Bài giảng Thống kê y học - Bài 5: Phân phối xác suất cung cấp các kiến thức giúp người học có thể: Phân biệt được 3 phân phối xác suất phổ biến - Phân phối nhị thức, phân phối Poisson và phân phối bình thường; tính xác suất của phân phối nhị thức và phân phối poisson khi được cung cấp các tham số,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Thống kê y học - Bài 5: Phân phối xác suất
- PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Mục tiêu
Sau khi nghiên cứu chủ đề, học viên có khả năng:
Phân biệt được 3 phân phối xác suất phổ biến: phân phối nhị thức, phân phối Poisson
và phân phối bình thường.
Tính xác suất của phân phối nhị thức và phân phối poisson khi được cung cấp các
tham số
Xác định được phân phối xác suất của phân phối chuẩn ở một giá trị bất kì, được
phép sử dụng bảng số của phân phối chuẩn.
Tính tỉ lệ của dân số có một đặc trưng nhất định về một đại lượng có phân phối bình
thường khi được cung cấp các tham số và bảng số của phân phối chuẩn.
1. Phân phối xác suất
Như đã trình bày,nếu chúng ta chỉ quan tâm đến giá trị đại lượng được xác định bởi
kết cục của phép thử,chúng ta mô tả biến cố là biến số ngẫu nhiên. Thí dụ nếu chúng
ta tung 3 đồng tiền mà chỉ quan tâm đến số đồng tiên ra mặt ngửa thì chúng ta tạo ra
biến số ngẫu nhiên X là số đồng tiền ngửa. Khi đó chúng ta có thể kí hiệu (X=1) để
chỉ biến cố gồm các kết cuộc có số đồng tiền ngửa là 1 (gồm 3 biến cố Sấp Sấp
Ngửa; Sấp Ngửa Sấp; Ngửa Sấp Sấp). Xác suất của biến cố này được được gọi
là phân phối xác suất của X. Áp dụng vào thí dụ trên chúng ta có phân phối xác suất
của X như sau:
xi Số biến cố thuận f(xi)=P(X=xi) F(xi)=P(X ≤ x)
lợi
0 1 1/8 1/8
1 3 3/8 4/8
2 3 3/8 7/8
3 1 1/8 1
Ðịnh nghĩa: Phân phối xác suất của biến số rời rạc là một bảng mô tả những giá trị
của biến số rời rạc cùng với xác suất và xác suất tích luỹ tương ứng của nó.
Xác suất của các biến số ngẫu nhiên X được gọi là hàm khối (mass function) của X
kí hiệu là f(x). Xác suất tích luỹ của biến số ngẫu nhiên X được gọi là hàm phân phối
(distribution function) của X và được kí hiệu là F(x)
Hai đặc tính cơ bản của phân phối xác suất của biến số rời rạc:
(1) 0 ≤ P(X=x) ≤ 1
(2) Σ P(X=x) = 1
Có hai phân phối xác suất rời rạc được sử dụng rộng rãi nhất là phân phối nhị thức và
phân phối Poision. Chúng ta sẽ thảo luận về hai phân phối này và phân phối bình
thường trong các phần sau.
- 2. Phân phối nhị thức
Bài toán: Giả sử chúng ta thực hiện n phép thử đồng nhất và độc lập với nhau, mỗi
phép thử có 2 kết cuộc là thành công hay thất bại với xác suất thành công trong mỗi
lần thử là p. Hãy tính xác suất có x lần thành công.
Khi thực hiện n lần thử chúng ta sẽ có 2n kết cục. Trong đó số kết cục có x lần thành
công là = px(1p)nx và số kết cục có x lần thành công là nCr
Vì vậy, xác suất có x lần thành công sau n lần thử là
P( X x) n C x p x (1 p ) ( n x)
Do xác suất này phụ thuộc vào x nên nó là hàm số của x và được gọi là hàm khối xác
suất nhị thức (binomial probability mass function)
f ( x) P( X x) n C x p x (1 p) ( n x)
Thí dụ: giả sử trong một dân số nhất định, tỉ lệ sinh con trai là 52%. Nếu chúng ta xem
xét kết quả của 5 lần sinh. Để tính xác suất trong 5 lần sinh này có đúng 3 lần sinh là
con trai có thể lập luận như sau:
Ðể trong 5 lần sinh có 3 lần sinh con trai, có 5C3 = 5!/[3!x2!] = 10 cách khác nhau (đó
là TGTTG, TTTGG, TGGTT, TTGTG, TTGGT, TGTGT, GTTTG, GGTTT, GTGTT,
GTTGT). Xác suất xảy ra của một cách như vậy = 0,523(10,52)2= 0,2304 x 0,1406 =
0,032. Như vậy xác suất trong 5 lần sinh có 3 lần sinh là con trai là 10 x 0,032 = 0,32.
Chúng ta cũng có thể xem 5 lần sinh là thử nghiệm nhị thức gồm 5 lần thử đồng nhất
và mỗi lần thử có hai kết cuộc (sinh con trai và sinh con gái ) và xác suất sinh con trai
là 0,52 không thay đổi trong các lần thử. Áp dụng hàm mật độ xác suất nhị thức ta
được
f (3) P( X 3) 5 C 3 0,52 3 0,48 ( 5 3)
0,32
Thí dụ: Cho rằng 10% thanh niên trong dân số là hút thuốc lá. Để tính xác suất có
đúng 2 thanh niên hút thuốc lá trong nhóm 10 thanh niên chúng ta có thể sử dụng hàm
mật độ xác suất nhị thức với n = 10, x = 2, and p = 0,1. Trong tr ường h ợp này xác suất
là 0,1937.
Thí dụ: Giả sử có 30% trẻ dưới 5 tuổi bị suy dinh duỡng. Trong một mẫu 10 trẻ dưới
5, tính xác suất có đúng 4 bị suy dinh dưỡng.
3. Phân phối Poisson
Bài toán: Giả sử trong một đơn vị thời gian trung bình có λ lần xuất hiện kết cục quan
tâm. Hãy tính xác suất trong một đơn vị thời gian có x lần xuất hiện kết cục này.
Giả định một đơn vị thời gian được chia thành N phân tử thời gian với N là một số vô
cùng lớn. Khi đó xác suất xảy ra kết cục quan tâm trong một phân tử thời gian là λ/N.
Khi đó bài toán có thể được đặt dưới dạng: Thực hiện thử nghiệm nhị thức với N lần
thử đồng nhất và xác suất xảy kết cuộc quan tâm trong mỗi lần thử là λ/N. Áp dụng
công thức hàm mật độ xác suất nhị thức ta được
- x ( N x)
x ( N x) N ( N 1) ... ( N x 1)
f ( x) P( X x) N C x p (1 p ) 1
x! N N
N
x ( ) x
Nx e
1
x! N x N x!
x
e
f (X x)
x!
để nắm vững các phép biến đổi đại số kể trên cần nhớ lại định nghĩa của số e (cơ số
của logarithm Neper)
U
1
e lim 1
U U =2,7183
Bài toán: Giả sử trong một đơn vị thời gian trung bình có λ lần xuất hiện kết cục quan
tâm. Hãy tính xác suất trong t đơn vị thời gian có x lần xuất hiện kết cục này.
Giả định một đơn vị thời gian được chia thành N phân tử thời gian với N là một số vô
cùng lớn. Như vậy trong t đơn vị thời gian có Nt phân tử thời gian. Xác suất xảy ra kết
cục quan tâm trong một phân tử thời gian là λ/N. Khi đó bài toán có thể được phát
biểu dưới dạng: Thực hiện thử nghiệm nhị thức với Nt lần thử đồng nhất và xác suất
xảy kết cuộc quan tâm trong mỗi lần thử là λ/N. Áp dụng công thức hàm mật độ xác
suất nhị thức ta được
x ( Nt x )
x ( Nt x ) Nt ( Nt 1) ... ( Nt x 1)
f ( x) P( X x) Nt C x p (1 p ) 1
x! N N
Nt Nt
x ( ) x ( )
N xt x tx ( t)x e t
1 1
x! N x N x! N x!
Một cách tổng quát, phân phối Poisson được dùng làm mô hình cho số lần xuất hiện
các biến số thuận lợi trong một khoảng thời gian (t đơn vị thời gian) khi đã biết λ,
trung bình số lần xuất hiện biến cố trong một đơn vị thời gian. Hàm khối xác suất
Poisson được trình bày công thức sau
( t)x e t
f (X x)
x!
với λ là tham số của phân phối và là số lần xuất hiện trung bình của biến cố trong một
khoảng thời gian nhất định (hay trong một không gian nhất định) và e=2,7183.
Thí dụ: Giả sử số lần nhập viện trong ngày cấp cứu ở một bệnh viện có phân phối
Poisson với số lần nhập viện trung bình là 3 lần/ngày.
Tính xác suất
a. Vào ngày 12 tháng 8 năm 2003, có đúng 2 trường hợp cấp cứu.
b. Vào ngày 12 tháng 8 năm 2003, có 1 trường hợp cấp cứu nào.
c. Trong một tuần có 7 trường hợp cấp cứu.
- Tỉ suất
Số lần xuất hiện trung bình của biến cố trong một đơn vị thời gian, λ, còn được gọi
là tỉ suất (rate) hay mật độ mắc mới (incidence rate). Khác với xác suất, λ là đại lượng
có đơn vị. Qua hàm khối của phân phối Poisson có thể nhận xét nếu trung bình số lần
xuất hiện của biến cố trong một đơn vị thời gian là λ thì trung bình số lần xuất hiện
của t đơn vị thời gian là λt.
4. Phân phối xác suất của biến liên tục
Giả sử ta muốn tìm phân phối xác suất của biến liên tục (thí dụ như trọng lượng của
trẻ sơ sinh), ta có thể phân loại trọng lượng sơ sinh thành nhiều nhóm nhỏ (thí dụ như
từ 2,0kg đến
- Với µ là trung bình của phân phối với σ và σ2 là phương sai là độ lệch chuẩn và
phương sai của phân phối. Để thể hiện biến số X có phân phối bình thường với trung
bình là µ và phương sai σ2 còn có thể sử dụng kí hiệu
X ∼ N(µ,σ2)
Phân phối bình thường có 4 đặc tính quan trọng sau:
Mật độ cao nhất tập trung ở quanh giá trị µ, càng xa giá trị µ hàm mật độ càng giảm
Hàm mật độ tiến tới zero ở các giá trị cách xa µ
Hàm mật độ đối xứng qua đường thẳng đứng đi qua µ
Ngoài ra từ hàm mật độ của phân phối bình thường người ta chứng minh được nếu
biến số có phân phối bình thường với trung bình là µ và độ lệch chuẩn σ, xác suất giá
trị biến số nằm từ trung bình – 1,96 độ lệch chuẩn đến trung bình + 1,96 độ lệch
chuẩn là 95%.
X~N(µ,σ2) => P(µ 1,96σ
- Hình 3. Phân phối của phần trăm so với trọng lượng chuẩn của 1750 trẻ em học sinh nhà trẻ
Hoa Hướng Dương 15, Q11, Thành phố Hồ Chí Minh (trung bình=92, độ lệch chuẩn =10)
a. Ước lượng tỉ lệ dân số có một thuộc tính nhất định
Thí dụ:Thương số thông minh trong một dân số có trung bình =100 và độ lệch chuẩn
15. Chọn ngẫu nhiên một người trong dân số này, tính xác suất người này có thương
số thông minh nhỏ hơn 120.
P(IQ
- b. Chẩn đoán cho cá nhân
Thí dụ: Theo tổ chức y tế thế giới, đứa trẻ 32 tháng bình thường có trọng lượng trung
bình là 14 kg với độ lệch chuẩn là 1,5 kg. Một đứa trẻ 32 tháng nặng 13 kg có phải là
bất bình thường về dinh dưỡng hay không?
Ðể trả lời câu hỏi này chúng ta phải xét hiện tượng đứa trẻ 32 tháng nặng 13 kg có
phổ biến hay không.
P(TL
- a. Xác suất không có ai sống sót = Xác suất số thành công bằng 0 = P(X=0)=
= 10C0 p0(1p)(100) =10C10 . 0,90.0,110 =10!/(0!10!).0,110=1/(1010)
Xác suất là 1 phần mười tỉ.
b. Ta có
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+.......+P(X=10) = 1
It nhất hai người bị chết nghĩa là là có từ 0 đến 8 người sống. Do đó, xác suất
có ít nhất hai người bị chết là:
P(X=0)+P(X=1)+.......+P(X=8) = 1 P(X=9)P(X=10)
Với P(X=10) = 10C10 p10(1p)(1010) = 0,910 = 0,3486
Và P(X=9) = 10C9 p9(1p)(109) = 0,99 = 0,3874
Nên xác suất có ít nhất 2 người bị chết bằng: 1 0,3486 0,3874 = 0,264
c. Xác suât có đúng 3 người bị chết là = Xác suất có 7 người sống:
P(X=7) = 10C7 p7(1p)(107) = 120 . 0,97 . 0,13 = 0,0574.
Bài tập phân phối Poisson
Biết rằng số chuột trung bình trong mỗi hộ gia đình ở Cần thơ là 1,4 con. Nếu số
chuột tuân theo phân phối Poisson, tính xác suất ở một gia đình nhất định có:
a. Không có con chuột nào?
b. Có một con chuột?
c. Có từ 3 con chuột trở lên?
Bài giải:
a. Sử dụng công thức
x
e
f ( x)
P(X=x) = x!
với λ = 1,4 và x = 0 ta được P(X=0) = 0,247 x 1,40 / 0! = 0,247
b. P(X=1) = 0,247 x 1,41 / 1! = 0,346
c. Vì P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X≥ 3) =1
Ta có P(X(3) = 1 P(X=0) P(X=1) P(X=2)
Với P(X=0) = 0,247 x 1,40 / 0! = 0,247
P(X=1) = 0,247 x 1,41 / 1! = 0,346
P(X=2) = 0,247 x 1,42 / 2! = 0,242
Nên P(X ≥ 3) = 1 0,247 0,346 0,242 = 0,165
Phân phối bình thường
1. Hãy liệt kê 10 biến số ngẫu nhiên mà anh chị nghĩa rằng nó là phân phối xấp xỉ bình
thường.
2. Nếu hàm lượng cholesterol huyết thanh là phân phối xấp xỉ bình thường với trung
bình là 200mg/100 ml và độ lệch chuẩn là 20 mg/100ml. Tính xác suất một cá nhân
- được chọn ngẫu nhiên có giá trị cholesterol (a) từ 180 đến 200 mg/100ml (b) lớn hơn
225 mg/100 ml (c) nhỏ hơn 150 mg/100ml (d) giữa 190 và 210 mg/100 ml.
Bài giải
1. Những biến số có phân phối xấp xỉ bình thường là : chiều cao của đàn
ông trưởng thành, trọng lượng trẻ sơ sinh, hemoglobin máu, Hct, đường huyết,
chu vi vòng cánh tay, nhịp tim, tuổi dậy thì của phụ nữ, cholesterol huyết thanh,
tỉ trọng nước tiểu.
2.a. P(180
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
