Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân

Chia sẻ: Hứa Tung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân có nội dung trình bày về phương pháp Euler, phương pháp Euler cải tiến, công thức Runge-Kuta bậc 4, giải hệ phương trình vi phân cấp 1, giải phương trình vi phân cấp cao... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân

Chöông 5 :Giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân Cho phöông trình vi phaân caáp1 y ' ( x) = f ( x, y ( x)) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y ( x0 ) = y0 . Tính gaàn ñuùng giaù trò y (b) vôùi b baát kyø cho tröôùc 1) Phöông phaùp Euler : a)Noäi dung : Chia ñoaïn [ a , b] thaønh n phaàn ñeàu nhau , bôûi caùc ñieåm chia x0 = a < x1 = x0 + h < x2 = x0 + 2h < < ... < xn = b = a + nh Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 1
yi +1 = yi + k k = h f ( xi , yi ) (2) [ e L (b − a ) − 1] hM b) Sai soá : y gd (b) − yd (b) ≤ 2L ∂f L = Max ( x, y ) ∂y Ví duï : Phöông trình y ' ( x) = 1 + ( x − y ) 2 vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y (2) = 1 . Tính gaàn ñuùng nghieäm y (2.6) vôùi böôùc h = 0.2 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 2
2) Phöông phaùp Euler caûi tieán a) Noäi dung : k1 + k2 yi +1 = yi + 2 k1 = hf ( x i , y i ) k 2 = hf ( x i +1 , y i + k1 ) Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 3
Ví duï : Giaûi phöông trình y ' ( x) = 1 + ( x − y ) 2 vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y ( 2) = 1 trong ví duï tröôùc theo phöông phaùp Euler caûi tieán , keát quaû nhö sau : Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 4
3) Coâng thöùc Runge – Kutta baäc 4 : a) Coâng thöùc 1 y ( xi +1) = y ( xi ) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 6 k1 = hf ( xi , yi ) h k1 k 2 = hf ( xi + , yi + ) 2 2 h k2 k3 = hf ( xi + , yi + ) 2 2 k4 = h f ( xi +1 , yi + k3 ) Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 5
Ví duï : Giaûi phöông trình y ' ( x) = 1 + ( x − y ) 2 vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y (2) = 1 trong ví duï tröôùc theo phöông phaùp Runge-Kutta , keát quaû nhö sau : Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 6
4) Giaûi heä phöông trình vi phaân caáp 1 :  y ' = F ( x, y , z ) Giaû söû ta caàn giaûi heä :  trong ñoù  z ' = G ( x, y , z ) y = y (x) , z = z (x) laø nhöõng haøm phaûi tìm vaø thoûa ñieàu kieän ban ñaàu y(x0 ) = y0 , z ( x0 ) = z0 Phöông phaùp Euler yi +1 = yi + h F ( xi , yi , zi ) zi +1 = zi + h G( xi , yi , zi ) Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 7
 y ' ( x) = z ( x) Ví duï : Cho heä   z ' ( x) = 2 z ( x) − y ( x) + x vôùi ñieàu kieän y (0) = 1 , z (0) = 0 . Tìm y (1) vaø z (1) neáu soá böôùc chia laø n = 4 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 8
5) Giaûi phöông trình vi phaân caáp cao : Giaûi phöông trình vi phaân caáp 2 y ' ' ( x) + p( x) y ' ( x) + q( x) y ( x) = f ( x) vôùi ñieàu kieän ñaàu y ( x0 ) = y0 , y ' ( x0 ) = y0/ Ñöa veà heä phöông trình vi phaân caáp 1 baèng pheùp ñoåi bieán y ' ( x) = z ( x) , y ' ' ( x) = z ' ( x) y '= z Heä  vôùi ñieàu kieän  z ' = − p( x) z − q( x) y + f ( x) ban ñaàu y ( x0 ) = y0 vaø z ( x0 ) = y 0/ = z0 . Heä naøy ñaõ bieát caùch giaûi Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 9