Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân - Đậu Thế Phiệt

Chia sẻ: Nguyen Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

72
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân do Đậu Thế Phiệt biên soạn cung cấp cho người học các kiến thức về bài toán Cauchy, hệ phương trình vi phân, bài toán biên tuyến tính cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân - Đậu Thế Phiệt

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài giảng điện tử Ngày 6 tháng 12 năm 2016 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 1 / 54
The motion of a swinging pendulum under certain simplifying assumptions is described by the second-order differential equation d2θ g + sin θ = 0, Ta xét bài toán cơ bản về dao động dt của con lắc đơn L 2 L θ where L is the length of the pendulum, g ≈ 32.17 ft/s2 is the gravitational constant of the earth, and θ is the angle the pendulum makes with the vertical. If, in addition, we specify xác định bởi phương trình the position vi phân of the pendulum when thebậc haiθ(t ) = θ , and its velocity at that motion begins, 0 0 point, θ ′ (t0 ) = θ0′ , we have what is called an initial-value problem. For small values of θ, the approximation θ ≈ sin θ can be used to simplify this problem to the linear initial-value problem d 2θ g d2θ g+ θ(t sin + θ = 0, θ=0 ′ ′ dt 2 dt 2 L L ) = θ , θ (t ) = θ . 0 0 0 0 This problem can be solved by a standard differential-equation technique. For larger values of θ, the assumption that θ = sin θ is not reasonable so approximation methods must be used. A problem of this type is considered in Exercise 8 of Section 5.9. với L là chiều dài con lắc, g là hằng số hấp dẫn của trái đất, θ là góc tạo Any textbook on ordinary differential equations details a number of methods for ex- plicitly finding solutions to first-order initial-value problems. In practice, however, few of bởi con lắc và trục thẳng đứng. the problems originating from the study of physical phenomena can be solved exactly. 259 Ta xét vị trí ban đầu của con lắc khi bắt đầu dao động là θ(t0 ) = θ0 và vận tốc ban đầu tại điểm này là θ0 (t0 ) = θ00 , ta có bài toán giá trị đầu. Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it. ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 2 / 54
Với giá trị θ nhỏ, ta xấp xỉ θ ≈ sin θ, khi đó bài toán trở thành tuyến tính d 2θ g + θ = 0, θ(t0 ) = θ0 , θ0 (t0 ) = θ00 dt 2 L Bài toán này có thể giải bằng các phương pháp quen thuộc. Tuy nhiên với giá trị θ lớn, ta không thể giả thiết θ = sin θ. Để tìm nghiệm cho bài toán này, ta cần sử dụng các phương pháp xấp xỉ nghiệm. ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 3 / 54
Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Bài toán Cauchy Ta xét bài toán giá trị đầu bậc nhất, bài toán Cauchy, 0 y (t) = f (t, y (t)), a 6 t 6 b, (1) y (a) = α với y = y (t) là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn [a, b], y0 là giá trị ban đầu cho trước của y (t) tại t = a. ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 4 / 54
Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm được nghiệm đúng của một số phương trình đơn giản, còn đối với trường hợp f (x, y ) có dạng bất kỳ thì nói chung không có phương pháp giải. Ngoài ra, trong những trường hợp có thể tìm ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy (1) quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng. Vì vậy, việc tìm những phương pháp giải gần đúng bài toán Cauchy có vai trò rất quan trọng trong thực tế. ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 5 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler Công thức Euler Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với b−a h= . n Khi đó các điểm nút là t0 = a, tk = t0 + kh, k = 0, 1, 2, . . . , n, tn = b. Giả sử y (t) là nghiệm duy nhất của bài toán (1), có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó với mỗi k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 theo công thức khai triển Taylor trên đoạn [tk , tk+1 ], ta có (tk+1 − tk )2 y (tk+1 ) = y (tk ) + y 0 (tk )(tk+1 − tk ) + y 00 (ξk ) , 2 với ξk ∈ (tk , tk+1 ). ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 6 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler Vì y = y (t) là nghiệm của phương trình (1) và h = tk+1 − tk nên ta có h2 00 y (tk+1 ) = y (tk ) + h.f (tk , yk ) + y (ξk ) 2 Bằng cách bỏ đi phần dư, ta xấp xỉ yk ≈ y (tk ) với k = 1, 2, . . . n, ta có công thức Euler y0 = α yk+1 ≈ yk + hf (tk , yk ), với k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 7 / 54
2 y(t 2) Bài toán Cauchy Công thức Euler y(t 1) y(t 1) y(t 0) ! α y(t 0) ! α Ý nghĩa hình học của phương t ! a t t pháp t a! bEuler . . t. ! t tt . . . 0 1 2 0 N 1 2 tN ! b t e 5.3 y Figure 5.3 y Figure 5.4 y Figure 5.4 y y" ! f (t, y), y" ! f (t, y), y" ! f (t, y), y" ! f (t, y), y(b) !α y(a)y(b) y(a) ! α wN y(a) ! α y(a) ! α wN Slope y"(a) ! f (a, α)Slope y"(a) ! f (a, α) w2 w2 w1 w1 w1 w1 α α α α t0 ! a t1 t2 t N a! bt 1 . . .t 0 ! t2 t . . . tN ! b t t0 ! a t1 t2 t N a! bt 1 . . t. 0 ! t2 t . . . tN ! b t Từ (t0 , y0 ) = (a, α) thuộc đường cong y = y (t), kẻ tiếp tuyến với đường Example 1 Euler’s method1 wasEuler’s Example used 0inmethod the first illustration with h = 0.5 to approximate with h = 0.5 the solution cong (cóto hệ số góc the initial-value (a) =wasfproblem làtheyinitial-value problem to used in the (a, α)). first illustration Đường tiếp tuyến tosẽapproximate cắt t =thetsolution 1 tại y1 chính là giá trị gần đúng của y (t 1 ). y′ = y − t 2 + 1, 0′ ≤ t ≤ 2,2 y(0) 1, = 0.5. Tại (t1 , y1 ), ta kẻ đường thẳng vớiy =hệy −sốt +góc 0≤ f (tt 1≤, 2,y1 )y(0) cắt= 0.5. t = t2 tại y2 là giá trị gần đúng của Use Algorithm 5.1 UseyAlgorithm with (t N 2=). 10 to5.1 determine with N = approximations, 10 to determine and compare these and approximations, withcompare the these with the exact values given exact = (t + by y(t)values 1)2 − given by0.5e t y(t) .= (t + 1)2 − 0.5et . ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Solution With N =Solution 10 we have == Withh N 0.2, = have 10tiwe h 0==0.2, 0.2i, w 0.5,ti and = 0.2i, w0 = 0.5, and PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 8 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler Ví dụ Sử dụng phương pháp Euler để xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy 0 y (x) = y − t 2 + 1, 0 6 t 6 2, y (0) = 0.5 với n = 10. Tại những điểm nút chia so sánh giá trị gần đúng với giá trị chính xác, biết nghiệm chính xác của bài toán là y (t) = (t + 1)2 − 0.5e t . ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 9 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler Giải. 2−0 Với n = 10 thì h = = 0.2, tk = 0.2k, y0 = 0.5. 10 Công thức tính nghiệm gần đúng là yk+1 = yk + h(yk − tk2 + 1) với k = 0, 1, . . . , 9. ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 10 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler Giải. 2−0 Với n = 10 thì h = = 0.2, tk = 0.2k, y0 = 0.5. 10 Công thức tính nghiệm gần đúng là yk+1 = yk + h(yk − tk2 + 1) với k = 0, 1, . . . , 9. Bấm máy. Y = Y + 0.2(Y − X 2 + 1) : X = X + 0.2 1 CALC Y = 0.5 =, X = 0 = 2 Y =, X = 0.2 = ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 10 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler k tk yk y (tk ) |y (tk ) − yk | 0 0.0 0.5000000 0.5000000 0.0000000 1 0.2 0.8000000 0.8292986 0.0292986 2 0.4 1.1520000 1.2140877 0.0620877 3 0.6 1.5504000 1.6489406 0.0985406 4 0.8 1.9884800 2.1272295 0.1387495 5 1.0 2.4581760 2.6408591 0.1826831 6 1.2 2.9498112 3.1799415 0.2301303 7 1.4 3.4517734 3.7324000 0.2806266 8 1.6 3.9501281 4.2834838 0.3333557 9 1.8 4.4281538 4.8151763 0.3870225 10 2.0 4.8657845 5.3054720 0.4396874 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 11 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler Sai số của công thức Euler Giả sử f là hàm liên tục và thỏa điều kiện |f (t, y1 ) − f (t, y2 )| ≤ L|y1 − y2 | với hằng số L > 0, và tồn tại M thỏa y 00 (t) ≤ M với t ∈ [a, b]. Khi đó với y (t) là nghiệm chính xác của bài toán giá trị đầu y 0 (t) = f (t, y ), a ≤ t ≤ b, y (a) = α và y0 , y1 , . . . , yn là nghiệm xấp xỉ của bài toán cho bởi công thức Euler, khi đó với mỗi k = 0, 1, . . . , n hM L(tk −a) |y (tk ) − yk | ≤ [e − 1] 2L ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 12 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler cải tiến Công thức Euler cải tiến f (tk , yk ) + f (tk+1 , yk+1 ) Trong công thức Euler, thay f (tk , yk ) bởi ta 2 được công thức Euler cải tiến f (tk , yk ) + f (tk+1 , yk+1 ) y (tk+1 ) ≈ yk+1 = yk + h , 2 với k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Việc tính toán theo công thức Euler cải tiến rất phức tạp vì cả 2 vế đều chứa yk+1 là ẩn cần tìm. Để đơn giản ta thay yk+1 ở vế phải bởi yk + hf (tk , yk ). ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 13 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler cải tiến Lúc này ta có công thức f (tk , yk ) + f (tk+1 , yk + hf (tk , yk )) y (xk+1 ) ≈ yk+1 = yk + h , 2 k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 14 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler cải tiến Ví dụ Sử dụng phương pháp Euler cải tiến để xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy 0 y (t) = y − t 2 + 1, 0 6 t 6 2, y (0) = 0.5 với n = 10. Tại những điểm nút chia so sánh giá trị gần đúng với giá trị chính xác, biết nghiệm chính xác của bài toán là y (t) = (t + 1)2 − 0.5e t . ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 15 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler cải tiến 2−0 Với n = 10 thì h = = 0.2, y0 = 0.5. Công thức tính nghiệm gần 10 đúng là f (tk , yk ) + f (tk+1 , yk + hf (tk , yk )) yk+1 = yk + h 2 với k = 0, 1, . . . , 9. Bấm máy. Y = Y + 0.1 × (Y − X 2 + 1 + Y + 0.2(Y − X 2 + 1) − (X + 0.2)2 + 1) : X = X + 0.2 1 CALC Y = 0.5 = X = 0 = 2 Y =, X = 0.2 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 16 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler cải tiến k tk yk y (tk ) |y (tk ) − yk | 0 0.0 0.5 0.5000000 0.0000000 1 0.2 0.826 0.8292986 0.0032986 2 0.4 1.20692 1.2140877 0.0071677 3 0.6 1.6372424 1.6489406 0.0116982 4 0.8 2.110235728 2.1272295 0.0169938 5 1.0 2.617687588 2.6408591 0.0231715 6 1.2 3.149578858 3.1799415 0.0303627 7 1.4 3.693686206 3.7324000 0.0387138 8 1.6 4.235097172 4.2834838 0.0483866 9 1.8 4.755618549 4.8151763 0.0595577 10 2.0 5.23305463 5.3054720 0.0724173 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 17 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Euler cải tiến Bài tập Sử dụng công thức Euler và công thức Euler cải tiến để xấp xỉ nghiệm của các bài toán sau 1 y 0 = te 3t − 2y , 0 ≤ t ≤ 1, y (0) = 0 với h = 0.5. 2 y 0 = cos 2t + sin 3t, 0 ≤ t ≤ 1, y (0) = 1 với h = 0.25 3 y 0 = 1 + y /t, 1 ≤ t ≤ 2, y (1) = 2 với h = 0.25. 1+t 4 y0 = , 1 ≤ t ≤ 2, y (1) = 2, với h = 0.25 1+y ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 18 / 54
Bài toán Cauchy Công thức Runge-Kutta Công thức Runge- Kutta bậc hai Xét khai triển Taylor bậc hai của y (t), ta có h2 00 h3 y (tk+1 ) = y (tk ) + hy 0 (tk ) + y (tk ) + y 000 (ξ) 2 3! h2 0 h3 = y (tk ) + hf (tk , y (tk )) + f (tk , y (tk )) + y 000 (ξ) 2 3! Ta lại có ∂f ∂f f 0 (tk , y (tk ) = (tk , y (tk ) + (tk , y (tk )).y 0 (tk ) ∂t ∂y và y 0 (tk ) = f (tk , y (tk )) h ∂f h ∂f y (tk+1 ) ≈ y (tk )+h f (tk , y (tk )) + (tk , y (tk )) + (tk , y (tk )).f (tk , y ( 2 ∂t 2 ∂y ng.com https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 19 / 54