Chng 1
XÁC SUT
Bài 1
TN SUT
MC TIÊU
1. Thc hin ưc ba phép toán tp hp (phép hp, phép giao, phép tr).
2. Tính ưc s lưng mu chnh hp lp, chnh hp không lp, t hp không lp và t hp lp.
3. Tính ưc tn sut ca hin tưng và nêu ưc ý ngha.
1. TP HP
1.1. Khái nim tp hp
Mi ngi thng nói tp hp bàn gh, tp hp s, tp hp thy thuc, tp hp bnh nhân v.v...
Tp hp là khái nim cha xác nh vì vy  hiu và thc hin các phép toán vi tp hp th
ng thông
qua cách cho mt tp hp. Khi ó tp hp c xác nh.
Có hai cách cho tp hp: Hoc cho danh sách các phân t ca tp hp hoc cho các c tính, tính cht

xác nh mt phn t thuc tp hp.
Thng ký hiu các ch A, B, C, ...  ch tp hp, các ch x, y, z,...  ch phn t ca tp hp.
A
1
= {Danh sách (t viên) t 1},
A
2
= {Danh sách lp Y
1
},
A = {x thc : tho mãn tính cht Q(x)}.
Phn t x thuc A vit là x ∈ A. Phn t x không thuc B vit là x ∉ B hoc .
Tp hp trng là tp hp không cha mt phn t nào. Thng ký hiu tp hp trng là φ.
Ví d: A = {x thc : x
2
+ 1 = 0},
B = {Bác s chuyên m tim bnh vin huyn},
C = {Bnh nhân "ao" trên 50 tui}.
A, B, C là các tp hp trng.
Tp hp con
A là tp hp con ca B nu mi phn t x∈ A u là các phn t x∈B.
Ký hiu: A ⊆ B, c là A bao hàm trong B hoc B ⊇ A, c là B bao hàm A hoc B cha A.
T là tp hp con ca lp, lp là tp hp con ca khi.
Tp hp bnh nhân trong khoa bao hàm trong tp hp bnh nhân toàn vin.
x B
∈
Page
1
of
47
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
T
p h
p b
ng nhau.
Cho hai t
p h
p A và B. N
u m
i ph
n t
c
a A là nh
ng ph
n t
c
a B và ng

c l
i m
i ph
n t
c
a B
c
ng là nh
ng ph
n t
c
a A thì A = B.

ch
ng t
i
u này c
n ch
ng minh A ⊆ B và B ⊆ A.
1.2. Phép toán tp hp
Phép giao
Cho A, B, C. Ký hi
u d
u ∩

c là giao.
Giao c
a hai t
p h
p A ∩ B = D
D là t
p h
p có các ph
n t
v
!
a thu
c A v
!
a thu
c B.
Giao c
a ba t
p h
p A ∩ B ∩ C = D
D là t
p h
p có các ph
n t
v
!
a thu
c A v
!
a thu
c B v
!
a thu
c C.
Chú ý:
Phép giao có th
m
r
ng cho nhi
u t
p h
p.
Th

ng vi
t A ∩ B ho
c vi
t t
"
t là AB.
Phép h
p
Cho A, B, C. Ký hi
u d
u ∪

c là h
p.
H
p c
a hai t
p h
p A ∪ B = E
E là t
p h
p có các ph
n t
ho
c thu
c A ho
c thu
c B ho
c thu
c A và B hay E là t
p h
p có các ph
n
t
thu
c ít nh
t m
t trong hai t
p h
p A, B.
H
p c
a ba t
p h
p A ∪ B ∪ C = E
E là t
p h
p có các ph
n t
thu
c ít nh
t m
t trong ba t
p h
p A, B, C.
Phép tr
!
Cho A, B. Ký hi
u A \ B

c là A tr
!
B hay hi
u c
a A và B.
A \ B = C. C là t
p h
p có các ph
n t
ch
thu
c A mà không thu
c B
Cho A ⊂ E . E \ A = C
E
A
=
C
E
A

c g
i là ph
n bù c
a A trong E hay
M
t s
tính ch
t
A
A
B
D
C
D
B
A
A
B
E
A
B
C
E
C
B
A
A
E
Page
2
of
47
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
A ∩ B = B ∩ A, A ∩ A = A, A ∩ φ = φ vì φ ⊂ A
A ∪ B = B ∪ A, A ∪ A = A, A ∪ φ = A
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
1.3. Các khái nim khác
Tích
ecart (R. ecart)
Cho A = (x, y, z), B = (1, 2, 3).
Tích
ecart
c
a A và B vi
t là A × B.
A × B = { (x, 1), (x, 2), ..., (z, 3) }.
Tích
ecart
c
a A và B là m
t t
p h
p mà m
#
i ph
n t
là m
t c
p s
"
p th
t
, ph
n t
th
nh
t thu
c A,
ph
n t
th
hai thu
c B.
Nh
v
y, m
t
i
m trong m
t ph
$
ng 0xy là m
t ph
n t
c
a t
p h
p tích R × R. M(x, y) ∈ R × R = R
2
.
M
t
i
m trong không gian ba chi
u 0xyz là m
t ph
n t
thu
c t
p h
p tích
ecart
R × R × R
M(x, y, z) ∈ R × R × R = R
3
S
phân ho
ch m
t t
p h
p
Cho E. Chia E thành E
1
, E
2
, ..., E
n
sao cho tho
mãn các tính ch
t:

c g
i là phân ho
ch t
p h
p E.
Th
c ch
t s
phân ho
ch là vi
c chia sao cho m
#
i ph
n t
c
a E ch
thu
c v
duy nh
t m
t t
p h
p E
i
mà thôi.
Chia m
t l
p thành 4 t
ho
c chia b
nh nhân v
các khoa là phân ho
ch t
p h
p.
2. CÔNG THC M CÁC MU (GII TÍCH T HP)
Cho A = (x
1
, x
2
,.., x
n
)
Có bao nhiêu cách l
y k ph
n t
t
!
A ? S
cách l
y hay s
m
%
u ph
&
thu
c vào tính ch
t c
a m
%
u.
M
%
u l
p là m
%
u có ph
n t
xu
t hi
n trong m
%
u trên m
t l
n, m
%
u không l
p là m
%
u có m
#
i ph
n t
trong
m
%
u ch
xu
t hi
n m
t l
n.
Khi thay

i th
t
các ph
n t
trong m
%
u mà

c m
%
u m
i thì
ó là m
%
u có th
t
, n
u v
%
n là m
%
u c
thì
ó là m
%
u không th
t
. Hay nói cách khác, m
%
u có th
t
là m
%
u ph
&
thu
c th
t
các ph
n t
trong m
%
u,
ng

c l
i là m
%
u không th
t
.
2.1. Chnh hp lp

nh ngh
'
a
Cho A = (x
1
, x
2
,.., x
n
).
Chnh hp lp là mu k phn t có lp, có th t ly t n phn t ca A.
Công th
c

m
G
i s
cách l
y m
%
u hay s
l

ng m
%
u ch
nh h
p l
p là
Công th
c tính: = . Công th
c v
%
n
úng khi k > n.
M
t s
t
nhiên có 3 ch
s
là m
t m
%
u có l
p, có th
t
xây d
ng t
!
các ch
s
0, 1, ..., 9.
k
n
F
k
n
F
k
n
Page
3
of
47
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
S
m
%
u = 9. = 9 × 10
2
= 900
X
p tu
(
ý 5 b
nh nhân vào 3 khoa là m
t m
%
u có l
p, có th
t
xây d
ng t
!
3 khoa. S
m
%
u = = 3
5
=
243.
2.2. Chnh hp không lp

nh ngh
'
a
Cho A = (x
1
, x
2
,.., x
n
).
Chnh hp không lp là mu k phn t không lp, có th t ly t n phn t c
a
A.
Công th
c

m
G
i s
cách l
y m
%
u ch
nh h
p không l
p là
Công th
c tính :
Ký hi
u: n! = 1. 2. 3... n và quy

c 1! = 1, 0! = 1.
Công th
c
úng khi k
M
t s
t
nhiên có 3 ch
s
khác nhau là m
t m
%
u không l
p, có th
t
xây d
ng t
!
10 s
0, 1, …., 9. S
m
%
u = 9 × = 9 × 9 × 8 = 648.
X
p 3 b
nh nhân vào 5 khoa sao cho có nhi
u nh
t m
t ng

i trong khoa là m
%
u g
)
m 3 khoa không l
p,
có th
t
xây d
ng t
!
5 khoa. S
m
%
u = .
Hoán v
: cho A = (x
1
, x
2
,.., x
k
), m
#
i cách s
"
p x
p k ph
n t
là m
t hoán v
.
x
1
x
2
x
3
... x
k
và x
2
x
1
x
3
... x
k
là hai hoán v
khác nhau.
V
y hoán v
là m
%
u k ph
n t
không l
p, có th
t
l
y t
!
k ph
n t
.
G
i s
hoán v
là P
k
ta có công th
c tính: P
k
= k !
Nh
n xét : Ch
nh h
p l
p và ch
nh h
p không l
p là nh
ng m
%
u có th
t
.
2.3. T hp không lp

nh ngh
'
a
Cho A = (x
1
, x
2
,..., x
n
). T hp không lp là mu k phn t không lp, không th t ly t n phn t c
a
A.
Công th
c

m
G
i s
cách l
y m
%
u t
h
p không l
p là . Do t
h
p không l
p là m
%
u không th
t
c
a k phân t
l
y ra cho nên nhân s
t
h
p không l
p v
i k! s
*

c s
ch
nh h
p không l
p.
Công th
c:
Nh
n xét :
2
10
F
5
3
F
k
n
A
k
n
A n(n 1)...(n k 1).
= − − +
k
n
n!
A
(n k)!
=−
n.
≤
2
9
Α
3
5
5 4 3 60
Α = × × =
k
n
C
k
kn
n
An!
C , (k n)
k! (n k)! k!
= = ≤
−
k n k
n n
C C
−
=
Page
4
of
47
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
– Ch
n 5 ch
p hành chi
oàn trong s
8
ng c
và

c
là l
y m
%
u không l
p, không th
t
S
cách ch
n : .
– Gia
ình 3 con trong
ó có 2 gái là m
%
u không l
p, không th
t
, l
y 2 gái trong s
3 gái. S
lo
i gia
ình: .
L
p lu
n t
ơ
ng t
theo s
con trai c
ng

c k
t qu
trên.
2.4. T hp lp

nh ngh
'
a
Cho A = (x
1
, x
2
,..., x
n
). T hp lp là mu k phn t có lp, không th t ly t n phn t ca A.
Công th
c

m
N
u m
%
u l
p k ph
n t
thì ch
thêm k –1 ph
n t
l
p vào A d
%
n

n cách l
y m
%
u k ph
n t
không l
p,
không th
t
t
!
n + k – 1 ph
n t
.
Khi k > n công th
c c
ng
úng.
–
ơ
n th
c b
c 5 l
p t
!
a và b là m
%
u có l
p, không th
t
.
– Gia
ình 4 con là m
%
u có l
p, không th
t
l
p t
!
hai ph
n t
T (trai), G (gái).
Nh
n xét: M
%
u t
h
p không l
p và m
%
u t
h
p l
p là nh
ng m
%
u không th
t
.
Sau
ây xét m
t ví d
&
t
ng quát các lo
i m
%
u.
Ví d:
Cho A = (1, 2, 3, 4).
a) Có bao nhiêu s
t
nhiên có 3 ch
s
l
p t
!
4 s
ã cho ?
b) Có bao nhiêu s
t
nhiên có 3 ch
s
khác nhau l
p t
!
4 s
ã cho?
c) Có bao nhiêu nhóm có 3 ch
s
khác nhau l
p t
!
4 s
ã cho ?
d) Có bao nhiêu nhóm có 3 ch
s
l
p t
!
4 s
ã cho ?
Gii:
a) S
t
nhiên có 3 ch
s
là m
%
u có l
p, có th
t
l
p t
!
4 s
.
S
m
%
u b
ng :
b) S
t
nhiên có 3 ch
s
khác nhau là m
%
u không l
p, có th
t
l
p t
!
4 s
.
Công th
c tính:
S
ơ
n th
c là:
5
8
8!
C 56
(8 5)! 5!
= =
−
2
3
C 3
=
(
)
k
n k 1
n k 1 !
C
(n 1)! k!
+ −
+ −
=−
5
2 5 1
6!
C 6
1!5!
+ −
= =
4
2 4 1
5!
C 5
1! 4!
+ −
= =
3
4
F
3 3
4
F 4 64
= =
Page
5
of
47
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm