b,clàcácsốthực.Chophươngtrìnhsaucủacosx:
acos
2
x+bcosx+c=0
Hãythiếtlậpphươngtrìnhbậc2đốivớicos2xsaochocócùngnghiệmxvới
phươngtrìnhtrên.Sosánhcácphươngtrìnhtrênvớia=4,b=2,c=1.
4.Chotrướcđộdài|AC|,hãydựngtamgiácABCvớigóc
·
ABC=90độ,và
trungtuyếnBMthỏamãnBM
2 =AB.BC.
5.ChođiểmMtuỳýtrongđoạnthẳngAB.DựngcáchìnhvuôngAMCDvà
MBEFnằmcùngphíađốivớiđườngthẳngAB.GọiP,Qlầnlượtlàtâmcác
đườngtrònngoạitiếpcáchìnhvuôngAMCDvàMBEF.Cácđườngtrònnày
giaonhautạiMvàN.
(a)ChứngminhrằngAFvàBCcắtnhautạiN.
(b)ChứngminhrằngMNđiquamộtđiểmcốđịnhS(khôngphụthuộcvàoM).
(c)TìmquĩtíchtrungđiểmcủađoạnthẳngPQkhiMthay đổi.
6.ChohaimặtphẳngPvàQkhôngsongsongvớinhau.ĐiểmAnằmtrongP
nhưngkhôngthuộcQ,điểmCnằmtrongQnhưngkhôngthuộcP.DựngđiểmB
trongPvàDtrongQsaochotứgiácABCDthoảmãncác điềukiệnsau:nằm
trênngmộtmặtphẳng,ABsongsongvớiCD,AD=BC,vàngoạitiếpmột
đườngtròn.
TuyểntậpcácđềthiIMO Page3
KỳthiIMOlầnthứhai1960
1.Tìmtấtcảcácsốcóbachữsốsaochosốđóchiahếtcho11,vàkếtquảcủasố
đósaukhichiacho11bằngtổngbìnhphươngcácchữsốcủanó.
2.Vớigiátrịthựcnàocủaxbấtđẳngthứcsauthoảmãn:
2
2
4
(1 (1 2 ))
x
x - +< 2x+9
3.ChotamgiácvuôngABC,cạnhhuyềnBCcóđộdàiađượcchiathànhnphần
bằngnhau,trongđónlàmộtsốlẻ.PhầnđoạnthẳngởchínhgiữanhìnAdưới
mộtgóc
a
.GọihlàkhoảngcáchtừAxuốngBC.Chứngminhrằng:
tg
a
= 2
4
( )
nh
an a -
4.DựngtamgiácABCbiếtđộcácdàiđườngcaohạtừA,Bvàđộdàiđường
trungtuyếnkẻtừA.
5.ChohìnhlậpphươngABCDA
’
B
’
C
’
D
’ cóA ởtrênA',BởtrênB
’
,CởtrênC
’
,
DởtrênD
’
.XlàmộtđiểmbấtkìtrênđườngchéoACvàYlàmộtđiểmbấtkì
trênB
’
D
’
.
(a)TìmquỹtíchtrungđiểmcủaXY.
(b)TìmquỹtíchcácđiểmZtrênXYsaochoZY=2XZ.
6.Mộthìnhnóncómột hìnhcầunộitiếptiếpxúcvớimặtđáyvàvớicácmặt
nghiêngcủahìnhnón.Mộthìnhtrụngoạitiếphìnhcầusaochomặtđáycủanó
nằmtrênmặtđáycủahìnhnón.GọiV1,V2 lầnlượtlàthểtíchcủahìnhnónvà
hìnhtrụ.
(a)ChứngminhrằngV
1 ¹V
2
.
(b)Tìmgiátrịnhỏnhấtcóthểcủatỉlệ 1
2
V
V.Trongtrườnghợpnàyxâydựnggóc
nửacủahìnhnón.
KỳthiIMOlầnthứ3 1961
1.Giảihệphươngtrìnhsauvớiẩnx,y,z:
TuyểntậpcácđềthiIMO Page4
2 2 2 2
2
x y z a
x y z b
xy z
+ + =
ì
ï + + =
í
ï =
î
Vớiđiềukiệnnàocủaa,bđểx,y,zlàcácsốdươngkhácnhau?
2.Choa,b,clàcáccạnhcủamộttamgiácvàAlàdiệntíchcủanó.
Chứngminhrằng:
2 2 2 4 3a b c A + + ³
Dấuđẳngthứcxảyrakhinào?
3.Giảiphươngtrìnhcos
n
xsin
n
x=1,trongđónlàmộtsốtựnhiên.
4.PlàmộtđiểmbêntrongtamgiácABC.PAcắtBCtạiD,PBcắtACtạiE,và
PCcắtABtạiF.Chứngminhrằngítnhấtmộttrongcáctỉsố: , ,
AP BP CP
PD PE PF
khôngvượtquá2,vàítnhấtcómộttỉsốkhôngnhỏhơn2.
5.DựngtamgiácABCbiếtđộdàiđoạnAC=b,AB=cvàgócnhọn
·
A MB
a
=,
trongđóMlàtrungđiểmcủaBC.Chứngminhrằngtamgiácnàydựngđượcnếu
vàchỉnếu:
2
btg c b
a
£ <
Khinàothìxảyradấubằng?
6.ChobađiểmkhôngthẳnghàngA,B,Cvàmộtmặtphẳngpkhôngsongsong
vớimặtphẳngABC,saochocácđiểmA,B,Cnằmcùngphíađốivớimặtphẳng
p.LấybađiểmtuỳýA',B',C'trongp.GọiA'',B'',C''lầnlượtlàtrungđiểmcủa
cácđoạnthẳngAA
'
,BB
'
,CC
'vàgọiOlàtrọngtâmtamgiácA
''
B
''
C
''
.Tìmquỹ
tíchcácđiểmOkhiA
'
,B
'
,C
'thayđổi.
KỳthiIMOlầnthứ4 1962
1.Tìmsốtựnhiênnhỏnhấtcóchữsốcuốicùnglà6,saochonếusốcuốicùnglà
6đượcdichuyểnlênđầuthì đượcmộtsốgấp4lầnsốđó.
2.Tìmtấtcảcácsốthựcxthoảmãn:
1
(3 ) ( 1) 2
x x - - + >
TuyểntậpcácđềthiIMO Page5
3.HìnhlậpphươngABCDA'B'C'D'cómặttrênlàABCDvàmặtdướilà
A'B'C'D'vớiAởtrênA
'
,BởtrênB
'
,CởtrênC
'
,DởtrênD
'
.ĐiểmXdichuyển
theochuvicủaABCDvớitốcđộkhôngđổi,vàđiểmYcũngdichuyểnvớitốc
độnhưvậytheochuvicủaB'C'CB,khiXchuyểntừAtớiBthìYđồngthời
cũngdichuyểntươngứngtừB'tớiC'.TìmquỹtíchtrungđiểmcủaXY?
4.Tìmtấtcảcácnghiệmthựcthoảmãn:cos
2
x+cos
2
2x+cos
2
3x=1.
5.ChobađiểmphânbiệtA,B,CtrênđườngtrònK.DựngđiểmDtrênKsao
chotứgiácABCDngoạitiếpđườngtròn.
6.ChotamgiáccânABC.GọiO
1
,O
2 lầnlượtlàtâmcủađườngtrònngoạitiếp,
nộitiếptamgiácvàgọiR,rlầnlượtlàbánkínhcủađườngtrònO
1
,O
2
.Chứng
minhrằng:
O
1
O
2= ( ( 2 ))R R r -
7.TứdiệnSABCcótínhchấtsau:tồntại5hìnhcầu,mỗihìnhcầuđềutiếpxúc
với6cạnhcủatứgiáchoặcđườngkéodàicủachúng.
(a)ChứngminhrằngtứdiệnSABClàđều.
(b)Chứngminhrằngvớimỗitứdiệnđều5hìnhcầunhưvậytồntại.
KỳthiIMOlầnthứ5 1963
1.Vớigiátrịthựcnàocủapthìphươngtrìnhsaucónghiệmthực:
2 2
( ) 2 ( 1)x p x - + -=x
Tìmcácnghiệmđó.
2.ChođiểmAvàđoạnthẳngBC,xácđịnhquỹtíchtấtcảcácđiểmPtrong
khônggiansaochogóc
·
APX =90
o vớiXnằmtrênBC.
3.Chođagiácncạnhcótấtcảcácgócbằngnhauvàđộdàicáccạnhthoảmãn:
a1 ³a2 ³... ³an.Chứngminhrằngtấtcảcáccạnhcũngbằngnhau.
4.Tìmtấtcảcácnghiệmx
1
,...,x
5 từhệnămphươngtrình:
x5 +x2 =yx1
x1 +x3 =yx2
x
2 +x
4 =yx
3