Về một tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, tác giả đề xuất một tiêu chí duy nhất nghiệm mới cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên Caputo. Kết quả khác với những kết quả trước đó là có thể áp dụng cho lớp các phương trình vi phân cấp không nguyên với hàm nguồn có chứa điểm kỳ dị.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về một tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên

VỀ MỘT TIÊU CHÍ DUY NHẤT NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG NGUYÊN Nguyễn Minh Điện1 1. Khoa Sư phạm, trường Đại học Thủ Dầu Một TÓM TẮT Trong báo cáo này chúng tôi đề xuất một tiêu chí duy nhất nghiệm mới cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên Caputo. Kết quả của chúng tôi khác với những kết quả trước đó là có thể áp dụng cho lớp các phương trình vi phân cấp không nguyên với hàm nguồn có chứa điểm kỳ dị. Từ khoá: Đạo hàm Caputo, phương trình vi phân cấp không nguyên, tiêu chí duy nhất nghiệm. 1. GIỚI THIỆU Nagumo (Nagumo, 1926) đã đề xuất một tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân cấp 1. Tiếp nối công trình trên, có rất nhiều tiêu chí duy nhất nghiệm cho các phương trình vi phân thường được đề xuất, chẳng hạn như (Constantin, 2010; Ferreira, 2012; Gard 1978). Rất gần đây Constantin (Constantin, 2023) đã đề xuất một tiêu chí duy nhất nghiệm rất thú vị cho phương trình vi phân cấp 1. Các tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên cũng được quan tâm nghiên cứu khá nhiều, chẳng hạn như (Diethelm, 2012; Ferreira, 2013; Ferreira, 2024). Tuy nhiên, trong các nghiên cứu vừa đề cập, các tiêu chí duy nhất nghiệm được đưa ra không áp dụng được cho trường hợp phương trình vi phân có hàm nguồn có điểm kỳ dị. Tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên cũng đã được nghiên cứu nhưng không nhiều (Dien, 2021). Trong báo cáo này, chúng tôi giới thiệu một tiêu chí duy nhất nghiệm mới cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên Caputo sau: C Dt u(t ) = f (t , u(t )), (0   , t  1) (1) với điều kiện đầu u (0) = 0. Chúng tôi nhấn mạnh là tiêu chí duy nhất nghiệm được đề xuất ở đây vẫn khả dụng khi hàm nguồn có điểm kỳ dị. 2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về tích phân và đạo hàm cấp không nguyên. Chúng tôi cũng giới thiệu một số kết quả cần thiết sẽ được sử dụng cho các phần tiếp theo trong báo cáo. Định nghĩa 2.1. (Podlubny, 1999). Cho n  , n − 1    n và u  C [0, T ]. Tích phân phân n số với bậc α được định nghĩa 1 t ( ) 0 I  u(t ) = (t − s) −1 u(s)ds và đạo hàm Caputo cấp  được định nghĩa bởi 344
 1 t  (n −  ) 0 (t − s ) n − −1 ( n )  u ( s )ds khi n − 1    n, C Dt u (t ) =  u ( n ) (t ) khi  = n  với Γ(.) là hàm Gamma. Tiếp tục, chúng tôi giới thiệu một sự liên hệ giữa đạo hàm và tích phân cấp không nguyên (Podlubny, 1999): Bổ đề 2.2. (Podlubny, 1999). Cho n  , n − 1    n và u  C [0, T ]. Khi đó, ta có n n −1 I  ( C Dt u (t ) ) = u (t ) −  ck t k , (ck  ). k =0 Bổ đề 2.3. Cho u  C [0,1] và thỏa mãn điều kiện u (0) = 0, khi đó tồn tại một hằng số M  0 1 sao cho | u (t ) | Mt. M = sup | u '(t ) | . Chứng minh. Vì u  C [0,1], ta có 1 0t 1 Do đó, ta có t t u(t ) =  u '( s)ds   u '(s) ds  Mt. 0 0 3. TIÊU CHÍ DUY NHẤT NGHIỆM Trong phần này, chúng tôi giới thiệu tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình (1). Cụ thể hơn, ta có định lý sau: Định lý 3.1. Giả sử tồn tại các hằng số K , N  0 và 0      1 sao cho | f (t, u) | Kt − | u |, (0  t  1) và lim f (t , Mt ) = 0 t →0 đều với mọi M  0. Nếu K (1 −  )  1, khi đó, phương trình (1) có duy nhất nghiệm tầm thường 1 trong C [0,1] . Chứng minh. Sử dụng Bổ đề 2.2 và điều kiện u (0) = 0, ta có thể đưa phương trình (1) về phương trình tích phân sau: t 1 ( )  u (t ) = (t − s ) −1 f ( s, u ( s ))ds. 0 Giả sử bài toán (1) có nghiệm không tầm thường u  C [0,1]. Bổ đề 2.3, với mọi   0 , tồn tại 1 t  0 đủ nhỏ, sao cho | f (t , u(t )) |  . Khi đó, ta có  t   (t − s) ds = ( + 1) t .  −1  u (t )  ( ) 0 345
Từ bất đẳng thức vừa nhận được suy ra u(t ) lim = 0. t →0 t  − Do đó hàm số  u (t )  khi t  0, w(t ) =  t  − 0 khi t = 0  t  0 , ta đặt là hàm liên tục trên [0,1]. Với 0 M 0 = max w(t ). 0t t0 Mặt khác, với 0  t  t0 , ta lại có t KM 0  (t − s) t ds = KM 0(1 −  )t .  −1 −   − u (t )  ( ) 0 Bất đẳng thức trên dẫn tới u (t )  K (1 −  ) M 0  M 0 . t  − Điều này trái với định nghĩa M 0 . Điều này chứng tỏ bài toán chỉ có nghiệm tầm thường. 4. ỨNG DỤNG Chúng tôi sẽ giới thiệu một số ví dụ về việc áp dụng tiêu chí vừa tìm được vào một số phương trình vi phân có đạo hàm cấp không nguyên và có hàm nguồn chứa điểm kỳ dị. Ví dụ 4.1. Xét phương trình vi phân sau: C Dt0.9u(t ) = 0.2t −0.8 sin u(t ), (0  t  1) với điều kiện đầu u (0) = 0. Trong ví dụ này, ta có f (t, u(t )) = 0.2t −0.8 sin u(t ) và  = 0.9. Dễ thấy f (t , u )  0.2t −0.8 | u | với K = 0.2,  = 0.8   = 0.9. Hơn nữa, ta có lim f (t , Mt ) = lim0.2t −0.8 sin Mt = 0. t →0 t →0 Mặt khác, ta có (1 −  ) = (0.2)  4.59 nên K (1 −  )  0.918  1. Điều nay chứng tỏ các giả thiết trong Định lý 3.1 đều được thỏa mãn. Do đó, ta kết luận bài toán có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường. Ví dụ 4.2. Xét phương trình vi phân sau: 346
1 | u(t ) | C Dt0.8u(t ) = t −0.75 , (0  t  1) 4 1+ | u(t ) | với điều kiện đầu u (0) = 0. Ta có 1 | u(t ) | f (t , u(t )) = t −0.75 4 1+ | u(t ) | và  = 0.8. Ta cũng có 1 −0.75 f (t , u )  t |u | 4 1 K= ,  = 0.75   = 0.8. với 4 Kiểm tra trực tiếp, ta có 1 M lim f (t , Mt ) = lim t 0.25 = 0. t →0 t →0 4 1 + Mt 3.63 K (1 −  )   1. Do (1 −  ) = (0.25)  3.63 nên 4 Điều nay chứng tỏ các giả thiết trong Định lý 3.1 đều được thỏa mãn, nghĩa là bài toán đang xét có duy nhất nghiệm là nghiệm tầm thường. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Constantin (2010). On Nagumo’s theorem. Proc. Jpn. Acad. Ser. A Math. Sci., 86(2), 41-44. a. Constantin (2023). A uniqueness criterion for ordinary differential equations. J. Differ. Equ., 342, 179-192. 2. K. Diethelm (2012). The mean value theorems and a Nagumo-type uniqueness theorem for Caputo’s fractional calculus. Fract. Calc. Appl. Anal., 15(2), 304-313. 3. N. M. Dien (2021). Existence and continuity results for a nonlinear fractional Langevin equation with a weakly singular source. J. Integral Equ. Appl., 33(3), 349-369. 4. R. A. C. Ferreira (2012). A uniqueness result for a fractional differential equation. Fract. Calc. Appl. Anal., 15(4), 611-615. 5. R. A. C. Ferreira (2013). A Nagumo-type uniqueness result for an $n$th order differential equation. Bull. London Math. Soc., 45, 930-934. 6. R. A. C. Ferreira (2024). A Nagumo-Type Uniqueness Criterion for a Differential Equation with Convolution. Differ Equ Dyn Syst. https://doi.org/10.1007/s12591-023-00670-x 7. M. Nagumo (1926). Eine hinreichende Bedingung fur die Unit at der Loosung von Differentialgleichungen erster Ordnung. Jpn. J. Math., 3, 107-112. 8. T.C. Gard (1978). A generalization of the Nagumo uniqueness theorem. Proc. Am. Math. Soc., 70, 167- 172. 9. Podlubny (1999). Fractional differential equations. New York: Academic Press. 347