Xác suất thống kê_ Chương 4

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Tài liệu tham khảo môn Xác suất thống kê Chương 4: " Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên" dành cho sinh viên chuyên ngành kinh tế.

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Nội dung Text: Xác suất thống kê_ Chương 4

Chuong 4 ’’ ´’ ´ ˆ ’ D. U’OC LU’ONG THAM SO CUA ¯ AI LU’ONG .’ .’ ˜ ˆ ˆ NGAU NHIEN Gia su dai luong ngˆu nhiˆn X c´ tham sˆ θ chua biˆt. U’oc luong tham sˆ θ l` dua ’ ’’ ¯ . ’ .’ ˜ a e o ´ o ’ ´ e ´ ’ .’ ’ ´ o a .’ a ˜ a a˜ e ¯’ ´ o e ˆ ˆ v`o mˆu ngˆu nhiˆn Wx = (X1 , X2 , . . . , Xn ) ta dua ra thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) dˆ’ uoc luong (du do´n) θ. ¯e ’ ´ ’ .’ ’ .’ ¯ a o ’’ a ’ ´ ’ .’ C´ 2 phuong ph´p uoc luong: ’ i) U’oc luong diˆ’m: chi’ ra θ = θ0 n`o do dˆ’ uoc luong θ. ´ ’ .’ ¯ e ’ a ¯´ ¯e ’ ´ ’ .’ ’ ii) U’oc luong khoang: chi’ ra mˆt khoang (θ1 , θ2 ) chua θ sao cho P (θ1 < θ < θ2 ) = ´ ’ .’ ’ ’ o . ’ ´ ’ 1 − α cho truoc´ (1 − α goi l` dˆ tin cˆy cua uoc luong). ’’ . a ¯o . a ’ ’’ . ´ ’ .’ ´’ ’ 1. CAC PHU’ONG PHAP U’OC LU’ONG ¯ IEM ´ ’ ´ .’ D ˆ 1.1 ’’ a ’´ ’. Phuong ph´p h`m uoc luong a ’ ’ o ’ • Mˆ ta phuong ph´p ’’ a ’ ’’ a ’ ´ ’ .’ ` ’ ´ ’ ¯ . ’ .’ o ˜ a e ` ’ a . ˜ a ˜ Gia su cˆn uoc luong tham sˆ θ cua dai luong ngˆu nhiˆn X. Tu X ta lˆp mˆu ngˆu a nhiˆn WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ). e ´ e ˆ ˆ . ˆ a a ’ ´ ’.’ ’ Chon thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ). Ta goi θ l` h`m uoc luong cua X. . o ’ Thuc hiˆn ph´p thu ta duoc mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ). Khi d´ uoc luong .’ e. e ’’ ¯ ’ .’ a˜ . e ¯o ’ ´ ’ .’ ’ diˆ ¯e ’m cua θ l` gi´ tri θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ). ’ a a . ˆ ’´ ’ ’ a) Uoc luong khˆng chˆch ’ o e . . D. ˜ ´ o e ˆ ˆ ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’ 2 ¯ inh nghia 1 Thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) duoc goi l` uoc luong khˆng chˆch ’ o e . ’ ´ ´ ˆ = θ. cua tham sˆ θ nˆu E(θ) o e ´ ˜ Y nghia ’ ’’ ˆ a ’ ´ ’ .’ ’ e . ’ ´ Gia su θ l` uoc luong khˆng chˆch cua tham sˆ θ. Ta c´ o o o ˆ ˆ E(θ − θ) = E(θ) − E(θ) = θ − θ = 0 69
70 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e a ’ ´ ’ .’ . ’ e . a ’ ´ ’ .’ ’ o ´ o ` ınh ˘ Vˆu uoc luong khˆng chˆch l` uoc luong c´ sai sˆ trung b` bang 0. o ⊕ Nhˆn x´t a . e ınh ’ ˜ a ˜ a e a ’ ´ ’ .’ ’ o e . ’ ınh ’ i) Trung b` cua mˆu ngˆu nhiˆn X l` uoc luong khˆng chˆch cua trung b` cua tˆ o’ng thˆ’ θ = E(X) = m v` E(X) = m. e ı ’’ ¯ e` ˜ a a˜ e a ’ ´ ’ .’ ii) Phuong sai diˆu chinh cua mˆu ngˆu nhiˆn S 2 l` uoc luong khˆng chˆch cua ’ ’ ’ o e . ’ ’’ ’ o phuong sai cua tˆ’ng thˆ’ σ 2 v` E(S 2 ) = σ 2 . e ı e` ’ ’’ • V´ du 1 Chiˆu cao cua 50 cˆy lim duoc cho boi ı . a ¯ ’.’ ’ e` e ´ Khoang chiˆu cao (m´t) sˆ cˆy lim o a x0 i ui ni ui ni u2 i [6, 25 − 6, 75) 1 6,5 -4 -4 16 [6, 75 − 7, 25) 2 7,0 -3 -6 18 [7, 25 − 7, 75) 5 7,5 -2 -10 20 [7, 75 − 8, 25) 11 8 -1 -11 11 [8, 25 − 8, 75) 18 8,5 0 0 0 [8, 75 − 9, 25) 9 9 1 9 9 [9, 25 − 9, 75) 3 9,5 2 6 12 [9, 75 − 10, 2) 1 10 3 3 9 50 -13 95 e` ’ a Goi X l` chiˆu cao cua cˆy lim . a a) H˜y chi’ ra uoc luong diˆ’m cho chiˆu cao trung b` cua c´c cˆy lim. a ’ ´ ’ .’ ¯ e ’ e` ınh ’ a a b) H˜y chi a ’ ra uoc luong diˆ’m cho do tan m´t cua c´c chiˆu cao cˆy lim so voi chiˆu ’’´ ’ .’ ¯ e ¯ˆ . ’ a ’ a e` a ´’ e` cao trung b`ınh. c) Goi p = P (7, 75 ≤ X ≤ 8, 75). H˜y chi’ ra uoc luong diˆ’m cho p. . a ’ ´ ’ .’ ¯ e ’ ’ Giai Ta lˆp bang t´ cho x v` s2 . a . ’ ınh a ’ ´ x0 − 8, 5 i Thuc hiˆn ph´p dˆi biˆn ui = .’ e . e ¯o e (x0 = 8, 5; h = 0, 5) 0, 5 Ta c´ u = − 13 = −0, 26. Suy ra o 50 x = 8, 5 + 0, 5.(−0, 26) = 8, 37 95 s2 = (0, 5)2 . − (−0, 26)2 = 0, 4581 ∼ (0, 68)2 . 50 e` ınh ¯ ’ .’ ’ ´ ’ .’ a) Chiˆu cao trung b` duoc uoc luong l` 8,37 m´t. ’ a e Do ’ . a ¯ ’ .’ ’ ´ ’ .’ b) ¯ ˆ tan m´t duoc uoc luong l` s = 0, 68 m´t ho˘c s = ’ a e a ˆ . 50 50−1 0, 4581 ∼ 0, 684 o a e` o . ’ c) Trong 50 quan s´t da cho c´ 11+18 = 29 quan s´t cho chiˆu cao lim thuˆc khoang a ¯˜ [7, 5 − 8, 5) Vˆy uoc luong diˆ’m cho p l` p∗ = a ’ ´ ’ .’ ¯ e . ’ a 29 50 = 0, 58.
a ’’ a ’´ ’ ’ ’ ¯e ’ 1. C´c phuong ph´p uoc luong diˆm 71 ’´ ’ ’ b) Uoc luong hiˆu qua ’ e . ’ . . e ’ ’’ ˆ a ’ ´ ’ .’ ’ o e. ’ ´ o ´ ’ a ¯˘ ⊕ Nhˆn x´t Gia su θ l` uoc luong khˆng chˆch cua tham sˆ θ. Theo bˆt dang thuc a ´ ’ Tchebychev ta c´o ˆ V ar(θ) ˆ ˆ P (|θ − E(θ)| < ε) > 1 − ε2 V ar(θ)ˆ ı ˆ e ˆ V` E(θ) = θ nˆn P (|θ − θ| < ε) > 1 − . ε2 ´ ´ ˆ a ’ ı ˆ ` e . ˆ ´ Ta thˆy nˆu V ar(θ) c`ng nho th` P (|θ − θ| < ε) c`ng gˆn 1. Do do ta s˜ chon θ voi a e a a ¯´ ’ ˆ nho nhˆt. V ar(θ) ’ a´ D. ˜ ’ o e ˆ ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’ 2 ¯ inh nghia 2 U’oc luong khˆng chˆch θ duoc goi l` uoc luong c´ hiˆu qua cua tham ´ ’.’ . ’ o e . ’ ’ ´ ´ ˆ nho nhˆt trong c´c uoc luong cua θ. sˆ θ nˆu V ar(θ) o e ’ a ´ a ’ ´ ’.’ ’ ’ u´ ’`’ ´ ’ ¯ ’ .’ ˘` e ˆ a ’ ´ ’ .’ ´ ’ e . ’ ’ Ch´ y Nguoi ta chung minh duoc rang nˆu θ l` uoc luong hiˆu qua cua θ th` phuong ı ’’ ’ sai cua n´ l` o a ˆ 1 V ar(θ) = ∂lnf (x,θ) 2 (4.1) n.E( ∂θ ) a a a ¯o a . . ´ a ’ ¯ . ’ .’ a˜ e o ´ . ’´ trong d´ f (x, θ) l` h`m mˆt dˆ x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn gˆc. Moi uoc ¯o ’ ’ .’ . ’’ ´ luong khˆng chˆch θ luˆn c´ phuong sai lon hon V ar(θ) o e o o ’ ’ ˆ trong (4.1). Ta goi (4.1) l` gioi . a ´ ’ han Crame-Rao. . 2 a . e ´ e ¯ . ’ .’ ˜ a e o ´ ı ˜ ⊕ Nhˆn x´t Nˆu dai luong ngˆu nhiˆn gˆc X ∈ N (µ, σ ) th` trung b` mˆu X l` ınh a a n ’ ´ ’ .’ ’ e . ’ ’ y . uoc luong hiˆu qua cua k` vong E(X) = µ. n ´ X= 1 σ2 Thˆt vˆy, ta biˆt a a . . e Xi ∈ N (µ, ) n i=1 n a . a o a ´ o ’ a e e ´ a a a ¯o ’ M˘t kh´c do X c´ phˆn phˆi chuˆn nˆn nˆu f (x, µ) l` h`m mˆt dˆ cua Xi th` . . ı 1 2 2 f (x, µ) = √ e−(x−µ) /2σ σ 2π ∂ x−µ Ta c´ o lnf (x, µ) = . ∂µ σ2 2 2 ∂lnf (x, µ) x−µ n ` Suy ra nE = nE = ınh ˘ . Do d´ V ar(X) ch´ bang nghich ¯o . ∂µ σ2 σ2 dao σ 2 /n. ¯’ . a ’ ´ ’ .’ ’ e . ’ ’ Vˆy X l` uoc luong hiˆu qua cua µ. a ’´ ’ ’ ˜ c) Uoc luong vung ’ ’ . ˜ ´ o eˆ ˆ ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’ ’ ˜’ ’ 2 ¯ inh nghia 3 Thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) duoc goi l` uoc luong vung cua tham D. ´ θ nˆu ∀ε > 0 ta c´ sˆ o ´ e o ˆ lim P (|θ − θ| < ε) = 1 n→∞
72 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e De ` e ¯ ’ ’ ’ ´ ’ .’ . ’ ˜ ¯ iˆu kiˆn du cua uoc luong vung’ e ˆ a ’ ´ ’ .’ ´ ’ o e . ’ a lim ˆ ı ˆ a ’ ´ ’ .’ ’ ˜ Nˆu θ l` uoc luong khˆng chˆch cua θ v` n→∞ V ar(θ) = 0 th` θ l` uoc luong vung ’ ’ cua θ. 1.2 ’’ a ’´ ’. ’ ’ . y o ¯ ’ ´ Phuong ph´p uoc luong hop l´ tˆi da ’ ’’ ˜ ˜ e ¯ ’ .’ . e ` ¯ . ’ .’ ˜ Gia su WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) l` mˆu ngˆu nhiˆn duoc tao nˆn tu dai luong ngˆu a a a ’ a ˜ nhiˆn X c´ mˆu cu thˆ e o a . e ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ) v` θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ). a ˆ ˆ e a a .’ y ´ ´ a ¯i ’ ¯o o X´t h`m h`m hop l´ L(x1 , . . . , xn , θ) cua dˆi sˆ θ x´c d.nh nhu sau: ’ ´ ` . • Nˆu X roi rac: e ’ L(x1 , . . . , xn , θ) = P (X1 = x1 /θ, . . . , Xn = xn /θ) (4.2) n = P (Xi = xi /θ) (4.3) i=1 L(x1 , . . . , xn , θ) l` x´c suˆt dˆ’ ta nhˆn duoc mˆu cu thˆ’ Wx = (x1 , . . . , xn ) a a ´ a ¯e a ¯ ’ .’ . ˜ a . e ´ e . o a a ¯o a . . ´ • Nˆu X liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x, θ) e a L(x1 , . . . , xn , θ) = f (x1 , θ)f (x2 , θ) . . . f (xn , θ) L(x1 , x2 , . . . , xn , θ) l` mˆt dˆ cua x´c suˆt tai diˆ’m wx (x1 , x2 , . . . , xn ) a a ¯o ’ a . . ´ a . ¯e ˆ ¯ ’ .’ . a ’ ´ ’ .’ .’ y o ¯ e ´ ´ ´ ’ ´ a Gi´ tri θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ) duoc goi l` uoc luong hop l´ tˆi da nˆu ung voi gi´ a . ’ ’ . a ’ tri n`y cua θ h`m hop l´ dat cuc dai. a .’ y ¯ . .’ ¯ . Phuong ph´p t` ’’ a ım V` h`m L v` lnL dat cuc dai tai c`ng mˆt gi´ tri θ nˆn ta x´t lnL thay v` x´t L. ı a a ¯ . .’ ¯ . . u o a . . e e ı e ∂lnL ’´ Buoc 1: T` ’ ım ∂θ ∂lnL ’´ ’ ’ Buoc 2: Giai phuong tr` ’’ ınh (Phuong tr` hop l´) ’’ ınh .’ y ∂θ ’ ’’ ’’ ınh o e a . ˆ Gia su phuong tr` c´ nghiˆm l` θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ) 2 ´ 3: T` dao h`m cˆp hai ∂ lnL Buoc ’’ ım ¯ . a ´ a ∂θ ´ ∂ 2 lnL ˆ Nˆu tai θ0 m` e . a a ’´ < 0 th` lnL dat cuc dai. Khi do θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ) l` uoc ı ¯ . .’ ¯ . ¯´ ’ ∂θ luong diˆ’m hop l´ tˆi da cua θ. ’ .’ ¯ e ´ .’ y o ¯ ’
’’ a ’ 2. Phuong ph´p khoang tin cˆy a 73 2. PHU’ONG PHAP KHOANG TIN CAY ’ ´ ’ ˆ . 2.1 o ’ Mˆ ta phuong ph´p ’’ a Gia su tˆng thˆ’ c´ tham sˆ θ chua biˆt. Ta t` khoang (θ1 , θ2 ) chua θ sao cho ’ ’’ o ’ e o o´ ’ ´ e ım ’ ´ ’ ’´ P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α cho truoc. ’ ` ¯ . ’ .’ ’ ˜ e o ´ a. ˜ a a˜ Tu dai luong ngˆu nhiˆn gˆc X lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Chon a e . ´ thˆng kˆ θ o e ˆ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) c´ phˆn phˆi x´c suˆt x´c d.nh d` chua biˆt θ. ˆ o a ´ o a ´ a a ¯i u ’ ´ e ´ ’ a e ım ¯ ’ .’ a . ’ ˆ ´ a ’ ˆ Voi α1 kh´ b´ (α1 < α) ta t` duoc phˆn vi θα1 cua θ (tuc l` P (θ < θα1 ) = α1 ). ´ ’ a e ’`’ ´ Voi α2 m` α1 + α2 = α kh´ b´ (thuong lˆy α ≤ 0, 05) ta t` duoc phˆn vi θ1−α2 cua a a ım ¯ ’ .’ a . ’ ˆ (tuc l` P (θ < θ1−α ) = 1 − α2 ). θ ´ a ’ ˆ 2 Khi d´ ¯o ˆ ˆ ˆ P (θα1 ≤ θ ≤ θ1−α2 ) = P (θ < θ1−α2 ) − P (θ < θα1 ) = 1 − α2 − α1 = 1 − α (∗) `’ ’ ¯ ’ .’ ¯ ’ e` . ˆ ˆ Tu (*) ta giai ra duoc θ. Khi d´ (*) duoc dua vˆ dang P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α. ¯ ’ .’ ¯o ´ ` ` a ˘ e o ˆ ´ ´ ˆ ` ’ ’ V` x´c suˆt 1 − α gˆn bang 1, nˆn biˆn cˆ (θ1 < θ < θ2 ) hˆu nhu xay ra. Thuc hiˆn ı a a e a .’ e . mˆt ph´p thu dˆi voi mˆu ngˆu nhiˆn WX ta thu duoc mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ). o . e ’’ ¯o ´ a ´ ’ ˜ ˜ a e ˜ ¯ ’ .’ a . e Tu mˆu cu thˆ’ n`y ta t´ duoc gi´ tri θ1 = θ1 (x1 , x2 , . . . , xn ), θ2 = θ2 (x1 , x2 , . . . , xn ). ’ ˜ ` a . e a ınh ¯ ’ .’ a . ˆ ˆ Vˆy voi 1 − α cho truoc, qua mˆu cu thˆ’ wx ta t` duoc khoang (θ1 , θ2 ) chua θ sao a ´ . ’ ’´ ’ ˜ a . e ım ¯ ’ .’ ’ ´ ’ cho P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α. ’ ¯ ’ .’ . a ’ • Khoang (θ1 , θ2 ) duoc goi l` khoang tin cˆy. a . . a ’ ’ ´ ’ .’ • 1 − α duoc goi l` dˆ tin cˆy cua uoc luong. ¯ ’ .’ . a ¯o . ’ . ’ • |θ2 − θ1 | duoc goi l` dˆ d`i khoang tin cˆy. ¯ ’ .’ . a ¯o a a . 2.2 ’´ ’. Uoc luong trung b` ’ ’ ınh Gia su trung b` cua tˆng thˆ’ E(X) = m chua biˆt. Ta t` khoang (m1 , m2 ) chua ’ ’’ ınh ’ o ’ e ’ e´ ım ’ ´ ’ ´ 1 − α l` do tin cˆy cho truoc. m sao cho P (m1 < m < m2 ) = 1 − α, voi ’ a ¯ˆ . a . ´ ’’ ’` i) Truong hop 1 ’ .’ ´ Biˆt V ar(X) = σ 2 e . ’ o a ´ o a’ n ≥ 30 ho˘c (n < 30 nhung X c´ phˆn phˆi chuˆn) a . ´ Chon thˆng kˆ o e √ (X − m) n U= (4.4) σ ´ Ta thˆy U ∈ N (0, 1). a
74 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e Chon c˘p α1 v` α2 sao cho α1 + α2 = α v` t` c´c phˆn vi . a . a a ım a a . P (U < uα1 ) = α1 , P (U < uα2 ) = 1 − α2 a . ’ a o ınh a ´ Do phˆn vi chuˆn c´ t´ chˆt uα1 = −u1−α1 nˆn e P (−u1−α1 < U < u1−α2 ) = 1 − α (4.5) .’ a a ’ e a . ´ Dua v`o (4.4) v` giai hˆ bˆt phuong tr` trong (4.5) ta duoc ’’ ınh ¯ ’ .’ σ σ X − √ u1−α2 < m < X + √ u1−α1 n n De’ ¯ ’ .’ ’ a ¯o ´ ´ ’ α a ¯˘ ¯ ˆ duoc khoang tin cˆy dˆi xung ta chon α1 = α2 = 2 v` dat γ = 1 − . . . α 2 th` ı σ σ X − √ uγ < m < X + √ uγ n n o . ım ¯ ’ .’ ’ T´m lai, ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε), trong do a . ¯´ a ınh ’ ˜ a ˜ * x l` trung b` cua mˆu ngˆu nhiˆn. a e σ ´ ’ ´ α * ε = uγ √ (¯o ch´ x´c) voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc γ = 1 − dˆ ınh a . ’ a a . a ’ 2 n ı . ´ o ’.’ ’ ’ a a ¯. ’.’ ˜ a e o a ´ o ’ a ´ ¯o • V´ du 2 Khˆi luong san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi chuˆn voi dˆ ’ . lˆch tiˆu chuˆ e . e a’n σ = 1. Cˆn thu 25 san phˆm ta thu duoc kˆt qua sau a ’’ ’ a’ ´ ¯ ’.’ e ’ ´ X (khˆi luong) 18 19 20 21 o ’.’ ´ ni (sˆ luong o ’.’ 3 5 15 2 a ’ ´ ’.’ ’ ı ´ o ’.’ ’ ’ a’ ´ ¯o H˜y uoc luong trung b`nh khˆi luong cua san phˆm voi dˆ tin cˆy 95 %. ’ . a . ’ Giai xi ni xi ni 18 3 54 19 5 95 20 15 300 21 2 42 25 491 491 Ta c´ x = o 25 = 19, 64kg. α ¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 Do . a . =⇒ γ = 1− 2 = 0, 975 Ta t` ım a . a’ duoc phˆn vi chuˆn uγ = u0,975 = 1, 96. Do d´ ¯ ’ .’ ¯o 1 1 ε = u0,975 √ = 1, 96. = 0.39 25 5 x1 = x − ε = 19, 6 − 0, 39 = 19, 25 x2 = x + ε = 19, 6 + 0, 39 = 20, 03 . ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (19, 25; 20, 03). a a a .
’’ a ’ 2. Phuong ph´p khoang tin cˆy a 75 ’` ii) Truong hop 2 ’ .’ ’ ´ σ 2 chua biˆt e n ≥ 30 Truong hop n`y k´ thuoc mˆu lon (n ≥ 30) c´ thˆ’ d`ng uoc luong cua S 2 thay ’`’ .’ a ıch ’´’ a ´ ˜ ’ o e u ’ ´ ’ .’ ’ ’ 2 ’ ´ e 2 2 ım ¯ ’ .’ ’ cho σ chua biˆt (E(S ) = σ ), ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε) trong do a . ¯´ * x l` trung b` cua mˆu cu thˆ’. a ınh ’ ˜ a . e s ´ ’ ´ α ’ * ε = uγ √ voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc γ = 1 − ’ a a . a ’ 2 v` s l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn a a ¯o e . . e a n diˆu chinh cua mˆu cu thˆ’. ¯ e` ’ ’ ˜ a . e ’`’ ´ e a e ´ ’’ o ’ . ’` ¯. . • V´ du 3 Nguoi ta tiˆn h`nh nghiˆn cuu o mˆt truong dai hoc xem trong mˆt th´ng ı . ’ o a . ı o . e e e ´ e e` . ¯ e . . ´ o a a . ˜ ˜ trung b`nh mˆt sinh viˆn tiˆu hˆt bao nhiˆu tiˆn goi diˆn thoai. Lˆy mˆt mˆu ngˆu nhiˆn a e gˆm o e ¯ ’.’ e´ ` 59 sinh viˆn thu duoc kˆt qua sau: ’ 14 18 22 30 36 28 42 79 36 52 15 47 95 16 27 111 37 63 127 23 31 70 27 11 30 147 72 37 25 7 33 29 35 41 48 15 29 73 26 15 26 31 57 40 18 85 28 32 22 36 60 41 35 26 20 58 33 23 35 a ’ ´ ’.’ ’ ’ . ´ ` H˜y uoc luong khoang tin cˆy 95% cho sˆ tiˆn goi diˆn thoai trung b` h`ng th´ng a o e . ¯e . . ınh a a ’ cua mˆt sinh viˆn. o. e ’ Giai ´ . ` a o e ¯˜ Tu c´c sˆ liˆu da cho, ta c´ ’ o n = 59; x = 41, 05; s = 27, 99 α ’ ’ ¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 95 Do. a . =⇒ 1 − 2 = 0, 975. Tra bang phˆn vi chuˆn ta c´ a . a o u0,975 = 1, 96. Do d´ ε = 1, 96. 27,99 = 7, 13. ¯o √ 59 x − 7, 13 = 33, 92; x + 7, 13 = 48, 18 . ’ a ’ ’ ´ ’ .’ Vˆy khoang tin cˆy cua uoc luong l` (33,92; 48,18). a . ’ a ’` iii) Truong hop 3 ’ .’ ’ e´ σ 2 chua biˆt a o a ´ o a’ n < 30 v` X c´ phˆn phˆi chuˆn √ ´ (X − m) n Chon thˆng kˆ T = . o e ∈ T (n − 1). S
76 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e S ’ Ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε) trong do ε = tγ √ ım ¯ ’ .’ a . ¯´ n ´ ’ ´ voi tγ l` phˆn vi Student muc γ = 1 − a a . ’ α ´ voi n − 1 bˆc tu do v` s l` do lˆch tiˆu ’ a .’ . a a ¯ˆ e . . e 2 ’n diˆu chinh cua mˆu cu thˆ’. chuˆ ¯ e a ` ’ ’ ˜ . e a a a a o ´ a ¯ ’.’ a ` o • V´ du 4 Dioxide Sulfur v` Oxide Nitrogen l` c´c h´a chˆt duoc khai th´c tu l`ng ı . ’ dˆ ¯a´t. C´c chˆt n`y duoc gi´ mang di rˆt xa, kˆt hop th`nh acid v` roi tro lai m˘t dˆt tao a a´ a ¯ ’.’ o ¯ a´ ´ .’ e a a ’ ’’ . . ´ a ¯a . th`nh mua acid. Nguoi ta do dˆ dˆm dac cua Dioxide Sulfur (µg/m3 ) trong khu rung a ’ ’`’ ¯ ¯o ¯a ¯˘ ’ . . . `’ ’ ’ ´ D´ ´ . ’’ ’ ’ ´ ¯a Bavarian cua nuoc ¯ uc. Sˆ liˆu cho boi bang duoi dˆy: ’ ’ o e ’ 52,7 43,9 41,7 71,5 47,6 55,1 62,2 56,5 33,4 61,8 54,3 50,0 45,3 63,4 53,9 65,5 66,6 70,0 52,4 38,6 46,1 44,4 60,7 56,4 a ’ ´ ’.’ ¯o ¯a ¯˘ ’ . . . ’ ´ ¯o H˜y uoc luong dˆ dˆm dac trung b`nh cua Dioxide Sulsfur voi dˆ tin cˆy 95%. ı ’ . a . ’ Giai Ta t´ duoc x = 53, 92µg/m3 , ınh ¯ ’ .’ s = 10, 07µg/m3 . α ’ ¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 =⇒ 1 − 2 = 0, 975. Tra bang phˆn Do. a . a vi student muc . ´ 0,975 bˆc n − 1 = 23 ta duoc t23;0,975 = 2, 069. ’ a . ¯ ’ .’ Do d´ ε = 2, 069 10,07 = 4, 25. ¯o √ 24 x − ε = 53, 92 − 4, 25 = 49, 67, x + ε = 53, 92 + 4, 25 = 58, 17 . ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (49,67; 58,17). a a a . ’`’ ´ ´ . . e ¯ ’ .’ e ¯ˆ ¯ˆ ¯˘ ’ . o . .’ ´ Nguoi ta biˆt duoc nˆu do dam dac cua Dioxide Sulfur trong mˆt khu vuc lon hon ’ ’ 3 ’` ’ .’ . a . ’’ 20µg/m th` mˆi truong trong khu vuc bi ph´ hoai boi mua acid. Qua v´ du n`y c´c ı o ’ ı . a a ¯ ’ .’ e a ` ’ . a . a ` nh` khoa hoc da t` ra duoc nguyˆn nhˆn rung Bavarian bi ph´ hoai trˆm trong n˘m a . ¯˜ ım . a 1983 l` do mua acid . a ’ u´ a ¯i ı ’´ a ’ ~ Ch´ y (X´c d.nh k´ch thuoc m^u) e´ ´ . o ¯ˆ a . a ¯ˆ ınh a . ¯ . ’’ ´ ’ ’´’ ı ` Nˆu muˆn do tin cˆy 1 − α v` do ch´ x´c ε dat o muc cho truoc th` ta cˆn x´c a a ¯i ıch ´ n cua mˆu. d.nh k´ thuoc ’’ ’ ˜ a ’ .’ ´ i) Truong hop biˆt V ar(X) = σ 2 : ’` e ` o ´ σ Tu cˆng thuc ε = u2 √n ta suy ra ’ ’ γ σ2 n = u2 γ ε2 ’ .’ ’ ´ ii) Truong hop chua biˆt σ 2 : ’` e
’’ a ’ 2. Phuong ph´p khoang tin cˆy a 77 Dua v` mˆu cu thˆ’ da cho (nˆu chua c´ mˆu th` ta c´ thˆ’ tiˆn h`nh lˆy mˆu lˆn ˜ .’ a a . e ¯˜ ´ e ’ o a ˜ ı o e e a ´ ´ a ˜ ` a a ¯a ´ ıch ` ’ ’´ ’ t´ s 2 . Tu d´ x´c d.nh duoc dˆu voi k´ thuoc n1 ≥ 30) dˆ ınh ’ ¯e ` ¯o a ¯i ¯ ’ .’ ’ 2 2s n= uγ 2 ε ıch ’´’ a˜ ’ a o ´ e ´ e ınh a o ´ e ¯ ’ .’ K´ thuoc mˆu n phai l` sˆ nguyˆn. Nˆu khi t´ n theo c´c cˆng thuc trˆn duoc ’ a . o e ı ´ a a` e ’ o o. e ´ gi´ tri khˆng nguyˆn th` ta lˆy phˆn nguyˆn cua n´ cˆng thˆm voi 1. ’ 2 2 ´ l` n = u2 σ + 1 ho˘c n = u2 s + 1. Tuc a ’ γ 2 a . γ 2 ε ε 2.3 ’´ ’. ’ e Uoc luong ty lˆ ’ ’ . Gia su tˆng thˆ’ duoc chia ra l`m hai loai phˆn tu. Ty lˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A l` p ’ ’’ o ’ e ¯ ’ .’ a . a ’’ ` ’ e a ’’ o ınh a . ` ´ a chua biˆt. U’oc luong ty lˆ l` chi’ ra khoang (f1 , f2 ) chua p sao cho P (f1 < p < f2 ) = 1−α. ’ ´ e ´ ’ .’ ’ ’ e a . ’ ´ ’ De’ ’ a a ¯ ’ .’ ¯ ’ ’ a ´ ıch ˜ ’´ a ´ ¯ ˆ cho viˆc giai b`i to´n duoc don gian, ta chon mˆu voi k´ thuoc n kh´ lon. e . . ’ ’ ’ Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A khi lˆy ngˆu nhiˆn mˆt phˆn tu tu tˆng thˆ’ th` . ´ ` a o a ’’ o ınh a ´ ´ a ˜ a e o . ` ’ ’ a ’’ ` o e ı X l` dai luong ngˆ a ¯ . ’ .’ a e o a o´ a ˜u nhiˆn c´ phˆn phˆi x´c suˆt´ a X 0 1 P 1-p p . ´ ` a o a ’’ o ınh a ´ ` ´ ´ Goi Xi (i = 1, n) l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A trong lˆn lˆy thu i. a a ’ 1 n Ta c´ X = o Xi ch´ l` tˆn suˆt uoc luong diˆ’m cua p = E(X). M˘t kh´c, theo ınh a a ` a ’ ´ ’ .’ ¯ e ´ ’ ’ a . a n i=1 ´ p(1 − p) ’’ . ´ ’ ` ¯o chuong 2, nX c´ phˆn phˆi nhi thuc B(n, p). Tu d´ E(X) = p v` V ar(X) = o a o ’ a n . √ . ´ng kˆ U = (f − p) n , trong do f l` ty lˆ c´c phˆn tu cua mˆu c´ t´ Chon thˆ o e ¯´ a ’ e a . a ’’ ’ ` ˜ a o ınh p(1 − p) ´ chˆt A. a a ´ ’ ı ’ ´ e a a ’’ .’ ’ ’’ ’ ´ ’ .’ Khi n kh´ lon th` U ∈ N (0, 1). Giai quyˆt b`i to´n tuong tu nhu o uoc luong trung ’ b` ’’ 2 ’’ ınh, thay X boi f , σ boi f (1 − f )... ta duoc ¯ ’ .’ f (1 − f ) f (1 − f ) f − uγ < p < f + uγ n n o . a ¯i ¯ ’ .’ ’ T´m lai, ta x´c d.nh duoc khoang tin cˆy (f1 , f2 ) = (f − ε, f + ε), trong do a . ¯´ a ’ e a a ’’ ’ ` ˜ ´ f l` ty lˆ c´c phˆn tu cua mˆu c´ t´ chˆt A . a o ınh a f (1 − f ) ε = uγ (¯o ch´ x´c) dˆ ınh a . (4.6) n
78 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e ´’ a a . a’ ´ voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc 1 − α . ’ 2 ` Tu (4.6) ta c´ ’ o √ ε n uγ = f (1 − f ) f (1 − f ) n = u2 α 1− 2 ε2 Ch´ y Ta c´ thˆ’ t` khoang tin cˆy cua p bang c´ch kh´c nhu sau: u´ o e ım ’ a ’ . ` ˘ a a ’ ` ’ a ’ Tu khoang tin cˆy cua p: ’ .     f p(1 − p) p(1 − p)  |f p(1 − p)  − uγ < p < f + uγ hay − p| < uγ n n n ’ a ´ Giai bˆt phuong tr` ’’ ınhn`y ta t` duoc a ım ¯ ’ .’ nf + 0, 5u2 − γ 0, 25u2 − nf (1 − f ) γ nf + 0, 5u2 + γ 0, 25u2 − nf (1 − f ) γ p1 = , p2 = n + u2 γ n + u2 γ a ’ a ’ . ´ ¯o Khi d´ (p1 , p2 ) l` khoang tin cˆy cua p voi dˆ tin cˆy 1 − α. ¯o ’ . a . • V´ du 5 Kiˆ’m tra 100 san phˆm trong lˆ h`ng thˆy c´ 20 phˆ phˆm. ı . e ’ a’ o a ´ a o ´ ’ e a a ’ ´ ’.’ ’ ’ e e a . ´ ’ i) H˜y uoc luong ty lˆ phˆ phˆm c´ dˆ tin cˆy 99 %. o ¯o . a . ´ . ı ¯o . a ’ ’ ´ ’.’ ii) Nˆu dˆ ch´nh x´c ε = 0, 04 th` dˆ tin cˆy cua uoc luong l` bao nhiˆu? e ¯o ı a . ’ a e iii) Nˆu muˆn c´ dˆ tin cˆy 99% v` dˆ ch´ x´c 0,04 th` phai kiˆ’m tra bao nhiˆu ´ e ´ o o ¯o. a . a ¯o ınh a . ı ’ e e ’ san phˆm? a’ ’ Giai 20 i) n = 100, f= 100 = 0.2 √ (f −p) 100 X´t e U= √ pq ∈ N (0, 1). Ta c´ o α 1 − α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒ 1 − = 1 − 0, 005 = 0, 995 2 √ 0, 2.0, 8 0, 4 ε = u0,995 √ = 2, 58. = 0, 1 100 10 f1 = f − ε = 0, 2 − 0, 1 = 0, 1 f2 = f + ε = 0, 2 + 0, 1 = 0, 3
’’ a ’ 2. Phuong ph´p khoang tin cˆy a 79 . ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 1; 0, 3). a a a . √ 0, 04. 100 ii) u1− α = √ =1 2 0, 2.0, 8 T` duoc ım ¯ ’ .’ α 1− = 0, 84 =⇒ 1 − α = 0, 68 2 Vˆy dˆ tin cˆy l` 68%. a ¯o . . a a . iii)1 − α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒ 1 − α = 0, 995. T` duoc u0,995 = 2, 576. 2 ım ¯ ’ .’ Do d´ ¯o (2, 576)2 .0, 2.0, 8 n≈ = 6, 635.100 = 663, 5 (0, 04)2 Vˆy n = 664 a . 2.4 ’´ ’. Uoc luong phuong sai ’ ’ ’’ ’ ’’ ¯ . ’ .’ ˜ e o a ´ o a’ ´ Gia su dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi chuˆn voi phuong sai V ar(X) = σ 2 a ’ ’’ ´ Cho 0 < α < 0.05. U’oc luong phuong sai V ar(X) l` chi’ ra khoang (σ1 , σ2 ) chua biˆt. ’ e ´ ’ .’ ’ ’’ a ’ 2 2 ´ 2 2 2 2 chua σ sao cho P (σ1 < σ < σ2 ) = 1 − α. ’ ` ’ a . ˜ a ˜ a e a e a ’` Tu X lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) v` x´t c´c truong hop ’ .’ ´ a) Biˆt E(X) = µ. e n ´ (Xi − µ)2 Chon thˆng kˆ χ2 = . o e i=1 σ2 ´ ´ o ınh ’’ ´ Ta thˆy χ2 c´ phˆn phˆi ”khi-b` phuong” voi n bˆc tu do. a o a ’ a .’ . Chon α1 v` α2 kh´ b´ sao cho α1 + α2 = α. Ta t` duoc c´c phˆn vi χ2 1 v` χ2 2 . a a e ım ¯ ’ .’ a a . α a 1−α ’ m˜n thoa a P (χ2 1 < χ2 < χ2 2 ) = 1 − α α 1−α (4.7) Thay biˆ’u thuc cua χ2 v`o (4.7) v` giai ra ta duoc e ´ ’ ’ a a ’ ¯ ’ .’ (Xi − µ)2 (Xi − µ)2 < σ2 < χ2 2 1−α χ2 1 α α Chon α1 = α2 = . 2 th` ı (Xi − µ)2 (Xi − µ)2 < σ2 < (4.8) χ2 α 1− χ2α 2 2 Voi mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ), t´ c´c tˆng ´ a . e ’ ˜ ınh a o ’ (xi − µ)2 v` dua v`o (4.8) ta a .’ a ’ 2 2 t` duoc khoang tin cˆy (σ1 , σ2 ), trong do ım ¯ ’ .’ a. ¯´
80 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e 2 (xi − µ)2 ni σ1 = χ2 α n,1− 2 2 (xi − µ)2 ni σ2 = χ2 α n, 2 ´ voi ’ ınh ’’ ´ χ2 α l` phˆn vi ”khi−b` phuong” muc 1 − n,1− 2 a a . ’ α ´ voi n bˆc tu do. ’ a .’ . 2 ınh ’’ ´ χ2 α l` phˆn vi ”khi−b` phuong” muc n, 2 a a . ’ α ´ voi n bˆc tu do. ’ a .’ . 2 ’ ´ b) Chua biˆt E(X). e ´ (n − 1)S 2 Chon thˆng kˆ χ2 = . o e σ2 ´ ´ ınh ’’ ´ Thˆng kˆ n`y c´ phˆn phˆi ”khi−b` phuong voi n − 1 bˆc tu do. Tuong tu nhu o e a o a o ’ a .’ . ’’ .’ ’ e ım ¯ ’ .’ ’ a . 2 2 ´ trˆn ta t` duoc khoang tin cˆy (σ1 , σ2 ) voi ’ 2 (n − 1)s2 2 (n − 1)s2 σ1 = ; σ2 = χ2n−1,1− α χ2 α n−1, 2 2 ı . ´ ’ ı e e . o ¯’ . ’ . ’ a a ¯. ’.’ ˜ • V´ du 6 Muc hao ph´ nhiˆn liˆu cho mˆt don vi san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn a e ´ ’ ’ ’ ´ ’ c´ phˆn phˆi chuˆn. X´t trˆn 25 san phˆm ta thu duoc kˆt qua sau: o a o a e e a ¯ ’.’ e X 19,5 20 20,5 ni 5 18 2 a ’ ´ ’.’ ’ ’’ ´ ¯o ’ . . ’` H˜y uoc luong phuong sai voi dˆ tin cˆy 90 % trong c´c truong hop sau: a a ’ .’ ´ i) Biˆt k` vong µ = 20g. e y . ’ ´ ii) Chua biˆt k` vong. e y . ’ Giai ´ i) Biˆt µ = 20g. e xi ni xi − 20 (xi − 20)2 (xi − 20)2 ni 19,5 5 -0,5 0,25 1,25 20 18 0 0 0 20,5 2 0,5 0,25 0,5 n=25 1,75 α α ¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 9 Do. a . =⇒ α = 0, 1 =⇒ 2 = 0, 05 =⇒ 1− 2 = 0.95 ’ a . ´ Tra bang phˆn vi χ2 voi n = 25 bˆc tu do ta duoc ’ a .’ . ¯ ’ .’ χ2 25;0,05 = 14, 6; χ2 25;0,95 = 37, 7
3. B`i tˆp a a . 81 Do d´ ¯o 2 (xi − 20)2 ni 1, 75 σ1 = 2 = = 0, 046 χ25;0,95 37, 7 2 (xi − 20)2 ni 1, 75 σ2 = 2 = = 0, 12 χ25;0,05 14, 6 . ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 046; 0, 12). a a a . ’ ´ ii) Khi chua biˆt k` vong ta t` s 2 = 0, 0692. e y . ım ’ a . ınh ’’ ´ a .’ Tra bang phˆn vi khi b` phuong voi bˆc tu do n − 1 = 24. ’ . χ2 = 13, 85; 0,05 χ2 = 36, 4 0,95 v` t´ a ınh 2 24s 2 24 × 0, 0692 σ1 = 2 = = 0, 046 χ0,95 36, 4 2 24s 2 24 × 0, 0692 σ2 = 2 = = 0, 12 χ0,05 13, 85 . ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 046; 0, 12). a a a . 3. ` ˆ BAI TAP . . ˜ . ’ .’ ’’ ´ 1. Mˆt mˆu c´c trong luong tuong ung l` 8,3; 10,6; 9,7; 8,8; 10,2 v` 9,4 kg. X´c d.nh o a a ’ a a a ¯i ’ ´ ’ .’ uoc luong khˆng chˆch cua ’ o e . ’ a) trung b` cua tˆng thˆ’, ınh ’ o ’ e ’ o b) phuong sai cua tˆ ’’ ’ng thˆ’. e ˜ . ¯ ’` ınh ’ ` ’ a a 2. Mˆt mˆu do do 5 duong k´ cua qua cˆu l` 6,33; 6,37; 6,36; 6,32 v` 6,37cm. X´c o a ¯ˆ ¯ . ’ a a ´ luong khˆng chˆch cua trung b` v` phuong sai cua duong k´ qua d.nh uoc ’ .’ ¯i ’’ o e . ’ ınh a ’’ ’ ¯ ’` ’ ınh ’ ` cˆu. a 3. ¯ ˆ’ x´c d.nh do ch´ x´c cua mˆt chiˆc cˆn ta khˆng c´ sai sˆ hˆ thˆng, nguoi ta De a ¯i ¯ˆ ınh a ’ . o . ´ e a . o o ´ . ´ o e o ’`’ ´ h`nh 5 lˆn cˆn doc lˆp (c`ng mˆt vˆt), kˆt qua nhu sau: tiˆn a e a` a ¯ˆ a . . u o a . . ´ e ’ ’ 94, 1 94, 8 96, 0 95, 2 kg a ¯i ’ ´ ’ .’ ’ o e . ’ ’’ ´ o ¯ ’` X´c d.nh uoc luong khˆng chˆch cua phuong sai sˆ do trong hai truong hop: ’ .’ ´ e ´ a) biˆt khˆi luong vˆt cˆn l` 95kg; o ’ .’ a a a . o ´ khˆi luong vˆt cˆn. b) khˆng biˆt o e ´ ’ .’ a a . D ’` ınh ’ ˜ ˜ e ’ ¯ ’ .’ ’ ´ a ’’ o 4. ¯ uong k´ cua mˆt mˆu ngˆu nhiˆn cua 200 viˆn bi duoc san xuˆt boi mˆt m´y ’ o . a a e . a trong mˆt tuˆn o o . a ınh a ¯ˆ e . . e a’ ` c´ trung b` 20,9mm v` do lˆch tiˆu chuˆn 1,07mm. U’oc luong ´ ’ .’ ’ ınh ¯ ’`’ ınh ’ e ´ ¯o trung b` duong k´ cua viˆn bi voi dˆ tin cˆy (a) 95%, (b) 99%. ’ . a .
82 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e 5. ¯ ˆ’ khao s´t suc bˆn chiu luc cua mˆt loai ˆng cˆng nghiˆp nguoi ta tiˆn h`nh do De ’ a ´ e`’ . .’ ’ o . . o´ o e . ’`’ ´ e a ¯ 9ˆ ´ng v` thu duoc c´c sˆ liˆu sau o a ´ e ¯ ’ .’ a o . 4500 6500 5000 5200 4800 4900 5125 6200 5375 `’ e . e` e. ’`’ ´ ` e ˘ ´ e` ¯o o a ’ o´ Tu kinh nghiˆm nghˆ nghiˆp nguoi ta biˆt rang suc bˆn d´ c´ phˆn phˆi chuˆn a’ ´ ¯o e voi dˆ lˆch chuˆ ’ . . a ’n σ = 300. X´c d.nh khoang tin cˆy 95% cho suc bˆn trung b` a ¯i ’ a . ´ e` ’ ınh ’ ´ng trˆn. cua loai ˆ . o e . o u . ` ’ e ’` 6. Tai mˆt v`ng rung nguyˆn sinh, nguoi ta deo v`ng cho 1000 con chim. Sau mˆt ’ ¯ o o . ` ´t lai 200 con th` thˆy c´ 40 con c´ deo v`ng. Thu uoc luong sˆ chim ˘ thoi gian, ba . ’ ı a ´ o o ¯ o ’’ ’ ´ ’ .’ ’ ´ o ` ¯o ´ ¯o trong v`ng rung d´ voi dˆ tin cˆy 99%. u ’ ’ . a . ´ e ’ e ’ . ` ’ o . . . o´ a ´ ¯o ’ . a. ´ 7. Biˆt ty lˆ nay mˆm cua mˆt loai hat giˆng l` 0,9. Voi dˆ tin cˆy 0,95, nˆu ta a e ´n do d`i khoang tin cˆy cua ty lˆ nay mˆm khˆng vuot qu´ 0,02 th` cˆn phai muˆ ¯ˆ a o . ’ a ’ ’ e ’ . . a` o ’ .’ a ı a ` ’ gieo bao nhiˆu hat? e . ´ ’ a e` a ’ ’’ ’ 8. Kˆt qua quan s´t vˆ h`m luong vitamine C cua mˆt loai tr´i cˆy cho o bang sau: e ’ .’ o . . a a H`m luong vitamine C (%) a ’ .’ ´ Sˆ tr´i o a 6−7 5 7−8 10 8−9 20 9 − 10 35 10 − 11 25 11 − 12 5 a ’ ´ ’ .’ ’ ’ .’ o a ´ ¯ˆ a) H˜y uoc luong h`m luong vitamine C trung b` trong mˆt tr´i voi do tin cˆy a ınh . ’ . a. 95%. b) Qui uoc nhung tr´i c´ h`m luong vitamine C trˆn 10% l` tr´i loai A. U’oc luong ’´ ’ ˜ ’ a o a ’ .’ e a a . ´ ’ .’ ’ ’ e a . . ´ ¯o ty lˆ tr´i loai A voi dˆ tin cˆy 90%. ’ . a. ´ . ’ ´ ’ .’ c) Muˆn dˆ ch´ x´c khi uoc luong h`m luong vitamine C trung b` l` 0,1 v` o ¯o ınh a ’ a ’ .’ ınh a a ¯ˆ ınh a . ’’´ ’ .’ ’ e a . . ´ u ¯o do ch´ x´c khi uoc luong ty lˆ tr´i loai A l` 5% voi c`ng dˆ tin cˆy 95% th` cˆn a ’ . a . ı a` e e a ˜ quan s´t thˆm bao nhiˆu tr´i nua? A a ’ D ¯ ’` ınh ’ ´ ’ ’’ ’ ´ ´ ’ 9. ¯ o duong k´ cua 100 chi tiˆt m´y do mˆt phˆn xuong san xuˆt, ta duoc kˆt qua ’ e a o . a a ¯ ’ .’ e ’’ ’ cho o bang sau: D ’` ´ ´ a ¯ uong k´ (mm) ’ ınh Sˆ chi tiˆt m´y o e 9,85 8 9,90 12 9,95 20 10,00 30 10,05 14 10,10 10 10,15 6
3. B`i tˆp a a . 83 ˜ ´ e o ¯ ’` ınh ` ´ a ˜ Theo qui d.nh, nhung chi tiˆt c´ duong k´ tu 9, 9mm dˆn 10, 1mm l` nhung chi ¯i ’ ’ ’ ¯e ’ e a’ y ´ dat tiˆu chuˆn k˜ thuˆt. tiˆt ¯ . e a . a) U’oc luong ty lˆ v` uoc luong trung b` duong k´ cua nhung chi tiˆt dat tiˆu ´ ’ .’ ’ ’ e a ’ ´ ’ .’ . ’ ınh ¯ ’` ’ ınh ’ ˜ ’ ´ e ¯. e ’ a ´ u ¯o chuˆn voi c`ng dˆ tin cˆy 95%? ’ . a. ’ dˆ ch´ x´c khi uoc luong duong k´ trung b` cua nhung chi tiˆt dat b) ¯ ˆ ¯o ınh a De . ’ ´ ’ .’ ¯ ’` ’ ’ ınh ınh ’ ˜ ’ ´ e ¯. ’ a a a ¯ˆ ınh a . ’ ´ ’ .’ ’ ’ e . ´ tiˆu chuˆn l` 0, 02mm v` do ch´ x´c khi uoc luong ty lˆ chi tiˆt dat tiˆu chuˆn e e ¯. e a’ ´ u ¯o ’ . a. ` ı a ¯ e ıt a ´ l` 5% voi c`ng dˆ tin cˆy 99% th` cˆn do thˆm ´ nhˆt bao nhiˆu chi tiˆt nua? a e ´ ’ e ˜ Do a ’ . ’ . a . ’ a D ’ 10. ¯ ˆ d`i cua ban kim loai tuˆn theo luˆt chuˆn. ¯ o 10 ban kim loai d´ ta thu duoc a . ¯o ¯ ’ .’ ´ liˆu sau: sˆ e o . 4, 1 3, 9 4, 7 4, 4 4, 0 3, 8 4, 4 4, 2 4, 4 5, 0 H˜y x´c d.nh a a ¯i ’ a) Khoang tin cˆy 90% cho do d`i trung b` trˆn; a . ¯ˆ a . ınh e ’ a ’’ ’ ¯o a ¯´ b) Khoang tin cˆjy 95% cho phuong sai cua dˆ d`i do. . 11. Nguoi ta do chiˆu sˆu cua biˆ’n, sai lˆch ngˆu nhiˆn duoc gia thiˆt phˆn phˆi theo ’`’ ¯ e` a ’ e e . ˜ a e ¯ ’ .’ ’ ´ e a ´ o qui luˆt chuˆ a . a’n voi dˆ lˆch tiˆu chuˆn l` 20m. Cˆn do bao nhiˆu lˆn dˆ’ x´c d.nh ´ ¯o e ’ . . e a’ a ` a ¯ ` e a ¯e a ¯i e` sˆu cua biˆ’n voi sai lˆch khˆng qu´ 15m v` do tin cˆy dat duoc 95%? chiˆu a ’ e ´’ e . o a a ¯ˆ. a ¯ . ¯ ’ .’ . ´ o o a a ¯ ’ .’ o . a ’’ o ’’ a . ´ ¯ ’ .’ e ’ 12. Theo d˜i sˆ h`ng b´n duoc trong mˆt ng`y o mˆt cua h`ng, ta duoc kˆt qua ghi ’’ ’ o bang sau: ´ Sˆ h`ng b´n o a a duoc (kg/ng`y) ¯ ’ .’ a ´ Sˆ ng`y o a 1900 − 1950 2 1950 − 2000 10 2000 − 2050 8 2050 − 2100 5 a ’ ´ ’ .’ ’ ’’ ’ ’ .’ ˜ a ´ ¯ˆ H˜y uoc luong phuong sai cua luong h`ng b´n duoc mˆi ng`y voi do tin cˆy 95%? a a ¯ ’ .’ o ’ . a . (cho biˆt e´ α1 = α2 ). • ’ ` ’ ` ˆ 2 TRA LOI BAI TAP . 1. a) 9, 5kg, b) 0, 74kg 2 2. x = 6, 35cm, s2 = 0, 00055cm2 . 3. a) Trung b` khˆi luong m = 95kg. U’oc luong khˆng chˆch cua phuong sai l` ´ ınh o ’ .’ ´ ’ .’ ’ o e . ’ ’’ a 1 n 1 5 (xi − m)2 = (xi − 95)2 = 0, 41 n i=1 5 i=1 1 n 1 5 b) X = xi = xi = 95, 5 n i=1 5 i=1
84 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e U’oc luong khˆng chˆch cua phuong sai l` ´ ’ .’ ’ o e . ’ ’’ a n 1 1 5 s2 = (xi − X)2 = (xi − 95, 5)2 = 0, 7rf f n − 1 i=1 4 i=1 4. (a) 20, 9 ± 0, 148mm, (b) 20, 9 ± 0, 195mm. 5. (5092, 89 ; 5484, 89). 6. 0, 1271 < p < 0, 2729 o’ ´ o u ` ’ ` ˘ ’ 1000 1000 Tˆng sˆ chim trong v`ng rung nam trong khoang ( 0,2729 , 0,1271 ) 7. 2 × 1, 96 0,9×0,1 ’ a ´ < 0, 02. Giai bˆt phuong tr` ta c´ n > 3457. ’’ ınh o n 8. a) 9, 06; 9, 54), c) 467 tr´i. a 9. a) (0, 792 < p < 0, 928); (9, 982 < m < 10, 006). b) 221. 10. a) (4, 09 ; 4, 49), b) (0, 064 ; 0, 456). ` 11. 7 lˆn. a 12. (1253, 8 < σ 2 < 3983, 8).