Bài giảng Ánh xạ tuyến tính

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Giảng viên: Phan Đức Tuấn

Khoa Toán - ĐHSP - ĐHĐN

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

1 / 66

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1

Cho U, V là 2 không gian vector trên trường K. Ánh xạ

T : U → V được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu:

i. T(u + v) = T(u) + T(v), ∀u, v ∈ U

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

2 / 66

ii. T(ku) = kT(u), ∀k ∈ K, ∀u ∈ U.

Trong trường hợp U = V thì ánh xạ tuyến tính gọi là

phép biến đổi tuyến tính.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Để đơn giản ta viết T(u)=Tu.

Chú ý 1.1 Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều kiện:

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

3 / 66

T(au + bv) = aT(u) + bT(v), ∀a, b ∈ K, ∀u, v ∈ U.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Để đơn giản ta viết T(u)=Tu.

Chú ý 1.1 Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều kiện:

T(au + bv) = aT(u) + bT(v), ∀a, b ∈ K, ∀u, v ∈ U.

Trong trường hợp U = V thì ánh xạ tuyến tính gọi là

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

3 / 66

phép biến đổi tuyến tính.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Chú ý 1.1 Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều kiện:

T(au + bv) = aT(u) + bT(v), ∀a, b ∈ K, ∀u, v ∈ U.

Trong trường hợp U = V thì ánh xạ tuyến tính gọi là

phép biến đổi tuyến tính.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

3 / 66

Để đơn giản ta viết T(u)=Tu.

Thật vậy:

T(x + y) = a(x + y) = ax + ay = Tx + Ty.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

T(kx) = a(kx) = k(ax) = kTx.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

4 / 66

Ví dụ 1.1 Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số cho trước là ánh xạ tuyến tính.

T(x + y) = a(x + y) = ax + ay = Tx + Ty.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

T(kx) = a(kx) = k(ax) = kTx.

Ví dụ 1.1 Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số cho trước là ánh xạ tuyến tính.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

4 / 66

Thật vậy:

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

T(kx) = a(kx) = k(ax) = kTx.

Ví dụ 1.1 Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số cho trước là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy:

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

4 / 66

T(x + y) = a(x + y) = ax + ay = Tx + Ty.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.1 Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số cho trước là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy:

T(x + y) = a(x + y) = ax + ay = Tx + Ty.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

4 / 66

T(kx) = a(kx) = k(ax) = kTx.

Thật vậy:

T[p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)](cid:48) = p(cid:48)(t) + q(cid:48)(t) =

Tp(t) + Tq(t).

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Tkp(t) = [kp(t)](cid:48) = k.p(cid:48)(t) = kTp(t).

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

5 / 66

Ví dụ 1.2 Cho T : P2[t] → P1[t] xác định bởi Tp(t) = p(cid:48)(t), là ánh xạ tuyến tính.

T[p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)](cid:48) = p(cid:48)(t) + q(cid:48)(t) =

Tp(t) + Tq(t).

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Tkp(t) = [kp(t)](cid:48) = k.p(cid:48)(t) = kTp(t).

Ví dụ 1.2 Cho T : P2[t] → P1[t] xác định bởi Tp(t) = p(cid:48)(t), là ánh xạ tuyến tính.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

5 / 66

Thật vậy:

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Tkp(t) = [kp(t)](cid:48) = k.p(cid:48)(t) = kTp(t).

Ví dụ 1.2 Cho T : P2[t] → P1[t] xác định bởi Tp(t) = p(cid:48)(t), là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy:

T[p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)](cid:48) = p(cid:48)(t) + q(cid:48)(t) =

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

5 / 66

Tp(t) + Tq(t).

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.2 Cho T : P2[t] → P1[t] xác định bởi Tp(t) = p(cid:48)(t), là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy:

T[p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)](cid:48) = p(cid:48)(t) + q(cid:48)(t) =

Tp(t) + Tq(t).

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

5 / 66

Tkp(t) = [kp(t)](cid:48) = k.p(cid:48)(t) = kTp(t).

Thật vậy:

T(u1 + u2) = T(x1 + x2, y1 + y2)

= ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2) − (y1 + y2))

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.3 Cho T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy:

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

6 / 66

T(u1 + u2) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2) − (y1 + y2)) = (x1 + 3y1 + x2 + 3y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2) = (x1 + 3y1, 2x1 − y1) + (x2 + 3y2, 2x2 − y2)

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.3 Cho T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy:

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

6 / 66

T(u1 + u2) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2) − (y1 + y2)) = (x1 + 3y1 + x2 + 3y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2) = (x1 + 3y1, 2x1 − y1) + (x2 + 3y2, 2x2 − y2) = Tu1 + Tu2.

= (kx + 3ky, 2kx − ky)

= k(x + 3y, 2x − y) = kTu

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.4 Cho T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy:

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

7 / 66

T(ku) = T(kx, ky)

= k(x + 3y, 2x − y) = kTu

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.4 Cho T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy:

T(ku) = T(kx, ky)

= (kx + 3ky, 2kx − ky)

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

7 / 66

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.4 Cho T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x + 3y, 2x − y), là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy:

T(ku) = T(kx, ky)

= (kx + 3ky, 2kx − ky)

= k(x + 3y, 2x − y) = kTu

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

7 / 66

T : R2 → R xác định bởi Tu = T(x, y) = 2x + 5y.

T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x2, y − x).

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

T : R → R2 xác định bởi Tx = (x, 3x).

Bài tập

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

8 / 66

Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao?

T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x2, y − x).

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

T : R → R2 xác định bởi Tx = (x, 3x).

Bài tập

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

8 / 66

Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao? T : R2 → R xác định bởi Tu = T(x, y) = 2x + 5y.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

T : R → R2 xác định bởi Tx = (x, 3x).

Bài tập

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

8 / 66

Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao? T : R2 → R xác định bởi Tu = T(x, y) = 2x + 5y. T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x2, y − x).

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Bài tập

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

8 / 66

Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao? T : R2 → R xác định bởi Tu = T(x, y) = 2x + 5y. T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x2, y − x). T : R → R2 xác định bởi Tx = (x, 3x).

{u ∈ U : Tu = θV} = KerT gọi là nhân của T.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

dim(ImT) gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính T.

Định nghĩa 1.2 Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính.

{Tu : u ∈ U} = ImT gọi là ảnh của T.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

iv. Ker T là không gian vector con của U.

Tính chất 1

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

10 / 66

i. TθU → θV.

iii. Im T là không gian vector con của V.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

iv. Ker T là không gian vector con của U.

Tính chất 1

i. TθU → θV.

ii. T(α1u1 + α2u2 + · · · + αnun)

= α1Tu1 + α2Tu2 + · · · + αnTun.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

10 / 66

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

iv. Ker T là không gian vector con của U.

Tính chất 1

i. TθU → θV.

ii. T(α1u1 + α2u2 + · · · + αnun)

= α1Tu1 + α2Tu2 + · · · + αnTun.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

10 / 66

iii. Im T là không gian vector con của V.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Tính chất 1

i. TθU → θV.

ii. T(α1u1 + α2u2 + · · · + αnun)

= α1Tu1 + α2Tu2 + · · · + αnTun.

iii. Im T là không gian vector con của V.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

10 / 66

iv. Ker T là không gian vector con của U.

iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u, Ty = v. Khi

u + v = Tx + Ty = T(x + y) ∈ ImT.

λu = λTx = T(λx) ∈ ImT.

đó

T(x + y) = Tx + Ty = θV + θV = θV ⇒ x + y ∈ KerT.

T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV.

Chứng minh.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

11 / 66

i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV.

u + v = Tx + Ty = T(x + y) ∈ ImT.

λu = λTx = T(λx) ∈ ImT.

T(x + y) = Tx + Ty = θV + θV = θV ⇒ x + y ∈ KerT.

T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV.

Chứng minh.

i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV.

iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u, Ty = v. Khi

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

11 / 66

đó

λu = λTx = T(λx) ∈ ImT.

T(x + y) = Tx + Ty = θV + θV = θV ⇒ x + y ∈ KerT.

T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV.

Chứng minh.

i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV.

iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u, Ty = v. Khi

u + v = Tx + Ty = T(x + y) ∈ ImT.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

11 / 66

đó

T(x + y) = Tx + Ty = θV + θV = θV ⇒ x + y ∈ KerT.

T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV.

Chứng minh.

i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV.

iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u, Ty = v. Khi

u + v = Tx + Ty = T(x + y) ∈ ImT.

λu = λTx = T(λx) ∈ ImT.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

11 / 66

đó

T(x + y) = Tx + Ty = θV + θV = θV ⇒ x + y ∈ KerT.

T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Chứng minh.

i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV.

iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u, Ty = v. Khi

u + v = Tx + Ty = T(x + y) ∈ ImT.

λu = λTx = T(λx) ∈ ImT.

đó

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

11 / 66

iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV.

T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Chứng minh.

i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV.

iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u, Ty = v. Khi

u + v = Tx + Ty = T(x + y) ∈ ImT.

λu = λTx = T(λx) ∈ ImT.

đó

T(x + y) = Tx + Ty = θV + θV = θV ⇒ x + y ∈ KerT.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

11 / 66

iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Chứng minh.

i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV.

iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u, Ty = v. Khi

u + v = Tx + Ty = T(x + y) ∈ ImT.

λu = λTx = T(λx) ∈ ImT.

đó

T(x + y) = Tx + Ty = θV + θV = θV ⇒ x + y ∈ KerT.

T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

11 / 66

iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Nhận xét 1.3 Nếu W là không gian con của không gian vector U thì

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

12 / 66

T(W) là không gian vector con của V.

Tìm ImT:

Ta có T(x, y, z) = x(1, 0, 1) + y(2, 1, 1) + z(−1, 1, −2) suy

ra ImT là không gian con sinh bởi hệ vector

{(1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1, −2)}.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.5

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

13 / 66

Cho ánh xạ tuyến tính T : R3 → R3, Tu = T(x, y, z) = (x+2y−z, y+z, x+y−2z). Xác định cơ sở, số chiều của ImT, KerT.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.5

Cho ánh xạ tuyến tính T : R3 → R3, Tu = T(x, y, z) = (x+2y−z, y+z, x+y−2z). Xác định cơ sở, số chiều của ImT, KerT.

Tìm ImT:

Ta có T(x, y, z) = x(1, 0, 1) + y(2, 1, 1) + z(−1, 1, −2) suy

ra ImT là không gian con sinh bởi hệ vector

{(1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1, −2)}.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

13 / 66

Ta có

      1 0 1 1 0 1 1 0 1

     

→

2 1 1 0 1 −1 0 1 −1            

−1 1 −2

0 1 −1 0 0 0

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Vậy ImT có cơ sở {(1, 0, 1); (0, 1, −1)} suy ra dim(ImT)=2.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

14 / 66

Hay ImT = (cid:104)(1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1, −2)(cid:105).

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Vậy ImT có cơ sở {(1, 0, 1); (0, 1, −1)} suy ra dim(ImT)=2.

Hay ImT = (cid:104)(1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1, −2)(cid:105).

Ta có

      1 0 1 1 0 1 1 0 1

→

0 1 −1 0 1 −1 2 1 1                   0 0 0 0 1 −1

−1 1 −2

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

14 / 66

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Hay ImT = (cid:104)(1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1, −2)(cid:105).

Ta có

      1 0 1 1 0 1 1 0 1

→

0 1 −1 0 1 −1 2 1 1                   0 0 0 0 1 −1

−1 1 −2

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

14 / 66

Vậy ImT có cơ sở {(1, 0, 1); (0, 1, −1)} suy ra dim(ImT)=2.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ví dụ 1.6

Cho ánh xạ tuyến tính T : R3 → R3, Tu = T(x, y, z) = (x+2y−z, y+z, x+y−2z). Xác định cơ sở, số chiều của ImT, KerT.

Tìm KerT: Ta có T(x, y, z) = θ = (0, 0, 0) tương đương



x + 2y − z = 0

(∗)

y + z

= 0

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

15 / 66

x + y − 2z = 0  

Nghiệm tổng quát của hệ (*) là (3m, −m, m) = m(3, −1, 1).

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Vậy KerT có cơ sở {(3, −1, 1)} suy ra dim(KerT)=1.

Ta có ma trận của hệ phương trình là:

     2 −1 1 2 −1 1 2 −1

→

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

16 / 66

1 1 0 1 1 0 1 1     1  0               0 −1 −1 0 0 0 1 1 −2

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Vậy KerT có cơ sở {(3, −1, 1)} suy ra dim(KerT)=1.

Ta có ma trận của hệ phương trình là:

     2 −1 1 2 −1 1 2 −1

→

1 1 0 1 1 0 1 1     1  0               0 −1 −1 0 0 0 1 1 −2

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

16 / 66

Nghiệm tổng quát của hệ (*) là (3m, −m, m) = m(3, −1, 1).

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Ta có ma trận của hệ phương trình là:

     2 −1 1 2 −1 1 2 −1

→

1 1 0 1 1 0 1 1     1  0               0 −1 −1 0 0 0 1 1 −2

Nghiệm tổng quát của hệ (*) là (3m, −m, m) = m(3, −1, 1).

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

16 / 66

Vậy KerT có cơ sở {(3, −1, 1)} suy ra dim(KerT)=1.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

17 / 66

Bài tập Tìm cơ sở, số chiều của ImT, KerT với: T : R3 → R3, Tu = T(x, y, z) = (x + y + z, x + y + z, x + y + z). T : P2[t] → P1[t], Tp(t) = p(cid:48)(t).

ii. Nếu Tu1, Tu2, . . . , Tum là hệ độc lập tuyến tính thì hệ

u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính.

iii. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ sinh của U thì

Tu1, Tu2, . . . , Tum là hệ sinh của V.

iv. Nếu W là không gian con của U thì

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

dim(TW) ≤ dim(W).

Tính chất 2 Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính. Khi đó

i. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

18 / 66

Tu1, Tu2, . . . , Tum phụ thuộc tuyến tính.

iii. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ sinh của U thì

Tu1, Tu2, . . . , Tum là hệ sinh của V.

iv. Nếu W là không gian con của U thì

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

dim(TW) ≤ dim(W).

Tính chất 2 Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính. Khi đó

i. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ

Tu1, Tu2, . . . , Tum phụ thuộc tuyến tính.

ii. Nếu Tu1, Tu2, . . . , Tum là hệ độc lập tuyến tính thì hệ

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

18 / 66

u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính.

iv. Nếu W là không gian con của U thì

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

dim(TW) ≤ dim(W).

Tính chất 2 Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính. Khi đó

i. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ

Tu1, Tu2, . . . , Tum phụ thuộc tuyến tính.

ii. Nếu Tu1, Tu2, . . . , Tum là hệ độc lập tuyến tính thì hệ

u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

18 / 66

iii. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ sinh của U thì Tu1, Tu2, . . . , Tum là hệ sinh của V.

Bài 1: Định nghĩa và tính chất

Tính chất 2 Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính. Khi đó

i. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ

Tu1, Tu2, . . . , Tum phụ thuộc tuyến tính.

ii. Nếu Tu1, Tu2, . . . , Tum là hệ độc lập tuyến tính thì hệ

u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính.

iii. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ sinh của U thì Tu1, Tu2, . . . , Tum là hệ sinh của V.

iv. Nếu W là không gian con của U thì

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

18 / 66

dim(TW) ≤ dim(W).

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 2.1 Cho T : U → V là ánh tuyến tính. E = {e1, e2, . . . , en} là cơ sở của U, F = {f1, f2, . . . , fm} là cơ sở của V. Ta có:

V (cid:51) Te1 = a11f1 + a21f2 + · · · + am1fm

V (cid:51) Te2 = a12f1 + a22f2 + · · · + am2fm

. . .

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

19 / 66

V (cid:51) Ten = a1nf1 + a2nf2 + · · · + amnfm

Chú ý 2.1

1 Ma trận MTT/EF, có cột thứ j là [Tej]/F.

2 Khi U = V và E = F thì ma trận MTT/EE gọi là ma

trận của phép biến đổi tuyến tính T đối với cơ sở E.

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ta ký hiệu: MTT/E.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

20 / 66

Định nghĩa 2.2 Khi đó: ma trận A = [aij]mn gọi là ma trận của ánh xạ T đối với 2 cơ sở E, F và ký hiệu: MTT/EF.

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 2.2 Khi đó: ma trận A = [aij]mn gọi là ma trận của ánh xạ T đối với 2 cơ sở E, F và ký hiệu: MTT/EF.

Chú ý 2.1

1 Ma trận MTT/EF, có cột thứ j là [Tej]/F.

2 Khi U = V và E = F thì ma trận MTT/EE gọi là ma trận của phép biến đổi tuyến tính T đối với cơ sở E.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

20 / 66

Ta ký hiệu: MTT/E.

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 2.1 Cho ánh xạ tuyến tính T : R2 → R3 xác định bởi: T(x, y) = (x + 2y, 3x − y, 5x + 6y).

a. Tìm ma trận của T đối với hai cơ sở chính tắc E, F

của R2, R3.

b. Tìm ma trận của T đối với hai cơ sở

1 = (2, 3); e(cid:48)

2 = (−1, 4)} và cơ sở chính tắc F.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

21 / 66

E(cid:48) = {e(cid:48)

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Giải:

a. Ta có:

Te1 = T(1, 0) = (1, 3, 5) = (1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)

Te2 = T(0, 1) = (2, −1, 6) = 2(1, 0, 0) − (0, 1, 0) + 6(0, 0, 1)

Suy ra (Te1)/F = (1, 3, 5); (Te2)/F = (2, −1, 6) nên

 2

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

22 / 66

3 −1 MTT/EF =     1    5 6

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

1 = T(2, 3) = (8, 3, 28) =

b. Ta có: Te(cid:48)

2)/F = (7, −7, 19) nên

1)/F = (8, 3, 28); (Te(cid:48)

8(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 28(0, 0, 1) Te(cid:48) 2 = T(−1, 4) = (7, −7, 19) = 7(1, 0, 0) − 7(0, 1, 0) + 19(0, 0, 1) Suy ra (Te(cid:48)

  8 7

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

23 / 66

3 −7 MTT/EF =       28 19

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Bài tập 2.1 Cho ánh xạ tuyến tính T : R3 → R2 xác định bởi: T(x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y + 3z).

a. Tìm ma trận của T đối với hai cơ sở

E = {e1 = (1, 0, 1); e2 = (1, 1, 0); e3 = (0, 1, 1)} và cơ sở chính tắc.

b. Tìm ma trận của T đối với hai cơ sở

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

24 / 66

E = {e1 = (1, 1, 1); e2 = (1, 1, 0); e3 = (1, 0, 0)} và F = {f1 = (1, 3); f2 = (2, 5)}.

Giải: Ta có

s1 = (1, −3) = (1, 0) − 3(0, 1) = e1 − 3e2,

s2 = (0, 2) = 2(0, 1) = 2e2,

suy ra

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ts1 = Te1 − 3Te2 = (1, 2, 0); Ts2 = 2Te2 = (0, 4, 6),

Ví dụ 2.2 Cho Axtt T : R2 → R3, có T(1, −3) = (1, 2, 0); T(0, 2) = (0, 4, 6). Tìm ma trận của

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

25 / 66

T đối với hai cơ sở chính tắc.

suy ra

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ts1 = Te1 − 3Te2 = (1, 2, 0); Ts2 = 2Te2 = (0, 4, 6),

Ví dụ 2.2 Cho Axtt T : R2 → R3, có T(1, −3) = (1, 2, 0); T(0, 2) = (0, 4, 6). Tìm ma trận của

T đối với hai cơ sở chính tắc.

Giải: Ta có

s1 = (1, −3) = (1, 0) − 3(0, 1) = e1 − 3e2,

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

25 / 66

s2 = (0, 2) = 2(0, 1) = 2e2,

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 2.2 Cho Axtt T : R2 → R3, có T(1, −3) = (1, 2, 0); T(0, 2) = (0, 4, 6). Tìm ma trận của

T đối với hai cơ sở chính tắc.

Giải: Ta có

s1 = (1, −3) = (1, 0) − 3(0, 1) = e1 − 3e2,

s2 = (0, 2) = 2(0, 1) = 2e2,

suy ra

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

25 / 66

Ts1 = Te1 − 3Te2 = (1, 2, 0); Ts2 = 2Te2 = (0, 4, 6),

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ts1 = Te1 − 3Te2 = (1, 2, 0),

Ts2 = 2Te2 = (0, 4, 6),

suy ra

Te2 = (0, 2, 3); Te1 = (1, 8, 9).

Vậy   1 0

.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

26 / 66

8 2 MTT/ctct =       9 3

Bài tập 2.3

Cho Axtt T : R3 → R3, có T(1, 1, 0) = (0, 3, 5);

T(1, 0, 1) = (2, 4, 6); T(0, 1, 1) = (3, 0, 1). Tìm ma trận

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

của T đối với hai cơ sở chính tắc và T(x, y).

Bài tập 2.2 Cho Axtt T : R2 → R2, có T(1, 2) = (3, 5); T(2, −1) = (4, 6). Tìm ma trận của T

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

27 / 66

đối với hai cơ sở chính tắc và T(x, y).

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Bài tập 2.2 Cho Axtt T : R2 → R2, có T(1, 2) = (3, 5); T(2, −1) = (4, 6). Tìm ma trận của T

đối với hai cơ sở chính tắc và T(x, y).

Bài tập 2.3 Cho Axtt T : R3 → R3, có T(1, 1, 0) = (0, 3, 5); T(1, 0, 1) = (2, 4, 6); T(0, 1, 1) = (3, 0, 1). Tìm ma trận

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

27 / 66

của T đối với hai cơ sở chính tắc và T(x, y).

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Tính chất 3 Cho T : U → V là Axtt, E, F là các cơ sở của U, V và

A = MTT/E,F. Khi đó

[Tv]/F = A[v]/E.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

28 / 66

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 2.3 Cho T : R3 → R2 là Axtt có ma trận đối với hai cơ sở chính tắc là

(cid:34) (cid:35) 1 2 3 A = MTT/CT,CT = 2 3 5

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

29 / 66

Xác định Tu = T(x, y, z) ?

Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ta có

 (cid:34) (cid:35) 1 2 3 y

[Tu]/CT = A[u]/CT =

u = (x, y, z) → (u)/CT = (x, y, z)  x       2 3 5 z

(cid:35) (cid:34) x + 2y + 3z

=

2x + 3y + 5z

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

30 / 66

Tu = T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, 2x + 3y + 5z)

Bài 3: Chuyển cơ sở

Chuyển cơ sở

n} là hai cơ sở của V.

1, . . . , e(cid:48)

Bài toán Cho phép biến đổi tuyến tính T : V → V và E = {e1, . . . , en}; E(cid:48) = {e(cid:48) Tìm mối liên hệ giữa:

1 (v)/E và (v)/E(cid:48)

2 MTT/E và MTT/E(cid:48) ?

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

31 / 66

Bài 3: Chuyển cơ sở

n} là hai cơ sở của

1, . . . , e(cid:48)

Định lý 3.1 Cho E = {e1, . . . , en}; E(cid:48) = {e(cid:48) V và

(3.1) e(cid:48) 1 = a11e1 + · · · + an1en,

. = . . . ,

(3.2)

(3.3) e(cid:48) n = a1ne1 + · · · + annen.

n]/E

1]/E . . . [e(cid:48)

(cid:3) = MT/E,E(cid:48) gọi là ma trận chuyển từ cơ

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

32 / 66

Khi đó: [v]/E = P[v]/E(cid:48), trong đó, P là ma trận (cid:2)[e(cid:48) sở E sang cơ sở E(cid:48).

Bài 3: Chuyển cơ sở

1 = (1, 1); e(cid:48)

2 = (2, 0)}. Tìm MT/E,E(cid:48) và MT/E(cid:48),E.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

33 / 66

Ví dụ 3.1 Trong R2 cho E là cơ sở chính tắc và E(cid:48) = {e(cid:48)

Bài 3: Chuyển cơ sở

1)/E = (1, 1); (e(cid:48)

2)/E = (2, 0) suy ra (cid:34)

Ta có (e(cid:48)

(cid:35) 1 2

.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

34 / 66

P = MT/E,E(cid:48) = 1 0

Bài 3: Chuyển cơ sở

2(2, 0)

2);

2(2, 0)

Ta có: e1 = (1, 0) = 0(1, 1) + 1 → (e1)/E(cid:48) = (0, 1 e2 = (0, 1) = 1(1, 1) − 1 → (e2)/E(cid:48) = (1, − 1 2)

(cid:34) (cid:35)

Q = MTE(cid:48),E =

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

35 / 66

0 1 1 2 − 1

[v]/E = P[v]/E(cid:48) → [v]/E(cid:48) = P−1[v]/E.

Bài 3: Chuyển cơ sở

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

36 / 66

Nhận xét 3.1 Nếu P = MT/E,E(cid:48) thì P−1 = MT/E(cid:48),E.

Bài 3: Chuyển cơ sở

Nhận xét 3.1 Nếu P = MT/E,E(cid:48) thì P−1 = MT/E(cid:48),E.

[v]/E = P[v]/E(cid:48) → [v]/E(cid:48) = P−1[v]/E.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

36 / 66

A=MTT/E

−−−−−→ E

P ↓

↑ P−1

B=MTT/F

E(cid:48)

−−−−−→ E(cid:48)

Bài 3: Chuyển cơ sở

Định lý 3.2 Cho phép biến đổi tuyến tính T : V → V và E, E(cid:48) là hai

cơ sở của V. Khi đó:

A = MTT/E = MT/E,E(cid:48)MTT/E(cid:48)MT/E(cid:48),E = PBP−1

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

37 / 66

hay B = P−1AP

Bài 3: Chuyển cơ sở

Định lý 3.2 Cho phép biến đổi tuyến tính T : V → V và E, E(cid:48) là hai

cơ sở của V. Khi đó:

A = MTT/E = MT/E,E(cid:48)MTT/E(cid:48)MT/E(cid:48),E = PBP−1

A=MTT/E −−−−−→ E

hay B = P−1AP

P ↓

↑ P−1

B=MTT/F −−−−−→ E(cid:48)

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

37 / 66

E(cid:48)

Bài 3: Chuyển cơ sở

Định nghĩa 3.2 Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n. Hai ma trận này gọi

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

38 / 66

là đồng dạng với nhau nếu tồn tại ma trận P sao cho B = P−1AP.

Bài 3: Chuyển cơ sở

2 = (0, 2)}. Tìm MTT/E; MTT/E(cid:48).

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

39 / 66

Ví dụ 3.2 Cho axtt T : R2 → R2; Tu = T(x, y) = (2x − 3y, 5x + y), E là cơ sở chính tắc và cơ sở 1 = (1, 3); e(cid:48) E(cid:48) = {e(cid:48)

Tìm B = MTT/E(cid:48).

Dùng định nghĩa:

Bài 3: Chuyển cơ sở

Dùng công thức chuyển cơ sở:

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

40 / 66

Ta có (cid:34) (cid:35) 2 −3 A = MTT/E = 5 1

Dùng định nghĩa:

Bài 3: Chuyển cơ sở

Dùng công thức chuyển cơ sở:

Ta có (cid:34) (cid:35) 2 −3 A = MTT/E = 5 1

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

40 / 66

Tìm B = MTT/E(cid:48).

Bài 3: Chuyển cơ sở

Dùng công thức chuyển cơ sở:

Ta có (cid:34) (cid:35) 2 −3 A = MTT/E = 5 1

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

40 / 66

Tìm B = MTT/E(cid:48). Dùng định nghĩa:

Bài 3: Chuyển cơ sở

Ta có (cid:34) (cid:35) 2 −3 A = MTT/E = 5 1

Tìm B = MTT/E(cid:48). Dùng định nghĩa:

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

40 / 66

Dùng công thức chuyển cơ sở:

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Trị riêng và vector riêng của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 4.1 Cho T là phép biến đổi tuyến tuyến tính từ V → V.

Vector v ∈ V(v (cid:54)= θ) gọi là vector riêng của T nếu

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

41 / 66

Tv = λv. Số λ gọi là trị riêng ứng với vector riêng v.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Thật vậy, T(kv) = kTv = k(λv) = λ(kv).

Nhận xét 4.2 Nếu v là vector riêng ứng với trị riêng λ thì kv cũng là

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

42 / 66

vector riêng ứng với trị riêng λ.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Nhận xét 4.2 Nếu v là vector riêng ứng với trị riêng λ thì kv cũng là

vector riêng ứng với trị riêng λ.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

42 / 66

Thật vậy, T(kv) = kTv = k(λv) = λ(kv).

Ta có

T(x, y) = λ(x, y) ⇔ (2x + y, 6x + 3y) = λ(x, y)

  2x + y = λx

(2 − λ)x + y = 0

 

(∗)

⇔

  6x + 3y = λy 6x + (3 − λ)y = 0

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

có nghiệm không tầm thường det(A) = 0.

Ví dụ 4.1

Tìm trị riêng và vector riêng của ánh xạ tuyến tính sau:

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

43 / 66

T : R2 → R2, T(x, y) = (2x + y, 6x + 3y).

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

det(A) = 0.

Ví dụ 4.1

Tìm trị riêng và vector riêng của ánh xạ tuyến tính sau:

T : R2 → R2, T(x, y) = (2x + y, 6x + 3y).

Ta có

T(x, y) = λ(x, y) ⇔ (2x + y, 6x + 3y) = λ(x, y)

2x + y = λx

(2 − λ)x + y = 0

   

⇔

(∗)

  6x + 3y = λy 6x + (3 − λ)y = 0

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

43 / 66

có nghiệm không tầm thường

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Ví dụ 4.1

Tìm trị riêng và vector riêng của ánh xạ tuyến tính sau:

T : R2 → R2, T(x, y) = (2x + y, 6x + 3y).

Ta có

T(x, y) = λ(x, y) ⇔ (2x + y, 6x + 3y) = λ(x, y)

2x + y = λx

(2 − λ)x + y = 0

   

⇔

(∗)

  6x + 3y = λy 6x + (3 − λ)y = 0

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

43 / 66

có nghiệm không tầm thường det(A) = 0.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Vậy ta có 2 trị riêng λ = 0, λ = 5.

2 − λ 1 det(A) =

= λ2 − 5λ = 0

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

44 / 66

6 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 3 − λ (cid:12)

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

2 − λ 1 det(A) =

= λ2 − 5λ = 0

6 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 3 − λ (cid:12)

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

44 / 66

Vậy ta có 2 trị riêng λ = 0, λ = 5.

Suy ra (x, −2x) = x(1, −2). Vậy v = (1, −2) là vector

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

riêng ứng với trị riêng λ = 0.

Với trị riêng λ = 0. Khi đó hệ phương trình (*) viết lại

2x + y

= 0

 

⇔ y = −2x.

Suy ra v = (x, 3x) = x(1, 3). Vậy v = (1, 3) là vector

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

46 / 66

riêng ứng với trị riêng λ = 5

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Tìm trị riêng và vector của ánh xạ tuyến tính

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

47 / 66

T : R3 → R3; T(x, y, z) = (2x + y − 2z, −2x + y + 2z, y).

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 − λ 1

−2

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) det(A) =

= −λ3 + 3λ2 − 2λ = 0.

−2

1 − λ 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

−λ

0 1 (cid:12) (cid:12)

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Vậy T có 3 trị riêng λ = 0, λ = 1, λ = 2.



(2 − λ)x + y − 2z

= 0

Tv = λv ⇔ (∗)

−2x + (1 − λ)y + 2z = 0

y − λz

= 0

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

48 / 66

 

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Vậy T có 3 trị riêng λ = 0, λ = 1, λ = 2.



(2 − λ)x + y − 2z

= 0

Tv = λv ⇔ (∗)

−2x + (1 − λ)y + 2z = 0

y − λz

= 0

 

1 2 − λ

−2

= −λ3 + 3λ2 − 2λ = 0.

det(A) =

−2

1 − λ 2

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

48 / 66

1 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −λ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Bài 4: Trị riêng và vector riêng



(2 − λ)x + y − 2z

= 0

Tv = λv ⇔ (∗)

−2x + (1 − λ)y + 2z = 0

y − λz

= 0

 

1 2 − λ

−2

= −λ3 + 3λ2 − 2λ = 0.

det(A) =

−2

1 − λ 2

1 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −λ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

48 / 66

Vậy T có 3 trị riêng λ = 0, λ = 1, λ = 2.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Với trị riêng λ = 0. Hệ phương trình (*) viết lại

 

x = m 2x + y − 2z

= 0

⇔

−2x + y + 2z = 0

y = 0

y z = m

= 0

   

Suy ra v = (m, 0, m) = m(1, 0, 1). Vậy v = (1, 0, 1) là

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

49 / 66

vector riêng ứng với trị riêng λ = 0.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Trị riêng và vector riêng của ma trận

Định nghĩa 4.3 Cho A là ma trận vuông cấp n. Số λ gọi là trị riêng của

ma trận A nếu phương trình ma trận

AX = λX, (X ∈ Mn1)

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

50 / 66

có nghiệm X (cid:54)= O và v = (x1, x2, . . . , xn) gọi là vector riêng ứng với trị riêng λ.

Ta có (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) 1 2 x1 x1

= λ

AX = λX ⇔ 3 2 x2 x2

    x1 + 2x2

= λx1

(1 − λ)x1 + 2x2 = 0

⇔ (∗)

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

  3x1 + 2x2 = λx2 3x1 + (2 − λ)x2 = 0

Ví dụ 4.2 Tìm trị riêng và vector của ma trận

(cid:35) (cid:34) 1 2

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

51 / 66

3 2

    x1 + 2x2

= λx1

(1 − λ)x1 + 2x2 = 0

⇔ (∗)

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

  3x1 + 2x2 = λx2 3x1 + (2 − λ)x2 = 0

Ví dụ 4.2 Tìm trị riêng và vector của ma trận

(cid:35) (cid:34) 1 2

3 2

Ta có (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) 1 2

= λ

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

51 / 66

AX = λX ⇔ 3 2 x1 x2 x1 x2

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Ví dụ 4.2 Tìm trị riêng và vector của ma trận

(cid:35) (cid:34) 1 2

3 2

Ta có (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) 1 2

= λ

AX = λX ⇔ 3 2 x1 x2 x1 x2

    x1 + 2x2

= λx1

(1 − λ)x1 + 2x2 = 0

⇔ (∗)

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

51 / 66

  3x1 + 2x2 = λx2 3x1 + (2 − λ)x2 = 0

= λ2 − 3λ − 4 = 0

Vậy A có hai trị riêng λ = −1 và λ = 4.

Với λ = −1 hệ (*) có nghiệm (m, −m) suy ra vector riêng

v = (1, −1).

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Với λ = 4 hệ (*) suy ra vector riêng v = (2, 3).

Để hệ (*) có nghiệm không tầm thường thì

1 − λ 2

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

52 / 66

3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 − λ (cid:12)

Vậy A có hai trị riêng λ = −1 và λ = 4.

Với λ = −1 hệ (*) có nghiệm (m, −m) suy ra vector riêng

v = (1, −1).

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Với λ = 4 hệ (*) suy ra vector riêng v = (2, 3).

Để hệ (*) có nghiệm không tầm thường thì

1 − λ 2

= λ2 − 3λ − 4 = 0

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

52 / 66

3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 − λ (cid:12)

Với λ = −1 hệ (*) có nghiệm (m, −m) suy ra vector riêng

v = (1, −1).

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Với λ = 4 hệ (*) suy ra vector riêng v = (2, 3).

Để hệ (*) có nghiệm không tầm thường thì

1 − λ 2

= λ2 − 3λ − 4 = 0

3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 − λ (cid:12)

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

52 / 66

Vậy A có hai trị riêng λ = −1 và λ = 4.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Với λ = 4 hệ (*) suy ra vector riêng v = (2, 3).

Để hệ (*) có nghiệm không tầm thường thì

1 − λ 2

= λ2 − 3λ − 4 = 0

3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 − λ (cid:12)

Vậy A có hai trị riêng λ = −1 và λ = 4.

Với λ = −1 hệ (*) có nghiệm (m, −m) suy ra vector riêng

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

52 / 66

v = (1, −1).

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Để hệ (*) có nghiệm không tầm thường thì

1 − λ 2

= λ2 − 3λ − 4 = 0

3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 − λ (cid:12)

Vậy A có hai trị riêng λ = −1 và λ = 4.

Với λ = −1 hệ (*) có nghiệm (m, −m) suy ra vector riêng

v = (1, −1).

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

52 / 66

Với λ = 4 hệ (*) suy ra vector riêng v = (2, 3).

Định nghĩa 4.5

Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Phương trình

det(A − λI) = 0

gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A và

PA(t) = det(A − λI) gọi là đa thức đặc trưng của ma trận

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Nhận xét 4.4 Phương trình ma trận AX = λX ⇔ (A − λI)X = O có

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

53 / 66

nghiệm X (cid:54)= O nếu det(A − λI) = 0.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Nhận xét 4.4 Phương trình ma trận AX = λX ⇔ (A − λI)X = O có

nghiệm X (cid:54)= O nếu det(A − λI) = 0.

Định nghĩa 4.5 Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Phương trình

det(A − λI) = 0

gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A và

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

53 / 66

PA(t) = det(A − λI) gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Ví dụ 4.3 Phương trình đặc trưng của ma trận

(cid:34) (cid:35) 1 2

3 3

là

1 − λ 2

= λ2 − 3λ − 4 = 0.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

54 / 66

3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 − λ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 − λ 0 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= (λ−2)2(3−λ) = 0.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

0 1 − λ −1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 2 4 − λ (cid:12) (cid:12)

Ví dụ 4.4

Phương trình đặc trưng của ma trận

  2 1 0

0 1 −1       0 2 4

là

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

55 / 66

det(A−λI) =

(λ−2)2(3−λ) = 0.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Ví dụ 4.4

Phương trình đặc trưng của ma trận

  2 1 0

0 1 −1       0 2 4

là

2 − λ 1 0

=

det(A−λI) = 1 − λ −1 0

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

55 / 66

0 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 4 − λ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Ví dụ 4.4

Phương trình đặc trưng của ma trận

  2 1 0

0 1 −1       0 2 4

là

2 − λ 1 0

= (λ−2)2(3−λ) = 0.

det(A−λI) = 0 1 − λ −1

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

55 / 66

0 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 4 − λ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Định lý 4.1 Giả sử T là một phép biến đổi tuyến tính trên V, và

A = MTT/E. Khi đó

1 Trị riêng của T là trị riêng của A và ngược lại

2 v là vector riêng của T ứng với trị riêng λ khi và chỉ

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

56 / 66

khi (v)/E là vector riêng của ma trận A đối với trị riêng λ.

Ta có,   2 1 0

  0 1 −1   A = MTT/CT =   0 2 4

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

theo Ví dụ 4.4 trị riêng của ma trận A là λ = 2, λ = 3.

Ví dụ 4.5 Cho Axtt T : P2[t] → P2[t] xác định bởi Tp(t) = T(at2 + bt + c) = (2a + b)t2 + (b − c)t + 2b + 4c.

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

57 / 66

Tìm trị riêng và vector riêng của T.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Ví dụ 4.5 Cho Axtt T : P2[t] → P2[t] xác định bởi Tp(t) = T(at2 + bt + c) = (2a + b)t2 + (b − c)t + 2b + 4c.

Tìm trị riêng và vector riêng của T.

Ta có,   2 1 0

0 1 −1 A = MTT/CT =       0 2 4

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

57 / 66

theo Ví dụ 4.4 trị riêng của ma trận A là λ = 2, λ = 3.

= (p(t))/CT suy ra vector riêng của T là

p(t) = t2.

Ứng với trị riêng λ = 3 ta có vector của ma trận A là

u = (1, 1, −2) = (p(t))/CT suy ra vector riêng của T là

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

p(t) = t2 + t − 2.

Ứng với trị riêng λ = 2 ta có vector của ma trận A là

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

58 / 66

u = (1, 0, 0)

Ứng với trị riêng λ = 3 ta có vector của ma trận A là

u = (1, 1, −2) = (p(t))/CT suy ra vector riêng của T là

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

p(t) = t2 + t − 2.

Ứng với trị riêng λ = 2 ta có vector của ma trận A là

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

58 / 66

u = (1, 0, 0) = (p(t))/CT suy ra vector riêng của T là p(t) = t2.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Ứng với trị riêng λ = 2 ta có vector của ma trận A là

u = (1, 0, 0) = (p(t))/CT suy ra vector riêng của T là p(t) = t2.

Ứng với trị riêng λ = 3 ta có vector của ma trận A là

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

58 / 66

u = (1, 1, −2) = (p(t))/CT suy ra vector riêng của T là p(t) = t2 + t − 2.

Đáp số:

det(A − λI) = −λ3 + 7λ2 − 11λ + 5 = 0

Ứng với λ = 5 ta có một vector riêng v = (1, 1, 1)

Ứng với λ = 1 ta có hai vector riêng

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

v = (1, 0, −1); u = (0, 1, −2).

Ví dụ 4.6 Cho Axtt

Tu = T(x, y, z) = (2x + 2y + z, x + 3y + z, x + 2y + 2z).

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

59 / 66

Tìm trị riêng và vector riêng của T.

Ứng với λ = 5 ta có một vector riêng v = (1, 1, 1)

Ứng với λ = 1 ta có hai vector riêng

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

v = (1, 0, −1); u = (0, 1, −2).

Ví dụ 4.6 Cho Axtt

Tu = T(x, y, z) = (2x + 2y + z, x + 3y + z, x + 2y + 2z).

Tìm trị riêng và vector riêng của T.

Đáp số:

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

59 / 66

det(A − λI) = −λ3 + 7λ2 − 11λ + 5 = 0

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Ví dụ 4.6 Cho Axtt

Tu = T(x, y, z) = (2x + 2y + z, x + 3y + z, x + 2y + 2z).

Tìm trị riêng và vector riêng của T.

Đáp số:

det(A − λI) = −λ3 + 7λ2 − 11λ + 5 = 0

Ứng với λ = 5 ta có một vector riêng v = (1, 1, 1)

Ứng với λ = 1 ta có hai vector riêng

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

59 / 66

v = (1, 0, −1); u = (0, 1, −2).

/EE(cid:48)MTT/EMT/EE(cid:48).

MTT/E(cid:48) = MT −1

Vấn đề là trị riêng và vector riêng của hai ma trận này có

giống nhau không ? (vì cũng là trị riêng, vector của phép

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

biến đổi tuyến tính T)

Nhận xét 4.6 Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính T sẽ thay đổi

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

60 / 66

nếu ta chọn các cơ sở khác nhau,

Vấn đề là trị riêng và vector riêng của hai ma trận này có

giống nhau không ? (vì cũng là trị riêng, vector của phép

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

biến đổi tuyến tính T)

Nhận xét 4.6 Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính T sẽ thay đổi

nếu ta chọn các cơ sở khác nhau,

/EE(cid:48)MTT/EMT/EE(cid:48).

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

60 / 66

MTT/E(cid:48) = MT −1

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Nhận xét 4.6 Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính T sẽ thay đổi

nếu ta chọn các cơ sở khác nhau,

/EE(cid:48)MTT/EMT/EE(cid:48).

MTT/E(cid:48) = MT −1

Vấn đề là trị riêng và vector riêng của hai ma trận này có

giống nhau không ? (vì cũng là trị riêng, vector của phép

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

60 / 66

biến đổi tuyến tính T)

Thật vậy, do A, B là ma trận của cùng một phép biến đổi

nên A, B là hai ma trận đồng dạng (nghĩa là tồn tại ma

trận P : B = P−1AP).Ta có

PB(t) = det(B − λI) = det(P−1AP − λP−1P)

= det(P−1(A−λI)P) = det(P−1) det(A−λI) det(P) = PA(t).

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Định lý 4.2

Giả sử A, B là ma trận của cùng phép biến đổi tuyến tính

T đối với hai cơ sở khác nhau. Khi đó,

nếu λ là trị riêng của ma trận A thì λ cũng là trị riêng

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

61 / 66

của ma trận B và ngược lại.

Ta có

PB(t) = det(B − λI) = det(P−1AP − λP−1P)

= det(P−1(A−λI)P) = det(P−1) det(A−λI) det(P) = PA(t).

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Định lý 4.2

Giả sử A, B là ma trận của cùng phép biến đổi tuyến tính

T đối với hai cơ sở khác nhau. Khi đó,

nếu λ là trị riêng của ma trận A thì λ cũng là trị riêng

của ma trận B và ngược lại.

Thật vậy, do A, B là ma trận của cùng một phép biến đổi

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

61 / 66

nên A, B là hai ma trận đồng dạng (nghĩa là tồn tại ma trận P : B = P−1AP).

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Định lý 4.2

Giả sử A, B là ma trận của cùng phép biến đổi tuyến tính

T đối với hai cơ sở khác nhau. Khi đó,

nếu λ là trị riêng của ma trận A thì λ cũng là trị riêng

của ma trận B và ngược lại.

Thật vậy, do A, B là ma trận của cùng một phép biến đổi

nên A, B là hai ma trận đồng dạng (nghĩa là tồn tại ma trận P : B = P−1AP).Ta có

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

Ánh xạ tuyến tính

61 / 66

PB(t) = det(B − λI) = det(P−1AP − λP−1P)

= det(P−1(A−λI)P) = det(P−1) det(A−λI) det(P) = PA(t).

Cho ma trận chéo

    2 0 0 2n 0 0

    A =

; An =

0 3 0 0 3n 0         0 0 5 0 0 5n

Ta tìm một cơ sở F để MTT/F = B là ma trận chéo.

Khi đó, MTT/E = A = PBP−1

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

suy ra An = (PBP−1)n = PBnP−1.

Nhận xét 4.7

Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng của phép biến đổi tuyến

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

62 / 66

tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.

  2n 0 0

  0 3n 0     0 0 5n

Ta tìm một cơ sở F để MTT/F = B là ma trận chéo.

Khi đó, MTT/E = A = PBP−1

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

suy ra An = (PBP−1)n = PBnP−1.

Nhận xét 4.7

Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng của phép biến đổi tuyến

tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.

Cho ma trận chéo   2 0 0

; An =

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

62 / 66

A = 0 3 0       0 0 5

Khi đó, MTT/E = A = PBP−1

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

suy ra An = (PBP−1)n = PBnP−1.

Nhận xét 4.7

Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng của phép biến đổi tuyến

tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.

Cho ma trận chéo     2 0 0

; An =

A = 0 3 0             0 0 5 2n 0 0 0 3n 0 0 5n 0

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

62 / 66

Ta tìm một cơ sở F để MTT/F = B là ma trận chéo.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

suy ra An = (PBP−1)n = PBnP−1.

Nhận xét 4.7

Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng của phép biến đổi tuyến

tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.

Cho ma trận chéo     2 0 0

; An =

A = 0 3 0             0 0 5 2n 0 0 0 3n 0 0 5n 0

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

62 / 66

Ta tìm một cơ sở F để MTT/F = B là ma trận chéo. Khi đó, MTT/E = A = PBP−1

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Nhận xét 4.7

Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng của phép biến đổi tuyến

tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.

Cho ma trận chéo     2 0 0

; An =

A = 0 3 0             0 0 5 2n 0 0 0 3n 0 0 5n 0

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

62 / 66

Ta tìm một cơ sở F để MTT/F = B là ma trận chéo. Khi đó, MTT/E = A = PBP−1 suy ra An = (PBP−1)n = PBnP−1.

Bài 4: Trị riêng và vector riêng

Bài tập

Cho phép biến đổi

T : R3 → R3; T(x, y, z) = (x + y − 2z, −2x + 2y + 2z, y − z)

1 Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính

2 Tìm ma trận của T đối với cơ sở chính tắc

3 Tìm cơ sở, số chiều của ImT và KerT

4 Tìm trị riêng và vector riêng của T

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

63 / 66

Định lý 5.2

Cho dim(V) = n và Axtt T : V → V. Khi đó,

Nếu T có n trị riêng phân biệt thì n vector riêng ứng với

n trị riêng trên là một cơ sở R của V và MTT/R là ma

Chéo hóa ma trận

trận chéo.

Chéo hóa ma trận

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

64 / 66

Định lý 5.1 Nếu v1, v2, . . . , vn là n vector riêng ứng với n trị riêng phân biệt λ1, λ2, . . . , λn của Axtt T thì v1, v2, . . . , vn là đltt.

Chéo hóa ma trận

Định lý 5.1 Nếu v1, v2, . . . , vn là n vector riêng ứng với n trị riêng phân biệt λ1, λ2, . . . , λn của Axtt T thì v1, v2, . . . , vn là đltt.

Định lý 5.2 Cho dim(V) = n và Axtt T : V → V. Khi đó,

Nếu T có n trị riêng phân biệt thì n vector riêng ứng với

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

64 / 66

n trị riêng trên là một cơ sở R của V và MTT/R là ma trận chéo.

Đáp số: PA(t) = (λ + 2)2(4 − λ);

Chéo hóa ma trận

v1 = (1, 1, 0); v2 = (1, 0, −1); v3 = (1, 1, 2)

Bài tập

Cho Axtt T : R3 → R3 có

  1 −3 3

3 −5 3 MTT/CT =       6 −6 4

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

65 / 66

Tìm cơ sở E để MTT/E là ma trận chéo.

Chéo hóa ma trận

v1 = (1, 1, 0); v2 = (1, 0, −1); v3 = (1, 1, 2)

Bài tập

Cho Axtt T : R3 → R3 có

  1 −3 3

3 −5 3 MTT/CT =       6 −6 4

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

65 / 66

Tìm cơ sở E để MTT/E là ma trận chéo. Đáp số: PA(t) = (λ + 2)2(4 − λ);

Chéo hóa ma trận

Bài tập

Cho Axtt T : R3 → R3 có

  1 −3 3

3 −5 3 MTT/CT =       6 −6 4

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

65 / 66

Tìm cơ sở E để MTT/E là ma trận chéo. Đáp số: PA(t) = (λ + 2)2(4 − λ); v1 = (1, 1, 0); v2 = (1, 0, −1); v3 = (1, 1, 2)

Chéo hóa ma trận

bài tập

Tính An, biết   3 1 −1

Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN)

Ánh xạ tuyến tính

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011

66 / 66

A = 1 1 1       1 1 1

Bài giảng Ánh xạ tuyến tính - Phan Đức Tuấn