Xác định các hằng số đàn hồi từ chuỗi thực nghiệm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, phương pháp bình phương tối thiểu được sử dụng để xác định các hằng số đàn hồi của đàn hồi trực tiếp. Những khó khăn trong công việc bố trí thực thi kéo - nén đồng thời trên cả ba trục trên một khối mẫu thiết lập phương pháp, xử lý dữ liệu thu thập cũng giống như sự phức tạp trong quá trình tính toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xác định các hằng số đàn hồi từ chuỗi thực nghiệm

XÁC NH CÁC H NG S ÀN H I T CHU I TH C NGHI M Vũ Tiến Đức Khoa Toán và Khoa học tự nhiên Email: ducvt@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 09/3/2023 Ngày PB đánh giá: 24/3/2023 Ngày duyệt đăng: 05/5/2023 TÓM TẮT: Trong bài báo này, phương pháp bình phương tối thiểu được sử dụng để xác định các hằng số đàn hồi của đàn hồi trực tiếp. Những khó khăn trong công việc bố trí thực thi kéo - nén đồng thời trên cả ba trục trên một khối mẫu thiết lập phương pháp, xử lý dữ liệu thu thập cũng giống như sự phức tạp trong quá trình tính toán. Để giải quyết vấn đề đó, một chuỗi thí nghiệm kéo -nén một trục trên mẫu có dạng tấm được đề xuất để xác định sáu hằng số đàn hồi của vật liệu trực tiếp. Ba hằng số còn lại được tính toán nhờ công thức biến đổi các hằng số đàn hồi, với dữ liệu thực nghiệm trên mẫu dạng tấm với các trục quay một góc 45 độ so với các trục chính dị hướng. Từ khóa: vật liệu dị hướng, vật liệu trực hướng, hằng số vật liệu, phương pháp bình phương tối thiểu. DETERMINING THE ELASTIC CONSTANTS FROM A SERIES OF EXPERIMENTS ABSTRACT: In this paper, the "least squares method" is used to determine the elastic constants of the direct elasticity. Difficulties in laying out the execution of the pull-compression simultaneously on all three axes on a sample block, setting the methods, or handling the collected data are like the complexity in the calculation process. To solve that problem, a series of uniaxial tensile- compression experiments on plate specimens are proposed to determine six elastic constants of the direct materials. The remaining three constants are calculated using the elastic constants transformation formula, with the experimental data on a plate sample and with the axes rotating at an angle of 45 degrees with respect to the anisotropic major axes. Key words: anisotropic materials, orthotropic material, material constant, least squares method. T P CHÍ KHOA H C S 58, Tháng 5/2023 83
1. GIỚI THIỆU E.V. Amelina, S.K. Golushko, V.S. Erasov và các cộng sự. Các nghiên cứu của Các vật liệu dị hướng, nghĩa là vật họ nhìn chung không cho phép xác định tất liệu có tính chất cơ học khác nhau theo cả các hằng số đàn hồi của các mô hình các hướng khác nhau được sử dụng rộng phức tạp hơn định luật Húc. Mặc dù vậy, rãi trong nhiều ngành công nghệ hiện đại. đó vẫn là cơ sở để các nhà nghiên cứu vật Trực hướng là một trường hợp đặc biệt liệu sử dụng đến nay. của dị hướng, tức là các tính chất không giống nhau của một vật liệu dọc theo các 3. XÁC ĐỊNH CÁC HẰNG SỐ hướng vuông góc lẫn nhau. Việc nghiên ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP cứu tính ổn định của các cấu trúc dị BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU hướng nói chung và cấu trúc trực hướng Đối với vật liệu trực hướng, trong nói riêng đòi hỏi phải xác định hằng số biểu thức của định luật Hooke [1,3] có 9 đàn hồi của vật liệu. Tuy nhiên, rất khó hằng số cần được xác định: để xác định các hằng số này cả về mặt toán học hay do sự phức tạp của các thí nghiệm. Bằng chứng cho điều này là dữ (1) liệu kéo-nén hai trục hoặc ba trục cũng như các dữ liệu từ thực nghiệm cắt gần như không được tìm thấy. Vì vậy, bài viết này đề xuất loạt thí Để xác định các hằng số , nghiệm kéo-nén một trục nhằm đơn giản , , , , chỉ cần tiến hành hóa quá trình thí nghiệm cũng như quá một thí nghiệm kéo - nén đồng thời trên trình tính toán. cả ba trục trên một khối mẫu lập 2. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU phương. Sau khi nhận được các dữ liệu Các nghiên cứu đầy đủ nhất về cấu thực nghiệm và , trong đo trúc của vật liệu dị hướng được đưa ra bởi ; số lần đo, các hằng số đàn Smith E.W., Pascoe K.J năm 1977 đối với hồi có thể xác định bằng phương pháp vật liệu thủy tinh hữu cơ và Jones, R.M bình phương tối thiểu. Theo phương năm 1980 với Cacbon tổng hợp, ngoài ra pháp này, tổng bình phương độ lệch sẽ có thêm một số ít công bố chưa đầy đủ của đạt giá trị nhỏ nhất [2]: n [f ( xi ) − ( xi )]2 min, (2) trong đó - xấp xỉ hàm; {xi , ( xi )} - kết i =1 quả thực nghiệm. Cùng với các dữ liệu thực nghiệm đầu tiên của hệ (1) trở thành bài toán tìm thu được, việc xác định ba hàm biến dạng các sao cho: 84 TR NG Đ I H C H I PHÒNG
n f1 ( A11 , A12 , A13 ) = ( A11 i x + A12 i y + A11 i z − i 2 x) min i =1 n f 2 ( A12 , A22 , A23 ) = ( A12 i x + A22 i y + A23 i z − i 2 y ) min (3) i =1 n f3 ( A13 , A23 , A33 ) = ( A13 i x + A23 i y + A33 i z − i 2 z) min i =1 Các biểu thức này sẽ được thực hiện khi và chỉ khi các tham số thỏa mãn hệ phương trình sau: f1 f f = 0, 1 = 0, 1 = 0, A11 A12 A13 f2 f2 f2 = 0, = 0, = 0, (4) A12 A22 A23 f3 f3 f3 = 0, = 0, = 0. A13 A23 A33 Do tính bằng nhau của các , nên việc tính toán các tham biến theo cả chín phương trình 9 ẩn này sẽ dẫn đến mâu thuẫn (do các sai số trong quá trình tính toán gần đúng). Vì vậy ta sẽ cộng cả 2 vế của các phương trình cùng chứa Aij , i j . Theo đó ta thu được hệ gồm sáu phương trình: f1 f2 f3 = 0, = 0, = 0, A11 A22 A33 f1 f f1 f f2 f + 2 = 0, + 3 = 0, + 3 = 0. A12 A12 A13 A13 A23 A33 Lấy vi phân các hàm f k (k = 1, 2,3) từ hệ (3) theo từng tham biến Aij t được: n i2 i i i i i i ( A11 x + A12 x y + A13 x z − x x ) = 0, i =1 n i2 i i i i i i ( A22 y + A12 x y + A23 y z − y y ) = 0, i =1 n i2 i i i i i i ( A33 z + A13 x z + A23 y z − z z ) = 0, i =1 T P CHÍ KHOA H C S 58, Tháng 5/2023 85
n n i2 i i i i i i i2 i i i i i i ( A12 y + A11 x y + A13 y z − y x) + ( A12 x + A22 x y + A23 x z − x y ) = 0, i =1 i =1 n n i2 i i i i i i i2 i i i i i i ( A13 z + A11 x z + A12 y z − z x) + ( A13 x + A23 x y + A33 x z − x z ) = 0, i =1 i =1 n n i2 i i i i i i i2 i i i i i i ( A23 z + A12 x z + A22 y z − z y) + ( A23 y + A13 x y + A33 y z − y z ) = 0. i =1 i =1 Viết lại hệ phương trình này ở dạng đại số, và đánh số hệ này là (5): n n n n i2 i i i i i i A11 x + A12 x y + A13 x z = x x, i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n i i i2 i i i i A12 x y + A22 y + A23 y z = y y, i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n A13 i i x z + A23 i y i z + A33 i2 z = i i z z, i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n n n i i i2 i2 i i i i i i i i i i A11 x y + A12 ( y + x )+ A13 y z + A22 x y + A23 x z = ( y x + x y) i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n n n i i i i i2 i2 i i i i i i i i A11 x z + A12 y z + A13 ( z + x )+ A23 x y + A33 x z = ( z x + x z ), i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n n n i i i i i i i2 i2 i i i i i i xA12 x z + A13 x y + A22 y z + A23 ( z + y )+ A33 y z = ( z y + y z ). i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 Đây là hệ phương trình đại số tuyến n i i 2 tính không thuần nhất sáu phương trình g1 ( A44 ) = ( A44 yz − yz ) min i =1 sáu ẩn Aij , việc giải hệ này sẽ cho ta bộ Từ điều kiện bằng không của đạo nghiệm duy nhất chứa sáu tham số của hàm, ta thu được: vật liệu , , , , , . i 2 i i 2 A44 yz − 2 A44 yz yz = 0. Việc xác định các hằng số A44 , , A66 dựa trên dữ liệu thực nghiệm Từ đây biểu thức của A44 được xác trên mặt phẳng , xz , . Từ phương định: trình thứ tư của hệ thức (1) cùng với dữ N i i liệu thực nghiệm cắt trên mặt phẳng yz yz A44 = i =1 N . (6) , biểu thức (2) được viết dưới dạng: i 2 yz i =1 86 TR NG Đ I H C H I PHÒNG
Biểu thức tổng bình phương tối Sáu nghiệm của hệ phương trình thiểu từ dữ liệu thực nghiệm cắt trên mặt (5) cùng với các biểu thức (6) - (8) đã xác phẳng xz có dạng: định đầy đủ chín hằng số của một vật liệu n trực hướng bất kì. i i 2 g 2 ( A55 ) = ( A55 xz − xz ) min 4. Thực nghiệm kéo - nén một i =1 trục để xác định các hằng số đàn hồi Lấy đạo hàm theo A55 của hàm Ưu điểm của việc tiến hành thí và đánh giá bằng không ta thu được: nghiệm trên mẫu khối lập phương là 2 A55 i 2 − 2 A55 i i =0 số lượng thí nghiệm ít và độ chính xác xz xz xz cao. Nhược điểm của thí nghiệm này Do đó: là phải bố trí tải trên cả ba mặt của N i i mẫu thử, phải đo ba lần biến dạng của xz yz mẫu lập phương, biểu thức tính số liệu A55 = i =1 . (7) N i 2 thí nghiệm rườm rà… Ngoài ra, không i =1 xz có nhiều thiết bị đủ tiêu chuẩn có thể thực hiện các thí nghiệm kéo và nén Tương tự, được xác định từ hai trục và ba trục, cũng như các thí thực nghiệm trên mặt phẳng : nghiệm cắt. Do đó, chúng ta đề xuất N thay thế chúng bằng một loạt thí i i xy xy nghiệm kéo-nén một trục trên mỗi mặt A66 = i =1 N . (8) phẳng riêng lẻ. i 2 xy i =1 а) b) Hình 1. Các cạnh của tấm được định hướng dọc theo các trục chính dị hướng: T P CHÍ KHOA H C S 58, Tháng 5/2023 87
а) căng-nén dọc trục ; đầu tiên được định hướng dọc theo các trục bất đẳng hướng chính và b) căng-nén dọc trục ; (Hình.1). Các cạnh của tấm thứ hai Trong mặt phẳng cần làm thí lệch một góc 45 độ so với các trục nghiệm với hai tấm. Các cạnh của tấm chính (Hình 2). Hình 2. Các cạnh của tấm lệch 45 độ so với các trục chính dị hướng. Tiến hành thí nghiệm căng-nén Từ đó, hệ phương trình tuyến tính dọc trục và tương ứng với tấm tương ứng đối với các tham biến A11 , A22 thứ nhất. , cũng được đơn giản hóa đáng kể: Từ thí nghiệm đầu tiên (Hình 1a) n ta có: (2 A11 i2 x −2 i i x x )=0 i =1 x = A11 x; y = A12 x . từ thí n (2 A22 i2 −2 i i )=0 nghiệm thứ hai (Hình 1b) ta có: i =1 y y y n (2 A12 i2 x + 2 A12 i2 y −2 i x i y −2 i i y x )=0 Theo cách bố trí thực nghiệm i =1 được đề xuất ở đây, biểu thức của Theo đó các tham biến được xác định: phương pháp bình phương tối thiểu trở n n i i i i nên đơn giản: x x y y n A11 = i =n 1 , A22 = i =1 n , i i 2 ( A11 x − x) min i2 i2 i =1 x y i =1 i =1 n ( A22 iy − i 2 y) min n i i i i i =1 ( x y + y x) n n A12 = i =1 n i i 2 ( A12 x − y) + ( A12 iy − i 2 x) min ( i2 + i2 i =1 i =1 x y ) i =1 . 88 TR NG Đ I H C H I PHÒNG
Đối với tấm thứ hai, chúng ta chỉ cần số đàn hồi của vật liệu, cụ thể là sử xác định hằng số đầu tiên, tức là . Quá dụng phương pháp bình phương tối thiểu. Ưu điểm của phương pháp này trình thực hiện cũng tương tự (Hình 2). là nó đơn giản hóa quá trình thử Để xác định hằng số A66 , ta sử nghiệm và có thể được sử dụng trong dụng công thức biến đổi các hằng số thực tế tính toán. đàn hồi: TÀI LIỆU THAM KHẢO A11 ) = A11 cos4 + (2 A12 + A66 )sin 2 cos2 ( 1. Lekhnitskii, Sergei Georgievich, 4 + A22 sin et al (1964), Theory of elasticity of an Góc được chọn là 45 độ. Thay nó vào anisotropic elastic body, Physics Today, công thức trên, ta được biểu thức xác p.84. định : 2. Amelina E.V., Golushko S.K., A66 = (45) 4 A11 − A11 − A22 − 2 A12 . (9) Erasov V.S., Idimeshev S.V., Nemirovskiy Yu.V., Semisalov B.V., Như vậy tất cả các hằng số trong mặt Yurchenko A.V., Yakovlev N.O. (2015), phẳng đã được xác định. Việc xác định Nonlinear deformation of carbon fiber các hằng số còn lại hoàn toàn tương tự. reinforced plastics: experiment, model, 5. KẾT LUẬN and simulation, Computational Như vậy, qua bài viết ta thấy có Technologies, №5. p. 27-52. thể sử dụng thí nghiệm kéo-nén một 3. Lekhnitsky S.G. (1977), Theory trục để thực hiện các quá trình của thí of elasticity of an anisotropic elastic nghiệm cũng như tính toán các hằng body, M. Nauka, p.415. T P CHÍ KHOA H C S 58, Tháng 5/2023 89