Xấp xỉ đạo hàm của một hàm số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Xấp xỉ đạo hàm của một hàm số dựa trên phương pháp sai phân và ý tưởng của phương pháp ngoại suy Richardson chúng tôi sẽ xây dựng các công thức tường minh xấp xỉ bậc cao cho đạo hàm cấp một của một hàm số tại một điểm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xấp xỉ đạo hàm của một hàm số

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 20, NO. 11.1, 2022 47 XẤP XỈ ĐẠO HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ APPROXIMATION OF DERIVATIVE OF A FUNCTION Tôn Thất Tú*, Trần Thiên Ân, Đoàn Nhật Minh Thuỳ Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng1 *Tác giả liên hệ: tttu@ued.udn.vn (Nhận bài: 08/9/2022; Chấp nhận đăng: 21/11/2022) Tóm tắt - Phương pháp sai phân trên lưới đều là một công cụ cơ Abstract - The difference method on the uniform grid is a basic bản giúp ta tính xấp xỉ đạo hàm của hàm số [1, 2, 4]. Khi các hàm tool to help us approximate the derivative of a function [1, 2, 4]. số có độ dốc lớn, người ta thường sử dụng lưới không đều để cải When functions have large slopes, it is common to use non- thiện độ chính xác của phép xấp xỉ. Trong phương pháp số, uniform grids to improve the accuracy of the approximation. In phương pháp ngoại suy Richardson [3, 5] thường được sử dụng numerical methods, the Richardson extrapolation method [3, 5] is để nâng bậc chính xác của các sơ đồ xấp xỉ, đặc biệt trong giải often used to improve the accuracy order of approximation gần đúng phương trình vi phân và trong các thuật toán tối ưu. schemes, especially in approximately solving differential Trong bài báo này, dựa trên phương pháp sai phân và ý tưởng của equations and in optimization algorithms. In this paper, based on phương pháp ngoại suy Richardson chúng tôi sẽ xây dựng các the differences scheme and the idea of the Richardson công thức tường minh xấp xỉ bậc cao cho đạo hàm cấp một của extrapolation method, we will build explicit formulas for một hàm số tại một điểm. Việc mở rộng kết quả cho phép xấp xỉ approximating the derivative of a function with high order of đạo hàm cấp hai cũng được xét đến. accuracy at a given point. The extension of obtained results for approximation of derivative of second order is also considered. Từ khóa - Xấp xỉ bậc cao; đạo hàm; khai triển Taylor; phép ngoại Key words - Approximation with high order; derivative; Taylor suy Richardson expansion; Richardson extrapolation 1. Giới thiệu vấn đề triển Taylor cho hàm f ( x ) đến cấp cao hơn, ta có: Đạo hàm là một phép tính cơ bản của giải tích. Việc h2 h3 tính đạo hàm của hàm số không những giúp ta nghiên cứu f ( x + h) = f ( x) + hf ( x) + f ( x) + f ( x ) dáng điệu của hàm số đó mà còn được ứng dụng trong 2! 3! nhiều tính toán khoa học khác, chẳng hạn như giải gần h 4 (4) h5 (5) h 6 (6) + f ( x) + f ( x) + f ( x) + O(h 7 ). đúng phương trình phi tuyến và tìm điểm cực trị [1, 2, 4]. 4! 5! 6! Tuy nhiên, việc tính chính xác giá trị đạo hàm tại điểm cần Từ đó, suy ra: tìm trong nhiều trường hợp không phải là vấn đề dễ dàng, đặc biệt khi hàm được cho dưới dạng biểu thức giải tích f ( x + h) − f ( x ) h h2 N1(1) (h) = = f ( x) + f ( x) + f ( x) phức tạp hoặc được cho bởi các hệ thức truy hồi. Do đó, h 2! 3! việc tính xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác cao là vấn đề cần h3 (4) h 4 (5) h5 (6) thiết và có ý nghĩa. + f ( x) + f ( x) + f ( x) + O(h7 ). 4! 5! 6! Cho hàm f ( x ) xác định trên R . Để thuận lợi cho việc Tương tự, ta có: biểu diễn, trong bài báo này ta giả sử hàm f ( x ) có đạo h hàm liên tục đến cấp cần thiết sao cho các biểu diễn có N 2(1) (h) = N1(1) (h) − 2 N1(1)   2 nghĩa. Sử dụng khai triển Taylor, ta có: h 2 h  2  h3 h3  (4) f ( x + h) − f ( x ) = − f ( x) +  −  f ( x) +  − 2  f ( x) f ( x) = + O(h), (1) h  3! 2  3!   4! 2  4!  f ( x ) − f ( x − h)  h4 h 4  (5)  h5 h5  (6) f ( x) = + O(h), (2) + − 3  f ( x) +  − 4  f ( x) + O(h ). 6 h  5! 2  5!   6! 2  6!  f ( x + h ) − f ( x − h) Do đó, f ( x) = + O(h2 ), (3) 2h N1(1) (h) = f ( x) + O(h), N2(1) (h) = − f ( x) + O(h2 ). Công thức xấp xỉ đạo hàm (1), (2) và (3) lần lượt được Điều này có nghĩa là gọi là công thức sai phân tiến, sai phân lùi và sai phân hướng tâm [1, 2]. Có thể thấy, công thức (3) có độ chính f ( x) = −N2(1) (h) + O(h2 ). xác cao hơn. Để nâng bậc cho sơ đồ xấp xỉ (1), ta có thể sử Quá trình làm như vậy có thể tổng quát hoá lên và ta dụng phương pháp Richardson [5]. Sử dụng công thức khai thu được các kết quả như Mục 2. 1 The University of Danang – University of Science and Education (Ton That Tu, Tran Thien An, Doan Nhat Minh Thuy)
48 Tôn Thất Tú, Trần Thiên Ân, Đoàn Nhật Minh Thuỳ 2. Kết quả chính N k(1) (h, a) f ( x) = + O(h k ), k  2, 2.1. Xấp xỉ đạo hàm cấp một Ak −1 (a) Giả sử hàm f ( x ) có thể khai triển ở dạng chuỗi Taylor: Trong đó  k  (1 − a ), k  1, + i h f ( x + h) = f ( x ) +  f ( i ) ( x ) i . (4) Ak (a) =  i =1 i =1 i! 1, k = 0. Giả sử a là một số thực, a  {-1, 0,1} và x  R cố định.  Chứng minh: Kết quả này được suy ra trực tiếp từ Định Ta xây dựng dãy hàm Ni(1) (h, a), i  1 như sau: lý 1 với lưu ý rằng nếu 1  i  k −1 thì  (1) f ( x + h) − f ( x ) k −1 N1 (h, a) =  1   1 − a  ,  h i− j  = 0. ◼  j =1   Ni(1) (1)  h  +1 ( h, a ) = N i ( h, a ) − a N i  , a  , i  1. (1) i   a  Định lý 2: Với k  2 hàm Nk(1) (h, a) được biểu diễn như sau: Dễ thấy rằng N k(1) (h, a ) + hi −1 N (h, a ) = f ( x) +  f (1) (i ) ( x) 1 k −1  (6)  h  A (a) f ( x + h) +  ci(1, k ) (a ) f  x + i  − k 1 i=2 i! =  f ( x)  , + hi h i =1  a  1− a  = f ( x) +  f (i +1) ( x) . i =1 (i + 1)! Trong đó, {ci(1,k ) (a), i  1, k  1} là một mảng các số thực Định lý 1: Giả sử hàm f ( x ) được biểu diễn ở dạng (4). thoả điều kiện: ci(1, k −1) (a) − a k , i = 1, Khi đó, với k  2 ta có khai triển:  (1, k −1) k (1, k −1) k −1 ci (a) − a ci −1 (a ), i = 2, k − 2, ci(1, k ) (a) =  k (1, k −1) N k(1) (h, a ) =  (1 − a i ) f ( x) i = k − 1, i =1 −a ci −1 (a), (5) 0, i  k. + hi k −1  1   +  f ( i +1) ( x)  1 − . i =1 (i + 1)! j =1  a i − j  Chứng minh: Khai triển (6) được chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Thật vậy, vì Chứng minh: Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy h  nạp. Với k = 2 ta có đẳng thức (5) đúng vì N 2(1) (h, a ) = N1(1) (h, a ) − aN1(1)  , a  a  N 2(1) (h, a) = N1(1) (h, a) − aN1(1) ( ah , a) 1  1   h  = ( f ( x + h) − f ( x ) ) − a   f  x +  − f ( x)   + = f ( x) +  f (i +1) ( x) hi  + − a  f ( x) +  f (i +1) ( x) ( )  h i a h h/a  a  (i + 1)!  (i + 1)!  1  h  i =1  i =1  =  f ( x + h) − a f 2  x +  − (1 − a ) f ( x)  2 + h  i 1  h  a  = (1 − a) f ( x) +  f (i +1) ( x) 1 − i −1 . 1    2  −  (1 − a ) f ( x )  . 1 + h i =1 (i 1)!  a  = h  f ( x + h ) +  ci(1,2 ) (a ) f x+ i   i =2 i i =1 a  Giả sử đẳng thức (5) đúng với k  2 . Ta có: Do đó, đẳng thức (6) đúng với k = 2. Giả sử đẳng thức này h  N k(1)+1 (h, a ) = N k(1) (h, a ) − a k N k(1)  , a  đúng với k  2 . Ta có: a  h  k −1 + hi k −1  1  N k(1)+1 (h, a ) = N k(1) (h, a) − a k N k(1)  , a  =  (1 − a i ) f ( x) +  f (i +1) ( x)  1 − i − j  a  (i + 1)! j =1  a  1 k −1  i =1 i =1  h k =  f ( x + h) +  ci(1, k ) (a ) f  x + i  −  (1 − a i ) f ( x)   h i  h i =1  a  i =2   k −1 +   k −1    − a k   (1 − a i ) f ( x) +  f (i +1) ( x)    1 − i − j ak   h  k −1 (1, k )  h  k  a 1  −  x +  +  ci (a) f  x + i +1  −  (1 − a ) f ( x)  i h / a   i =1 f i =1 (i + 1)! j =1  a   a  i =1  a  i=2      1  h  = f ( x + h) + ( c1(1, k ) (a ) − a k +1 ) f  x +   k + hi k  1  h   a  =  (1 − a i ) f ( x) +  f (i +1) ( x)  1 − i − j . (i + 1)!  a  1  k −1  h  +   (ci(1, k ) (a) − a k +1ci(1,−1k ) (a )) f  x + i   i =1 i =1 j =1 Điều này có nghĩa đẳng thức (5) cũng đúng với k + 1. Theo h  i=2  a  nguyên lý quy nạp, định lý được chứng minh. ◼ 1  h  k +1  −  a k +1ck(1,−1k ) (a ) f  x + k  +  (1 − a i ) f ( x)  Hệ quả 1: Với điều kiện của Định lý 1, ta có khai triển: h  a  i=2 
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 20, NO. 11.1, 2022 49 1 k  h  k +1  Bằng cách thực hiện chứng minh tương tự Định lý 1, Hệ =  f ( x + h) +  ci(1, k +1) (a) f x+ i  −  (1 − a ) f ( x)  . i quả 1 và Định lý 2 ta cũng có các kết quả sau: h i =1  a  i =2  Định lý 4: Với k  2 ta có khai triển sau: Vậy, đẳng thức (6) cũng đúng với k + 1. Định lý được k −1 chứng minh. ◼ N k(2) (h, a ) =  (1 − a 2i ) f ( x) Theo công thức (6) giá trị Nk(1) (h, a) được tính thông i =1 + h 2i k −1  1  giá trị của hàm f tại x và tại các giá trị nằm bên phải x +  f (2i +1) ( x)  1 − 2( i − j ) . i =1 (2i + 1)! j =1  a  có dạng x + h / ai , i = 0, k − 1 khi a  0 . Khi a  0 thì các điểm x + h / ai , i = 0, k − 1 sẽ nằm luân phiên bên phải và Hệ quả 3: Với k  2 ta có khai triển sau: trái điểm x . Kết quả sau đây sẽ cho ta một công thức khai N k(2) (h, a) f ( x) = + O(h 2 k ), triển “đối xứng hơn”. Ak −1 (a) Định lý 3: Cho b là một số thực cố định, b  {−1, 0,1}. Trong đó Giả sử hàm f ( x ) được biểu diễn ở dạng (1). Khi đó, với  k  (1 − a ), k  1, 2i k  2 ta có khai triển: Ak (a) =  i =1 1, k = 0. 1  f ( x + h) f ( x − h)   f ( x) =  +  2h  Ak −1 (a ) Ak −1 (b)  Định lý 5: Với k  2 hàm Nk(2) (h, a) được biểu diễn 1 k −1  ci(1, k ) (a)  h  ci (b)  (1, k ) h  như sau: +  2h i =1  Ak −1 (a )  f x+ i  − f x− i  Ak −1 (b)    1 a b N k(2) (h, a) =  f ( x + h) − f ( x − h)  1 1− b 1− a  k k 2h +  −  f ( x) + O(h ). k 1 k −1   h  h  2h  1 − b 1 − a  +  ci(2, k ) (a)  f  x + i  − f  x − i   , 2h i =1   a   a  Chứng minh: Trong Hệ quả 1, ta thay h bởi −h và a bởi b ta được: Trong đó, {ci(2,k ) (a), i  1, k  1} là một mảng các số thực thoả điều kiện: N k(1) (−h, b) f ( x) = + O(h k ), k  2. ci(2, k −1) (a ) − a 2 k −1 , i =1 Ak −1 (b)  (2, k −1) Do đó, c (a ) − a 2 k −1ci(2, −1 k −1) (a ), i = 2, k − 2, ci(2, k ) (a ) =  i 2 k −1 (2, k −1) −a ci −1 , i = k −1 1  N k(1) (h, a ) N k(1) ( −h, b)  f ( x) =  +  + O( h ), k  2. k 0, i  k. 2  Ak −1 (a ) Ak −1 (b)   Áp dụng Định lý 2 ta được điều phải chứng minh. ◼ 2.2. Xấp xỉ đạo hàm cấp hai Hệ quả 2: Với điều kiện Định lý 3, ta có khai triển: Đối với phép xấp xỉ đạo hàm cấp hai, ta có thể sử dụng công thức sai phân: f ( x + h) − f ( x − h) f ( x) = f ( x + h) + f ( x − h) − 2 f ( x ) 2hAk −1 (a ) f ( x) = + O(h 2 ). h2 1 k −1   h  h  + c (1, k ) i (a)  f  x + i  − f  x − i   + O(h ). k Sử dụng ý tưởng nâng bậc xấp xỉ tương tự mục trước, ta 2hAk −1 (a) i =1   a   a  tiến hành xây dựng dãy hàm sau: Có thể thấy, công thức khai triển đối xứng trong Hệ quả  (3) f ( x + h) + f ( x − h) − 2 f ( x ) 2 với số nút (điểm trên lưới) đã tăng lên gần như gấp đôi  N1 (h, a) = ,  h2 ( 2k so với k + 1 nút ở Hệ quả 1) nhưng bậc xấp xỉ vẫn   Ni(3) (3)  h  không đổi và bằng O(hk ). Để cải thiện bậc xấp xỉ, ta có +1 ( h, a ) = N i ( h, a ) − a N i  , a  , i  1. (3) 2i   a  thể xuất phát từ sai phân hướng tâm. Cụ thể, ta xây dựng dãy hàm sau: Dễ thấy rằng  (2) f ( x + h) − f ( x − h) + h 2( i −1)  N1 (h, a) = , N1(3) (h, a ) = f ( x) + 2 f (2i ) ( x)  2h i=2 (2i )!  (2)  h  +  Ni(2) h 2i +1 ( h, a ) = N i ( h, a ) − a N i  , a  , i  1. = f ( x) +  f (2i + 2) ( x) (2) 2i .   a  i =1 (2i + 2)! Dễ thấy, Sử dụng phương pháp chứng minh tương tự, ta được + h 2i các kết quả khai triển sau đây cho phép xấp xỉ đạo hàm cấp N1(2) (h, a) = f ( x) +  f (2i +1) ( x) . hai của hàm số: i =1 (2i + 1)!
50 Tôn Thất Tú, Trần Thiên Ân, Đoàn Nhật Minh Thuỳ Định lý 6: Với k  2 ta có khai triển sau: h là khi h nhỏ, các giá trị có dạng x  , i  1 sẽ không có k −1 ai N k(3) (h, a ) =  (1 − a 2i ) f ( x) sự khác biệt nhiều khi a  1 và cách xa 1. Mặt khác, các i =1 nhân tử ai , a 2i trong các công thức truy hồi của + h (2i ) k −1  1  +  f (2i + 2) ( x)  1 − . Ni(1,k ) , Ni(2,k ) có thể “phóng đại” các sai số tính toán. Điều i =1 (2i + 2)! j =1  a 2(i − j )  này dẫn đến ta không nên chọn a lớn, đặc biệt khi h nhỏ Hệ quả 4: Với k  2 ta có khai triển sau: thì nên chọn a  1 và ở gần 1. N k(3) (h, a) Bảng 1. So sánh sai số giữa các phương pháp f ( x) = + O(h 2 k ). Ak −1 (a) Tham số k = 5; h = 0,1; a = 2 k = 5; h = 0,1; a = 5 Định lý 7: Với k  2 hàm N (h, a) được biểu diễn (3) k f HT -30643,0690979360 -30643,0690979360 như sau:  HT 9605,4713717335 9605,4713717335 1 N (h, a) = 2  f ( x + h) + f ( x − h)  (3) k f HQ1 -40248,3155828278 -40248,5404499403 h HQ1 0,2248868416 0,0000197292 1 k −1 (3, k )   h  h  2 Ak + 2  ci (a)  f  x + i  + f  x − i  − 2 f ( x), h i =1   a   a   h (1 − a ) 2 f HQ3 -40248,5404698938 -40248,5404698945 Trong đó, {ci(3,k ) (a), i  1, k  1} là một mảng các số thực HQ3 0,0000002243 0,0000002250 thoả điều kiện: Tham số k = 5; h = 0,001; a = 2 k = 5; h = 0,001; a = 10 ci(3, k −1) (a ) − a 2 k − 2 , i =1 f HT -40247,4632282500 -40247,4632282500  (3, k −1) c (a ) − a 2 k − 2 ci(3, −1 k −1) (a ), i = 2, k − 2,  HT 1,0772414195 1,0772414195 ci (a ) =  i (3, k ) 2 k − 2 (3, k −1) −a ci −1 , i = k −1 f HQ1 -40248,5404847032 -40248,5516207384 0, i  k. HQ1  0,0000150337 0,0111510689 2.3. Ví dụ minh hoạ f HQ3 -40248,5404670368 -40248,5425204060 Xét hàm f ( x ) trên đoạn [ − 1,1] xác định như sau: HQ3 0,0000026327 0,0020507365 x 5000e 3. Kết luận f ( x) = . 0,1 + x 2 cos( x) Bài báo đã thiết lập công thức xấp xỉ bậc cao cho đạo Ta cần tính đạo hàm của f ( x ) tại x0 = 0,1 . Giả sử giá trị hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của hàm số tại một điểm (Hệ quả 1, 2, 3 và 4). Các điểm nút được sử dụng có dạng đạo hàm xấp xỉ được tính theo công thức sai phân hướng tâm, theo Hệ quả 1 và theo Hệ quả 3 lần lượt được kí hiệu h x  i , i  1 . Khi chọn a  1 thì dãy các điểm nút này sẽ f HT , f HQ1 và f HQ3 . Giá trị chính xác của đạo hàm tại a điểm x0 = 0,1 được tính xấp xỉ ra số thập phân là hội tụ nhanh chóng đến điểm x khi giá trị i tăng lên. Điều này phù hợp với việc tính xấp xỉ đạo hàm tại một điểm trên -40248,5404696695. Kí hiệu các sai số: đồ thị mà đồ thị tại đó nhìn chung có độ dốc lớn. HT =| f ( x0 ) − f HT ( x0 ) |, HQ1 =| f ( x0 ) − f HQ1 ( x0 ) |, HQ3 =| f ( x0 ) − f HQ3 ( x0 ) | . TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996. Từ Bảng 1 ta thấy, đối với việc xấp xỉ đạo hàm bằng sai [2] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn phân hướng tâm, giá trị f HT sẽ chính xác hơn nếu ta giảm Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải tích số, NXB Giáo dục, 2007. h. Khi xét cùng tham số k , h và a, nhìn chung giá trị xấp [3] Francis Bach, “On the Effectiveness of Richardson Extrapolation in xỉ tính theo Hệ quả 3 có mức độ chính xác cao hơn. Với Data Science”, Journal on Mathematics of Data Science, 3 (4), 2021, h = 0,1 việc tăng nhẹ a sẽ làm tăng mức độ chính xác của 1251 – 1277. [4] Joe D. Hoffman, Numerical methods for engineers and scientists, các giá trị xấp xỉ. McGraw-Hill, Inc, New York, 1992. Tuy nhiên, khi h = 0,001 việc tăng a đã làm cho giá [5] Avram Sidi, Practical extrapolation methods: Theory and trị xấp xỉ giảm đi sự chính xác. Điều này có thể giải thích Applications, Cambridge University Press, 2003.