Bài giảng Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

254
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân giới thiệu tới các bạn những nội dung về tính gần đúng đạo hàm (TH bảng chỉ có 2 điểm nút, TH bảng có 3 điểm nút cách đều); tính gần đúng tích phân (công thức hình thang, công thức Sympson).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Chöông 5 TÍNH GAÀN ÑUÙNG ÑAÏO HAØM VAØ TÍCH PHAÂN
I. TÍNH GAÀN ÑUÙNG ÑAÏO HAØM : Cho haøm y = f(x) vaø baûng soá x xo x1 x2 ... xn y yo y1 y2 ... yn Ñeå tính gaàn ñuùng ñaïo haøm, ta xaáp xæ haøm baèng ña thöùc noäi suy Lagrange Ln(x) Ta coù f / ( x )  L/n ( x ) f / / ( x )  L/n/ ( x )
1. TH baûng chæ coù 2 ñieåm nuùt : x x0 x1 h = x1- x0 y0 = f(x0) y y0 y1 y1 = f(x1) = f(x0+h) Ña thöùc noäi suy Lagrange ( x  x1 ) ( x  x0 ) Ln ( x )  y0  y1 ( x 0  x1 ) ( x1  x 0 ) ( x  x0 ) ( x  x1 )  y1  y0 h h Do ñoù vôùi moïi x  [x0, x1] ta coù y1  y0 f ( x0  h)  f ( x0 ) f '( x )   h h
 Coâng thöùc sai phaân tieán : f ( x 0  h)  f ( x 0 ) f '( x0 )  h  Coâng thöùc sai phaân luøi : y1  y0 f '( x1 )  h Thay x1 baèng x0 f ( x 0 )  f ( x 0  h) f '( x0 )  h
 Coâng thöùc sai soá : M2 h  vôù i M2  max | f "( x ) | 2 x[ x0 , x1 ]  Ví duï : Cho haøm f(x) = ln x. Tính Xaáp xæ f’(1.8) vaø sai soá vôùi h = 0.1, 0.01, 0.001 giaûi f (1.8  h)  f (1.8) Ta coù f '(1.8)  h 1 1 f "( x )   2  M2  max | f "( x ) | 2 x 1.8 Sai soá h  2(1.8)2
h f’(1.8)  0.1 0.540672212 0.016 0.01 0.554018037 0.16x10-2 0.001 0.555401292 0.16x10-3 2. TH baûng coù 3 ñieåm nuùt caùch ñeàu : h = x2 - x1 = x1 - x0 x x0 x1 x2 y0 = f(x0) y y0 y1 y2 y1 = f(x1) = f(x0+h) y2 = f(x2) = f(x0+2h)
Ña thöùc noäi suy Lagrange ( x  x1 )(x  x2 ) (x  x0 )( x  x2 ) (x  x0 )( x  x1 ) Ln (x)  y0  y1  y2 (x0  x1 )(x0  x2 ) ( x1  x0 )( x1  x2 ) (x2  x0 )( x2  x1) (x  x0 )( x  x1 ) ( x  x0 )(x  x2 ) (x  x1)( x  x2 )  2 y2  2 y1  2 y0 2h h 2h Do ñoù vôùi moïi x  [x0, x2] ta coù ( x  x0 ) ( x  x1 ) ( x  x2 ) f '( x )  2 ( y2  2 y1 )  2 ( y2  y0 )  2 ( y0  2 y1 ) 2h 2h 2h ( y2  2 y1  y0 ) f "( x )  h2
Suy ra ñaïo haøm caáp 1 (  3 y 0  4 y1  y 2 ) f '( x 0 )  2h ( y2  y0 ) f '( x 1 )  2h ( y 0  4 y1  3 y 2 ) f '( x 2 )  2h Coâng thöùc thöù 1 goïi laø coâng thöùc sai phaân tieán 3 f ( x0 )  4 f ( x0  h)  f ( x0  2h) f '( x 0 )  2h
Coâng thöùc thöù 2 goïi laø coâng thöùc sai phaân höôùng taâm thöôøng vieát döôùi daïng (thay x1 = x0) f (x0  h)  f (x0  h) f '( x 0 )  2h Coâng thöùc thöù 3 goïi laø coâng thöùc sai phaân luøi thöôøng vieát döôùi daïng (thay x2 = x0) f (x0  2h)  4 f (x0  h)  3 f (x0 ) f '( x 0 )  2h  Coâng thöùc sai soá : M3 h 2  vôù i M3  max | f "'( x ) | 6 x[ x0 , x2 ]
ñaïo haøm caáp 2 ( y 2  2 y1  y 0 ) f ''( x 1 )  h2 Thay x1 = x0 ta ñöôïc f (x0  h)  2 f (x0 )  f (x0  h) f ''( x 0 )  h2  Coâng thöùc sai soá : M4 h 2  vôù i M4  max | f (4) ( x ) | 12 x[ x0 , x2 ]
 Ví duï : Cho haøm f(x) = ln x – 2/x3. a. Duøng coâng thöùc sai phaân höôùng taâm, tính xaáp xæ f’(3) vôùi h = 0.1, 0.01, 0.001 b. Tính xaáp xæ f”(3) vôùi h = 0.1, 0.01, 0.001 giaûi f (3  h )  f (3  h ) f '(3)  2h h f’(3) 0.1 0.407805936 0.01 0.407411385 0.001 0.407407442
f (3  h )  2 f (3)  f (3  h ) f ''(3)  h2 h f’’(3) 0.1 -0.210213236 0.01 -0.20987991 0.001 -0.2098756
II. TÍNH GAÀN ÑUÙNG TÍCH PHAÂN : Cho haøm f(x) xaùc ñònh vaø khaû tích treân [a,b]. Ta caàn tính gaàn ñuùng tích phaân : b I   f ( x ) dx a Ta phaân hoaïch ñoaïn [a,b] thaønh n ñoaïn baèng nhau vôùi böôùc h = (b-a)/n xo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b Xaáp xæ f(x) baèng ña thöùc noäi suy Lagrange
Ña thöùc Lagrange trong TH caùc ñieåm caùch ñeàu n (  1) n  k L n ( x )  q ( q  1)...( q  n ) yk k 0 k !( n  k )!( q  k ) xa vôù i q  h b n b n k (1) q(q  1)...(q  n) I   Ln ( x )dx   yk dx a k 0 a k !(n  k )!(q  k ) n n (1)n  k q(q  1)...(q  n) (b  a)   dq yk k 0 0 k !(n  k )!(q  k ) n
n I  I *  (b  a) H k yk k 0 n (1)n k q(q  1)...(q  n) vôù i H k   dq n k !(n  k )! 0 (q  k ) Coâng thöùc treân goïi laø coâng thöùc Newton-cotes, caùc heä soá Hk goïi laø caùc heä soá cotes. Heä soá cotes coù caùc tính chaát sau : n H k 0 k 1 H n k  H k k  0, n
 Coâng thöùc sai soá :  Mn1hn2 n   | q(q 1)...(q  n) | dq vôù i n leû  (n 1)! 0  | I  I *|  n3 n M  n2 h 2  (n  2)!  (q 1)...(q  n) | dq vôù i n chaü n | q  0 Mn1  max | f (n1) (x) | vaø Mn2  max | f (n2) (x) | x[a,b] x[a,b]
1. Coâng thöùc hình thang : Xeùt n = 1, ta coù h= b-a I  (b-a)(Hoyo + H1y1) 1 1 1 H 0    (q  1)dq   H1  H 0  0 2 2 ( b  a) (b  a ) Vaäy I ( y0  y1 )  ( f (a)  f (b)) 2 2  Coâng thöùc sai soá : M2 h 3 1 M2 h3   | q(q  1) | dq  2! 0 12
 Coâng thöùc hình thang môû roäng : Ta phaân hoaïch ñoaïn [a,b] thaønh n ñoaïn baèng nhau [x0, x1], [x1, x2], ... , [xn-1, xn]. Ta coù x1 x2 xn I  f ( x )dx   f ( x )dx  ...   f ( x )dx x0 x1 xn1 (x1  x0 ) (x2  x1) (xn  xn1)  (y0  y1)  (y1  y2 ) ... (yn1  yn ) 2 2 2 h h h  (y0  y1)  (y1  y2 ) ... (yn1  yn ) 2 2 2
Vaäy h I  (y0  2y1 ... 2yn1  yn ) 2  Coâng thöùc sai soá : M2 h3 M2 h 2 n  ( b  a) 12 12
2. Coâng thöùc Simpson : Xeùt n = 2, ta coù h = (b-a)/2 I  (b-a)(Hoyo + H1y1+H2y2) 1 1 1 H 0   (q  1)(q  2)dq  40 6 1 H2  H0  6 2 H 0  H1  H 2  1  H1  3 (b  a) Vaäy I ( y0  4 y1  y2 ) 6