Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân thường - Nguyễn Thị Cẩm Vân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân thường, cung cấp những kiến thức như bài toán cauchy; hệ phương trình vi phân; bài toán biên tuyến tính cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân thường - Nguyễn Thị Cẩm Vân

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ Nguyễn Thị Cẩm Vân Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Ngày 12 tháng 2 năm 2018 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 1 / 45
NỘI DUNG 1 BÀI TOÁN CAUCHY Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 2 / 45
NỘI DUNG 1 BÀI TOÁN CAUCHY 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 2 / 45
NỘI DUNG 1 BÀI TOÁN CAUCHY 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3 BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH CẤP 2 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 2 / 45
Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình vi phân. Bài toán đơn giản nhất là bài toán Cauchy Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 3 / 45
Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình vi phân. Bài toán đơn giản nhất là bài toán Cauchy y (x) = f (x, y(x)), a x b, (1) y(a) = y 0 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 3 / 45
Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình vi phân. Bài toán đơn giản nhất là bài toán Cauchy y (x) = f (x, y(x)), a x b, (1) y(a) = y 0 với y = y(x) là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn [a, b], y 0 là giá trị ban đầu cho trước của y(x) tại x = a. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 3 / 45
Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm được nghiệm đúng của một số phương trình đơn giản, còn đối với trường hợp f (x, y) có dạng bất kỳ thì nói chung không có phương pháp giải. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 4 / 45
Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm được nghiệm đúng của một số phương trình đơn giản, còn đối với trường hợp f (x, y) có dạng bất kỳ thì nói chung không có phương pháp giải. Ngoài ra, trong những trường hợp có thể tìm ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy (1) quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 4 / 45
Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm được nghiệm đúng của một số phương trình đơn giản, còn đối với trường hợp f (x, y) có dạng bất kỳ thì nói chung không có phương pháp giải. Ngoài ra, trong những trường hợp có thể tìm ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy (1) quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng. Vì vậy, việc tìm những phương pháp giải gần đúng bài toán Cauchy có vai trò rất quan trọng trong thực tế. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 4 / 45
Bài toán Cauchy Công thức Euler Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng b−a nhau với h = . Khi đó các điểm chia là n x 0 = a, x k = x 0 + kh, k = 0, 1, 2, . . . , n, x n = b. Giá trị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm x k được ký hiệu là y k và ta có y k ≈ y(x k ) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 5 / 45
Bài toán Cauchy Công thức Euler Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng b−a nhau với h = . Khi đó các điểm chia là n x 0 = a, x k = x 0 + kh, k = 0, 1, 2, . . . , n, x n = b. Giá trị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm x k được ký hiệu là y k và ta có y k ≈ y(x k ) Giả sử y(x) là nghiệm duy nhất của bài toán (1), có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên đoạn [a, b]. Với mỗi k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 theo công thức Taylor trên đoạn [x k , x k+1], ta có Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 5 / 45
Bài toán Cauchy Công thức Euler y(x k+1 ) = (x k+1 − x k )2 y(x k ) + y (x k )(x k+1 − x k ) + y (ξk ) , với 2 ξk ∈ (x k , x k+1 ). Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 6 / 45
Bài toán Cauchy Công thức Euler y(x k+1 ) = (x k+1 − x k )2 y(x k ) + y (x k )(x k+1 − x k ) + y (ξk ) , với 2 ξk ∈ (x k , x k+1 ). Vì y = y(x) là nghiệm của phương trình (1) và h = x k+1 − x k nên ta có h2 y(x k+1 ) = y(x k ) + h. f (x k , y k ) + y (ξk ) 2 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 6 / 45
Bài toán Cauchy Công thức Euler y(x k+1 ) = (x k+1 − x k )2 y(x k ) + y (x k )(x k+1 − x k ) + y (ξk ) , với 2 ξk ∈ (x k , x k+1 ). Vì y = y(x) là nghiệm của phương trình (1) và h = x k+1 − x k nên ta có h2 y(x k+1 ) = y(x k ) + h. f (x k , y k ) + y (ξk ) 2 Bỏ đi phần dư và thay các giá trị gần đúng của hàm tại các điểm nút, ta được công thức Euler y(x k+1 ) ≈ y k+1 = y k +h f (x k , y k ), k = 0, 1, 2, . . . , n−1. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 6 / 45
Bài toán Cauchy Công thức Euler Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA PHƯƠNG PHÁP EULER Ý nghĩa hình học của công thức Euler là từ điểm (x k , y k ) thuộc đường cong y = y(x), kẻ tiếp tuyến với đường cong. Đường tiếp tuyến sẽ cắt x = x k+1 tại y k+1 chính là giá trị gần đúng của hàm tại x = x k Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 7 / 45
Bài toán Cauchy Công thức Euler VÍ DỤ 1.1 Sử dụng phương pháp Euler để xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy y (x) = y − x 2 + 1, 0 x 2, y(0) = 0.5 với n = 10. Tại những điểm nút chia so sánh giá trị gần đúng với giá trị chính xác, biết nghiệm chính xác của bài toán là y(x) = (x + 1)2 − 0.5e x . Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 8 / 45
Bài toán Cauchy Công thức Euler Giải. 2−0 Với n = 10 thì h = = 0.2, x k = 0.2k, y 0 = 0.5. 10 Công thức tính nghiệm gần đúng là 2 y k+1 = y k + h(y k − x k + 1) với k = 0, 1, . . . , 9. Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 9 / 45
Bài toán Cauchy Công thức Euler Giải. 2−0 Với n = 10 thì h = = 0.2, x k = 0.2k, y 0 = 0.5. 10 Công thức tính nghiệm gần đúng là 2 y k+1 = y k + h(y k − x k + 1) với k = 0, 1, . . . , 9. Bấm máy. Y = Y + 0.2(Y − X 2 + 1) : X = X + 0.2 1 CALC Y = 0.5 =, X = 0 = 2 Y =, X = 0.2 = Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 9 / 45
Bài toán Cauchy Công thức Euler k xk yk y(x k ) |y(x k ) − y k | 0 0.0 0.5000000 0.5000000 0.0000000 1 0.2 0.8000000 0.8292986 0.0292986 2 0.4 1.1520000 1.2140877 0.0620877 3 0.6 1.5504000 1.6489406 0.0985406 4 0.8 1.9884800 2.1272295 0.1387495 5 1.0 2.4581760 2.6408591 0.1826831 6 1.2 2.9498112 3.1799415 0.2301303 7 1.4 3.4517734 3.7324000 0.2806266 8 1.6 3.9501281 4.2834838 0.3333557 9 1.8 4.4281538 4.8151763 0.3870225 10 2.0 4.8657845 5.3054720 0.4396874 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 10 / 45