Bài giảng Chương 3: Không gian Rn

Chia sẻ: Đặng Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

295
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn tham khảo Bài giảng Chương 3: Không gian Rn sau đây để nắm bắt được những kiến thức khái niệm về không gian Rn; độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính; cơ sở của Rn; tọa độ vector trong cơ sở; ma trận chuyển cơ sở.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 3: Không gian Rn

Chương 3. Không gian Rn n CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN R 1. Các khái niệm về không gian Rn 2. Độc lập tuyến tính- Phụ thuộc tuyến tính n 3. Cơ sở của R 4. Tọa độ vector trong cơ sở 5. Ma trận chuyển cơ sở ---------------------------------------- 1
Chương 3. Không gian Rn n 1. Các khái niệm về không gian R 1.1. Định nghĩa • Với ℝ là tập các số thực, ta định nghĩa ℝ = {(x1, x2 ) | x1, x2 ∈ ℝ }, 2 ℝ = {(x1, x2 , x 3 ) | x1, x2 , x 3 ∈ ℝ }, 3 n ℝ = {(x1, x2 ,..., xn ) | x1, x2 ,..., xn ∈ ℝ }. 2
Chương 3. Không gian Rn n • Trên tập ℝ , ta định nghĩa 2 phép toán: Phép cộng: (x1,..., xn ) + (y1,...,yn ) = (x1 + y1,..., xn + yn ). Phép nhân vô hướng: λ (x1,..., xn ) = (λx1,..., λxn ), λ ∈ ℝ . 3
Chương 3. Không gian Rn n • Trên tập ℝ , ta định nghĩa sự bằng nhau:  x = y ,   1 1 x ,..., x = y ,..., y ⇔  ( 1 n ) ( 1 n ) ..........  xn = yn .   4
Chương 3. Không gian Rn 1.2. Mệnh đề. Tập hợp ℝn cùng với các phép toán trên thỏa 8 tính chất sau: x +y = y +x . (x + y ) + z = x + (y + z). ∃ θ ∈ ℝ n , ∀x ∈ ℝ n : x + θ = x . ∀x ∈ ℝ n , ∃x ∈ ℝ n : x + x = θ . n ∀x, y ∈ ℝ , ∀k ∈ ℝ : k (x + y ) = kx + ky . 5
Chương 3. Không gian Rn n ∀x ∈ ℝ , ∀k,t ∈ ℝ : (k + t )x = kx + tx . n ∀x ∈ ℝ , ∀k,t ∈ ℝ : (kt )x = k (tx ). ∀x ∈ ℝn , 1.x = x . 6
Chương 3. Không gian Rn • Tập hợp ℝn cùng với các phép toán thỏa 8 tính chất như trên được gọi là một không gian vector. n • Mỗi phần tử của ℝ được gọi là một vector. • θ được gọi là vector không, x được gọi là vector đối của vector x . 7
Chương 3. Không gian Rn 1.3. Định nghĩa (Không gian con) • Cho ∅ ≠W ⊂ ℝn . Ta nói W là không gian con của n ℝ nếu: a) ∀x, y ∈W ⇒ (x + y ) ∈W ; b) ∀x ∈W , ∀λ ∈ ℝ ⇒ (λx ) ∈W . 8
Chương 3. Không gian Rn VD 1. Chứng minh các tập sau là không gian con của 3 ℝ : a) W = {(a, 0, 0) | a ∈ ℝ}. b) W = {(x1, x2 , x 3 ) | x1 + x2 + x 3 = 0}. 9
Chương 3. Không gian Rn VD 2. Chứng minh tập hợp W = {(a,1,1,1) | a ∈ ℝ } 4 không phải là không gian con của ℝ . Mệnh đề. Tập W ⊂ ℝn là không gian vector con của n ℝ nếu và chỉ nếu λx + y ∈W , ∀x, y ∈W , ∀λ ∈ ℝ . 10
Chương 3. Không gian Rn 2. Độc lập tuyến tính- phụ thuộc tuyến tính • Trong ℝn , cho các vector u1, u2 ,..., um . Vector u = λ1u1 + λ2 u2 + ... + λm um được gọi là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2 ,..., um . n Bài toán: Trong ℝ , cho các vector u1, u2 ,..., um và vector u . Khi nào u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2 ,..., um ? 11
Chương 3. Không gian Rn 3 VD 3. Trong ℝ cho các vector: u = (2, −3, 3), u1 = (1, −2, 3), u2 = (0,1, −3). Hỏi u có phải là tổ hợp tuyến tính của u1, u2 không ? 12
Chương 3. Không gian Rn 3 VD 4. Trong ℝ cho các vector: u = (1, m,1), u1 = (1,1, 0), u2 = (2,1,1), u3 = (3, 2,1). Tìm m để u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2 , u3 ? Đáp số: m = 0 . 13
Chương 3. Không gian Rn • Trong ℝn , cho tập S = {u1, u2 ,..., um }. Ta nói S là tập độc lập tuyến tính nếu λ1u1 + ... + λm um = θ ⇒ λ1 = λ2 = ... = λm = 0 . Ngược lại, ta nói S là tập phụ thuộc tuyến tính. 14
Chương 3. Không gian Rn VD 5. Trong ℝ 3 , hãy xét tính độc lập tuyến tính của hệ các vector sau: a) S1 = {u1 = (1,1, 0), u2 = (1, 0,1), u3 = (0,1,1)}. b) S2 = {v1 = (1, −2,1), v2 = (2,1, −1), v3 = (7, −4,1)} . 15
Chương 3. Không gian Rn Mệnh đề. Tập S = {u1, u2 ,..., um } là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một vector trong S là tổ hợp tuyến tính của (n − 1) vector còn lại. Điều này có nghĩa là tồn tại một u j ∈ S sao cho u j = λ1u1 + ... + λj −1u j −1 + λj +1u j +1 + ... + λmum . 16
Chương 3. Không gian Rn Hệ quả. Hệ vector S có chứa vector không thì bao giờ cũng phụ thuộc tuyến tính. Nếu S là tập phụ thuộc tuyến tính và F ⊂ S thì F cũng phụ thuộc tuyến tính. 17
Chương 3. Không gian Rn n • Trong ℝ , cho hệ vector S = {u1, u2 ,..., um }, với ui = (ai 1,ai 2 ,...,ain ), i = 1, 2,..., m . Ma trận A = (aij ) được gọi là ma trận dòng của m×n hệ các vector S . 18
Chương 3. Không gian Rn VD 6. Ma trận dòng của hệ vector S = {u1 = (1,1, 0), u2 = (1, 0,1), u3 = (0,1,1)} là 1 1 0    A = 1 0 1.    0 1 1 19
Chương 3. Không gian Rn Mệnh đề. Cho hệ vector S = {u1, u2 ,..., um } có ma trận dòng là A . Khi đó, S độc lập tuyến tính ⇔ r (A ) = m ; S phụ thuộc tuyến tính ⇔ r (A ) < m . n Hệ quả. Cho hệ vector S = {u1, u2 ,..., un } ⊂ ℝ có ma trận dòng là A . Khi đó, S độc lập tuyến tính ⇔ det A ≠ 0 . 20