Bài giảng "Phương pháp tính - Chương 1: Giải phương trình f(x)=0" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, công thức sai số tổng quát, phương pháp chia đôi, phương pháp lặp đơn. Mời các bạn cùng tham kihaor nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp tính: Chương 1 - Ngô Thu Lương
- Chöông I : Giaûi phöông trình f(x)=0
1)Ñònh nghóa: Khoaûng [ a , b ] goïi laø moät
khoaûng caùch ly nghieäm neáu trong khoaûng ñoù
phöông trình f ( x ) = 0 chæ coù duy nhaát moät
nghieäm .
Ñònh lyù:
Neáu f (x) khaû vi lieân tuïc treân [ a , b ]
1) f ' ( x) giöõ daáu treân [ a , b]
2) f ( a ) f (b) < 0
thì [ a , b ] laø khoaûng caùch ly nghieäm .
- Ví duï : Phöông trình x 4 − 4 x − 1 = 0
f (1.5) = − 1.94 < 0
f ( 2) = 7 > 0 .
Haøm ñôn ñieäu trong [1.5 , 2] f ' ( x) > 0
khoaûng caùch ly nghieäm : [1.5 , 2 ]
khoaûng caùch ly nghieäm thứ 2 : [−1 , 0 ] (BTập)
- 2)Coâng thöùc sai soá toång quaùt :
xd : nghieäm ñuùng cuûa f ( x) = 0
x gd : nghieäm gaàn ñuùng.
f ( xgd )
Coâng thöùc sai soá : x gd − xd ≤
(1)
m
Kyù hieäu :
(1)
m = Min f ' (x) , ∀ x∈[ a , b ]
- Ví duï : Phöông trình x 4 − 4 x − 1 = 0 xeùt trong
khoaûng caùch ly nghieä m : [1.5 , 2 ]
giaû söû x gd = 1.663 . Ñaùnh giaù sai soá tuyeä t ñoá i
f (1.663) = 0.003629
m(1) = 9.5
0.003629
sai soá : 1.663 − x * ≤ ≈ 0.0004
9.5
- 3)Phöông phaùp chia ñoâi :
a)Noäi dung :
Neáu [ a , b ] laø khoaûng caùch ly nghieäm thì
a+b a+b
[a, ] hoaëc [ , b ] seõ laø khoaûng caùch
2 2
ly nghieäm môùi .
Laëp laïi quaù trình phaân chia naøy nhieàu laàn .
- b) Ñaùnh giaù sai soá :
(b − a )
xn − xd ≤
2n +1
c)Nhaän xeùt :
Luoâ n cho nghieä m gaà n ñuù ng.
Giaû i thuaät ñôn giaûn.
Toá c ñoä hoä i tuï khaù chaä m .
- Ví duï 1: Phöông trình x − cos x = 0 vôùi
khoaûng caùch ly nghieäm [ 0 , 1] , chia ñoâi tôùi x4
Keát quaû cho theo baûng sau
Sai soá phöông phaùp chia đôi laø
b−a 1
= = 0.3125
5 32
2
- Ví duï 2 : Giaûi phöông trình x − e −x = 0 vôùi
khoaûng caùch ly nghieä m [ 0 ,1] ñeán x3
0.5
0.75
0.625
0.5625
- 2) Phöông phaùp laëp ñôn
(phöông phaùp ñieåm baát ñoäng, phöông
phaùp aùnh xaï co )
a) Noäi dung :
*) Ñöa phöông trình f ( x ) = 0 veà daïng
töông ñöông x = ϕ(x)
*) Kieåm tra ñieàu kieän ñoái vôùi haøm ϕ(x ) :
Max ϕ '( x) = q < 1 ∀x ∈[a, b]
*) Laáy x0 laø moät giaù trò ban ñaàu tuøy yù ∈[ a, b ]
Xaây döïng daõy laëp : x1 = ϕ( x0 )
x2 = ϕ( x1 )
x3 = ϕ( x2 )
- Laáy n höõu haïn xn = x gd
b) Ñaùnh giaù sai soá :
q n x1 − x0
1) xn − x * ≤
1− q
( ñaù nh giaù tieân nghieäm )
q xn − xn −1
2) xn − x * ≤
1− q
( ñaù nh giaù haäu nghieäm )
- c) Nhaän xeùt :
Coù voâ soá caù ch choïn haøm ϕ(x )
Haøm ϕ(x ) coù tính chaá t q < 1 goï i laø haøm co
q laø heä soá co
q caøng nhoû thì toác ñoä hoäi tuï caøng cao
q ≥ 1 Khoâng söû duïng ñöôïc
- Ví duï1 : Xeùt phöông trình x 3 + x − 1000 = 0
trong khoaû ng caù ch ly nghieä m [9, 10 ]
a) x 3 + x − 1000 = 0
x = 1000 − x 3
ϕ( x) = 1000 − x 3
ϕ ' ( x) = − 3x 2
ϕ ' ( x) = 3 x 2
q = Max ϕ' ( x) = 300 > 1
Khoâng söû duïng ñöôïc
- b) x 3 + x − 1000 = 0
3
x = 1000 − x
x = 3 1000 − x
ϕ( x) = 3 1000 − x
−1
ϕ' ( x) =
33 (1000 − x) 2
1
ϕ' ( x) =
3
3 (1000 − x) 2
1
q = Max = 0.003355742403
3 2
3 (1000 − x )
- x0=10.0
9.966554934
9.966667166
9.966666789
9.966666791
Sai số hậu nghiệm x4 6.74 × 10−12
- c) x 3 + x − 1000 = 0
x3 = 1000 − x
2 1000 − x
x =
x
1000 − x
x=
x
1000 − x
ϕ( x) =
x
Vôùi x0 = 10 ta coù xgd = 9,966666791 vôùi soá
böôùc laëp
- Phöông phaùp Newton
( Phöông phaùp Tieáp tuyeán )
a) Noäi dung : Ñöa f ( x) = 0 veà daïng laëp
f ( x)
x = x− = ϕ( x) .
f ' ( x)
Choïn x0
f ( x0 )
x1 = x0 −
f ' ( x0 )
f ( x1)
x2 = x1 −
f ' ( x1)
- b) Ñaùnh giaù sai soá :
Sai soá theo coâng thöùc sai soá toång quaùt
f ( x gd )
x gd − x * ≤
m (1)
c)Nhaän xeùt :
Phöông phaùp sử dụng được neáu f ' ( x) vaø f ' ' ( x)
khoâng ñoåi daáu treân khoaûng caùch ly nghieäm .
Ñieåm x0 laø ñieåm Fourier neáu f ( x0 ) cuøng daáu
vôùi f ''( x0 )
Choïn x = a , x0 = b neáu a , b laø ñieåm Fourier
- Víduï: Phöông trình x3 + x − 1000= 0 vôùi khoaûng
caùch ly nghieäm [9 , 10]
Ñieåm naøo laø ñieåm Fourier trong hai ñieåm 9 , 10
Vôùi x0 tìm ñöôïc , tính x2 .
Ñaùnh giaù sai soá cuûa x2
0.3
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
