Xây dựng tình huống dạy học sử dụng trực quan hỗ trợ học sinh trực giác toán học giải quyết vấn đề

VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 431 (Kì 1 - 6/2018), tr 36-40<br /> <br /> XÂY DỰNG TÌNH HUỐNG DẠY HỌC SỬ DỤNG TRỰC QUAN<br /> HỖ TRỢ HỌC SINH TRỰC GIÁC TOÁN HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ<br /> Võ Xuân Mai - Trường Đại học Đồng Tháp<br /> Ngày nhận bài: 20/02/2018; ngày sửa chữa: 12/04/2018; ngày duyệt đăng: 20/04/2018.<br /> Abstract: In this article, author presents the concept of mathematical intuition and the supportive<br /> role of visualization to student’s mathematical intuition in the problem solving. Therefore, author<br /> builds suitable teaching situations with support of visualization to improve student’s mathematical<br /> intuition in solving problems while learning mathematics at high school.<br /> Keywords: Mathematical intuition, visualization, mathematical teaching situations, problem solving.<br /> 1. Mở đầu<br /> Trong dạy học toán, cách dạy của giáo viên (GV) và<br /> cách trình bày của phần lớn nội dung trong sách giáo khoa<br /> dễ làm cho học sinh (HS) nghĩ rằng toán học chỉ có các<br /> chứng minh, suy luận diễn dịch và bài tập rèn luyện. Tuy<br /> nhiên, trong toán học việc phát sinh một khái niệm hay<br /> mệnh đề mới không chỉ bắt đầu từ suy diễn, đó là cả một<br /> quá trình mà HS cần biết được cách các nhà toán học đã<br /> đạt được kiến thức toán học như thế nào. Do đó, trong quá<br /> trình dạy học, GV cần xây dựng các tình huống nhằm tạo<br /> cơ hội cho HS thấy một hình thái khác của toán học với tư<br /> tưởng trực giác, sáng tạo, giúp người học biết được quá<br /> trình hình thành kiến thức, trải nghiệm với việc phát hiện<br /> ra những mệnh đề mới, nhận thấy được ý nghĩa, vẻ đẹp<br /> của tri thức toán học trong quá trình tiếp cận kiến thức mới.<br /> Bài viết này trình bày ý tưởng xây dựng các tình<br /> huống dạy học toán bằng việc sử dụng trực quan nhằm<br /> hỗ trợ người học trực giác phát hiện, hiểu biết về vấn đề<br /> toán học và giải quyết vấn đề qua mối quan hệ hỗ trợ của<br /> trực quan với trực giác toán học (TGTH). Từ đó chúng<br /> tôi khuyến nghị việc xây dựng hợp lí các tình huống dạy<br /> học toán nói chung nhằm hỗ trợ việc phát triển khả năng<br /> TGTH cho HS góp phần cụ thể hóa định hướng phát triển<br /> năng lực người học trong giai đoạn đổi mới giáo dục.<br /> 2. Nội dung nghiên cứu<br /> 2.1. Khái niệm trực giác toán học<br /> Khái niệm TGTH có liên quan đến các lĩnh vực như<br /> triết học, tâm lí học, toán học và giáo dục học. Các nhà<br /> triết học như Bergson và Spinoza cho rằng có sự đối lập<br /> giữa trực giác với lập luận, logic, quan điểm này được<br /> nhận thấy trong khái niệm hiện đại về TGTH sau này.<br /> Các nhà toán học như Poincaré, Déscartes, Hadamard<br /> nhận định rằng TGTH là cách thức của chứng minh sự<br /> hiểu biết và các vấn đề khái niệm. Trong tâm lí học nhận<br /> thức, các nhà tâm lí đã cống hiến cho việc nghiên cứu<br /> tiến trình nhìn thấu được bên trong sự vật, định nghĩa là<br /> sự hiểu biết ngay lập tức được sự vật, kinh nghiệm “à há”<br /> <br /> 36<br /> <br /> sau khoảng thời gian giải quyết vấn đề không thành công.<br /> Nhà tâm lí học K. Hamond đã đóng góp to lớn vào<br /> nghiên cứu trực giác, ông định nghĩa trực giác bởi sự đối<br /> lập với tư duy phân tích “nghĩa thông thường của trực<br /> giác có sự trái ngược với quá trình nhận thức mà làm<br /> cách nào để đưa ra câu trả lời, giải pháp hay ý tưởng với<br /> việc sử dụng quá trình từng bước biện minh hợp lí và có<br /> ý thức” [1; tr 29]. Các nhà giáo dục học như E. Fischbein<br /> [2], R. M. Hogarth [3], V. M. Jagla [4] đã nghiên cứu<br /> việc vận dụng trực giác vào trong lĩnh vực giáo dục và<br /> khẳng định trực giác hoàn toàn có thể dạy học được, cụ<br /> thể, Jagla đã tìm tòi cách thức để bồi dưỡng trực giác và<br /> tưởng tượng trong dạy học, từ đó nâng cao giá trị sử dụng<br /> trực giác và tưởng tượng của GV trong quá trình dạy học.<br /> Tác giả V. Giardino cho rằng TGTH là loại nhận thức<br /> đặc biệt quan hệ giữa các nhà toán học và hoạt động làm<br /> toán của họ, ông cho rằng “TGTH là nhận thức ngay lập<br /> tức các đối tượng toán học. TGTH cũng liên quan đến sự<br /> khám phá của các chứng minh toán học: trực giác bao<br /> gồm một sự chuẩn bị một cách vô thức giống như là sự<br /> ấp ủ, và sau đó là một sự soi sáng bằng phương tiện mà<br /> chúng ta đạt được một kết quả mới” [5; tr 29]. Ben-Zeev<br /> và Star [6], Y. H. Cho và S. Y. Hong [7] đều có cùng<br /> quan niệm về TGTH, đó là “TGTH có thể được hiểu là<br /> sự nhận thức một cách rõ ràng và ngay lập tức các đối<br /> tượng toán học mà không cần sự lập luận phân tích và<br /> có ý thức” [7; tr 156]. Còn theo Fischbein, “TGTH là một<br /> hiện tượng hiển nhiên và đáng tin cậy về bản chất mà<br /> không cần đòi hỏi sự chứng minh đúng đắn hay sự hợp<br /> lí trong việc chấp nhận các yếu tố toán học” [2; tr 14].<br /> Trong tác phẩm của V. A. Krutexki, ông đã đưa ra<br /> kết quả về bản chất TGTH của người học như sau: trực<br /> giác có thể xem là sự bừng sáng đột ngột chưa nhận thức<br /> được; có thể là trực quan cảm tính; cũng có thể là kết quả<br /> của sự vận động các cách thức hành động khái quát và<br /> các cấu trúc rút gọn. Hiện tượng cuối này về thực chất,<br /> chỉ là quá trình quy nạp và hoàn toàn có ý thức. Krutexki<br /> cho rằng “Trong nhiều trường hợp, sự bừng sáng đột<br /> <br /> VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 431 (Kì 1 - 6/2018), tr 36-40<br /> <br /> ngột của HS có năng lực có thể được giải thích bởi sự<br /> ảnh hưởng vô thức của kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở<br /> của chúng là năng lực khái quát hóa các đối tượng, các<br /> quan hệ, các phép toán học và năng lực tư duy bằng các<br /> cấu trúc rút gọn” [8; tr 15-16].<br /> Như vậy, qua phân tích quan niệm về TGTH của các<br /> tác giả, chúng tôi hiểu TGTH là sự nhận thức ngay lập<br /> tức các đối tượng, các quan hệ toán học mà không cần sự<br /> chứng minh đúng đắn, rõ ràng hoặc do có sự giản lược<br /> những bước lập luận phân tích mà nắm bắt được ngay kết<br /> quả của vấn đề toán học.<br /> 2.2. Mối liên hệ giữa trực quan và trực giác toán học<br /> trong dạy học toán<br /> Con đường từ trực quan đến trừu tượng, từ trừu tượng<br /> đến thực tiễn cụ thể là con đường giúp con người nhận<br /> thức được kiến thức, lĩnh hội được thế giới, đã được<br /> khẳng định theo V. I. Lênin: Từ trực quan sinh động đến<br /> tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn<br /> là con đường biện chứng của nhận thức chân lí, của nhận<br /> thức thực tại khách quan. Toán học là khoa học mang<br /> tính trừu tượng cao nhưng cũng phản ánh tính thực tiễn<br /> đa dạng, toán học bắt nguồn từ thực tiễn và trở lại phục<br /> vụ vào cuộc sống nên trong hoạt động nhận thức toán học<br /> cần chú trọng giải quyết đúng đắn sự mâu thuẫn và thống<br /> nhất biện chứng giữa trực quan và trừu tượng. Do đó<br /> trong dạy học toán, khi tiếp xúc với vấn đề phức tạp, trừu<br /> tượng, quá trình nhận thức của HS diễn ra dễ dàng hơn<br /> nếu HS có thể thấy được những hình ảnh trực quan của<br /> vấn đề, hoặc sử dụng hình ảnh trực quan để thấu hiểu vấn<br /> đề phức tạp, hoặc tìm ra được mô hình cụ thể biểu diễn<br /> cho vấn đề làm cho vấn đề đó trở nên đơn giản, gần gũi<br /> hơn từ đó nhận thức được cách giải quyết hoặc phát hiện<br /> ý nghĩa của vấn đề.<br /> Theo V. A. Karpunin, “biểu hiện đặc trưng trước hết<br /> của trực giác như là sự bừng sáng (được biểu hiện khi có<br /> sự đột biến về chất trong quá trình nhận thức toán học),<br /> ngoài ra trực giác trong nhận thức toán học liên hệ với<br /> cảm nhận trực quan. Thuật ngữ cảm nhận trực quan<br /> mang tính nổi trội của cảm tính của nhận thức toán học,<br /> xem trực giác là sự bừng sáng được tiến hành sau khi đã<br /> xem xét nó qua cảm nhận trực quan. Chúng tôi chỉ ra các<br /> ý nghĩa này liên hệ chặt chẽ lẫn nhau nhưng không loại<br /> trừ nhau, không xem cái này nổi bật hơn cái kia trong<br /> một quan hệ nhất định nào đó” [9; tr 123]. Giardino cho<br /> rằng, TGTH cũng như trực quan toán học đặc trưng là<br /> một loại tiếp cận trực tiếp các yếu tố toán học và chúng<br /> dựa trên nền tảng kiến thức và kinh nghiệm mà cá nhân<br /> đã tích lũy được từ trước. Bằng những công cụ không<br /> chính thức, TGTH và trực quan có ý nghĩa quan trọng<br /> đối với việc khám phá, sáng tạo toán học, theo Giardino<br /> “nếu không có TGTH và trực quan toán học, thật khó tìm<br /> <br /> 37<br /> <br /> thấy một cách thức nào khác để xem xét sự đóng góp của<br /> lập luận không chính thức nói chung trong tiến trình<br /> nghiên cứu toán học” [5; tr 30]. Trực quan như là phương<br /> tiện cung cấp thông tin cho chủ thể hình thành biểu tượng<br /> từ đó thấy được cái chung, cái tổng quát của các đối<br /> tượng được cho thông qua các hình ảnh trực quan của nó<br /> giúp trực giác phát hiện vấn đề, hình thành kết luận mới.<br /> Tuy nhiên, bằng trực giác, các nhà toán học có thể nắm<br /> bắt tốt những gì họ không nhìn thấy (bằng mắt). Giardino<br /> khẳng định “TGTH và trực quan toán học được kết nối<br /> với nhau, thực ra, một cách khác để mô tả TGTH là khả<br /> năng của chức năng quan sát không ngừng, nhưng bằng<br /> phương tiện khác nhiều hơn bằng mắt” [5; tr 30].<br /> Như vậy, khi xem xét trực quan, chủ thể nhận thức<br /> quan sát và tri giác các đối tượng, quan hệ toán học, dựa<br /> trên vốn hiểu biết đã có mà hình thành các biểu tượng rồi<br /> xuất hiện trực giác bằng việc có thể nắm bắt ngay, hiểu<br /> được bản chất của đối tượng, quan hệ toán học đó mà<br /> không cần sử dụng các bước của lập luận logic. Do đó<br /> việc sử dụng trực quan có vai trò hỗ trợ đến sự hình thành<br /> TGTH của HS thông qua việc hình dung được hình ảnh<br /> trực quan hay phát hiện được mô hình tương thích của<br /> vấn đề toán học trừu tượng.<br /> 2.3. Xây dựng tình huống dạy học toán sử dụng trực<br /> quan nhằm hỗ trợ người học trực giác phát hiện bản<br /> chất vấn đề hay giải quyết vấn đề<br /> Việc sử dụng trực quan nhằm hỗ trợ người học trực<br /> giác phát hiện bản chất vấn đề cũng như giải quyết vấn<br /> đề được xác định ở mức độ “trực giác bằng cảm nhận<br /> trực quan” (intuition by visual perception), ở đây HS trực<br /> giác được đối tượng, quan hệ toán học qua việc quan sát<br /> hiện tượng bên ngoài của đối tượng, quan hệ toán học<br /> một cách có mục đích và ý nghĩa để chủ thể nhận thức<br /> thu nhận thông tin từ tình huống đã cho nắm bắt được đối<br /> tượng, quan hệ toán học. Đây chỉ là nhận thức bằng cảm<br /> nhận trực quan chứ chưa phải là sự hiểu biết sâu sắc rõ<br /> ràng về bản chất của vấn đề nên kết quả của trực giác này<br /> có thể dẫn đến nhận thức sai lầm. Tuy nhiên, chúng tôi<br /> cho rằng nhận thức sai cũng mang đến những ý nghĩa cần<br /> thiết trong giáo dục, “vai trò của trực giác trong dạy học<br /> toán là cung cấp cho người học những dự đoán mang<br /> tính giáo dục, hiển nhiên những dự đoán này có thể đúng<br /> hoặc sai; trong hai trường hợp đều có khả năng kích<br /> thích tư duy toán học của người học một cách hiệu quả,<br /> vì đối với dự đoán sai thì cũng có thể dẫn đến sự tiến<br /> triển nhất định trong quá trình nhận thức của HS”<br /> [10; tr 48]. Theo Ben-Zeev và Star, có hai hướng tiếp cận<br /> về bản chất của trực giác: một là, sự khám phá trực giác<br /> đúng đắn của loài người và hai là, nghiên cứu trực giác<br /> sai lầm hay nhận thức sai lầm. Piaget cho rằng “Bằng<br /> việc khám phá nguồn gốc của sai lầm, con người có thể<br /> <br /> VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 431 (Kì 1 - 6/2018), tr 36-40<br /> <br /> học nhiều về sự biểu diễn tinh thần nhiều hơn cả bằng<br /> việc khảo sát biểu diễn đúng đắn. Bằng việc xem xét bản<br /> chất của sai lầm, chúng ta có thể làm tỏa ra chút ánh<br /> sáng về TGTH” [6; tr 38], Ben-Zeev và Star kết luận rằng<br /> “nhận thức sai lầm qua trực giác bằng cảm nhận trực<br /> quan cũng mang lại nhiều giá trị nói chung cho sự khám<br /> phá cách thức mà con người có thể hiểu và trình bày các<br /> vấn đề một cách bản chất” [6; tr 38].<br /> Do đó, khi xây dựng tình huống dạy học với công cụ<br /> trực quan nhằm hỗ trợ HS trực giác giải quyết vấn đề,<br /> GV cần chú trọng việc tạo niềm tin, động viên người học<br /> tự tiếp cận, khám phá, phát hiện vấn đề, tạo cơ hội cho<br /> HS được suy nghĩ, trải nghiệm nhiều hơn, coi trọng các<br /> năng lực tư duy tìm tòi, suy đoán, trực giác và vận dụng<br /> kiến thức giải quyết vấn đề. Theo Kapur, “khi GV cho<br /> phép HS giải quyết vấn đề toán học mà không có sự chỉ<br /> dẫn trực tiếp, HS được thể hiện vấn đề với nhiều cách<br /> khác nhau và linh hoạt khám phá các giải pháp đa dạng<br /> dựa trên kiến thức và kinh nghiệm đã có của họ. Dù trực<br /> giác đôi khi dẫn đến kết quả sai lầm, GV cũng nên<br /> khuyến khích HS sử dụng trực giác của họ trong việc thể<br /> hiện và giải quyết vấn đề bởi vì kinh nghiệm thất bại có<br /> thể sản sinh ra việc học tập có ý nghĩa” [7; tr 155]. Kết<br /> luận trong bài viết của mình, R. L. Wilder đã nhấn mạnh<br /> rằng “phương pháp dạy học hiện đại cần nhận ra được<br /> vai trò của trực giác bằng cách thay thế việc dạy “làm<br /> thế này, làm thế kia” bởi “điều gì nên làm tiếp theo”. Đó<br /> là cách tiếp cận để nền tảng trực giác sẵn sàng phát<br /> triển, với cách này sự hiểu biết và phê phán kiến thức có<br /> thể thấm nhuần đúng đắn trong HS” [11; tr 610].<br /> Để xây dựng tình huống dạy học bằng sử dụng trực<br /> quan nhằm hỗ trợ HS trực giác giải quyết vấn đề, GV chú<br /> ý lựa chọn các vấn đề, tri thức toán học thông qua các<br /> công cụ trực quan như hình ảnh, biểu đồ, sơ đồ, đồ thị,<br /> mô hình, ... để người học tự phát hiện hình thành kiến<br /> thức cũng như giải quyết vấn đề. Trước hết, GV cần xác<br /> định được không gian vấn đề (problem space) và những<br /> khó khăn nhận thức của HS, từ đó khuyến khích HS đưa<br /> ra phán đoán của mình về vấn đề; tạo cơ hội cho HS biểu<br /> diễn, giải thích sự hiểu biết về bản chất của các vấn đề<br /> toán học thông qua hình ảnh tiếp nhận được khi quan sát;<br /> giúp HS hình dung được hình ảnh, mô hình trực quan để<br /> giải quyết vấn đề. Trong tình huống dạy học đó, “khả<br /> năng học tập qua trực giác của HS được biểu hiện ở chỗ<br /> tạo sự kết nối giữa trực quan và trừu tượng, chuyển hóa<br /> được vấn đề đang xét với kiến thức toán học, định hướng<br /> được đường lối, phát hiện ý tưởng mới giải quyết vấn đề,<br /> hiểu biết và giải thích được ý nghĩa của vấn đề, mô tả và<br /> thảo luận các giai đoạn của quá trình giải quyết. Thông<br /> qua những hoạt động đó, người học đạt được cách thức<br /> giải quyết vấn đề hơn là kết quả, giải pháp của vấn đề.<br /> <br /> 38<br /> <br /> Điều này giúp họ vận dụng được vào những tình huống<br /> mới khi họ đối mặt với những vấn đề ngoài trường học”<br /> [12; tr 6]. Trên cơ sở đó, chúng tôi cho rằng có thể phát<br /> triển khả năng TGTH cho HS thông qua việc xây dựng<br /> tình huống dạy học bằng sử dụng trực quan như sau:<br /> - Xây dựng các tình huống chứa các hình ảnh trực<br /> quan cho trước hỗ trợ HS trực giác phát hiện bản chất<br /> vấn đề toán học.<br /> - Xây dựng các tình huống giúp HS hình dung được<br /> hình ảnh trực quan của vấn đề từ đó trực giác giải quyết<br /> vấn đề toán học.<br /> - Xây dựng các tình huống thực tiễn giúp HS trực giác<br /> phát hiện được mô hình trực quan của vấn đề từ các kiến<br /> thức toán học từ đó giải quyết vấn đề.<br /> Sau đây là ví dụ minh họa cho các tình huống dạy học<br /> đã đề xuất:<br /> Ví dụ 1. Sau khi HS học xong bài “Dãy số” (Đại số<br /> và Giải tích 11 nâng cao) [13], GV có thể cho HS tiến<br /> hành giải quyết vấn đề sau: “Hãy quan sát hình 1 và trả<br /> lời các câu hỏi sau: 1) Có bao nhiêu hình vuông trong<br /> mỗi bước trong hình trên?; 2) Hình dung hình ở bước tiếp<br /> theo? Số hình vuông trong bước tiếp theo đó bằng bao<br /> nhiêu?; 3) Dự đoán số hình vuông trong bước thứ 10?<br /> Tìm biểu thức biểu diễn số hình vuông cho bước thứ n?<br /> Kiến thức toán học nào thể hiện qua hình vẽ trên?”.<br /> - Không gian<br /> vấn đề của HS<br /> liên quan đến bài<br /> toán: Kiến thức<br /> và kinh nghiệm<br /> Hình 1<br /> đã có của HS về<br /> dãy số và các tính chất (dãy số tăng hoặc giảm, dãy số bị<br /> chặn), xác định các số hạng của một dãy số đã cho dưới<br /> dạng tổng quát hoặc truy hồi, phương pháp xét tính tăng,<br /> giảm, bị chặn của một dãy số đã cho.<br /> - Xác định khó khăn trong nhận thức của HS: HS đã<br /> biết về tính chất của dãy số dưới dạng toán học thuần túy<br /> tuy nhiên khó nhận ra được bài toán có liên quan đến kiến<br /> thức “Dãy số” được cho dưới dạng khác. Bài toán đòi hỏi<br /> HS phải thấy được tri thức toán học ẩn chứa và phát hiện<br /> ra quy luật của dãy số đó, đó là số hình vuông trong mỗi<br /> bước n chính là số hạng thứ n của một dãy số, chẳng hạn<br /> u1 = 7, u2 = 15, u3 = 27 là ba số hạng đầu của dãy, cần<br /> phát hiện ra biểu diễn tổng quát của dãy số đó thông qua<br /> hình ảnh trực quan đã cho.<br /> - Giải quyết vấn đề bằng trực quan: Qua hoạt động<br /> quan sát trực quan, HS có thể giải quyết được câu thứ<br /> nhất của bài toán một cách dễ dàng: số hình vuông tương<br /> ứng trong mỗi bước là 7, 15, 27. Tuy nhiên để giải được<br /> hai câu tiếp theo thì không đơn thuần là việc quan sát<br /> hình vẽ rồi đếm số hình vuông mà HS cần có sự xem xét<br /> <br /> VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 431 (Kì 1 - 6/2018), tr 36-40<br /> <br /> kĩ lưỡng và hiểu được cách cho hình vuông trong mỗi<br /> bước như thế nào, tức là cần quan sát có chủ đích và có<br /> khuynh hướng bỏ qua những chi tiết không cơ bản từ đó<br /> tìm ra quy luật của hình để xác định được số hình vuông<br /> trong các bước tiếp theo.<br /> - Dự đoán kết quả của vấn đề: HS có thể dự đoán<br /> nhiều câu trả lời khác nhau (đúng hoặc sai) sau khi quan<br /> sát hình vẽ đã cho và hình dung hình vẽ với số hình<br /> vuông ở bước 4.<br /> - Hoạt động mô tả và thảo luận: HS giải thích tại sao<br /> lại đưa ra dự đoán và cùng thảo luận về phương án trả lời<br /> của mình từ đó tìm ra câu trả lời tốt nhất (về quy luật của<br /> các hình vuông).<br /> - Trực giác phát hiện tri thức và giải quyết vấn đề:<br /> Khi trao đổi cùng nhau, HS có thể phát hiện qua quan sát<br /> sự thay đổi của các hình vuông cùng màu để phát hiện<br /> quy luật của hình ở bước thứ n: số hình vuông màu tím ở<br /> bước 1, 2, 3 lần lượt là 1, 4, 9 như vậy số hình vuông ở<br /> bước n là n2 (quy luật di chuyển theo đường chéo hình<br /> vuông); số hình vuông màu xanh và màu đỏ ở bước 1, 2,<br /> 3 lần lượt là 1, 2, 3 do đó ở bước thứ n số hình vuông là<br /> n (quy luật di chuyển theo hàng dọc và hàng ngang), còn<br /> số hình vuông màu trắng giữ nguyên không thay đổi sau<br /> các bước. Từ đó HS suy ra hình ở bước thứ 4 (có thể vẽ<br /> ra hình đó) và số hình vuông trong bước đó. Việc hình<br /> dung ra được hình ở bước thứ 4 nhờ nắm bắt được quy<br /> luật của các hình đã cho thể hiện được khả năng trực giác<br /> của HS thông qua quan sát trực quan. Khái quát hóa quá<br /> trình, HS có thể nhận ra biểu thức biểu diễn số hình<br /> vuông ở bước thứ n là 2n2 + 2n + 3.<br /> - Kiến thức toán học vận dụng trong bài toán: Kiến<br /> thức toán học ẩn tàng trong hoạt động này chính là bài<br /> toán tìm số hạng bất kì của một dãy số.<br /> Nhận xét: Bài toán tìm số hạng của một dãy số được<br /> xây dựng qua ví dụ trên giúp HS thấy được bản chất của<br /> vấn đề toán học thông qua hình ảnh trực quan. Nếu chỉ<br /> đơn thuần phát biểu bài toán dạng tường minh của toán<br /> học thuần túy như “Cho dãy số (un) với un = 2n2 + 2n + 3.<br /> Tìm số hạng thứ 4 và số hạng thứ 10 của dãy số” thì bài<br /> toán trở nên quá đơn giản đối với HS lớp 11 (bài toán<br /> dạng tìm số hạng của dãy đã cho dạng tường minh như<br /> thế này có thể xem ở bài tập 9, 10, 15 trong [13; tr 105109]) vì với mức độ yêu cầu đối với HS là thay số vào<br /> biểu thức rồi tính toán, hoạt động này chỉ coi trọng kĩ<br /> năng tính toán. Nhưng ở đây thông qua hoạt động trực<br /> quan, HS không đơn giản cần có kĩ năng tính toán mà HS<br /> phải nắm bắt được trực quan để hiểu vấn đề, trực giác<br /> phát hiện ra quy luật cho của dãy số và hiểu được một<br /> biểu diễn khác của dãy số.<br /> Ví dụ 2. Sau khi học xong bài “Đường thẳng vuông<br /> góc với mặt phẳng” (Hình học 11 nâng cao) [14], GV<br /> <br /> 39<br /> <br /> cho HS giải quyết bài toán sau: “Xác định thiết diện của<br /> hình lập phương và mặt phẳng trung trực của một đường<br /> chéo của hình lập phương đó” giúp HS hình dung được<br /> hình ảnh trực quan của vấn đề và trực giác giải quyết vấn<br /> đề toán học.<br /> - Không gian vấn đề của HS liên quan đến bài toán:<br /> Vốn hiểu biết và kinh nghiệm đã có của HS về hai đường<br /> thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,<br /> các định lí và tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc,<br /> khái niệm mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng, cách<br /> xác định thiết diện của hình khi cắt bởi một mặt phẳng<br /> thỏa mãn yêu cầu cụ thể.<br /> - Tình huống nhận thức gây khó khăn trong bài toán<br /> đối với HS: dù HS đã biết cách xác định thiết diện của<br /> hình nhưng sau khi vẽ xong hình lập phương, HS chưa<br /> được cung cấp nhiều thông tin trong bài toán để thực hiện<br /> các bước tiếp theo, do đó gây khó khăn để người học có<br /> thể vẽ được các giao tuyến của mặt phẳng trung trực với<br /> các mặt của hình lập phương. Đối với bài toán thuộc loại<br /> dựng hình này, HS cần phải phát hiện các yếu tố quan<br /> trọng của hình cần dựng trước, từ đó mới có thể vẽ được<br /> hình đó. GV yêu cầu HS hình dung ra mặt phẳng trung<br /> trực của một đường chéo có tính chất gì đặc biệt, có quan<br /> hệ với các mặt phẳng nào không?<br /> - HS trực giác thấy ngay được kết quả của vấn đề<br /> thông qua việc hình dung được hình ảnh trực quan: Trong<br /> tình huống này bắt buộc HS phải tưởng tượng ra được<br /> hình, nhìn thấy được mặt phẳng trung trực của đường chéo<br /> cần dựng với những tính chất gì, xác định như thế nào<br /> trước rồi sau đó mới có thể thực hiện các thao tác phân tích<br /> và cụ thể trên hình vẽ trực quan. Cụ thể là, giả sử cần xác<br /> định thiết diện của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ và<br /> mặt phẳng trung trực () của đường chéo AC’. (Hiển<br /> nhiên HS có thể chọn bất kì đường chéo nào khác của hình<br /> lập phương). Mặt phẳng () đi qua tâm O của hình lập<br /> phương ABCD.A’B’C’D’ và vuông góc với đường chéo<br /> AC’. Liên tưởng đến kết quả bài toán đã biết trước đó: hai<br /> mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau và<br /> vuông góc AC’, hơn nữa (BDA’) và (B’D’C) chia AC’<br /> làm ba đoạn bằng nhau tại các trọng tâm G và G’ của hai<br /> tam giác BDA’ và B’D’C (kết quả của bài tập 37<br /> [14; tr 68]). Từ đó các em có thể nhận thấy được mối quan<br /> hệ giữa ba mặt phẳng này thông qua tưởng tượng và trực<br /> giác hình học, mặt phẳng () cần dựng song song với mặt<br /> phẳng (BDA’) và (B’D’C), do đó mặt phẳng () lần lượt<br /> đi qua trung điểm của các cạnh BC và CD, A’B’ và A’D’,<br /> BB’ và DD’ (vì () đi qua trung điểm O của AC’ và song<br /> song (BDA’), (B’D’C)).<br /> - Mô tả đường lối giải quyết vấn đề: Từ hoạt động<br /> hình dung được mặt phẳng trung trực có những yếu tố<br /> xác định, HS sẽ sử dụng hình ảnh trực quan để minh họa<br /> <br /> VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 431 (Kì 1 - 6/2018), tr 36-40<br /> <br /> cho sự hình dung đó. Yêu cầu HS mô tả các bước dựng<br /> hình: trong mặt phẳng (A’BCD’) vẽ đường thẳng qua O<br /> và song song với A’B cắt BC<br /> M<br /> B<br /> C<br /> và A’D’ lần lượt tại M, Q tiếp<br /> D<br /> N<br /> A<br /> tục dựng các giao tuyến của<br /> S<br /> () với hình lập phương từ đó<br /> O<br /> P<br /> suy ra thiết diện của hình lập<br /> B'<br /> C'<br /> R<br /> phương khi cắt bởi mặt phẳng<br /> trung trực của đường chéo A'<br /> D'<br /> Q<br /> AC’ là hình lục giác đều<br /> MNPQRS (hình 2).<br /> - Hoạt động kiểm chứng bằng suy diễn với các thao<br /> tác chứng minh bài toán: Cho HS chứng minh AC’<br /> vuông góc (BDA’) (hoặc AC’ vuông góc (B’D’C)) và<br /> chứng minh thiết diện đi qua các trung điểm là mặt phẳng<br /> trung trực của AC’: Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung<br /> điểm của các cạnh BC, CD, DD’, A’D’, A’B’ và BB’. Ta<br /> có tứ giác AMC’Q là hình thoi nên M và Q thuộc mặt<br /> phẳng trung trực của AC’, tương tự cho các điểm còn lại.<br /> Vậy thiết diện cần tìm là lục giác đều MNPQRS.<br /> Nhận xét: Trong ví dụ trên, hoạt động hình dung thấy<br /> được ngay kết quả mặt phẳng trung trực đi qua các trung<br /> điểm của các cạnh hình lập phương thể hiện khả năng<br /> trực giác qua sự tưởng tượng hình ảnh trong não của HS,<br /> mà việc hình dung này đôi khi cũng có thể đưa ra kết quả<br /> sai lầm. Tuy nhiên, ta thấy rằng việc nhìn thấy trong đầu<br /> hình ảnh về đối tượng nhờ vốn hiểu biết và kiến thức kinh<br /> nghiệm đã có để nhận ra được đặc điểm của thiết diện<br /> giúp HS phát hiện đường lối giải quyết được bài toán, do<br /> đó suy ra được cách dựng thiết diện của hình lập phương<br /> và mặt phẳng trung trực của đường chéo. Như vậy, việc<br /> tưởng tượng ra được trong tâm trí một số tính chất hay<br /> nhờ trực giác hình dung ra được kết quả, sản phẩm cuối<br /> cùng mang yếu tố quyết định đối với những bài toán<br /> không mang tính quy trình. Nhờ sự kết nối giữa trí tưởng<br /> tượng và trực quan giúp phát hiện ra được chiến lược giải<br /> quyết, HS có thể thực hiện được các bước lập luận logic,<br /> phân tích dùng suy luận để kiểm chứng sau đó.<br /> 3. Kết luận<br /> Bài viết đã xây dựng các tình huống dạy học toán với<br /> việc sử dụng trực quan như các tình huống chứa các hình<br /> ảnh cho trước, các tình huống giúp HS hình dung được<br /> hình ảnh trực quan của vấn đề và các tình huống thực tiễn<br /> giúp HS trực giác phát hiện được mô hình trực quan của<br /> vấn đề. Với các tình huống dạy học đó, GV có thể giúp<br /> HS thể hiện khả năng dự đoán, suy luận trực giác cùng<br /> với việc được trải nghiệm nhiều hơn trong việc giải quyết<br /> vấn đề. Tuy nhiên, GV cần quan tâm đến việc thiết kế<br /> các tình huống hoạt động nhận thức cho HS sao cho đảm<br /> bảo sự thống nhất giữa các mặt đối lập giữa trực quan và<br /> tính logic chặt chẽ, chứ không quá lạm dụng trực quan,<br /> <br /> 40<br /> <br /> xác định đúng mức độ trực quan để HS nhận thức được<br /> cái trừu tượng giúp phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.<br /> Tài liệu tham khảo<br /> [1] Birgerstam P. (2002). Intuition - The way to<br /> meaningful<br /> knowledge. Studies<br /> in<br /> Higher<br /> Education, Vol. 27(4), pp. 431-444.<br /> [2] Fischbein E. (1987). Intuition in Science and<br /> Mathematics: An Educational Approach. D. Reidel<br /> Publishing Company.<br /> [3] Hogarth R. M. (2001). Educating Intuition.<br /> University of Chicago Press.<br /> [4] Jagla V. M. (1994). Teachers’ Everyday use of<br /> Imagination and Intuition: In Pursuit of the Elusive<br /> Image. State University of New York Press.<br /> [5] Giardino V. (2010). Intuition and visualization in<br /> mathematical problem solving. Topoi, Vol. 29(1),<br /> pp. 29-39.<br /> [6] Ben-Zeev T. - Star J. (2001). Intuitive Mathematics:<br /> Theoretical and Educational Implications.<br /> Understanding and teaching intuitive mind: student<br /> and teacher learning, pp. 29-55.<br /> [7] Cho Y. H. - Hong S. Y. (2015). Mathematical intuition<br /> and Storytelling for Meaningful Learning. Disciplinary<br /> Intuitions and the Design of Learning Environments,<br /> Springer Science Singapore, pp. 155-168.<br /> [8] Krutexki V. A. (1973). Tâm lí năng lực toán học của<br /> học sinh. NXB Giáo dục.<br /> [9] Karpunin V. A. (1974). Tư duy hình thức và trực<br /> giác trong nhận thức toán học. NXB Đại học Tổng<br /> hợp Xtalincrat (Tiếng Nga).<br /> [10] Đào Tam - Võ Xuân Mai (2016). Hướng tới sự hiểu<br /> biết về trực giác và vai trò của trực giác trong dạy<br /> học toán. Tạp chí Giáo dục, số 389, tr 46-49.<br /> [11] Wilder R. L. (1967). The role of Intuition. Science,<br /> Vol. 156 (3775), pp. 605-610.<br /> [12] Nguyen Phuong Chi - Vo Xuan Mai (2017).<br /> Learning by intuiting - The way to solve unforeseen<br /> problems in mathematics education. Vietnam<br /> Journal of Science, Hanoi National University of<br /> Education, June 2017, pp. 3-8.<br /> [13] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan<br /> (chủ biên) (2008). Đại số và Giải tích 11 nâng cao.<br /> NXB Giáo dục.<br /> [14] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) - Văn Như Cương (chủ<br /> biên) (2009). Hình học 11 Nâng cao. NXB Giáo dục.<br /> [15] Đào Tam - Võ Xuân Mai (2016). Đảm bảo sự cân đối<br /> giữa tư duy trực giác và tư duy phân tích cho học sinh<br /> trong dạy học toán. Tạp chí Khoa học Giáo dục, Viện<br /> Khoa học Giáo dục Việt Nam, số 134, tr 46-49.<br /> <br />