ỨNG DỤNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Chia sẻ: Nguyễn Tất Thu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

210
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ứng dụng sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc ba vào chứng minh bất đẳng thức', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ỨNG DỤNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai ỨNG DỤNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Định lí Viet đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau: Nếu phương trình : ax3  bx2  cx  d  0, a  0 có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thì  x  x  x   b  1 2 3 a  x x  x x  x x  c .  1 2 2 3 3 1  a  x x x   d  1 2 3 a  Ngược lại, với ba số thực a, b, c bất kì thì chúng là nghiệm của phương trình x3  mx2  nx  p  0 (*) Với m   a  b  c , n  ab  bc  ca, p  abc . Do đó, từ sự tồn tại nghiệm của phương trình (*) sẽ dẫn tới các bất đẳng thức ba biến a, b, c . Trong bài viết này sẽ giới thiệu với bạn đọc ứng dụng của việc làm đó. m m2 2m3  9mn  27p Đặt: x  y  ;   n;   . Ta thu được phương trình 3 3 27 y 3  y    0 (**) Số nghiệm của (**) chính là số giao điểm của đồ thị (C) : f (y)  y 3  y   với trục hoành Ta có: f '(y)  3y 2   Nếu   0 thì f '(y)  0, y nên phương trình (**) có đúng 1 nghiệm Nếu   0 thì phương trình (**) có nghiệm bội ba.   Nếu   0 thì f '(y)  0 có hai nghiệm y1   ; y2  3 3 2  2  f  y1    , f  y 2     3 3 3 3 4 3 272  4 3 Suy ra f  y1  .f  y 2   2   . 27 27 Do đó, ta có:  Phương trình (**) có ba nghiệm (có thể trùng nhau) khi và chỉ khi: f  y1  .f  y 2   0  4 3  272  0 .   3 Hay là: 27p  2m3  9mn  2 m2  3n (1). Bây giờ ta đi xét một số trường hợp đặc biệt sau: 4 3 1) Cho m  0 khi đó (1) trở thành: 4n3  27p2  0  p2   n 27 Thí dụ 1. Cho các số thực a, b, c không đồng thời bằng 0 thỏa a  b  c  0 . 13a 2 b2c2  2abc  2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  . (a 2  b2  c2 )3 Lời giải. Đặt n  ab  bc  ca, p  abc Nguyễn Tất Thu 1
THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai Suy ra a, b, c là ba nghiệm của phương trình : x3  mx  n  0 (4) 4 3 27 2 Ta có: p2   n  n3   p . 27 4 27 2 1 2 2 3 Do đó: 13p  2p  2  2n  13p  2p  2  2  p    p  1  0 2  2  Suy ra: 13p2  2p  2  2n3  13a 2 b2c2  2ab  2  2 ab  bc  ca  3 Mà: (a  b  c)2  0  ab  bc  ca   1 2 2  a  b2  c 2    1 2 3 1 Dẫn tới: 13a 2 b2c2  2abc  2  a  b2  c 2  P  . 4 4 n  2 Đẳng thức xảy ra    a, b, c là ba nghiệm của phương trình m  3 x3  3x  2  0  (x  1)2 (x  2)  0  x  1, x  2 1 Vậy max P  đạt được khi (a, b, c)  (1,1, 2) và các hoán vị. 4 Thí dụ 2. Cho các số thực a, b, c có tổng bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   5 P  a 2  b2  c 2  32 ab  bc  ca  a 2 b2c2  8 abc . Lời giải. Đặt n  ab  bc  ca, p  abc Suy ra a, b, c là ba nghiệm của phương trình : x3  nx  p  0 (4) 4 3 27 2 27 2 Ta có: p2   n  n3  p  n3  p . 27 4 4 Vì a  b  c  0  a 2  b2  c2  2(ab  bc  ca)  2n  n  0 . Do đó: P  32n5  32np2  8 p  32 (n)5  (n)p2   8 p    3   64 n3 p  8 p  8 54 p  p  .   Xét hàm số f (t)  54t 3  t, t  0 ta có: 2 f '(t)  162t 2  1, f '(t)  0  t  . 18  2  Lập bảng biến thiên ta có min f (t)  f     2 t 0  18  27   2  p 8 2  Suy ra P   . Đẳng thức xảy ra khi  18 hay a, b, c là nghiệm của phương trình 27   1 n   3   24  2 3 1 2  1   2  1 2 t  t  0  t   t   0 t  ,t   . 3 18   3  3 24  63 3   9 63 3 9 Nguyễn Tất Thu 2
THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai 8 2 1 2 Vậy min P   . Đạt được khi a  b  ,c   và các hoán vị. 27 3 3 9 6 3 2 2) Cho n  km , khi đó (1) trở thành: 1  3k  3 27p  (2  9k)m3  2 m3 . Thí dụ 3. Cho các số thực a, b, c thoả a 2  b2  c2  2(ab  bc  ca) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 P  abc a  b  c  3 . (abc)4 Lời giải. Đặt m  (a  b  c), n  ab  bc  ca, p  abc , suy ra a, b, c là ba nghiệm của phương trình t 3  mt2  nt  p  0 m2 Từ giả thiết ta suy ra: a  b  c  4 ab  bc  ca   n  2 . 4 m3 m3 Suy ra 27p    108p  m3  m3 4 4  p(54p  m3 )  0  pm3  54p2 1 1 1 1 Do đó: P  pm3   54p2   27p2  27p2   33 27p2 .27p2  27 (đpcm). 4 4 4 p p p p4     m2  1 n  4 p   3    1   Đẳng thức xảy ra  27p2  , chẳng hạn ta chọn 3 m  18 3 hay a, b, c là nghiệm của  p4      3 972 54p  m3  n     4    3  3 2  3  972 1  18 3   4 3 phương trình: t 3  18 3t 2  t  0  t   t    0 . 4  6    3  3  3 3 18 3 4 Vậy min P  27 đạt được khi a  b   ,c  và các hoán vị. 6 3   Thí dụ 4. Cho các số thực a, b, c thoả 2 a 2  b2  c2  5 ab  bc  ca  . Chứng minh rằng: 1  a  b  c  3 abc  1  0 . 2 27 Lời giải. Đặt m   a  b  c , n  ab  bc  ca, p  abc ta suy ra a, b, c là ba nghiệm của phương trình : x3  mx2  nx  p  0 . Nguyễn Tất Thu 3
THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai   Từ giả thiết ta suy ra: 2 m2  2n  5n  n  2 2 9 m   3 Mặt khác: 27p  2m3  9mn  2 m2  3n nên suy ra m6 p2 27p  2  273.p2  4m6  273  m2 27 4 1 p2  a  b  c  3 2 Do đó: 27 4 p2 p 2 Ta chứng minh: 3 3   p  1    1  0 (luôn đúng). 4 2   p  2 p  2   Đẳng thức xảy ra khi m2  27  m  3 3 , hay a, b, c là ba nghiệm của phương trình   n  6 n  6   t 2  3 3t 2  6t  2  0 . 3) Xét m2  3n  c , c là hằng số cho trước. Thí dụ 5. Cho các số thực a, b, c thoả a 2  b2  c2  ab  bc  ca  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  18 ab  bc  ca   ab  bc  ca a  b  c  48  9abc . 2 Lời giải. Đặt m  (a  b  c), n  ab  bc  ca, p  abc Từ giả thiết ta suy ra: a  b  c  3 ab  bc  ca   4  m2  3n  4 . 2   3 Mặt khác : 27p  2m3  9mn  2 m2  3n Suy ra 27p  2m 3n  4  9mn  18  27p  3mn  8m  16 8m  16  mn  9p  3 Mặt khác: P  18 ab  bc  ca   48 ab  bc  ca   ab  bc  ca a  b  c  9abc 2 2  2  3 ab  bc  ca   4  ab  bc  ca a  b  c  9abc  16    2 a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  9abc  16 2  2m4  mn  9p  16  2m4  8m  16 3  1   16  6m4  8m  64 . 3 1 Xét hàm số f (m)  6m4  8m  64 , ta có: f '(m)  24m3  8  f '(m)  0  m   . 3 3  1  6 1 2  Suy ra f m  f     64 . Nên P     64 .  3 3  3 3 3  3 3  Nguyễn Tất Thu 4
THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai   1 m   3  3    1 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n    4 , suy ra a, b, c là nghiệm của phương  3  3 9      p  1  4  47   9  3 3 9   1 2 1  1  1 4 47  trình : t 3  t    4 t      0 . 3 3 3  3 9  9  3 3 9  1 2  Vậy min P     64 . 3  3 3  Thí dụ 6. Cho các số thực a, b, c thoả a 2  b2  c2  ab  bc  ca  1 . Chứng minh rằng: (a  b  c)2  4  3 ab  bc  ca   18abc . 2 Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với P  (a  b  c)2  3 ab  bc  ca   18abc  4 (*) 2 Đặt m  (a  b  c), n  ab  bc  ca, p  abc Từ giả thiết ta suy ra: a  b  c  3 ab  bc  ca   1  m2  3n  1 2   3 Mặt khác : 27p  2m3  9mn  2 m2  3n Suy ra 27p  2m3  3m(m2  1)  2  27p  m3  3m  2  27p  m3  3m  2 Do đó: 3P  3m2  9n2  54p  3m2  (m2  1)2  2 m3  3m  2    m4  2m3  5m2  6m  3  (m2  m  3)2  12  12 .   1  13  2   m m  m  3  0   2     2 m 1  5  13 Đẳng thức xảy ra khi n  , ta chọn n   3   6     p  1 m3  3m  2   11  13   p 27  54   Hay a, b, c là ba nghiệm của phương trình 1  13 2 5  13 11  13 t3  t  t  0. 2 6 54 Phương pháp này có thể nói là một phát biểu kiểu khác của p,r,q. Tuy nhiên, với việc đánh giá bđt (1) cho phép ta chế các bài toán về cực trị và bđt ba biến với đẳng thức xảy ra khi hai biến bằng nhau. Chuyên đề sẽ được tiếp tục hoàn thành với những kết quả có ứng dụng trong chứng minh bđt. Rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đọc. Nguyễn Tất Thu 5
THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thoả a  b  c  32abc . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị 3 a 4  b4  c 4 nhỏ nhất của biểu thức: P  . a  b  c  4 Bài 2. Cho các số thực a, b, c có tổng bằng 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2abc  ab  bc  ca  . 2 Bài 3. Cho a, b, c,  0 thỏa a  b  c  1 . Tìm GTLN của P  abc a 2  b2  c2 .   Bài 4. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện a  b  c  3 và abc  4 Chứng minh rằng: 3abc  12  5(ab  bc  ca) . HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Chuẩn hoá abc  2  a  b  c  4 . Đặt n  ab  bc  ca , suy ra 16  3n 3 18n  91   3n3  12n2  108n  465  0 1  5 5  (n  5)(3n2  3n  93)  0  5  n  . 2 Mặt khác:     2 a 4  b4  c4  a 2  b2  c2  2 a 2 b2  b2 c 2  c 2 a 2    16  2n  2 n2  16  2n2  64n  288 2 Nên P  1 256  a 4  b4  c 4   1 128  n2  32n  144   5 5  1 Vì hàm f (n)  n2  32n  144 nghịch biến trên 5;  nên ta suy ra   2  1 9 1  5 5  1  383  165 5 max P  f (5)  và min P  f   . 128 128 128  2  2 Bài 2. Đặt n  ab  bc  ca, p  abc , ta có a, b, c là nghiệm của phương trình t 3  t 2  nt  p  0 . Ta có: 27p  9n  2  2 (1  3n)3 1  3 Suy ra p  27   9n  2  2 1  3n     42 4 1 4 1 (1  3n)3  3n  1  1  3n 2 3 Do đó: P  2p  n2  n2  n    3 27 27 9 27 27 1 4 4 3 1 Đặt t  1  3n, t  0 , suy ra P  t  t   f (t) 9 27 27 Nguyễn Tất Thu 6
THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai Xét hàm số f (t) với t  0 . Ta có: 4 3 4 2 4 f '(t)  t  t  t 2 t  1 , f '(t)  0  t  1, t  0 . 9 9 9 Từ đó suy ra f (t)  f (1)  0  P  0 . a  b  c  1    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t  1  n  0  a  1, b  c  0 và các hoán vị.   p  0   Vậy min P  0 . Nguyễn Tất Thu 7