XÁC SUẤT Y HỌC - ĐẠI HỌC Y HÀ NỘI

Chia sẻ: Vũ Việt | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

414
lượt xem 56
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mọi người thường nói tập hợp bàn ghe, tập hợp số, tập hợp thầy thuốc, tập hợp bệnh nhân...Tập hợp là khái niệm chưa xác định vì vậy để hiều và thực hiện các phép toán với tập hợp thường thông qua cách cho một tập hợp. Khi tập hợp được xác định

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: XÁC SUẤT Y HỌC - ĐẠI HỌC Y HÀ NỘI

Page 1 of 47 Chương 1 XÁC SU T Bài 1 T N SU T M C TIÊU 1. Th c hi n ư c ba phép toán t p h p (phép h p, phép giao, phép tr ). 2. Tính ư c s lư ng m u ch nh h p l p, ch nh h p không l p, t h p không l p và t h p l p. 3. Tính ư c t n su t c a hi n tư ng và nêu ư c ý nghĩa. 1. T P H P 1.1. Khái ni m t p h p M i ngư i thư ng nói t p h p bàn gh , t p h p s , t p h p th y thu c, t p h p b nh nhân v.v... T p h p là khái ni m chưa xác nh vì v y hi u và th c hi n các phép toán v i t p h p thư ng thông qua cách cho m t t p h p. Khi ó t p h p ư c xác nh. Có hai cách cho t p h p: Ho c cho danh sách các phân t c a t p h p ho c cho các c tính, tính ch t xác nh m t ph n t thu c t p h p. Thư ng ký hi u các ch A, B, C, ... ch t p h p, các ch x, y, z,... ch ph n t c a t p h p. A1 = {Danh sách (t viên) t 1}, A2 = {Danh sách l p Y1}, A = {x th c : tho mãn tính ch t Q(x)}. Ph n t x thu c A vi t là x ∈ A. Ph n t x không thu c B vi t là x ∉ B ho c x ∈B . T p h p tr ng là t p h p không ch a m t ph n t nào. Thư ng ký hi u t p h p tr ng là φ. Ví d : A = {x th c : x2 + 1 = 0}, B = {Bác s chuyên m tim b nh vi n huy n}, C = {B nh nhân " ao" trên 50 tu i}. A, B, C là các t p h p tr ng. T p h p con A là t p h p con c a B n u m i ph n t x∈ A u là các ph n t x∈B. Ký hi u: A ⊆ B, c là A bao hàm trong B ho c B ⊇ A, c là B bao hàm A ho c B ch a A. T là t p h p con c a l p, l p là t p h p con c a kh i. T p h p b nh nhân trong khoa bao hàm trong t p h p b nh nhân toàn vi n. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 2 of 47 T p h p b ng nhau. Cho hai t p h p A và B. N u m i ph n t c a A là nh ng ph n t c a B và ngư c l i m i ph n t c a B cũng là nh ng ph n t c a A thì A = B. ch ng t i u này c n ch ng minh A ⊆ B và B ⊆ A. 1.2. Phép toán t p h p Phép giao A B Cho A, B, C. Ký hi u d u ∩ c là giao. Giao c a hai t p h p A∩B=D D là t p h p có các ph n t v a thu c A v a thu c B. D Giao c a ba t p h p A ∩ B ∩ C = D D là t p h p có các ph n t v a thu c A v a thu c B v a thu c C. Chú ý: Phép giao có th m r ng cho nhi u t p h p. Thư ng vi t A ∩ B ho c vi t t t là AB. A B Phép h p Cho A, B, C. Ký hi u d u ∪ c là h p. H p c a hai t p h p A∪B=E D C E là t p h p có các ph n t ho c thu c A ho c thu c B ho c thu c A và B hay E là t p h p có các ph n t thu c ít nh t m t trong hai t p h p A, B. H p c a ba t p h p A∪B∪C=E E là t p h p có các ph n t thu c ít nh t m t trong ba t p h p A, B, C. B A B A E C Phép tr E Cho A, B. Ký hi u A \ B c là A tr B hay hi u c a A và B. A \ B = C. C là t p h p có các ph n t ch thu c A mà không thu c B A B C Cho A ⊂ E . E \ A = CE A = A CEA ư c g i là ph n bù c a A trong E hay A E M t s tính ch t file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 3 of 47 A ∩ B = B ∩ A, A ∩ A = A, A ∩ φ = φ vì φ ⊂ A A ∪ B = B ∪ A, A ∪ A = A, A ∪ φ = A A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 1.3. Các khái ni m khác Tích ecart (R. ecart) Cho A = (x, y, z), B = (1, 2, 3). Tích ecart c a A và B vi t là A × B. A × B = { (x, 1), (x, 2), ..., (z, 3) }. Tích ecart c a A và B là m t t p h p mà m i ph n t là m t c p s p th t , ph n t th nh t thu c A, ph n t th hai thu c B. Như v y, m t i m trong m t ph ng 0xy là m t ph n t c a t p h p tích R × R. M(x, y) ∈ R × R = R2. M t i m trong không gian ba chi u 0xyz là m t ph n t thu c t p h p tích ecart R × R × R M(x, y, z) ∈ R × R × R = R3 S phân ho ch m t t p h p Cho E. Chia E thành E1, E2, ..., En sao cho tho mãn các tính ch t: ư c g i là phân ho ch t p h p E. Th c ch t s phân ho ch là vi c chia sao cho m i ph n t c a E ch thu c v duy nh t m t t p h p Ei mà thôi. Chia m t l p thành 4 t ho c chia b nh nhân v các khoa là phân ho ch t p h p. 2. CÔNG TH C M CÁC M U (GI I TÍCH T H P) Cho A = (x1, x2,.., xn) Có bao nhiêu cách l y k ph n t t A ? S cách l y hay s m u ph thu c vào tính ch t c a m u. M u l p là m u có ph n t xu t hi n trong m u trên m t l n, m u không l p là m u có m i ph n t trong m u ch xu t hi n m t l n. Khi thay i th t các ph n t trong m u mà ư c m u m i thì ó là m u có th t , n u v n là m u cũ thì ó là m u không th t . Hay nói cách khác, m u có th t là m u ph thu c th t các ph n t trong m u, ngư c l i là m u không th t . 2.1. Ch nh h p l p nh nghĩa Cho A = (x1, x2,.., xn). Ch nh h p l p là m u k ph n t có l p, có th t l y t n ph n t c a A. Công th c m k G i s cách l y m u hay s lư ng m u ch nh h p l p là Fn Công th c tính: Fn = n k . Công th c v n úng khi k > n. k M t s t nhiên có 3 ch s là m t m u có l p, có th t xây d ng t các ch s 0, 1, ..., 9. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 4 of 47 S m u = 9. F2 = 9 × 102 = 900 10 5 X p tuỳ ý 5 b nh nhân vào 3 khoa là m t m u có l p, có th t xây d ng t 3 khoa. S m u = F3 = 35 = 243. 2.2. Ch nh h p không l p nh nghĩa Cho A = (x1, x2,.., xn). Ch nh h p không l p là m u k ph n t không l p, có th t l y t n ph n t c a A. Công th c m G i s cách l y m u ch nh h p không l p là A k n Công th c tính : A k = n(n − 1)...(n − k + 1). n Ký hi u: n! = 1. 2. 3... n và quy ư c 1! = 1, 0! = 1. n! Ak = n (n − k)! Công th c úng khi k ≤ n. M t s t nhiên có 3 ch s khác nhau là m t m u không l p, có th t xây d ng t 10 s 0, 1, …., 9. S 2 m u = 9 × Α9 = 9 × 9 × 8 = 648. X p 3 b nh nhân vào 5 khoa sao cho có nhi u nh t m t ngư i trong khoa là m u g m 3 khoa không l p, có th t xây d ng t 5 khoa. S m u = Α3 = 5 × 4 × 3 = 60 . 5 Hoán v : cho A = (x1, x2,.., xk), m i cách s p x p k ph n t là m t hoán v . x1 x2 x3 ... xk và x2 x1 x3 ... xk là hai hoán v khác nhau. V y hoán v là m u k ph n t không l p, có th t l y t k ph n t . G i s hoán v là Pk ta có công th c tính: Pk = k ! Nh n xét : Ch nh h p l p và ch nh h p không l p là nh ng m u có th t . 2.3. T h p không l p nh nghĩa Cho A = (x1, x2,..., xn). T h p không l p là m u k ph n t không l p, không th t l y t n ph n t c a A. Công th c m G i s cách l y m u t h p không l p là C k . Do t h p không l p là m u không th t c a k phân t n l y ra cho nên nhân s t h p không l p v i k! s ư c s ch nh h p không l p. Công th c: Ak n! Ck = n n = , (k ≤ n) k! (n − k)! k! Nh n xét : C k = Cn −k n n file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 5 of 47 – Ch n 5 ch p hành chi oàn trong s 8 ng c và c là l y m u không l p, không th t 5 8! S cách ch n : C8 = = 56 . (8 − 5)! 5! – Gia ình 3 con trong ó có 2 gái là m u không l p, không th t , l y 2 gái trong s 3 gái. S lo i gia 2 ình: C3 = 3 . L p lu n tương t theo s con trai cũng ư c k t qu trên. 2.4. T h p l p nh nghĩa Cho A = (x1, x2,..., xn). T h p l p là m u k ph n t có l p, không th t l y t n ph n t c a A. Công th c m N u m u l p k ph n t thì ch thêm k –1 ph n t l p vào A d n n cách l y m u k ph n t không l p, không th t t n + k – 1 ph n t . Ck + k −1 = ( n + k − 1) ! Công th c tính: n (n − 1)! k! Khi k > n công th c cũng úng. – ơn th c b c 5 l p t a và b là m u có l p, không th t . 6! S ơn th c là: C5 +5−1 = 2 =6 1! 5! – Gia ình 4 con là m u có l p, không th t l p t hai ph n t T (trai), G (gái). 5! C4+ 4−1 = 2 =5 1! 4! Nh n xét: M u t h p không l p và m u t h p l p là nh ng m u không th t . Sau ây xét m t ví d t ng quát các lo i m u. Ví d : Cho A = (1, 2, 3, 4). a) Có bao nhiêu s t nhiên có 3 ch s l p t 4 s ã cho ? b) Có bao nhiêu s t nhiên có 3 ch s khác nhau l p t 4 s ã cho? c) Có bao nhiêu nhóm có 3 ch s khác nhau l p t 4 s ã cho ? d) Có bao nhiêu nhóm có 3 ch s l p t 4 s ã cho ? Gi i: a) S t nhiên có 3 ch s là m u có l p, có th t l p t 4 s . 3 S m u b ng F4 : F4 = 43 = 64 3 b) S t nhiên có 3 ch s khác nhau là m u không l p, có th t l p t 4 s . file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 6 of 47 4! S m u b ng A 3 : 4 A3 = 4 = 24 (4 − 3)! c) Nhóm có 3 ch s khác nhau là m u không l p, không th t l p t 4 s . 4! S m u b ng C3 : 4 C3 = 4 =4 1! 3! d) Nhóm có 3 ch s là m u có l p, không th t l p t 4 s . 6! S m u b ng C3 +3−1 : C3 +3−1 = 4 4 = 20 . 3! 3! Nh n xét: F4 − A 3 = 40 . ó là các m u có l p th t s và có th t . 3 4 2.5. Khai tri n nh th c Newton (a + b) n = C0 a 0 b n + C1 a1 b n −1 + ... + C n a n b0 n n n n = ∑ Ck a k bn −k n k =0 i vai trò a cho b công th c cũng úng. L y a = b = 1, có công th c 2 n = C0 + C1 + ... + C n n n n Cho p + q = 1, có công th c : n 1 = (p + q) n = ∑ Cn p k q n −k k k =0 3. T N SU T 3.1. Các khái ni m hi u và th c hi n các phép toán i v i t n su t cũng như xác su t sau này, c n xây d ng m t s khái ni m. Phép th là nhóm i u ki n có th l p i l p l i nhi u l n trong cùng i u ki n. Thư ng ký hi u phép th b i các ch ε, α, β .... Khi nghiên c u, o chi u cao, làm xét nghi m, ch n oán b nh, i u tr b nh ... là các phép th . Hi n tư ng hay bi n c là k t qu c a m t phép th . Các hi n tư ng ư c ký hi u b i các ch A, B, C ... Xét nghi m dương tính: A, ch n oán có b nh: B, i u tr kh i: K, là các hi n tư ng hay g p trong y. Khi th c hi n các phép th nhi u l n, s l n xu t hi n c a m t hi n tư ng ư c g i là t n s xu t hi n. T n s ký hi u b i m. Khi nghiên c u m t i tư ng, không nghiên c u m i m t mà ch nghiên c u m t s c tính hay tính ch t nào ó. D u hi u nghiên c u là c tính hay tính ch t c n nghiên c u. Có th chia d u hi u nghiên c u file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 7 of 47 ra làm hai lo i: d u hi u v ch t và d u hi u v lư ng. D u hi u v ch t ư c nghiên c u kh năng xu t hi n, còn d u hi u v lư ng ư c hư ng t i vi c tính các tham s m u. D a vào kh năng xu t hi n chia các hi n tư ng thành 3 lo i. Hi n tư ng ng u nhiên là hi n tư ng không bi t trư c có x y ra hay không khi th c hi n phép th . S xu t hi n c a hi n tư ng ng u nhiên ph thu c vào nhi u y u t mà không có y u t ch y u quy t nh s xu t hi n ó. Ký hi u các ch A, B, C … ch các hi n tư ng ng u nhiên. Hi n tư ng ch c ch n xu t hi n là hi n tư ng luôn luôn x y ra khi th c hi n phép th . Ký hi u Ω ch hi n tư ng ch c ch n x y ra. Hi n tư ng tr ng, ký hi u là φ, là hi n tư ng nh t nh không x y ra khi th c hi n phép th . Khám b nh cho m t ngư i có khi ngư i ó b b nh, có khi không b b nh ; ch a b nh có khi ch c ch n kh i, có khi không bao gi kh i. Gi a các hi n tư ng có th ph thu c nhau hay không ph thu c nhau. Hi n tư ng A xung kh c v i hi n tư ng B n u như A và B không ng th i xu t hi n. Khi ó A ∩ B = φ tuơng ương v i A và B xung kh c v i nhau. E1, E2,..., En ư c g i là nhóm y các hi n tư ng n u: Ei ≠ φ ∀i = 1,n , Ei ∩ Ej = φ ∀i ≠ j n = 1,n , U E i = w . i=1 Như v y khi phân ho ch Ω thành E1, E2, ..., En s ư c nhóm y các hi n tư ng. Khi A, B l p thành nhóm y hai hi n tư ng thì A, B ư c g i là 2 hi n tư ng i l p nhau. Khi ó B ư c ký hi u là Α và vi t là A, A . Hai hi n tư ng A và B ư c g i là c l p v i nhau n u A xu t hi n hay không xu t hi n cũng không nh hư ng n B xu t hi n hay không xu t hi n và ngư c l i. Hai hi n tư ng xung kh c v i nhau thì không c l p v i nhau. Cũng như v y hai hi n tư ng cl pv i nhau thì không xung kh c v i nhau. Ch a b nh kh i ho c không kh i, ch n oán có b nh ho c không có b nh, sinh con trai ho c sinh con gái là các c p hi n tư ng i l p nhau. Ngày nay không th d a vào l n này sinh con trai thì suy ra l n sau s sinh con trai ho c gái. Như v y sinh con trai hay gái gi a các l n sinh khác nhau c l p v i nhau. 3.2. T n su t nh nghĩa Th c hi n phép th ε n l n c l p, hi n tư ng A xu t hi n m l n. Ký hi u ω(A) là t n su t xu t hi n A. m ω(A) = . T n su t là t l gi a s l n xu t hi n A và s l n th c hi n phép th . n ω là i lư ng không có ơn v , ư c vi t dư i d ng % hay ‰ 0 ≤ ω(A) ≤ 1, ω(A) cho bi t kh năng xu t hi n c a A khi th c hi n phép th m t l n ω(φ) = 0. Khi ω(A) = 0 chưa ch c A = φ, ω(Ω) = 1. Khi ω(B) = 1 chưa ch c B = Ω. Tính ch t file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 8 of 47 Khi n thay i, m thay i thì ω thay i. Khi n l n, ω thay i ít. Tính thay i ít c a ω khi n l n ư c g i là tính n nh c a ω. Buffon tung ng xu 4040 l n th y ω(s) = 50,79%, Pearson tung ng xu 12000 l n th y ω(s) = 50,16%, Pearson tung ng xu 24.000 l n th y ω(s) = 50,05%, trong ó s ký hi u là hi n tư ng m t s p ng xu xu t hi n. ω(A) ≥ 0,95 : A h u như ch c ch n xu t hi n khi th c hi n phép th ω(B) ≤ 0,05 : B h u như ch c ch n không xu t hi n khi th c hi n phép th . ó là các quy t nh d a vào mong mu n càng úng nhi u càng t t và càng sai ít càng t t mà không ph i là các nguyên lý hay nh lý luôn luôn úng. B nh nhân n khám s m (khi chưa có tri u ch ng c h u) ư c ch a theo b nh hay g p nh t th i gian ó. B nh nhân b b ng trên 70% di n tích da, t II tr lên có t l t vong cao song v n ư c c u ch a tích c c v i hy v ng c u ư c m t ngư i trong s r t nhi u ngư i không c u ư c. Các ph n ví d N ng pha loãng c a d ch (‰) không là t n su t. s tr ch t : không là t n su t 1000 tr s ng sót T l tiêm ch ng m r ng: T nh A t 99,8% : là t n su t. T nh B t 101% : không là t n su t. T nh C t 102% : không là t n su t. Chi u cao ng i : không là xác su t Chi u cao ng CÂU H I T LƯ NG GIÁ M i bài lư ng giá g m 4 câu. Làm bài trong 30 phút. M i câu ch ch n m t k t qu úng. úng 4 câu: Gi i (10 i m), úng 3 câu: Khá (7 i m), úng 2 câu: t (5 i m), úng 1 câu: Không t (3 i m). Không úng câu nào: Kém (0 i m). Hãy ch n m t k t qu úng: 1. Khoa n i có 6 bác s n , 4 bác s nam. Khoa ngo i có 8 bác s nam. L p t công tác 3 ngư i c n có nam, có n , có n i khoa, có ngo i khoa. H i có bao nhiêu cách? K t qu : A. 576 B. 480 C. 816 D. 360 E. s khác. 2. M t t sinh viên có 8 nam, 7 n . Chia thành 3 nhóm tr c ng th i t i 3 b nh vi n A, B, C. H i file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 9 of 47 có bao nhiêu cách phân công n u: b nh vi n A c n 3 nam 2 n , b nh vi n B c n 5 ngư i trong ó có ít nh t 4 nam, s còn l i n b nh vi n C ? K t qu : A. 30576 B. 61152 C. 29400 D. 1176 E. s khác. 3. Có 4 thu c lo i I và 3 thu c lo i II. H i có bao nhiêu cách i u tr cho 5 ngư i b b nh A, n u m i ngư i b b nh A c n 2 thu c lo i I và 1 thu c lo i II ? K t qu : A. 45 B. 59.049 C. 90 D. 1.889.568 E. s khác. 4. Cho ng u nhiên ng th i 6 kháng th vào 6 kháng nguyên (khi chưa ghi nhãn) tìm các kháng th , kháng nguyên cùng c p. Gi s không có ngưng k t chéo, h i có bao nhiêu trư ng h p x y ra n u ch có 1 c p ngưng k t ? K t qu : A. 135 B. 265 C. 264 D. 455 E. s khác. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 10 of 47 Bài 2 XÁC SU T M C TIÊU 1. Trình bày ư c nh nghĩa ng kh năng và nh nghĩa th ng kê c a xác su t. 2. Trình bày ư c các công th c nhân xác su t, c ng xác su t, xác su t toàn ph n và xác su t Bayes. 3. Gi i ư c m t s bài toán xác su t trong y d a vào các công th c xác su t nêu trên. Trư c khi th c hi n phép th , oán xem m t hi n tư ng ng u nhiên nào ó có x y ra hay không là m t vi c r t khó khăn. Khi th c hi n phép th nhi u l n, bi t kh năng xu t hi n c a hi n tư ng, t ó oán s xu t hi n c a hi n tư ng d dàng hơn. Kh năng xu t hi n hi n tư ng A là xác su t xu t hi n A, ký hi u là P(A), là h ng s p n m gi a 0 và 1, t n t i m t cách khách quan, không ph thu c vào ý mu n ch quan c a con ngư i. 1. NH NGHĨA 1.1. nh nghĩa ng kh năng Gi s có m t bình c u ch a n qu c u hoàn toàn gi ng nhau. Trong n qu c u có m qu có d u. Xáo tr n u các qu c u trong bình và l y ng u nhiên m t qu . G i A là hi n tư ng l y ư c qu có d u. Xác su t xu t hi n hi n tư ng A là t l gi a s trư ng h p thu n l i cho A và t ng s các trư ng h p có th x y ra m P(A) = . n Xác su t úng khi các qu c u có cùng kh năng ư c l y. Vì v y nh nghĩa trên ư c g i là nh nghĩa ng kh năng. C n chú ý là các công th c tính xác su t ư c xây d ng trên cơ s ng kh năng. Xác su t tính ư c s úng n, chính xác ch khi i u ki n trên tho mãn. 1.2. nh nghĩa th ng kê Th c hi n phép th ε n l n c l p, hi n tư ng A xu t hi n m l n m P(A) ≈ ω(A) = . n Khi n l n, ω (A) n nh, xác su t chính là giá tr n nh c a t n su t. L y t n su t gán cho xác su t ư c g i là ư c lư ng i m c a xác su t. Ư c lư ng xác su t b ng t n su t giúp cho vi c s d ng r t thu n ti n nhưng có th sai sót. Gi a xác su t, h ng s xác nh và t n su t có s khác bi t, ó chính là sai s δ1 ω(1 − ω) P(A) − ω(A) ≤ δ1 v i δ1 = t(α / 2) n trong ó t( α 2 ) ph thu c vào α ư c tra trong b ng chu n t c (b ng 1), n là s l n th c hi n phép th , t(0,05/2) = 1,96. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 11 of 47 D n n: ω – δ1 ≤ P(A) ≤ ω + δ1, ω ± δ1 ư c g i là kho ng tin c y m c 1 – α c a P(A). Khi α bé, m c tin c y cao song kho ng ư c lư ng l n không thu n ti n cho vi c s d ng. Nên ch n α phù h p v i bài toán th c ti n. Ví d : 1. Khám 7534 tr t 5 – 15 tu i th y 19 tr b th p tim. Hãy ánh giá t l th p tim. G i A là hi n tư ng th p tim 19 Ư c lư ng i m: P(A) ≈ ω(A) = = 0,0025. 7534 0,0025 × 0,9975 δ1 = 1,96 = 0,0011 , l y α = 0,05. 7534 Ư c lư ng kho ng: P(A) ∈ ω ± δ1 ⇒ 0,0014 ≤ P(A) ≤ 0,0036 Như v y t l th p tim ít nh t là 1,4 ‰., nhi u nh t là 3,6 ‰ 2. i u tra năm 1989 t i m t a phương th y 48,53% tr b sâu răng. i u tr và súc h ng b ng Fluo 0,2% trong 8 năm, i u tra l i 1250 tr ban u th y 181 tr sâu răng. Hãy ánh giá t l tr sâu răng sau 8 năm i u tr và súc h ng. G i A là hi n tư ng tr sâu răng 181 Ư c lư ng i m: P(A) ≈ ω(A) = = 0,1448. 1250 0,1448 × 0,8552 δ1 = 1,96 = 0,0195 , l y α = 0,05. 1250 Ư c lư ng kho ng: P(A) ∈ ω ± δ1 ⇒ 0,1253 ≤ P(A) ≤ 0,1643. Sau 8 năm i u tr và phòng b nh, t l sâu răng ít nh t là 12,53%, nhi u nh t là 16,43%. 2. CÔNG TH C TÍNH XÁC SU T 2.1. P(Ω) = 1, P(φ) = 0 2.2. Công th c nhân xác su t Xác su t có i u ki n Trong các công th c tính xác su t, thư ng g p cách vi t : P (A/B), P(B/A), P(A/BC). P (A/B) là xác su t xu t hi n hi n tư ng A v i i u ki n hi n tư ng B ã x y ra. P (B/A) là xác su t xu t hi n hi n tư ng B v i i u ki n hi n tư ng A ã x y ra. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 12 of 47 P (A/BC) là xác su t xu t hi n hi n tư ng A v i i u ki n hi n tư ng B và C ã x y ra. Các xác su t trên ư c g i là các xác su t có i u ki n. Trong ám ông thư ng cho t l b b nh nói chung c a c nam và n , ó là xác su t không i u ki n, còn t l b b nh c a riêng nam, t l b b nh c a riêng n là các xác su t có i u ki n. Làm xét nghi m ch n oán b nh s thu ư c t l dương tính c a nhóm b b nh và t l âm tính c a nhóm không b b nh. ó là các xác su t có i u ki n. N u không phân bi t b b nh hay không b b nh ta có các xác su t dương tính c a c b b nh và không b b nh, xác su t âm tính c a c b b nh và không b b nh c a xét nghi m. Chúng là các xác su t không i u ki n. A, B, C là các hi n tư ng không cl p P(A ∩ B) = P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B) P(A ∩ B ∩ C) = P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = ... = P(ACB) = P(A) P(C/A) P(B/AC) Có th m r ng công th c cho nhi u hi n tư ng. Th t v y, t m t nghiên c u v i 2 phép th α và β, thu ư c k t qu sau: m11 P(AB) = n m 01 m11 m11 P(A)P(B / A) = ⋅ = n m 01 n m10 m11 m11 P(B)P ( A / B ) = ⋅ = . n m10 n i u ó ch ng t P(AB) = P(A)P(B / A) = P(B)P(A / B) A, B, C là các hi n tư ng c l p P(A ∩ B) = P(AB) = P(A)P(B) . P(A ∩ B ∩ C) = P(ABC) = P(A)P(B)P(C) . Do các hi n tư ng cl pd n n: P ( A / B ) = P(A), P ( B / A ) = P(B), P ( A / BC ) = P(A) . Có th nói khi các hi n tư ng c l p thì xác su t c a giao các hi n tư ng b ng tích các xác su t c a t ng hi n tư ng. 2.3. Công th c c ng xác su t file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 13 of 47 A, B, C là các hi n tư ng ng u nhiên P(A ∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC) Nh n xét: S hi n tư ng l thì xác su t có d u +, S hi n tư ng ch n thì xác su t có d u –. D a vào nh n xét, có th m r ng công th c cho n hi n tư ng. A, B, C xung kh c t ng ôi P(A ∪B) = P(A+B) = P(A) + P(B), P(A ∪ B ∪ C) = P(A+B + C) = P(A) + P(B) + P(C). Do các hi n tư ng xung kh c t ng ôi nên: P(AB) = P(AC) = P(BC) = P(φ) = 0 P(ABC) = P(φ.C) = P(φ) = 0. Có th nói khi các hi n tư ng xung kh c t ng ôi thì xác su t c a t ng các hi n tư ng b ng t ng các xác su t c a t ng hi n tư ng. A, A hai hi n tư ng il p P(Ω) = P(A + A ) = P(A) + P( A ) = 1 ⇔ P( A ) = 1 – P(A). Ví d : 1. T i m t a phương có 5000 ngư i, i u tra th y 510 ngư i b s t rét. Trong s s t rét có 15 ngư i s t rét ác tính. Trong s s t rét ác tính có 5 ngư i ch t. a) Tìm t l s t rét thư ng. b) Tìm t l ch t c a s t rét ác tính. Gi i: G i T là s t rét thư ng. A là s t rét ác tính C là ch t 510 − 15 a) P(T) = = 0,099 5000 5 b) P(C / A) = = 0,333 . 15 5 C n phân bi t v i P(C) = = 0,001 . 5000 5 P(C / S) = = 0,0098 510 trong ó S là s t rét nói chung. 2. Xác su t sinh con trai b ng 0,514. a) Tìm xác su t sinh b ng ư c con trai l n sinh th 4. b) Tìm xác su t sinh ư c 3 con u là gái. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 14 of 47 c) Tìm xác su t sinh ư c 3 con có ít nh t m t gái. Gi i: G i Ti là sinh con trai l n i. Gi là sinh con gái l n i. A4 là sinh b ng ư c trai l n 4. B là sinh ư c 3 con gái. C là sinh ư c 3 con có ít nh t m t gái. a) P(A4) = P(G1 G2 G3 T4) = P(G1) P(G2) P(G3) P(T4) = 0,4863 x 0,514 = 0,059. b) P(B) = P(G1 G2 G3) = P(G1) P(G2) P(G3) = 0,4863 = 0,115. c) P(C) = P(G1 ∪ G2 ∪ G3) = p1 + p2 + p3 = 1 – p0 = 1 – P(T1 T2 T3) = 1 – P(T1) P(T2) P(T3) = 1 – 0,5143 = 0,864, trong ó pi là xác su t sinh 3 con có i là gái. 3. Trong m t h p thu c c p c u có 100 ng thu c tiêm, trong ó có 10 ng Atropin. L y ng u nhiên l n lư t 3 ng thu c.Tìm xác su t sao cho l y ư c: a) 3 ng Atropin. b) 2 ng Atropin. Gi i: G i Ai là l y ư c ng Atropin l n i. A là l y ư c 3 ng Atropin. B là l y 3 ng ư c 2 ng Atropin. a) P(A) = P(A1 A 2 A3 ) = P(A1 ) P(A 2 / A1 ) P(A 3 / A1 A 2 ) 10 9 8 = × × = 0,0007 100 99 98 b) P ( B ) = P (A1 A 2 A 3 + A1 A 2 A3 + A1 A 2 A3 ) = P (A1 A 2 A3 ) + P (A1 A 2 A 3 ) + P ( A1 A 2 A3 ) = P(A1 ) × P(A 2 / A1 ) × P(A3 / A1A 2 ) + P(A1 ) × P(A 2 / A1 ) × P(A 3 / A1A 2 ) + ... 10 9 90 10 90 9 90 10 9 = × × + × × + × × = 0,025 100 99 98 100 99 98 100 99 98 Có th tính cách khác. L y m u không l p, không th t là t h p không l p 3 C10 C10 × C1 2 90 P(A) = 3 = 0,0007, P(B) = 3 = 0,025 C100 C100 Nh n xét : P(A), P(B) r t nh cho nên không ư c l y thu c ng u nhiên. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 15 of 47 4. Ba bác sĩ c l p nhau khám b nh. Xác su t ch n oán sai c a các bác sĩ tương ng b ng 0,05, 0,1 và 0,15. Ba ngư i ã khám cho m t b nh nhân. Tìm xác su t sao cho a) Không ai ch n oán sai. b) Không ai ch n oán úng. c) Ít nh t m t ngư i ch n oán úng. Gi i: G i Ai là bác sĩ th i ch n oán úng. A là không ai ch n oán sai ; B là không ai ch n oán úng ; C là ít nh t m t ngư i ch n oán úng. a) P(A) = P (A1 A2 A3 ) = P (A1 ) P (A2 ) P ( A3 ) = 0,95 x 0,9 x 0,85 = 0,72675. b) P(B) = P ( A1 A 2 A 3 ) = P ( A 1) P ( A 2 ) P ( A3 ) = 0,05 x 0,1 x 0,15 = 0,00075. c) P(C) = P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = p1 + p2 + p3 , trong ó pi là xác su t có i ngư i úng. P (C) = 1 − P ( A1 A 2 A 3 ) = 1 − 0,00075 = 0,99925 . Nh n xét: Sau h i ch n thư ng i u tr theo ch n oán c a s quá bán các bác sĩ n u trình các bác sĩ ng u. Ngư c l i, s i u tr theo ch n oán c a ngư i gi i nh t. 5. M t bác sĩ có kh năng xác nh úng tri u ch ng v i xác su t 0,9. Kh năng ch n oán úng b nh v i i u ki n ã xác nh úng tri u ch ng b ng 0,8. Khi i u tr , m c dù ã xác nh úng tri u ch ng và ch n oán úng b nh, kh năng kh i b ng 0,95. Tìm xác su t không kh i c a ngư i b nh khi khám và i u tr bác sĩ trên. Gi i: G i T là xác nh úng tri u ch ng. B là ch n oán úng b nh. K là i u tr kh i. P(T) = 0,9 P(B/T) = 0,8 P(K/TB) = 0,95 P(K) = P(TBK) = P(T) P(B/T) P(K/TB) = 0,9 × 0,8 × 0,95 = 0,684 P( K ) = 1 – P(K) = 1 – 0,684 = 0,316. Chú ý: Trong th c t lâm sàng có trư ng h p ch n oán sai b nh ho c ch n oán không ra b nh mà i u tr kh i. i u này nên quan ni m là r t hi m g p. Có bác sĩ cho r ng ch có kh năng ch n oán úng b nh 95% các trư ng h p nhưng m b o r ng kh năng ch a kh i các b nh nhân n khám và i u tr 99% các trư ng h p. i u này có úng không ? 2.4. Công th c xác su t toàn ph n Gi s A là m t hi n tư ng ng u nhiên nào y, khi tính P(A) theo phương pháp ng kh năng nhưng không tính ư c. C n xây d ng công th c tính. Gi s E1, E2, …, En là nhóm y các hi n tư ng, nghĩa là: n E i ≠ φ ∀i = 1, n , E i ∩ E j = φ ∀i ≠ j = 1,n , ∪ E i = Ω . i =1 file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 16 of 47 n n Khi ó: A = A ∩ Ω = A ∩ ( ∪ E i ) = ∪ (A ∩ E i ) i =1 i =1 n  n Do ó: P(A) = P  ∪ (A ∩ Ei )  = ∑ P(A ∩ Ei ) i =1  i =1 n V y P(A) = ∑ P(Ei ) P(A / Ei ) i =1 Công th c trên ư c g i là công th c xác su t toàn ph n. Mu n tìm xác su t P(A) c n l y t ng các xác su t t ng ph n c a A ∩ Ei , i = 1,n . Công th c trên cũng ư c hi u là xác su t ng kh năng ho c là xác su t trung bình có tr ng lư ng c a các xác su t P(A/Ei) v i i = 1,n . 2.5. Công th c xác su t Bayes P(A ∩ E i ) = P(A).P(E i / A) = P(E i ) P(A / E i ) N u P(A) ≠ 0, d n n P(E i ) P(A / E i ) P(E i / A) = n ∑ P(Ei ) P(A / Ei ) i =1 P(Ei ) P(A / Ei ) V y P(Ei / A) = i= 1,n. P(A) Công th c trên do Bayes l p ra nên mang tên ông. Ngoài ra, do d ng c a công th c nên cũng ư c g i là công th c xác su t các gi thi t. D n n ( ) P A / B = 1 – P ( A / B) ( ) P B / A = 1 – P (B / A) n Chú ý: Do ∑ P(Ei / A) = 1 nên: i =1 n n P(A) = ∑ P(A ∩ E i ) = ∑ P(A) × P(Ei / A) = P(A) i =1 i =1 V y không tính ư c P(A) theo phương pháp này. Ví d : file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 17 of 47 6. i u tr tương ng phương pháp1, phương pháp 2, phương pháp 3 cho 5000, 3000 và 2000 b nh nhân. Xác su t kh i c a các phương pháp tương ng b ng 0,85; 0,9 và 0,95. a) Tìm xác su t kh i c a ba phương pháp khi i u tr riêng r t ng phương pháp cho b nh nhân. b) i u tr m t trong ba phương pháp cho b nh nhân ã kh i, tìm t l i u tr c a t ng phương pháp. c) Tìm xác su t kh i khi i u tr ph i h p ba phương pháp cho b nh nhân. Gi i: G i Ei là i u tr phương pháp th i cho b nh nhân. i = 1,3 . A là i u tr kh i. T ng s b nh nhân i u tr ba phương pháp b ng 10.000 ngư i. 5000 3000 2000 P(E1 ) = = 0,5 P(E 2 ) = = 0,3 P(E 3 ) = = 0, 2 10.000 10.000 10.000 P(A / E1 ) = 0,85 P(A / E 2 ) = 0,9 P(A / E3 ) = 0,95 . 3 a) P(A) = ∑ P(Ei ) P(A / Ei ) i =1 = 0,5 × 0,85 + 0,3 × 0,9 + 0,2 × 0,95 = 0,885. Có th hi u P(A) là xác su t ng kh năng, là t l gi a s ngư i kh i khi i u tr b i ba phương pháp và t ng s ngư i i u tr c a ba phương pháp. Cũng có th hi u P(A) là xác su t trung bình có tr ng lư ng c a các xác su t kh i c a t ng phương pháp. P(E1 ) P(A / E1 ) 0,5 × 0,85 b) P(E1 / A) = = = 0, 48 P(A) 0,885 P(E 2 ) P(A / E 2 ) 0,3 × 0,9 P(E 2 / A) = = = 0,305 P(A) 0,885 P(E 3 ) P(A / E 3 ) 0,2 × 0,95 P(E3 / A) = = = 0, 215 P(A) 0,885 3 Nh n xét: ∑ P ( Ei / A ) = 0,48 + 0,305 + 0, 215 = 1 . i =1 c) i tên g i các hi n tư ng tính toán thu n ti n hơn. G i Ai là hi n tư ng kh i c a phương pháp i u tr th i, i = 1,3 . i u tr ph i h p ba phương pháp thì m t phương pháp i u tr kh i hay hai phương pháp i u tr kh i hay c ba phương pháp i u tr kh i, b nh nhân s kh i. Hay nói cách khác b nh nhân s kh i khi ít nh t m t trong ba phương pháp i u tr kh i. G i F là hi n tư ng kh i khi i u tr ph i h p ba phương pháp. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 18 of 47 P(F) = P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = p1 + p2 + p3 , trong ó pi là xác su t kh i khi i u tr 3 phương pháp có i phương pháp kh i P(F) = 1 − P(A 1 A 2 A 3 ) = 1 − P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) = 1 – 0,15 × 0,1 × 0,05 = 0,99925. 7. T l b nh B t i m t a phương b ng 0,02. Dùng m t ph n ng giúp ch n oán, n u ngư i b b nh thì ph n ng dương tính 95%; n u ngư i không b b nh thì ph n ng dương tính 10%. a) Tìm xác su t dương tính c a ph n ng. b) M t ngư i làm ph n ng th y dương tính, tìm xác su t sao cho ó là ngư i b b nh. c) Tìm xác su t ch n oán úng c a ph n ng. Gi i: G i α là phép th dương tính A hay âm tính A β là phép th xác nh có b nh B hay không b nh B ε là phép th xác nh úng hay sai S T ch c y t th gi i quy ư c g i: P ( A / B) là nh y. ( P A/B ) là c hi u. P(B / A) là giá tr c a ph n ng dương tính. ( P B/ A ) là giá tr c a ph n ng âm tính. P( ) là giá tr c a ph n ng. P( ) = P(AB) + P( Α B ) = P(B)P(A / B) + P(B)P(A / B) = P( Α)P(B / A) + P( Α)P(B / A) Như v y giá tr c a ph n ng là giá tr trung bình c a nh y và c hi u ho c giá tr trung bình c a giá tr dương tính và giá tr âm tính. P(B) = 0,02 P(A/B) = 0,95 P(A/ B ) = 0,1 a) P( Α) = P(B)P(A / B) + P(B)P(A / B) = 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,1 = 0,117. P(B)P(A / B) 0,02 × 0,95 b) P(B / A) = = = 0,162 P( Α) 0,117 c) P( ) = P(B)P(A / B) + P(B)P(A / B) file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 19 of 47 = 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,9 = 0,901. 8. T i m t a phương t l b b nh B b ng 0,05. Dùng m t ph n ng giúp ch n oán, n u ph n ng dương tính thì b b nh 20%; n u ph n ng âm tính thì b b nh 1,25%. a) Tìm xác su t dương tính c a ph n ng. b) Tìm nh y, c hi u c a ph n ng. c) Tìm xác su t sai c a ph n ng. Gi i: Ký hi u các hi n tư ng như ví d 7. a) P(B) = 0,05 P(B/A) = 0,2 P(B / A) = 0,0125 P(B) = P(A).P(B/A) + P(A)P(B / A) = P(A).P(B/A) + [1– P(A)]. P(B / A) 0,05 = P(A) × 0,2 + [1– P(A)] × 0,0125 0,05 − 0,0125 P(A) = = 0, 2 0, 2 − 0,0125 P(A)P(B / A) 0, 2 × 0, 2 b) P(A / B) = = = 0,8 P(B) 0,05 P(A)P(B / A) 0,8 × 0,9875 P(A / B) = = = 0,832 P(B) 0,95 c) P(S) = P(AB) + P(AB) = P(A) P(B / A) + P(A) P(B / A ) = 0, 2 × 0,8 + 0,8 × 0,0125 = 0,17 Nh n xét: T công th c xác su t toàn ph n c a P(B), gi i ngư c l i s tìm ư c P(A). Có th tính P(S) d a vào P( ). gi i các bài toán xác su t khó khăn, c n ck u bài, t tên các hi n tư ng và s d ng công th c tính xác su t phù h p v i bài ã cho. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
Page 20 of 47 CÂU H I T LƯ NG GIÁ Hãy ch n m t k t qu úng. 1. i u tr 1 b nh b i phương pháp I, II, III, IV th y t l kh i tương ng b ng 0,6; 0,7; 0,8 và 0,85. i u tr cho 4 b nh nhân, m i ngư i m t cách, tìm xác su t sao cho có t 1 n 3 ngư i kh i. K t qu : A. 0,0486 B. 0,9964 C. 0,2892 D. 0,7108 E. s khác 2. T l i u tr phương pháp I, II, III, IV tương ng b ng : 0,2; 0,25; 0,25; 0,3. Xác su t kh i c a các phương pháp tương ng b ng : 0,75; 0,82; 0,84; 0,8. M t ngư i i u tr m t trong 4 phương pháp ã kh i, tìm xác su t sao cho ngư i ó ư c i u tr kh i b i phương pháp III. K t qu : A. 0,18875 B. 0,8 C. 0,2625 D. 0,31125 E. s khác 3. Dùng m t ph n ng ch n oán b nh, ph n ng có nh y b ng 0,84 và giá tr âm tính b ng 0,968. Bi t giá tr c a ph n ng b ng 0,852, tìm giá tr dương tính. K t qu : A. 0,854.118 B. 0,504 C. 0,25 D. 0,852 E. s khác. 4. Ki m tra l i nh ng ngư i ch n oán b b nh b nh vi n I, II tuy n dư i th y tương ng 90% và 96% b b nh. Xác su t kh i trư c ki m tra c a 2 b nh vi n tương ng b ng 0,955 và 0,94. Tìm xác su t kh i c a hai b nh vi n sau ki m tra, bi t r ng s ngư i b b nh sau ki m tra c a b nh vi n I b ng 5/3 b nh vi n II. K t qu : A. 0,945.3125 B. 0,875.5875 C. 0,953.0875 D. 0,949.375 E. s khác. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012