YOMEDIA
Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Tính gần đúng - Đạo hàm và tích phân
Chia sẻ: Minh Nhật
| Ngày:
| Loại File: PDF
| Số trang:24
62
lượt xem
5
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân” cung cấp cho người học các kiến thức: Tính gần đúng đạo hàm, tính gần đúng tích phân. Bài giảng hữu ích với các bạn chuyên ngành Toán học và những bạn quan tâm tới lĩnh vực này.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Tính gần đúng - Đạo hàm và tích phân
- Chương 5
TÍNH GẦN ĐÚNG
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
- I. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM :
Cho hàm y = f(x) và bảng số
x xo x1 x2 ... xn
y yo y1 y2 ... yn
Để tính gần đúng đạo hàm, ta xấp xỉ hàm bằng
đa thức nội suy Lagrange Ln(x) (hay đa thức
nội suy Newton)
Ta có
- 1. TH bảng chỉ có 2 điểm nút :
x x0 x1 Đặt h = x1- x0
y y0 y1
Đa thức nội suy Lagrange
Suy ra công thức đạo hàm cho 2 điểm :
- ❖ Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x. Tính xấp xỉ
f’(1.8) với h = 0.1, 0.01, 0.001
giải
Ta có
h f’(1.8)
0.1 0.540672212
0.01 0.554018037
0.001 0.555401292
f’(1.8) = 0.555555555
- 2. TH bảng có 3 điểm nút cách đều :
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
h = x2 - x1 = x1 - x0
Đa thức nội suy Lagrange
- Do đó với mọi x ∈ [x0, x2] ta có
Suy ra đạo hàm cấp 1
- Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiến
Công thức thứ 2 gọi là công thức sai phân hướng
tâm thường viết dưới dạng (thay x1 = x0)
- Công thức thứ 3 gọi là công thức sai phân lùi
thường viết dưới dạng (thay x2 = x0)
đạo hàm cấp 2
Thay x1 = x0 ta được
- ❖ Ví dụ : Cho hàm
a. Dùng công thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ
f’(1.25) với h = 0.01
b. Tính xấp xỉ f”(1.25) với h = 0.01
giải
-0.320416958
So với kết quả chính xác
f’(1.25)= -0.320422170423379
- -0.526643001
So với kết quả chính xác
f”(1.25) = -0.526640385697715
- Bài tập : Cho hàm f và bảng số cách đều
x 1.2 1.4 1.6 1.8
y 2.32 2.53 2.77 2.89
Xấp xỉ f bằng đa thức Newton tiến, tính gần đúng f’(1.25)
Giải : Ta lập bảng các sai phân hữu hạn
xk f(xk) Δyk Δ2yk Δ3yk
1.2 2.32
0.21 Newton tiến
1.4 2.53 0.03
0.24 -0.15
1.6 2.77 -0.12
0.12
Newton lùi
1.8 2.89
- II. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN :
Cho hàm f(x) xác định và khả tích trên [a,b]. Ta
cần tính gần đúng tích phân :
Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng
nhau với bước h = (b-a)/n
xo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b
- 1. Công thức hình thang mở rộng :
❖ Công thức sai số :
- 2. Công thức Simpson mở rộng:
❖ Công thức sai số :
Chú ý : với công thức simpson n phải là số chẵn
- ❖ Ví dụ : Tính gần đúng tích phân
a. Dùng công thức hình thang mở rộng với n = 5
b. Dùng công thức Simpson mở rộng với n = 8
- giải
a. h=0.2, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=5 đoạn
bằng nhau
x0 = 0 < x1 = 0.2 < x2 = 0.4 < x3 = 0.6 < x4 = 0.8 < x5 = 1
Công thức hình thang
= 0.945078781
- b. h=0.125, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=8 đoạn
bằng nhau
x0 = 0 < x1 = 0.125 < x2 = 0.25 < x3 = 0.375 < x4 = 0.5
x5 = 0.625 < x6 = 0.75 < x7 = 0.875 < x8 =1
Công thức Simpson
= 0.94608331
- ❖ Ví dụ : Dùng phương pháp simpson tính gần
đúng tích phân
với f cho bới bảng số
x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
f(x) 0.68 0.95 1.16 2.25 3.46 5.57 6.14
- giải
Công thức Simpson
x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
y 2.9584 4.3730 5.8358 14.65 30.9609 76.3038 98.6471
I = 37.1004
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
LAVA
ERROR:connection to 10.20.1.98:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.98:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
Đang xử lý...
Thêm vào BST
Báo xấu
