Tuyển tập đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ từ 2002-2012

Chia sẻ: Ban Nha Sn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:192

Thêm vào BST

Báo xấu

129
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo đề thi đại học cao đẳng môn toán giúp các bạn học sinh củng cố thêm kiến thức và có phương hướng ôn tập để đạt hiệu quả tốt hơn

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ từ 2002-2012

nhatvietedu.vn
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao §¼nG n¨m 2002 ------------------------------ M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc (Thêi gian lµm bµi: 180 phót) _____________________________________________ C©u I (§H : 2,5 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm) Cho hµm sè : y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 (1) ( m lµ tham sè). 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (1) khi m = 1. 2. T×m k ®Ó ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt. 3. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (1). C©u II.(§H : 1,5 ®iÓm; C§: 2,0 ®iÓm) Cho ph−¬ng tr×nh : log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 2 2 (2) ( m lµ tham sè). 1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh (2) khi m = 2. 2. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (2) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n [ 1 ; 3 3 ]. C©u III. (§H : 2,0 ®iÓm; C§ : 2,0 ®iÓm )  cos 3x + sin 3x  1. T×m nghiÖm thuéc kho¶ng (0 ; 2π ) cña ph−¬ng tr×nh: 5 sin x +  = cos 2 x + 3.  1 + 2 sin 2 x  2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: y =| x 2 − 4 x + 3 | , y = x + 3. C©u IV.( §H : 2,0 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm) 1. Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S . ABC ®Ønh S , cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng a. Gäi M vµ N lÇn l−ît lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh SB vµ SC. TÝnh theo a diÖn tÝch tam gi¸c AMN , biÕt r»ng mÆt ph¼ng ( AMN ) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ( SBC ) . 2. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho hai ®−êng th¼ng:  x = 1+ t  x − 2y + z − 4 = 0  ∆1 :  vµ ∆ 2 :  y = 2 + t . x + 2 y − 2z + 4 = 0  z = 1 + 2t  a) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) chøa ®−êng th¼ng ∆ 1 vµ song song víi ®−êng th¼ng ∆ 2 . b) Cho ®iÓm M (2;1;4) . T×m to¹ ®é ®iÓm H thuéc ®−êng th¼ng ∆ 2 sao cho ®o¹n th¼ng MH cã ®é dµi nhá nhÊt. C©u V.( §H : 2,0 ®iÓm) 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy , xÐt tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A , ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng BC lµ 3 x − y − 3 = 0, c¸c ®Ønh A vµ B thuéc trôc hoµnh vµ b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp b»ng 2. T×m täa ®é träng t©m G cña tam gi¸c ABC . 2. Cho khai triÓn nhÞ thøc: n n n −1 n −1 n  x2 1 − −x   x −1   x −1   − x   x −1  − x   −x   2 + 2 3  = C n  2 2  + C n  2 2   2 3  + L + C n −1  2 2  2 3  + C n  2 3  0 1 n n                           ( n lµ sè nguyªn d−¬ng). BiÕt r»ng trong khai triÓn ®ã C n = 5C n vµ sè h¹ng thø t− 3 1 b»ng 20n , t×m n vµ x . ----------------------------------------HÕt--------------------------------------------- Ghi chó: 1) ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm C©u V. 2) C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh:.................................................... Sè b¸o danh:..................... nhatvietedu.vn
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002 ------------------------------------- §¸p ¸n vµ thang ®iÓm m«n to¸n khèi A C©u ý Néi dung §H C§ I 1 m = 1 ⇒ y = − x 3 + 3x 2 ∑1,0 ® ∑1,5 ® x = 0 TËp x¸c ®Þnh ∀x ∈ R . y ' = −3x 2 + 6 x = −3 x( x − 2) , y' = 0 ⇔  1 0,25 ® 0,5®  x2 = 2 y" = −6 x + 6 = 0, y" = 0 ⇔ x = 1 B¶ng biÕn thiªn x −∞ 0 1 2 +∞ y' − 0 + 0 − 0,5 ® 0,5 ® y" + 0 − y +∞ lâm U 4 CT 2 C§ 0 låi −∞ x = 0 y=0⇔ , y (−1) = 4 x = 3 §å thÞ: y 4 2 0,25 ® 0,5 ® -1 0 1 2 3 x ( ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn) 1 nhatvietedu.vn
I 2 C¸ch I. Ta cã − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ − x 3 + 3x = −k 3 + 3k 2 . ∑ 0,5 ® ∑ 0,5 ® §Æt a = − k 3 + 3k 2 Dùa vµo ®å thÞ ta thÊy ph−¬ng tr×nh − x 3 + 3 x 2 = a cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 0 < a < 4 ⇔ 0 < − k 3 + 3k 2 < 4 0,25 ® 0,25 ®  0≠k 0 2 C¸ch II. Ta cã ----------- ----------- [ − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ ( x − k ) x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k ] = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ f ( x) = x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k = 0 0,25® 0,25 ® cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c k  ∆ = −3k 2 + 6k + 9 > 0  −1 < k < 3 0,25 ® ⇔ 2 ⇔  0,25 ® k + k − 3k + k − 3k ≠ 0 k ≠ 0 ∧ k ≠ 2 2 2 3 ∑1,0 ® ∑1,0 ® C¸ch I.  x = m −1 0,25 ® 0,25 ® y ' = −3x 2 + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 , y' = 0 ⇔  1  x2 = m + 1 Ta thÊy x1 ≠ x 2 vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i 0,25 ® 0,25 ® x1 vµ x 2 . y1 = y ( x1 ) = − m 2 + 3m − 2 vµ y 2 = y ( x 2 ) = − m 2 + 3m + 2 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ ( M 1 m − 1;− m 2 + 3m − 2 ) ( vµ M 2 m + 1;− m 2 + 3m + 2 ) lµ: 0,25 ® 0,25 ® x − m + 1 y + m 2 − 3m + 2 0,25 ® 0,25 ® = ⇔ y = 2x − m2 + m 2 4 C¸ch II. y = −3 x + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 , ' 2 Ta thÊy ---------- ----------- ∆' = 9m + 9(1 − m ) = 9 > 0 ⇒ y ' = 0 cã 2 nghiÖm x1 ≠ x 2 2 2 0,25 ® 0,25 ® vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1 vµ x 2 . Ta cã y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 1 m ( ) =  x −  − 3x 2 + 6mx + 3 − 3m 2 + 2 x − m 2 + m. 0,25 ® 0,25® 3 3 Tõ ®©y ta cã y1 = 2 x1 − m 2 + m vµ y 2 = 2 x 2 − m 2 + m . 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ lµ y = 2 x − m 2 + m . II 1. ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® Víi m = 2 ta cã log x + log x + 1 − 5 = 0 2 3 2 3 §iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 3 x + 1 ≥ 1 ta cã 2 t = −3 0,25 ® 0,5 ® t 2 −1+ t − 5 = 0 ⇔ t 2 + t − 6 = 0 ⇔1 .  t2 = 2 2 nhatvietedu.vn
t1 = −3 (lo¹i) , t 2 = 2 ⇔ log 3 x = 3 ⇔ log 3 x = ± 3 ⇔ x = 3 ± 2 3 0,25 ® 0,5 ® x = 3 ± 3 tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0 . (ThÝ sinh cã thÓ gi¶i trùc tiÕp hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c) 2. ∑1,0 ® ∑1,0 ® log x + log x + 1 − 2m − 1 = 0 (2) 2 3 2 3 §iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 3 x + 1 ≥ 1 ta cã 2 t 2 − 1 + t − 2 m − 1 = 0 ⇔ t 2 + t − 2m − 2 = 0 (3) 0,25 ® 0,25 ® x ∈ [1,3 3 ] ⇔ 0 ≤ log 3 x ≤ 3 ⇔ 1 ≤ t = log 3 x + 1 ≤ 2. 2 VËy (2) cã nghiÖm ∈ [1,3 3 ] khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm ∈ [ 1,2 ]. §Æt f (t ) = t 2 + t 0,25 ® 0,25 ® ----------- ---------- C¸ch 1. Hµm sè f (t ) lµ hµm t¨ng trªn ®o¹n [1; 2] . Ta cã f (1) = 2 vµ f (2) = 6 . Ph−¬ng tr×nh t 2 + t = 2m + 2 ⇔ f (t ) = 2m + 2 cã nghiÖm ∈ [1;2] 0,25 ® 0,25 ®  f (1) ≤ 2m + 2 2 ≤ 2 m + 2 ⇔ ⇔ ⇔ 0 ≤ m ≤ 2.  f (2) ≥ 2m + 2 2 m + 2 ≤ 6 0,25 ® 0,25 ® C¸ch 2. TH1. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 ,t 2 tháa m·n 1 < t1 ≤ t 2 < 2 . t +t 1 Do 1 2 = − < 1 nªn kh«ng tån t¹i m . 0,25 ® 0,25 ® 2 2 TH2. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 ,t 2 tháa m·n t1 ≤ 1 ≤ t 2 ≤ 2 hoÆc 1 ≤ t1 ≤ 2 ≤ t 2 ⇔ −2m(4 − 2m ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 . 0,25 ® 0,25 ® (ThÝ sinh cã thÓ dïng ®å thÞ, ®¹o hµm hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c ) III 1. ∑1,0 ® ∑1,0 ®  cos 3 x + sin 3 x  1 5  sin x +  = cos 2 x + 3 . §iÒu kiÖn sin 2 x ≠ − 0,25 ® 0,25 ®  1 + 2 sin 2 x  2  cos 3x + sin 3x   sin x + 2 sin x sin 2 x + cos 3 x + sin 3 x  Ta cã 5  sin x +  = 5   1 + 2 sin 2 x   1 + 2 sin 2 x   sin x + cos x − cos 3 x + cos 3 x + sin 3 x   (2 sin 2 x + 1) cos x  =5   =5  = 5 cos x  1 + 2 sin 2 x   1 + 2 sin 2 x  VËy ta cã: 5 cos x = cos 2 x + 3 ⇔ 2 cos x − 5 cos x + 2 = 0 2 0,25 ® 0,25 ® 1 π cos x = 2 (lo¹i) hoÆc cos x = ⇒ x = ± + 2kπ (k ∈ Z ). 0,25 ® 0,25 ® 2 3 3 nhatvietedu.vn
π 5π V× x ∈ (0 ; 2π ) nªn lÊy x1 = vµ x 2 = . Ta thÊy x1 , x 2 tháa m·n ®iÒu 3 3 1 π 5π 0,25 ® 0,25 ® kiÖn sin 2 x ≠ − . VËy c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ: x1 = vµ x 2 = . 2 3 3 (ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi kh¸c) 2. y ∑1,0 ® ∑1,0 ® 8 3 1 -1 0 1 2 3 5 x -1 Ta thÊy ph−¬ng tr×nh | x 2 − 4 x + 3 |= x + 3 cã 2 nghiÖm x1 = 0 vµ x 2 = 5. MÆt kh¸c | x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] . VËy 0,25 ® 0,25 ® 5 1 3 ( ) ( ) S = ∫ x + 3− | x 2 − 4 x + 3 | dx = ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx + ∫ x + 3 + x 2 − 4 x + 3 dx ( ) 0 0 1 5 ( + ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx ) 0,25 ® 0,25 ® 3 1 3 5 ( ) ( S = ∫ − x + 5 x dx + ∫ x − 3 x + 6 dx + ∫ − x 2 + 5 x dx 2 2 ) ( ) 0 1 3 1 3 5  1 5  1 3   1 5  S =  − x3 + x 2  +  x3 − x 2 + 6x  +  − x3 + x 2  0,25 ® 0,25 ®  3 2 0 3 2 1  3 2 3 13 26 22 109 S= + + = (®.v.d.t) 0,25® 0,25® 6 3 3 6 (NÕu thÝ sinh vÏ h×nh th× kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i nªu bÊt ®¼ng thøc | x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] ) IV 1. ∑1® ∑1® 4 nhatvietedu.vn
S N I 0,25 ® 0,25 ® M C A K B Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC vµ I = SK ∩ MN . Tõ gi¶ thiÕt 1 a ⇒ MN = BC = , MN // BC ⇒ I lµ trung ®iÓm cña SK vµ MN . 2 2 Ta cã ∆SAB = ∆SAC ⇒ hai trung tuyÕn t−¬ng øng AM = AN ⇒ ∆AMN c©n t¹i A ⇒ AI⊥MN .  (SBC )⊥( AMN ) (SBC ) ∩ ( AMN ) = MN 0,25 ® 0,25 ®  MÆt kh¸c  ⇒ AI⊥(SBC ) ⇒ AI⊥SK .  AI ⊂ ( AMN )   AI⊥MN a 3 Suy ra ∆SAK c©n t¹i A ⇒ SA = AK = . 2 3a 2 a 2 a 2 SK = SB − BK = 2 2 2 − = 4 4 2 2  SK  3a 2 a 2 a 10 ⇒ AI = SA − SI = SA −  2 2  = 2 − = .  2  4 8 4 0,25 ® 0,25 ® 1 a 2 10 Ta cã S ∆AMN = MN . AI = (®vdt) 2 16 chó ý 0,25 ® 0,25 ® 1) Cã thÓ chøng minh AI⊥MN nh− sau: BC⊥(SAK ) ⇒ MN⊥(SAK ) ⇒ MN⊥AI . 2) Cã thÓ lµm theo ph−¬ng ph¸p täa ®é: Ch¼ng h¹n chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho a   a   −a 3   −a 3  K (0;0;0), B ;0;0 , C  − ;0;0 , A 0; ;0 , S  0; ;h 2   2    2     6   trong ®ã h lµ ®é dµi ®−êng cao SH cña h×nh chãp S. ABC . 5 nhatvietedu.vn
2a) ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® C¸ch I. Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®−êng th¼ng ∆ 1 cã d¹ng: α (x − 2 y + z − 4) + β (x + 2 y − 2 z + 4) = 0 ( α 2 + β 2 ≠ 0 ) ⇔ (α + β )x − (2α − 2 β ) y + (α − 2 β )z − 4α + 4 β = 0 0,25 ® 0,5 ® r r VËy n P = (α + β ;−2α + 2 β ;α − 2 β ) .Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 vµ M 2 (1;2;1) ∈ ∆ 2 r r  n P .u 2 = 0 α − β = 0 0,25 ® 0,5 ® (P ) // ∆ 2 ⇔  ⇔ VËy (P ) : 2 x − z = 0 M 2 (1;2;1) ∉ (P )  M 2 ∉ (P ) ----------- ----------- C¸ch II Ta cã thÓ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ∆ 1 sang d¹ng tham sè nh− sau:  x = 2t '  Tõ ph−¬ng tr×nh ∆ 1 suy ra 2 x − z = 0. §Æt x = 2t ' ⇒ ∆ 1 :  y = 3t '−2  z = 4t '  r ⇒ M 1 (0;−2;0) ∈ ∆ 1 , u1 = (2;3;4) // ∆ 1 . (Ta cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm M 1 ∈ ∆ 1 b»ng c¸ch cho x = 0 ⇒ y = −2 z = 0 r −2 1 1 1 1 −2 vµ tÝnh u1 =   2 − 2 ; − 2 1 ; 1 2  = (2;3;4) ).    r Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 . Tõ ®ã ta cã vÐc t¬ ph¸p cña mÆt ph¼ng (P) lµ : 0,25 ® r r r 0,5 ® n P = [u1 , u 2 ] = (2;0;−1) . VËy ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua M 1 (0;−2;0 ) r vµ ⊥ n P = (2;0;−1) lµ: 2 x − z = 0 . 0,25 ® 0,5 ® MÆt kh¸c M 2 (1;2;1) ∉ (P ) ⇒ ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cÇn t×m lµ: 2 x − z = 0 2b) ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® b)C¸ch I. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) ⇒ MH = (t − 1; t + 1;2t − 3) 0,25 ® 0,5 ® ⇒ MH = (t − 1) + (t + 1) + (2t − 3) = 6t − 12t + 11 = 6(t − 1) + 5 2 2 2 2 2 0,25 ® 0,5 ® ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi t = 1 ⇒ H (2;3;3) ----------- ----------- C¸ch II. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) . 0,25 ® 0,5 ® r MH nhá nhÊt ⇔ MH⊥∆ 2 ⇔ MH .u 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (2;3;4) 0,25 ® 0,5 ® V 1. ∑1® Ta cã BC I Ox = B(1;0 ) . §Æt x A = a ta cã A(a; o) vµ ( xC = a ⇒ y C = 3a − 3. VËy C a; 3a − 3 . )  1  xG = 3 ( x A + x B + x C )  2a + 1 3 (a − 1)  Tõ c«ng thøc  ta cã G  3 ; .  0,25 ® 1 3  yG = ( y A + y B + yC )    3 C¸ch I. Ta cã : AB =| a − 1 |, AC = 3 | a − 1 |, BC = 2 | a − 1 | . Do ®ã 6 nhatvietedu.vn
1 3 S ∆ABC = AB. AC = (a − 1)2 . 0,25 ® 2 2 3 (a − 1) 2 2S | a −1| Ta cã r= = = = 2. AB + AC + BC 3 | a − 1 | + 3 | a − 1 | 3 +1 0,25 ® VËy | a − 1 |= 2 3 + 2. 7+4 3 6+2 3 TH1. a1 = 2 3 + 3 ⇒ G1   ;   3 3   − 4 3 −1 − 6 − 2 3  TH2 a 2 = −2 3 − 1 ⇒ G2   ; .  0,25 ®  3 3  ----------- C¸ch II. y C I O B A x Gäi I lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp ∆ABC . V× r = 2 ⇒ y I = ±2 . x −1 Ph−¬ng tr×nh BI : y = tg 30 0.( x − 1) = ⇒ xI = 1 ± 2 3 . 0,25 ® 3 TH1 NÕu A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 + 2 3. Tõ d ( I , AC ) = 2 7+4 3 6+2 3 ⇒ a = x I + 2 = 3 + 2 3. ⇒ G1   ;  0,25 ®  3 3   TH 2. NÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 − 2 3. T−¬ng tù  − 4 3 −1 − 6 − 2 3  ta cã a = x I − 2 = −1 − 2 3. ⇒ G2   ;    3 3  0,25 ® 2. ∑1 ® Tõ C n = 5C n ta cã n ≥ 3 vµ 3 1 7 nhatvietedu.vn
n! n! n(n − 1)(n − 2) =5 ⇔ = 5n ⇔ n 2 − 3n − 28 = 0 0,25 ® 3!(n − 3)! (n − 1)! 6 ⇒ n1 = −4 (lo¹i) hoÆc n 2 = 7. 0,25 ® Víi n = 7 ta cã 4 3  x2 1  −  −3x  2  3 C   2  = 140 ⇔ 35.2 2 x −2.2 − x = 140 ⇔ 2 x − 2 = 4 ⇔ x = 4. 7    0,5 ®     8 nhatvietedu.vn
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao §¼ng n¨m 2002 ®Ò chÝnh thøc M«n thi : to¸n, Khèi B. (Thêi gian lµm bµi : 180 phót) _____________________________________________ C©u I. (§H : 2,0 ®iÓm; C§ : 2,5 ®iÓm) Cho hµm sè : y = mx 4 + m 2 − 9 x 2 + 10 ( ) (1) ( m lµ tham sè). 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) khi m = 1 . 2. T×m m ®Ó hµm sè (1) cã ba ®iÓm cùc trÞ. C©u II. (§H : 3,0 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm) 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin 2 3x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x . 2. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: ( log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1 . )  3 x− y = x− y  3. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:   x + y = x + y + 2.  C©u III. ( §H : 1,0 ®iÓm; C§ : 1,5 ®iÓm) TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng : x2 x2 y = 4− vµ y = . 4 4 2 C©u IV.(§H : 3,0 ®iÓm ; C§ : 3,0 ®iÓm) 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã t©m 1  I  ;0  , ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB lµ x − 2 y + 2 = 0 vµ AB = 2 AD . T×m täa ®é c¸c ®Ønh 2  A, B, C , D biÕt r»ng ®Ønh A cã hoµnh ®é ©m. 2. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCDA1 B1C1 D1 cã c¹nh b»ng a . a) TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng A1 B vµ B1 D . b) Gäi M , N , P lÇn l−ît lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BB1 , CD , A1 D1 . TÝnh gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng MP vµ C1 N . C©u V. (§H : 1,0 ®iÓm) Cho ®a gi¸c ®Òu A1 A2 L A2 n (n ≥ 2, n nguyªn ) néi tiÕp ®−êng trßn (O ) . BiÕt r»ng sè tam gi¸c cã c¸c ®Ønh lµ 3 trong 2n ®iÓm A1 , A2 , L , A2 n nhiÒu gÊp 20 lÇn sè h×nh ch÷ nhËt cã c¸c ®Ønh lµ 4 trong 2n ®iÓm A1 , A2 , L , A2 n , t×m n . --------------------------------------HÕt------------------------------------------- Ghi chó : 1) ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm C©u IV 2. b) vµ C©u V. 2) C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh:................................................................... Sè b¸o danh:............................... nhatvietedu.vn
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002 ------------------------- §¸p ¸n vµ thang ®iÓm ®Ò thi chÝnh thøc M«n to¸n, khèi b C©u ý Néi dung §H C§ I 1 Víi m = 1 ta cã y = x 4 − 8 x 2 + 10 lµ hµm ch½n ⇒ ®å thÞ ®èi xøng qua Oy . ∑1,0 ® ∑1,5 ®  x=0 ( ) TËp x¸c ®Þnh ∀ x ∈ R , y ' = 4 x 3 − 16 x = 4 x x 2 − 4 , y '= 0 ⇔   x = ±2  4 2 y" = 12 x 2 − 16 = 12 x 2 − , y" = 0 ⇔ x = ± . 0,25 ® 0,5 ®  3 3 B¶ng biÕn thiªn: −2 2 x −∞ −2 0 2 +∞ 3 3 y' − 0 + 0 − 0 + 0,5 ® 0,5 ® y" + 0 − 0 + +∞ 10 +∞ y lâm U C§ U lâm CT låi CT −6 −6 y Hai ®iÓm cùc tiÓu : A1 (− 2;−6 ) vµ A2 (2;−6 ) . Mét ®iÓm cùc ®¹i: B (0;10 ) .  − 2 10   2 10  10 B Hai ®iÓm uèn: U 1   ;  vµ U 2    ; .   3 9  3 9 Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung lµ B(0;10 ) . 0,25 ® 0,5 ® §å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm cã hoµnh ®é: x = ± 4 + 6 vµ x = ± 4 − 6 . U1 U2 -2 2 0 x A1 -6 A2 (ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn) 1 nhatvietedu.vn
I 2 ( ) ( ) y ' = 4mx 3 + 2 m 2 − 9 x = 2 x 2mx 2 + m 2 − 9 , ∑ 1,0 ® ∑ 1,0 ®  x=0 0,25 ® 0,25 ® y' = 0 ⇔  2mx + m − 9 = 0 2 2 Hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ ⇔ ph−¬ng tr×nh y '= 0 cã 3 nghiÖm 0,25 ® 0,25 ® ph©n biÖt (khi ®ã y ' ®æi dÊu khi qua c¸c nghiÖm) ⇔ ph−¬ng tr×nh 2mx 2 + m 2 − 9 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0.  m≠0  2mx 2 + m 2 − 9 = 0 ⇔  2 9 − m 2 . Ph−¬ng tr×nh 2mx 2 + m 2 − 9 = 0 0,25 ® 0,25 ® x =   2m  m < −3 0,25 ® 0,25 ® cã 2 nghiÖm kh¸c 0 ⇔  0 < m < 3.  m < −3 VËy hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ ⇔  0 < m < 3. II 1 ∑ 1,0 ® ∑ 1,0 ® sin 2 3x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x 1 − cos 6 x 1 + cos 8 x 1 − cos10 x 1 + cos12 x ⇔ − = − 0,25 ® 0,25 ® 2 2 2 2 ⇔ (cos 12 x + cos 10 x ) − (cos 8 x + cos 6 x ) = 0 ⇔ cos x(cos 11x − cos 7 x ) = 0 0,25 ® 0,25 ® ⇔ cos x sin 9 x sin 2 x = 0  kπ x = 9 0,5 ® 0,5 ® ⇔ sin 9 x sin 2 x = 0 ⇔  k ∈ Z. kπ x =  2 Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c c¸ch biÕn ®æi kh¸c ®Ó ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch. 2 ∑1,0 ® ∑1,0 ® ( ) log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1 (1).  x > 0, x ≠ 1  0,25 ® 0,25 ® §iÒu kiÖn:  9 x − 72 > 0 ⇔ 9 x − 72 > 1 ⇔ x > log 9 73 (2). log (9 x − 72) > 0  3 ( Do x > log 9 73 > 1 nªn (1) ⇔ log 3 9 x − 72 ≤ x ) ( ) x 2 ⇔ 9 x − 72 ≤ 3 x ⇔ 3 − 3 x − 72 ≤ 0 (3). 0,25 ® 0,25 ® §Æt t = 3 x th× (3) trë thµnh t 2 − t − 72 ≤ 0 ⇔ −8 ≤ t ≤ 9 ⇔ −8 ≤ 3 x ≤ 9 ⇔ x ≤ 2 . 0,25 ® 0,25 ® KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (2) ta ®−îc nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ: log 9 73 < x ≤ 2 . 0,25 ® 0,25 ® 2 nhatvietedu.vn
3  3 x − y = x − y (1)  x− y ≥ 0 (3) ∑1,0 ® ∑1,0 ®  §iÒu kiÖn:   x + y = x + y + 2 (2).   x + y ≥ 0. 0,25 ® 0,25 ® ( ) (1) ⇔ 3 x − y 1 − 6 x − y = 0 ⇔   x= y  x = y + 1. 0,25 ® 0,25 ® Thay x = y vµo (2), gi¶i ra ta ®−îc x = y = 1. 3 1 Thay x = y + 1 vµo (2), gi¶i ra ta cã: x = , y = . 0,25 ® 0,25 ® 2 2 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (3) hÖ ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: 3 1 0,25 ® 0,25 ® x = 1, y = 1 vµ x = , y = 2 2 Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ n©ng hai vÕ cña (1) lªn luü thõa bËc 6 ®Ó di ®Õn kÕt qu¶:  x= y  x = y + 1.  III y ∑1,0 ® ∑ 1,5 ® x2 x2 y= 4− y= 4 2 4 2 A1 2 A2 -4 -2 2 0 2 2 4 x x2 x2 T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng cong y = 4 − vµ y = : 4 4 2 x2 x2 x4 x2 4− = ⇔ + − 4 = 0 ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ± 8 . 0,25 ® 0,5 ® 4 4 2 32 4 [ ] Trªn − 8 ; 8 ta cã 4 2 x2 ≤ 4− x2 4 vµ do h×nh ®èi xøng qua trôc tung 8 x2  8 8 x2 1 0,25 ® 0,25 ® nªn S = 2 ∫  4 − − dx = ∫ 16 − x 2 dx − ∫ x dx = S1 − S 2 . 2  0 4 4 2 2 2 0  0 π §Ó tÝnh S1 ta dïng phÐp ®æi biÕn x = 4 sin t , khi 0 ≤ t ≤ th× 0 ≤ x ≤ 8 . 4  π dx = 4 cos tdt vµ cos t > 0 ∀ t ∈ 0;  . Do ®ã  4 3 nhatvietedu.vn
π π 0,25 ® 0,5 ® 8 4 4 S1 = ∫ 16 − x 2 dx = 16 ∫ cos 2 tdt = 8 ∫ (1 + cos 2t )dt = 2π + 4 . 0 0 0 8 0,25 ® 0,25 ® 8 1 1 8 4 S2 = ∫x dx = = . VËy S = S1 − S 2 = 2π + . 2 x3 2 2 0 6 2 0 3 3 8 2 2   4 − x − x dx . Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ tÝnh diÖn tÝch S = ∫ 4 4 2 − 8  IV 1 y ∑ 1,0 ® ∑ 1,5 ® B H O C x A I D 5 Kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn ®−êng th¼ng AB b»ng ⇒ AD = 5 vµ 2 5 0,25 ® 0,25 ® IA = IB = . 2 Do ®ã A, B lµ c¸c giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng AB víi ®−êng trßn t©m I vµ b¸n 5 kÝnh R = . VËy täa ®é A, B lµ nghiÖm cña hÖ : 2  x − 2y + 2 = 0  2 2  x − 1  + y 2 =  5  0,25 ® 0,5 ®  2    2  Gi¶i hÖ ta ®−îc A(− 2;0 ), B(2;2 ) (v× x A < 0 ) 0,25 ® 0,5 ® ⇒ C (3;0 ), D(− 1;−2 ) . 0,25 ® 0,25 ® Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm H lµ h×nh chiÕu cña I trªn ®−êng th¼ng AB . Sau ®ã t×m A, B lµ giao ®iÓm cña ®−êng trßn t©m H b¸n kÝnh HA víi ®−êng th¼ng AB . 4 nhatvietedu.vn
IV 2a) T×m kho¶ng c¸ch gi÷a A1 B vµ B1 D . ∑ 1,0 ® ∑1,5 ® z A1 D1 B1 C1 G I A yx D 0,25 ® 0,25 ® B C x C¸ch I. Chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;0), D(0; a;0 ), A1 (0;0; a ) ⇒ C (a; a;0 ); B1 (a;0; a ); C1 (a; a; a ), D1 (0; a; a ) 0,25 ® 0,5 ® [ ] ⇒ A1 B = (a;0;− a ), B1 D = (− a; a;− a ), A1 B1 = (a;0;0) vµ A1 B, B1 D = (a 2 ;2a 2 ; a 2 ) . 0,25 ® 0,25 ® [A B, B D].A B a3 a d ( A1 B, B1 D ) = 1 1 1 1 [A B, B D] VËy = 2 = . 0,25 ® 0,5 ® 1 1 a 6 6 A1 B⊥AB1  C¸ch II.  ⇒ A1 B⊥( AB1C1 D ) ⇒ A1 B ⊥B1 D . A1 B⊥AD  T−¬ng tù A1C1 ⊥B1 D ⇒ B1 D⊥( A1 BC1 ) . 0,25 ® 0,25 ® Gäi G = B1 D ∩ ( A1 BC1 ) . Do B1 A1 = B1 B = B1C 1 = a nªn GA1 = GB = GC1 ⇒ G lµ t©m tam gi¸c ®Òu A1 BC1 cã c¹nh b»ng a 2 . 0,25 ® 0,5 ® Gäi I lµ trung ®iÓm cña A1 B th× IG lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña A1 B vµ 1 1 3 a B1 D , nªn d ( A1 B, B1 D ) = IG = C1 I = A1 B = . 3 3 2 6 0,25 ® 0,5 ® Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P ) chøa A1 B vµ song song víi B1 D lµ: x + 2 y + z − a = 0 vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ B1 (hoÆc tõ D ) tíi (P ) , hoÆc viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q ) chøa B1 D vµ song song víi A1 B lµ: x + 2 y + z − 2a = 0 vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ A1 (hoÆc tõ B) tíi (Q ) . 5 nhatvietedu.vn
2b) ∑1,0 ® C¸ch I.  a a   a  0,25 ® Tõ C¸ch I cña 2a) ta t×m ®−îc M  a;0; , N  ; a;0 , P 0; ; a   2 2   2   a a a  ⇒ MP =  − a; ; , NC1 =  ;0; a  ⇒ MP.NC1 = 0 . 0,5 ®  2 2 2  0,25 ® VËy MP⊥C1 N . z A1 P D1 B1 C1 E M A y 0,25 ® B N C C¸ch II. x Gäi E lµ trung ®iÓm cña CC1 th× ME⊥(CDD1C1 ) ⇒ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña MP trªn (CDD1C1 ) lµ ED1 . Ta cã 0,25 ® ∆C1CN = ∆D1C1 E ⇒ C1 D1 E = CC1 N = 90 0 − D1C1 N ⇒ D1 E⊥C1 N . Tõ ®©y 0,25 ® theo ®Þnh lý ba ®−êng vu«ng gãc ta cã MP⊥C1 N . 0,25 ® V ∑1,0 ® 3 Sè tam gi¸c cã c¸c ®Ønh lµ 3 trong 2n ®iÓm A1 , A2 ,L , A2 n lµ C 2n . 0,25 ® Gäi ®−êng chÐo cña ®a gi¸c ®Òu A1 A2 L A2 n ®i qua t©m ®−êng trßn (O ) lµ ®−êng chÐo lín th× ®a gi¸c ®· cho cã n ®−êng chÐo lín. Mçi h×nh ch÷ nhËt cã c¸c ®Ønh lµ 4 trong 2n ®iÓm A1 , A2 ,L , A2 n cã c¸c ®−êng chÐo lµ hai ®−êng chÐo lín. Ng−îc l¹i, víi mçi cÆp ®−êng chÐo lín ta cã c¸c ®Çu mót cña chóng lµ 4 ®Ønh cña mét h×nh ch÷ nhËt. VËy sè h×nh ch÷ nhËt nãi trªn 2 b»ng sè cÆp ®−êng chÐo lín cña ®a gi¸c A1 A2 L A2 n tøc C n . 0,25 ® Theo gi¶ thiÕt th×: 6 nhatvietedu.vn
C 2 n = 20C n ⇔ 3 2 (2n )! = 20 n! ⇔ 2n.(2n − 1)(2n − 2) = 20 n(n − 1) 3!(2n − 3)! 2!(n − 2)! 6 2 ⇔ 2n − 1 = 15 ⇔ n = 8 . 0,5 ® Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ t×m sè h×nh ch÷ nhËt b»ng c¸c c¸ch kh¸c. NÕu lý luËn ®óng ®Ó ®i n(n − 1) ®Õn kÕt qu¶ sè h×nh ch÷ nhËt lµ th× cho ®iÓm tèi ®a phÇn nµy. 2 7 nhatvietedu.vn
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi TuyÓn sinh ®¹i häc ,cao ®¼ng n¨m 2002 §Ò chÝnh thøc M«n thi : To¸n, Khèi D (Thêi gian lµm bµi : 180 phót) _________________________________________ C©uI ( §H : 3 ®iÓm ; C§ : 4 ®iÓm ). Cho hµm sè : y= (2m − 1)x − m 2 (1) ( m lµ tham sè ). x −1 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè (1) øng víi m = -1. 2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong (C) vµ hai trôc täa ®é. 3. T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè (1) tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng y = x . C©u II ( §H : 2 ®iÓm ; C§ : 3 ®iÓm ). 1. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : (x 2 ) − 3x . 2 x 2 − 3x − 2 ≥ 0 . 2 3 x = 5y 2 − 4 y  x 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :  4 + 2 x +1  x = y.  2 +2 C©u III ( §H : 1 ®iÓm ; C§ : 1 ®iÓm ). T×m x thuéc ®o¹n [ 0 ; 14 ] nghiÖm ®óng ph−¬ng tr×nh : cos 3x − 4 cos 2 x + 3 cos x − 4 = 0 . C©u IV ( §H : 2 ®iÓm ; C§ : 2 ®iÓm ). 1. Cho h×nh tø diÖn ABCD cã c¹nh AD vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC); AC = AD = 4 cm ; AB = 3 cm ; BC = 5 cm . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A tíi mÆt ph¼ng (BCD). 2. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) : 2 x − y + 2 = 0 (2 m + 1)x + (1 − m )y + m − 1 = 0 vµ ®−êng th¼ng d m :  ( m lµ tham sè ).  mx + (2 m + 1)z + 4 m + 2 = 0 X¸c ®Þnh m ®Ó ®−êng th¼ng d m song song víi mÆt ph¼ng (P). C©u V (§H : 2 ®iÓm ). 1. T×m sè nguyªn d−¬ng n sao cho C 0 + 2C 1 + 4C 2 + .... + 2 n C n = 243 . n n n n 2. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy , cho elip (E) cã ph−¬ng tr×nh x2 y2 + = 1 . XÐt ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn tia Ox vµ ®iÓm N chuyÓn ®éng trªn tia Oy sao cho 16 9 ®−êng th¼ng MN lu«n tiÕp xóc víi (E). X¸c ®Þnh täa ®é cña M , N ®Ó ®o¹n MN cã ®é dµi nhá nhÊt . TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã . -------------------------HÕt------------------------- Chó ý : 1. ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm c©u V 2. C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh : ................................................................ Sè b¸o danh............................. nhatvietedu.vn
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh §¹i häc , cao ®¼ng n¨m 2002 M«n To¸n, khèi D §¸p ¸n vµ thang ®iÓm ®Ò thi chÝnh thøc C©u Néi dung §iÓm §H C§ I 3® 4® 1. 1 1,5 − 3x − 1 4 Khi m = -1 ,ta cã y = = −3 − x −1 x −1 -TX§ : x ≠ 1 4 - CBT : y , = > 0, ∀x ≠ 1 ⇒ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ. (x − 1)2 1/4 1/4 lim y = −3 ; lim y = +∞; lim y = −∞ . x →1− x →1+ x →∞ - BBT : x -∞ 1 +∞ y/ + + +∞ y -3 -3 -∞ 1/4 1/4 - TC: x=1 lµ tiÖm cËn ®øng v× lim y = ∞ . x →1 y=-3 lµ tiÖm cËn ngang v× lim y = −3 x →∞ 1/4 1/4 - Giao víi c¸c trôc : x = 0 ⇒ y = 1; y = 0 ⇒ x = - 1/3. 1/4 - §å thÞ : y x 1/4 1/2 1 nhatvietedu.vn