Về biên khung tốt nhất trong không gian Hilbert

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, tác giả xây dựng công thức tổng quát cho các biên khung dưới và trên tốt nhất này và đưa ví dụ áp dụng. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết hơn nội dung nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về biên khung tốt nhất trong không gian Hilbert

96 Tăng Tấn Đông VỀ BIÊN KHUNG TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT ON THE OPTIMAL FRAME BOUNDS IN A HILBERT SPACE Tăng Tấn Đông HVCH Toán giải tích K34, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng; tangtandong@gmail.com   Tóm tắt - Một dãy các vectơ = { fk }k =1 trong không gian Abstract - A sequence = { fk }k =1 of elements in Hilbert space Hilbert được gọi là khung của không gian này nếu tồn tại các is a frame for if there exist constants A and B , 0  A  B   so hằng số A và B, 0  A  B   sao cho  2 2 2 2  2 2 that A ‖ f ‖   | f , fk |  B || f || f  . The numbers A ‖ f ‖   | f , fk |  B || f || f  . Các hằng số k =1 k =1 A, B  0 are called lower frame bound and upper frame bound. The A, B  0 trên tương ứng được gọi là biên khung dưới và biên khung optimal lower frame bounds are in the supremum over all lower frame trên. Ta gọi biên khung dưới tốt nhất là supremum của tất cả các biên bounds, and the optimal upper frame bounds are in the infimum over khung dưới, còn biên khung trên tốt nhất là infimum của tất cả các all upper frame bounds. Evidently frame bounds optimal have very biên khung trên. Các biên khung tốt nhất này có ý nghĩa rất quan important meaning. In this article, we construct formulae of the optimal trọng. Trong bài báo này, tác giả xây dựng công thức tổng quát cho bounds for a frame in a Hilbert space and give an example to apply các biên khung dưới và trên tốt nhất này và đưa ví dụ áp dụng. these formulae. Từ khóa - Khung trong không gian Hilbert; khung; biên khung; Key words - Frame in a Hilbert space; Frame; Frame bound; Không gian Hibert; biên khung tốt nhất. Hilbert space; optimal frame bounds. 1. Mở đầu các biên khung dưới, còn biên khung trên tốt nhất (the Một trong những khái niệm quan trọng nhất của không optimal upper frame bound) là infimum của tất cả các biên gian vectơ là cơ sở, vì mỗi vectơ của không gian đều được khung trên. biểu diễn duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến tính các Hiển nhiên, biên khung tốt nhất có một ý nghĩa rất quan phần tử thuộc cơ sở này. Chẳng hạn như, ta xét không gian trọng, bởi vì một mặt ta thu được các hệ số tính toán "tiết N vectơ hữu hạn chiều . Nếu { f k }k =1 là một cơ sở của không kiệm" nhất, mặt khác các giá trị này cho biết một dãy  = { f k }k =1 trong không gian Hilbert có là khung hay gian , thì mỗi vectơ f  đều có biểu diễn dưới dạng N không. Thật vậy, nếu ta kí hiệu biên khung trên tốt nhất và f =  ck ( f ) f k (1) biên khung dưới tốt nhất lần lượt là up và low thì khi k =1 và các hệ số ck ( f ) này là duy nhất, chúng chỉ phụ thuộc một trong hai điều kiện up = 0 hoặc low =  xảy ra, lúc f . Chính vì vậy, hệ các vectơ cơ sở của không gian tuyến đó dãy không thể là khung. tính thường được xem như là các khối xây dựng cơ bản Trong nhiều tài liệu, chẳng hạn [2] và [3], đã đưa ra các (elementary building blocks). Tuy nhiên, yêu cầu của một định nghĩa biên khung tốt nhất, nhưng chưa thấy tài liệu hệ vectơ tạo thành một cơ sở lại quá chặt chẽ, mà đòi hỏi nào xây dựng công thức cho các biên khung tốt nhất này cơ bản nhất của nó là phải độc lập tuyến tính. Thậm chí nếu dưới dạng tổng quát. Trong nghiên cứu này, tác giả sẽ giới là không gian Hilbert thì người ta còn đòi hỏi chúng phải thiệu công thức tổng quát cho các biên khung dưới và trên là cơ sở trực chuẩn, vì từ cơ sở (hệ độc lập tuyến tính cực tốt nhất này và đưa ra các ví dụ áp dụng. đại) ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt 2. Biên khung tốt nhất rồi chuẩn hóa để được cơ sở trực chuẩn. Khái niệm "khung" xuất hiện nhằm làm giảm thiểu các yêu cầu khắt khe của Ta thấy rằng, biên khung trên tốt nhất up  0 phải thỏa sự độc lập tuyến tính của một hệ vectơ, nhờ đó mà có được mãn hai điều kiện sau và hai điều kiện này được gọi là hai  nhiều ứng dụng hơn. Ta nói một dãy các vectơ = { f k }k =1 điều kiện đặc trưng của biên khung trên tốt nhất. trong không gian Hilbert được gọi là khung (frame) của  2 2 không gian này, nếu tồn tại các hằng số A và B , (a)  | f , f j |  up . ‖ f ‖ f  ; j =1 0  A  B   sao cho (b) Nếu có B  0 thỏa mãn  2 2 A ‖ f ‖   | f , f k |  B ‖ f ‖ , f  2 (2)  2 2 k =1  | f , f j  |  B ‖ f ‖ f  thì up B. j =1 Các hằng số A, B  0 trong (2) tương ứng được gọi là biên khung dưới và biên khung trên. Rõ ràng rằng các biên Như vậy, biên khung trên tốt nhất up của dãy khung là khung này không duy nhất. Ta gọi biên khung dưới tốt nhất  2 2 (the optimal lower frame bound) là supremum của tất cả up = inf{B :  | f , f j  |  B ‖ f ‖ f  }. j =1
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 1.1, 2019 97 Tiếp theo, biên khung dưới tốt nhất của dãy khung Nếu bất đẳng thức (6) đúng, thì từ tính chất (b) về đặc low  0 , phải thỏa mãn hai điều kiện sau và hai điều kiện trưng biên khung trên tốt nhất up , ta suy ra B  up và này được gọi là hai điều kiện đặc trưng của biên khung khi đó (5) thực sự là một đẳng thức, và ta sẽ có đẳng thức dưới tốt nhất. (3) cần chứng minh. 2  2 Như vậy, ta chỉ cần kiểm tra tính chất (6). Nếu f = 0 (c) low . ‖ f ‖   | f , f j  | f  ; j =1 thì bất đẳng thức (6) hiển nhiên, còn nếu f  0 thì ta cũng (d) Nếu có A  0 thỏa mãn có (6) do    thì A  2 2 A ‖ f ‖   | f , f j  | f  . 2 2 f 2 2 j =1 low  | f , f j  | =‖ f ‖ | , fj |  B‖ f ‖ . j =1 j =1 ‖ f ‖ Và ta cũng có biên khung dưới tốt nhất của khung là  2 2 2  2 (b) Theo (c) ta có low . ‖ f ‖   | f , f j  | với mọi low = sup{ A : A ‖ f ‖   | f , f j  | f  }. j =1 j =1 f  . Từ đó  Định lý 1. Nếu ={f j } j =1 là một khung trong không  2  | f , f j  | gian Hilbert , thì: j =1 low  f  0. (a) Biên khung trên tốt nhất của khung là ‖ f ‖ 2   | f , f j  | 2 Vì vậy j =1  2 = sup = sup{  | f , f j  | }  2  2 up f 0 ‖ f ‖ 2 f 1 j =1  | f , f j  |  | f , f j  | j =1 j =1  low  inf 2  inf 2 f 0 ‖ f ‖ || f ||1 ‖ f ‖ = sup{  | f , f j  | }. 2 ( 3) f =1 j =1    inf  | f , f j  |2  inf  | f , f j  |2 ( 7) (b) Biên khung dưới tốt nhất của khung là || f ||1 j =1 || f || =1 j =1   2  | f , f j  |  2 Lấy A = inf  | f , f j  | ta sẽ kiểm tra bất đẳng thức j =1 2 f =1 j =1 low = inf 2 = inf {  | f , f j  | } f 0 ‖ f ‖ f 1 j =1  2 2  A ‖ f ‖   | f , f j  | f  (8) = inf {  | f , f j  | }. 2 ( 4) j =1 f =1 j =1 Nếu bất đẳng thức (8) đúng, thì từ tính chất (d) về đặc Chứng minh: trưng biên khung dưới tốt nhất low ta suy ra A  low và (a) Theo tính chất (a) về đặc trưng của cận trên tốt nhất, khi đó (7) thực sự là một đẳng thức, và ta sẽ có đẳng thức  ta có  | f , f j  |  2 2 (4) cần chứng minh. up . ‖ f ‖ . j =1 Vậy ta chỉ cần kiểm tra công thức (8). Nếu f = 0 thì bất Từ đó đẳng thức (8) hiển nhiên, còn nếu f  0 thì ta cũng có (8) do  2  | f , f j  |  2 2  f 2 2 j =1  | f , f j  | = ‖ f ‖  | , fj |  A‖ f ‖ . up  2 f  0 j =1 j =1 ‖ f ‖ ‖ f ‖ Vì vậy Như vậy, định lý được chứng minh hoàn toàn.   3. Kỹ thuật tìm biên khung tốt nhất 2 2  | f , f j  |  | f , f j  | j =1 j =1 Từ các công thức tính các biên khung tốt nhất (3) và (4) up  sup 2  sup 2 f 0 ‖ f ‖ 0 f 1 ‖ f ‖ ứng với up và low nói trên, ta thu được một thuật toán   tính chúng như sau.  sup  | f , f j  |  sup  | f , f j  | 2 2 ( 5) f 1 j =1 f =1 j =1 3.1. Tìm up  Lấy B = sup  | f , f j  | . Ta sẽ kiểm tra bất đẳng thức 2 Để chứng minh rằng up =  ta thường làm như sau. f =1 j =1 (i) Trước hết ta chứng minh  2 2   | f , f j  |  B ‖ f ‖ f  (6)  | f , f j  |   ‖ f ‖ 2 2 j =1 f  , j =1
98 Tăng Tấn Đông Theo (b) ta sẽ có up  . cho nên  3 2 2 2 (ii) Tiếp theo ta tìm g với ‖ g ‖ = 1 mà ‖ f ‖   | f , f k |  ‖ f ‖ . k =1 2   | g , f j  |   , từ (3) ta suy ra   2  up . Từ hai bất đẳng Nghĩa là F = { f k }k =1 là một khung của với các biên j =1 khung dưới và trên là 1 và 3 / 2 tương ứng. Vậy thì thức trên ta thu được up = . 3 Flow  1 và Fup  (9) 3.2. Tìm low 2 Để chứng minh rằng low =  ta thường làm như sau. Ta sẽ chỉ ra rằng biên dưới tốt nhất là Flow = 1 và biên (i) Trước hết chứng minh trên tốt nhất là Fup = 3 / 2. Thật vậy, với f = e1 thì    ‖ f ‖   | f , f j  | 1 3 2 2 f  2 2 ‖ f ‖ = 1 và  |  f , f k | = | e1 , e1 | + | e1 , e1 | = 2 , j =1 k =1 2 2 thì từ (d) suy ra   low . nên theo định nghĩa supremum ta có Fup  3 / 2 và kết hợp (ii) Tiếp theo ta tìm h với ‖ h ‖ = 1 mà với (9) ta suy ra Fup = 3 / 2 .   | h, f j  |   , từ (4) suy ra   2 low . Từ hai bất đẳng Tiếp theo, nếu f = en với n  thì ‖ f ‖ = 1 và j =1  1 thức trên ta sẽ thu được low = . 2  |  f , fk | = | en , en | + 2 | en , en | = 1 + n . 2 1 n k =1 2 2 4. Ví dụ áp dụng Do đẳng thức trên đúng với mọi n  nên từ định Giả sử nghĩa infimum ta suy ra rằng Flow  1 . Vậy khi kết hợp với 1 1 1  F = { f k }k =1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , e3 , e3 ,.. (9) ta có Flow = 1 . 1/2 2 2 23/2 1 5. Kết luận .., en , en ,..}, 2 n /2 Trong bài báo này chúng tôi đã xây dựng công thức  tường minh cho các biên khung dưới tối ưu, biên khung ở đây {ek }k =1 là một cơ sở trực chuẩn của . Do F chứa trên tối ưu trong không gian Hilbert tổng quát và đưa ra ví  dụ áp dụng cho công thức này. cơ sở trực chuẩn {ek }k =1 của và một tập con thực sự của cơ sở này, nên F là một khung. Ta có Lời cám ơn: Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Nhụy, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã đưa ra các chỉ    1 2  | f , fk  | =  | f , ek  | +  2 |  f , ek  | . 2 dẫn để viết bài báo này. k k =1 k =1 k =1 2 Rõ ràng rằng TÀI LIỆU THAM KHẢO    [1] Christensen, H., What is a Frame?, Notices the AMS, Volume 60, 2 2 1 2  | f , f k  | =  | f , ek  | +  k |  f , ek  | Number 6, 2016. k =1 k =1 k =1 2 [2] Christensen, O., An Introduction to Frame and Riesz Bases, Second  1 Edition, Birkhaeuser, 2015. 2 2 2 =‖ f ‖ +  k |  f , ek  | ‖ f ‖ . [3] Hernandez, E., Weiss, G., A First Course on Weiveles, Boca Raton, k =1 2 New York, 1996. và [4] Heuser, H., Functional Analysis, Wiley, New York, 1982. [5] Nguyễn Nhụy, Giáo trình Giải tích Fourier, Đại học Quốc gia Hà    1 Nội, 2015. 2 2 2  | f , f k  | =  | f , ek | +  k | f , ek | [6] Hoàng Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm, Đại học Quốc gia Hà Nội, k =1 k =1 k =1 2 2003. 2 1  2 3 2  ‖ f ‖ +  | f , ek | = ‖ f ‖ 2 k =1 2 (BBT nhận bài: 24/12/2018, hoàn tất thủ tục phản biện: 25/01/2019)