10 Đề kiểm tra HK 2 Toán lớp 11 - THPT Nguyễn An Ninh (2012-2013)

Chia sẻ: Lê Thị Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

123
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm đánh giá lại thực lực học tập của các em học sinh trước khi tham dự kì kiểm tra học kì 2. Mời các em và giáo viên tham khảo 10 đề kiểm tra học kì 2 Toán lớp 11 - THPT Nguyễn An Ninh (2012-2013) sẽ giúp bạn định hướng kiến thức ôn tập và rèn luyện kỹ năng, tư duy làm bài thi đạt điểm cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 10 Đề kiểm tra HK 2 Toán lớp 11 - THPT Nguyễn An Ninh (2012-2013)

THPT Nguyễn An Ninh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 – Năm học 2012-2013 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 1 Bài 1: Tính các giới hạn sau: 2x2  3x  5 x3  x  1 a) lim b) lim x1 x2  1 x1 x 1 Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x3  2mx2  x  m  0 luôn có nghiệm với mọi m. Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1.  x3  x2  2x  2  khi x  1 f ( x)   3x  a 3x  a  khi x = 1 Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số: 2 3 1 cos x x a) y   3x  1   b) y   2 x x x4 x sin x Bài 5: Cho đường cong (C): y  x3  3x2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a) Tại điểm có hoành độ bằng 2. 1 b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y   x  1. 3 a 3 Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB  , SO  ( ABCD) , 3 SB  a . a) Chứng minh: SAC vuông và SC vuông góc với BD. b) Chứng minh: (SAD )  (SAB), (SCB)  (SCD ). c) Tính khoảng cách giữa SA và BD. --------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1
Bài 1: 2x2  3x  5 2x  5 7 a) lim = lim  x1 2 x1 x  1 2 x 1 3 x  x1 b) lim x1 x 1  lim ( x  1)  0  x1  x3  x  1 Ta có  x  1  0  lim    lim ( x3  x  1)  3  0 x1 x 1  x1  Bài 2: Xét hàm số f ( x)  x3  2mx2  x  m  f(x) liên tục trên R.  f (m)  m3, f (0)  m  f (0). f (m)  m4  Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0  Nếu m  0 thì f (0). f (m)  0, m  0  phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0; m) hoặc (m; 0). Vậy phương trình x3  2mx2  x  m  0 luôn có nghiệm.  x3  x2  2x  2  khi x  1 Bài 3: f ( x)   3x  a 3x  a  khi x = 1 x3  x2  2 x  2 ( x  1)( x2  2)  lim f ( x)  lim  lim x1 x1 3x  a x1 3x  a 2 ( x  1)( x  2) x2  2  Nếu a = –3 thì lim f ( x)  lim  lim  1  0 và f (1)  0 nên hàm số không x1 x1 3( x  1) x1 3 liên tục tại x = 1 ( x  1)( x2  2)  Nếu a  –3 thì lim f ( x)  lim  0 , nhưng f (1)  3  a  0 nên hàm só không liên x1 x1 3x  a tục tại x = 1. Vậy không có giá trị nào của a để hàm số liên tục tại x = 1. Bài 4: 2 3 1 2 3 6 4 a) y   3x  1    y'=     2 4 2 3 x x x x 2 3x  1 x x5 cos x x sin x cos x  x2 b) y    y x sin x x sin x  x2 sin x  cos x sin x  x cos x cos x 1  y'     sin x    x cos x(1  cot 2 x) 2 2 2 sin x x sin x x 3 2 2 Bài 5: y  x  3x  2  y '  3x  6x a) x0  2  y0  2, y (2)  0  PTTT y  2 . 1 b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y   x  1 nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3. 3 2 2  x  1 2 Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm  3x0  6x0  3  x0  2x0  1  0   0  x0  1  2  2
 Với x0  1  2  y0  2  PTTT: y  3 x  1  2   2  y  3x  4 2  3  Với x0  1  2  y0   2  PTTT: y  3 x  1  2   2  y  3x  4 2  3 Bài 6: S a)  Chứng minh: SAC vuông 3a2 6a2 a 6 + SO2  SB2  OB2  a2   SO2   SO  . 9 9 3 3a2 a 6 H + OA  OC  BC2  OB2  a2    SO . I 9 3  tam giác SAC vuông tại S. K  Chứng minh SC  BD A BD  SO, BD  AC  BD  (SAC)  BD  SC. B b)  Chứng minh: (SAD )  (SAB), (SCB)  ( SCD ). O Gọi H là trung điểm của SA. D C 2a 3 SA a 3 SA  OA 2   OH   3 2 3  OH  OB  OD  HBD vuông tại H  DH  BH (1)  SOA vuông cân tại O, H là trung điểm của SA  OH  SA (2)  SO  (ABCD)  SO  BD, mặt khác AC  BD  BD  (SAC)  SA  BD (3)  Từ (2) và (3) ta suy ra SA  (HBD)  SA  HD (4) Từ (1) và (4) ta suy ra DH  (SAB), mà DH  (SAD) nên (SAD)  (SAB)  Gọi I là trung điểm của SC dễ thấy OI = OH = OB = OD  IBD vuông tại I  ID  BI (5) 6a2 3a2  SD  SO2  OD 2    a  CD  DSC cân tại D, IS = IC nên ID  SC (6) 9 9 Từ (5) và (6) ta suy ra ID  (SBC), mà ID  (SCD) nên (SBC)  (SCD). c) Tính khoảng cách giữa SA và BD. a 3 OH  SA, OH  BD nên d(SA, BD )  OH  . 3 ============================ 3
THPT Nguyễn An Ninh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 – Năm học 2012-2013 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 2 Phần bắt buộc Câu 1: 1) Tính các giới hạn sau: 1  2x x 3  3x 2  9x  2 a) lim 2 b) lim c) lim  x2  x  3  x  x x  2 x  3 x 2 x3  x  6 x 2) Chứng minh phương trình x3  3x  1  0 có 3 nghiệm phân biệt . Câu 2: 1) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2  x2  2 x a) y    3x   x  1 b) y  x  sin x c) y  x  x 1 2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y  tan x 3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ( ABCD ) và SA  a 6 . 1) Chứng minh : BD  SC, ( SBD )  ( SAC) . 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). 3) Tính góc giữa SC và (ABCD) II. Phần tự chọn 1. Theo chương trình chuẩn 1 Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  tại giao điểm của nó với trục hoành . x 60 64 Câu 5a: Cho hàm số f ( x)  3x    5 . Giải phương trình f ( x)  0 . x x3     Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG . 2. Theo chương trình nâng cao Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số y  sin 2x.cos2x . x3 x 2 Câu 5b: Cho y    2x . Với giá trị nào của x thì y ( x)  2 . 3 2 Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD và BC. --------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1
Câu 1: 2 1  1  2x x 2 1) a) lim  lim x 0 2 x x  2 x  3 x 2 3 1  x x2 x3  3x2  9x  2 ( x  2)( x2  5x  1) x2  5x  1 15 b) lim  lim  lim  3 2 x 2 x 2 x 2 x  x6 x2 ( x  2)( x  2x  3)  2 x  3 11 c) lim   x2  x  3  x  lim 3 x  lim 3 x x x x2  x  3  x x  x  1  1  3   x     x x2   3 1 x 1  lim  x  1 3  2   1    1   x x2  2) Xét hàm số f ( x)  x3  3x  1  f(x) liên tục trên R.  f(–2) = –1, f(0) = 1  phuơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1   2; 0  f(0) = 1, f(1) = –1  phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2   0;1  f(1) = –1, f(2) = 3  phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c3  1;2  Phương trình đã cho là phương trình bậc ba, mà c1, c2 , c3 phân biệt nên phương trình đã cho có đúng ba nghiệm thực. Câu 2: 2   2  2  1  1) a) y    3x  x    x 1  y'     x2  x   3  x  1    3x     2 x  2 2 1 3 9 1 2    3 x  3  x x  3 2 x x x x x 2 2 x x x2 b) y  x  sin x  y '  1  cos x x2  2 x x2  2 x  2 c) y   y'  x 1 2  x  1 2) y  tan x  y '  1  tan2 x  y "  2tan x 1  tan2 x  1 3) y = sinx . cosx  y  sin2x  dy  cos2 xdx 2 Câu 3: a) Chứng minh : BD  SC,(SBD )  (SAC) .  ABCD là hình vuông nên BD  AC, BD SA (SA  (ABCD))  BD  (SAC)  BD SC  (SBD) chứa BD  (SAC) nên (SBD)  (SAC) b) Tính d(A,(SBD))  Trong SAO hạ AH  SO, AH  BD (BD (SAC)) nên AH  (SBD) 2
a 2  AO  , SA = a 6  gt  và SAO vuông tại S 2 A 1 1 1 1 2 13 nên      2 2 2 2 2 AH SA AO 6a a 6a2 6a2 a 78  AH 2   AH  13 13 H B c) Tính góc giữa SC và (ABCD) A  Dế thấy do SA  (ABCD) nên hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC  góc giữa SC và (ABCD) là O SCA . Vậy ta có: D C SA a 6 tan SCA    3  SCA  600 AC a 2 1 1 Câu 4a: y  x   y  1  x x2  Các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là A 1; 0 , B 1; 0  Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k1  2 nên PTTT: y = 2x +2  Tại B(1; 0) tiếp tuyến cũng có hệ số góc k2  2 nên PTTT: y = 2x – 2 60 64 60 128 Câu 5a: f ( x)  3x    5  f ( x)  3   3 x x x2 x4  x2  8  4 3 60 128 PT f ( x)  0  3    0  3x  60x  128  0  2 16   x   3 4 2  x2 x4 x    3 x   8  Câu 6a:            F G Đặt AB  e1, AD  e2 , AE  e3                  E      AB.EG  e1. EF  EH  e e  e2  e1.e1  e1.e2  a2 1 1 H Cách khác:                 AB.EG  EF .EG  EF . EG .cos EF, EG   a.a 2.cos450  a2 B C A D Câu 4b: y = sin2x.cos2x 1  y = sin 4x  y '  2cos4x  y "  8sin 4x 2 x3 x2 Câu 5b: y    2 x  y '  x2  x  2 3 2 x  0  y  2  x2  x  2  2  x( x  1)  0    x  1 3
Câu 6b: Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của ABC. D’ C’ Vì D.ABC là hình chóp đều, có các cạnh bên có độ dài a 2 , nên BD’ là đường cao của chóp này  BD  A’ (ABC) B’  BD  GM. Mặt khác ABC đều nên GM  BC M  GM là đoạn vuông góc chung của BD’ và B’C. G 1 3 1 3 a 6 Tính độ dài GM = AC  a 2.  D 3 2 3 2 6 C O A B ====================================== 4
THPT Nguyễn An Ninh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 Năm học 2012-2013 Đề số 3 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút A. Phần chung: (7 điểm) Câu I: (2 điểm) Tính các giới hạn sau: 3n  2.4n a) lim b) lim  n2  2n  n    n n   4 3  3x2  10x  3   3x  1  2  c) lim   d) lim   x3  x2  5x  6  x1 x 1      Câu II: (2 điểm)  x2  3x  18  khi x  3 . Tìm a để hàm số liên tục tại x  3 . a) Cho hàm số f  x    x3 a  x  khi x  3 b) Chứng minh rằng phương trình x3  3x2  4x  7  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (–4; 0). Câu III: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = SB = SC = SD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vuông góc với SA. a) CMR: SO  (ABCD), SA  (PBD). b) CMR: MN  AD. c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD).     d) CMR: 3 vec tơ BD , SC, MN đồng phẳng. B. Phần riêng. (3 điểm) Câu IVa: Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn. a) Cho hàm số f ( x)  x3  3x  4 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 2). b) Tìm đạo hàm của hàm số y  sin2 x . Câu IVb: Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao. a) Cho hàm số f ( x)  x3  3x  4 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1; 0). b) Tìm đạo hàm của hàm số y  sin(cos(5x3  4x  6)2011) . --------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1
Câu I: n  3 n n  4  2 3  2.4 a) lim  lim   2 n n n 4 3  3 1    4 b) lim   n2  2n  n  lim 2n  lim 2 1 n2  2n  n 2 1  1 n  3x2  10x  3  ( x  3)(3x  1) 3x  1 c) lim    lim  lim 8 x3  x  5x  6  x3 ( x  2)( x  3) 2 x3 x  2    3x  1  2  3( x  1) 3 3 d) lim    lim  lim  x1 x  1  x1 ( x  1)  3x  1  2 x1 3x  1  2 4 Câu II:  x2  3x  18  khi x  3 . a) f  x    x3 a  x  khi x  3 x2  3x  18 ( x  3)( x  6)  f(3) = a+3  lim f ( x)  lim  lim  lim( x  6)  9 x3 x3 x3 x3 x3 x3  f(x) liên tục tại x = 3  a + 3 = 9  a = 6 b) Xét hàm số f ( x)  x3  3x2  4x  7  f ( x) liên tục trên R.  f(–3) = 5, f(0) = –7  f (3). f (0)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( –3 ; 0 ).  (3; 0)  (4; 0)  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc (–4; 0). Câu III: a) CMR: SO  (ABCD), SA  (PBD). S  SO  AC, SO  BD  SO  (ABCD).  BD  AC, BD  SO  BD  (SAC)  BD  SA (1) E  OP  SA, OP  (PBD) (2) D N F Từ (1) và (2) ta suy ra SA  (PBD). P C b) CMR: MN  AD.  Đáy ABCD là hình vuông nên OB = OC, mà OB và OC lần lượt là hình chiếu của NB và NC trên (ABCD)  NB = NC O M  NBC cân tại N, lại có M là trung điểm BC (gt)  MN  BC  MN  AD (vì AD // BC) B c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD). A  SO  (ABCD) nên AO là hình chiếu của SA trên (ABCD) Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là SAO . a 2 AO 2 cosSAO   2  SA  a  2  4  d) CMR: 3 vec tơ BD , SC, MN đồng phẳng.  Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SD và DC, dễ thấy EN, FM, FE lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời có EN // BD, FM// BD, FE // SC và cũng từ đó ta có M, M, E, F đồng phẳng. 2
      MN  (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF)  BD, SC, MN đồng phẳng. Câu IVa: a) f ( x)  x3  3x  4  f ( x)  3x2  3  f (1)  0  PTTT: y  2 . b) y  sin2 x  y  2sin x.cos x  sin2x Câu IVb: a) f ( x)  x3  3x  4  f ( x)  3x2  3 3 2  Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm  y0  x0  3x0  4 , f ( x0 )  3x0  3 3 2 PTTT d là: y  y0  f ( x0 )( x  x0 )  y  ( x0  3x0  4)  (3x0  3)( x  x0 )  x0  1 3 2 3 2 d đi qua M(1; 0) nên ( x0  3x0  4)  (3x0  3)(1  x0 )  2 x0  3x0  1  0   1  x0    2  Với x  1  y  0, f ( x )  6  PTTT y  6( x  1) 0 0 0 1 45 15 15 15  Với x0    y0   , f ( x0 )   PTTT: y  x  2 8 4 4 4 b) y  sin(cos(5x3  4x  6)2011)  y  2011(5x3  4 x  6)2010 (15x2  4)sin(5x3  4x  6)2011.cos cos(5x3  4x  6)2011  =========================== 3
THPT Nguyễn An Ninh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 Năm học 2012-2013 Đề số 4 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút A. Phần chung: (8 điểm) Câu 1: (2 điểm) Tìm các giới hạn sau: 2x2  3x  1   1) lim 2) lim x2  2 x  2  x2  2 x  3 x1 2 x 4  3x  x  4  x2  khi x  2 Câu II: (1 điểm) Xét tính liên tục của hàm số f ( x)   x  2  2 tại điểm x = 2. 2 x  20 khi x  2  Câu III: (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3  5x 2 1) f ( x)  2 2) f ( x)  sin(tan( x4  1))   x  x 1 Câu IV: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, SA  ( ABCD ) , a 6 SA  . 2 1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC. 3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD). B. Phần riêng: (2 điểm) Câu Va: Dành cho học sinh học chương trình Chuẩn Cho hàm số: y  x3  3x2  2x  2 . 1) Giải bất phương trình y  2 . 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: x  y  50  0 . Câu Vb: Dành cho học sinh học chương trình Nâng cao 1) Tìm 5 số hạng của một cấp số nhân gồm 5 số hạng, biết u3  3 và u5  27 . 2) Tìm a để phương trình f ( x)  0 , biết rằng f ( x)  a.cos x  2sin x  3x  1 . --------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1
Câu 1: 2x2  3x  1 ( x  1)(2x  1) 2x  1 1 1) lim  lim  lim  x1 2 x1 ( x  1)(4  x) x1 4  x 3 4  3x  x 2) lim  x2  2x  2  x2  2x  3  lim  4x  1 x x  2 2 2 3  x  1   1    x x2 x x2    1 4  lim x  2 x 2 2 2 3    1   1    x x2 x x2     4 x 2  khi x  2 Câu II: f ( x)   x  2  2 2 x  20 khi x  2   f(2) = –16 (2  x)(2  x)  x  2  2  lim f ( x)  16, lim f ( x)  lim  lim  ( x  2)  x  2  2   16    x 2  x 2  x 2 2 x x 2  Vậy hàm số liên tục tại x = 2 Câu III: 3  5x 5x2  6x  2 1) f ( x)   f ( x)  x2  x  1 ( x2  x  1)2 2 2) f ( x)   sin(tan( x 4  1)) 1 4x3 sin2  tan( x 4  1)   f ( x)  8x3.sin  tan( x 4  1)  . cos tan( x 4  1)   cos2 ( x 4  1) cos2 ( x4  1) Câu IV: S 1) CMR: (SAB)  (SBC).  SA  (ABCD)  SA  BC, BC  AB  BC  (SAB), BC  (SBC)  (SAB) (SBC) 2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC. H  Trong tam giác SAC có AH  SC 1 1 1 2 2 8 B  d  A, SC   AH  2  2 2  2 2 2 A AH SA OA 3a a 3a O a 6  AH  D C 4 3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).  Vì ABCD là hình vuông nên AO  BD, SO  BD  (SBD )  ( ABCD )  BD  ((SBD ),( ABCD ))  SOA a 6 SA  Tam giác SOA vuông tại A  tan SOA   2  3   (SBD ),( ABCD )   600 OA a 2 2 Câu Va: y  x3  3x2  2x  2  y  3x2  6 x  2 1) BPT y '  2  3x2  6x  0  x  ( ; 0]  [2;  ) 2) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x  y  50  0 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –1. 2
2 2 Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: 3x0  6x0  2  1  x0  2x0  1  0  x0  1 Khi đó y0  2  phương trình tiếp tuyến là y  ( x  1)  2  y   x  3 . Câu Vb: 1) u3  3 và u5  27 .  Gọi công bội của cấp số nhân là q  cấp số nhân đó gồm 5 số hạng là u1, u1q, u1q2 , u1q3 , u1q4 u q2  3  q  3  Theo giả thiết ta có hệ u1  1 4  q2  9   u1q  27   q  3 1 1  Với q = 3 ta suy ra u1   cấp số nhân là: ; 1; 3; 9; 27 3 3 1 1  Với q = –3 ta suy ra u1   cấp số nhân đó là: ;  1; 3;  9; 27 3 3 2) f ( x)  a.cos x  2sin x  3x  1  f ( x)  2cos x  a.sin x  3 . PT f ( x)  0  2 cos x  a.sin x  3 (*) Phương trình (*) có nghiệm  22  (a) 2  32  a2  5  a   ;  5    5;   . ======================== 3
THPT Nguyễn An Ninh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 Năm học 2012-2013 Đề số 5 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung Bài 1: x2  x  2 3n 2  3.5n1 1) Tính các giới hạn sau: a) lim b) lim x1 2x  2 4.5n  5.3n1 cos x  x 2) Tính đạo hàm của hàm số: y  sin x  x Bài 2: 1) Cho hàm số: y  x 3  x 2  x  5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 6x  y  2011  0 . 5x2  6x  7 khi x  2  2) Tìm a để hàm số: f ( x)   2 liên tục tại x = 2.  ax  3a  khi x  2 Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C. AC = a, SA = x. a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). b) Chứng minh (SAC)  (SBC) . Tính khoảng cách từ A đến (SBC). c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC II. Phần tự chọn A. Theo chương trình Chuẩn Bài 4a: 1) Cho f ( x)  x2 sin( x  2) . Tìm f (2) . 1 2) Viết thêm 3 số vào giữa hai số và 8 để được cấp số cộng có 5 số hạng. Tính tổng các số hạng 2 của cấp số cộng đó. Bài 5a: 1) CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x3  10x  7 . 2) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 300. Tính chiều cao hình chóp. B. Theo chương trình Nâng cao Bài 4b: 1) Cho f ( x)  sin2x  2sin x  5 . Giải phương trình f ( x)  0 . 2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh rằng: ( a2  b2 )(b2  c2 )  (ab  bc)2 Bài 5b: 1) Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có ít nhất 2 nghiệm: (m2  1) x4  x3  1. a 2) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Tính góc 2 giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (ABC) và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC). --------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1
ĐÁP ÁN Bài 1: x2  x  2 ( x  1)( x  2) x2 3 1) a) lim  lim  lim  x1 2x  2 x1 2( x  1) x1 2 2 n  3 9.    15 3n 2  3.5n1 n 9.3  15.5n 5 15 b) lim  lim  lim    4.5n  5.3n1 n 4.5  15.3n  3 n 4 4  15.   5 cos x  x 2) y  sin x  x (1 sin x)(sin x  x)  (cos x  1)(cos x  x) (sin x  cos x)  x(sin x  cos x)  1  y'   (sin x  x)2 (sin x  x)2 Bài 2: 1) y  x3  x2  x  5  y  3x2  2x  1  (d): 6 x  y  2011  0  y  6x  2011  Vì tiếp tuyến song song với (d) nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 6.  x0  1 2 2  Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm  3x0  2 x0  1  6  3x0  2x0  5  0   5  x0    3  Với x0  1  y0  2  PTTT : y  6x  8 5 230  5  230 10  Với x0    y0    PTTT : y  6  x     y  6x  3 27  3  27 9 5x2  6x  7 khi x  2  2) f ( x)   2  ax  3a  khi x  2  lim f ( x)  15  f (2)  lim f ( x)  lim ( ax2  3a)  7a  x 2 x2 x2 15  f ( x) liên tục tại x = 2  7a  15  a  7 Bài 3: a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).  (SAB)  (ABC) và SAC)  (ABC) nên SA (ABC)  AB là hình chiếu của SB trên (ABC) SA x   SB,( ABC)    SB, AB  SBA  tan SBA   AB a 2  BC  AC, BC  SA nên BC  (SAC)  SC là hình chiếu của SB trên (SAC) BC a   SB,(SAC)    SB, SC   BSC  tan BSC   SC a2  x2 b) Chứng minh (SAC)  (SBC) . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).  Theo chứng minh trên ta có BC  (SAC)  (SBC)  (SAC)  Hạ AH  SC  AH  BC (do BC  (SAC). Vậy AH  (SBC)  d( A,(SBC))  AH . 1 1 1 1 1 ax       AH  2 2 2 2 2 AH SA AC x a x2  a2 2
c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). AH Gọi K là trung điểm của BH  OK // AH  OK  (SBC) và OK = 2 ax  d(O,(SBC)  OK  . 2 2 2 x a d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC  Dựng mặt phẳng () đi qua AC và vuông góc với SB tại P  CP SB và AP  SB.  Trong tam giác PAC hạ PQ  AC  PQ  SB vì SB  ( PAC). Như vậy PQ là đường vuông góc chung của SB và AC. Bài 4a: 1) f ( x)  x2 sin( x  2)  f ( x)  2x sin( x  2)  x2 cos( x  2)  f (2)  4sin0  4cos0  4 2) Giả sử công sai của cấp số cộng cần tìm là d thì ta có cấp số cộng là: 1 1 1 1 1 15 15 ,  d,  2d,  3d,  4d  8  4d   d  2 2 2 2 2 2 8 1 19 34 49 Vậy cấp số cộng đó là , , , ,8 2 8 8 8 Bài 5a: 1) Xét hàm số f ( x)  2x3  10x  7  f ( x) liên tục trên R.  f (1)  1, f (0)  7  f (1). f (0)  0 nên PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c1 (–1; 0)  f (3)  10, f (4)  17  f (3). f (4)  0 nên PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c2   3; 4  mà c1  c2 nên phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm thực 2) S  Hình chóp S.ABCD là chóp tứ giác đều nên chân đường cao SO của hình chóp là O = AC  BD a 2  Đáy là hình vuông cạnh bằng a nên AC = a 2  OC  2 a 2 D  SOC vuông tại O, có OC  , SCO  300 C 2 a 2 3 a 6  SO  OC.tan SCO  .  O 2 3 6 A B Bài 4b: 1) f ( x)  sin2x  2sin x  5  f ( x)  2cos2 x  2cos x 3
 cos x  1  x  k2 PT f ( x)  0  2cos2 x  cos x  1  0   1  2  cos x   x    k 2  2  3 2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân.  Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có b  aq, c  aq2  ( a2  b2 )(b2  c2 )  (a2  a2q2 )(a2 q2  a2q4 )  a4q2 (1 q2 )2 (1)  (ab  bc)2  (a.aq  aq.aq2 )2  a4q2 (1  q2 )2 (2)  Từ (1) và (2) ta suy ra (a2  b2 )(b2  c2 )  (ab  bc)2 . Bài 5b: 1) Xét hàm số f ( x)  (m2  1) x4  x3  1  f ( x) liên tục trên R với mọi m.  f (1)  m2  1, f (0)  1  f (1). f (0)  0 nên PT f ( x)  0 có it nhất một nghiệm c1  ( 1; 0)  f (0)  1, f (2)  16m2  7  f (0). f (2)  0 nên PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c2  (0; 2)  mà c1  c2  phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực. 2) A C Tính góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (ABC) và khoảng cách từ A K đến (ABC) B   AA ' B   AA ' C  c.g.c   A ' B  A ' C . H Gọi K là trung điểm BC  AK  BC và A’K  BC  BC  (AA’K )  (A’BC) (AA’K), ( A ' BC)  ( AA ' K )  A ' K , AH  A ' K  AH  ( A ' BC)  d( A,( ABC))  AH 1 1 1 4 1 5 a        AH  A' C' AH 2 A ' A2 AB2 a2 a2 a2 5 B' a 5  d( A,( A ' BC))  AH  . 5   AK  BC và A’K  BC  ( A BC),( ABC)  A KA  a AA 1  Trong AKA ta có tan AKA   2   A KA  300 . AK a 3 3 2 ================================ 4
THPT Nguyễn An Ninh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 Năm học 2012-2013 Đề số 7 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung Bài 1: 1) Tìm các giới hạn sau: 1  x5  7x3  11 x 1  2 4  x2 a) lim 3 b) lim c) lim x 3 5 x 5 x5 x2 2( x2  5x  6) x  x4  2 4 x4 5 3 2) Cho hàm số : f ( x)   x  2x  1 . Tính f (1) . 2 3 Bài 2:  2 1) Cho hàm số f ( x)   x  x khi x  1 . Hãy tìm a để f ( x) liên tục tại x = 1 ax  1 khi x  1 x2  2 x  3 2) Cho hàm số f ( x)  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x) tại điểm x 1 có hoành độ bằng 1. Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH. 1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a. 2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC). 3) Tính khoảng cách giữa AD và BC. II. Phần tự chọn A. Theo chương trình chuẩn Bài 4a: Tính các giới hạn sau: 9x2  1  4x x 1) lim 2) lim x 3  2x  2 x2 x  5x  6 Bài 5a: 1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 6x3  3x2  6x  2  0 . 2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chiều cao hình chóp. B. Theo chương trình nâng cao Bài 4b: Tính giới hạn: lim  x 1 x  x Bài 5b: 1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm: ( m2  2m  2) x3  3x  3  0 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a 3 . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó. --------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1
Bài 1: 1 1 7 11  x5  7x3  11   3 x2 x5 4 1) a) lim 3  lim  x 3 5 4 x 3 1 2 9 x x 2   4 4 x x5 x 1  2 x5 1 1 b) lim  lim  lim  x 5 x5 x5 ( x  5)  x  1  2 x5 x  1  2 4 4  x2 (2  x)(2  x) ( x  2) 2 c) lim  lim  lim  x2 2( x 2 x2 2( x  2)( x  3) x2 2( x  3) 5  5x  6) x4 5 3 1 1 2) f ( x)   x  2x  1  f ( x)  2x3  5x2   f (1)  5  . 2 3 2 2x 2 2 Bài 2:  2 1) f ( x)   x  x khi x  1 ax  1 khi x  1  f (1)  a  1  lim f ( x)  lim ( x2  x)  2, lim f ( x)  a  1  f (1) x1 x1 x1  f ( x) liên tục tại x = 1  lim f ( x)  lim f ( x)  f (1)  a  1  2  a  1 x1 x1 x2  2 x  3 x2  2x  5 2) f ( x)   f ( x)  x 1 ( x  1)2 1 1 3 Với x0  1  y0  1 , f (1)    PTTT: y   x  2 2 2 Bài 3: D 1) CMR: BC  (ADH) và DH = a. ABC đều, H là trung điểm BC nên AH  BC, AD  BC  BC  (ADH)  BC  DH  DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI  (ABC).  AD = a, DH = a  DAH cân tại D, mặt khác I là trung điểm AH nên DI  AH K  BC  (ADH)  BC  DI  DI  (ABC) 3) Tính khoảng cách giữa AD và BC. A B  Trong ADH vẽ đường cao HK tức là HK  AD (1) I Mặt khác BC  (ADH) nên BC  HK (2) H Từ (1) và (2) ta suy ra d( AD , BC)  HK C  Xét DIA vuông tại I ta có: 2 2 a 3 2 a2 a 2 DI  AD  AI  a       2  4 2   a 3 a . 1 1 AH .DI a 3  Xét DAH ta có: S = AH .DI = AD.HK  d( AD , BC)  HK   2 2 2 2 AD a 4 Bài 4a: 2
1 1 2  x. 9   4x  9 4 2 1) lim 9x  1  4x  lim x  lim x2  7 x 3  2x x 3  2x x 3 2 2 x  lim x  2  0 x  x2 x  2) lim . Vì  lim ( x2  5x  6)  0  lim    2   2 x2 x  5x  6  x2 x2 x  5x  6  x2  5x  6  0,  x  2  Bài 5a: 1) Xét hàm số f ( x)  6x3  3x2  6 x  2  f ( x) liên tục trên R.  f (1)  1, f (0)  2  f (1). f (0)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c1  ( 1; 0)  f (0)  2, f (1)  1  f (0). f (1)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c2  (0;1)  f (1)  1, f (2)  26  f (1). f (2)  0  PT f ( x)  0 có một nghiệm c3  (1; 2)  Vì c1  c2  c3 và PT f ( x)  0 là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng ba nghiệm thực. 2) 1 Bài 4b: lim  x  1  x   lim 0 x x x  1  x Bài 5b: 1) Xét hàm số f(x) = f ( x)  (m2  2m  2) x3  3x  3  f ( x) liên tục trên R. 2  Có g(m) = m2  2m  2   m  1  1  0, m R f (0)  3, f (1)  m2  2m  2  0  f (0). f (1)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c  (0;1) 2)  Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH  AH  SD S (1)  SA  (ABCD)  CD  SA CD AD  CD  (SAD)  CD  AH (2)  Từ (1) và (2)  AH  (SCD)  (ABH)  (SCD)  (P) (ABH) I H  Vì AB//CD  AB // (SCD), (P)  AB nên (P)  (SCD) = HI B  HI // CD  thiết diện là hình thang AHIB. A Hơn nữa AB  (SAD)  AB  HA O Vậy thiết diện là hình thang vuông AHIB.  SD  SA2  AD 2  3a2  a2  2a D C SA2 3a2 3a  SAD có SA2  SH .SD  SH    SH  SD 2a 2 3a HI SH 3 3 3a    2   HI  CD  (3) CD SD 2a 4 4 4 1 1 1 1 1 4 a 3       AH  (4) 2 2 2 2 2 2 2 AH SA AD 3a a 3a ( AB  HI ) AH 1  3a  a 3 7a2 3  Từ (3) và (4) ta có: SAHIB   a .  . 2 2 4 2 16 3