Bài giảng Phương pháp tính: Chương 2 - Ngô Thu Lương

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

204
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Phương pháp tính - Chương 2: Giải hệ phương trình Ax=b" cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ có A là ma trận tam giác trên, giải phương trình bằng phương pháp nhân tử LU, phương pháp Cholesky, các phương phương pháp lặp,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp tính: Chương 2 - Ngô Thu Lương

Chöông II : GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Ax=b 1) Heä coù A laø ma traän tam giaùc treân  a11 a12 . . a1n   x1   b1   0 a22 a 23 . a2 n   x2  b 2     Ax = 0 0 a33 . .  .  = .   .   . . . .  .   .      0 0 0 0 ann   xn  b n  Tính nghieäm xn → xn −1 → xn − 2 → xn −3 .... → x1 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
Ví duï :  x1 + 2 x2 + x3 = 18.0   0 + 0.1x2 + 2 x3 = 20.2  0 +0 + 0.01x3 = 0.1   x1 = 4   x2 = 2  x = 10  3 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
2) Heä có A laø ma traän tam giaùc döôùi  a11 0 . . 0   x1  b 1  a b  a 22 0 . 0   x2   2  21   A x =  a31 a32 a33 . .  .  =  .   .  .  . . . 0  .        a n1 an 2 . . a nn   x n  b n  Tính nghieäm x1 → x2 → x3 → x4 .... → xn Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
3) Giaûi baèng phöông phaùp nhaân töû LU : ( A ma traän vuoâng baát kyø ) a) Noäi dung : Phaân tích ma traän A = L.U L laø ma traän tam giaùc döôùi U laø ma traän tam giaùc treân Vieäc giaûi heä phöông trình seõ ñöa veà giaûi hai heä phöông trình daïng tam giaùc Quy öôùc l11 = l22 = l33 = .. = 1 : coù nghieäm duy nhaát Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
Caùch tìm L, U töø ma traän A : Nhaân haøng1 cuûa L vôùi coät 1 cuûa U tìm ñöôïc u11 Nhaân haøng2 cuûa L vôùi coät 1 cuûa U tìm ñöôïc l21 Nhaân haøng3 cuûa L vôùi coät 1 cuûa U tìm ñöôïc l31 Nhaân haøng1 cuûa L vôùi coät 2 cuûa U tìm ñöôïc u12 Nhaân haøng1 cuûa L vôùi coät 3 cuûa U tìm ñöôïc u13 Nhaân haøng2 cuûa L vôùi coät 2 cuûa U tìm ñöôïc u22 Nhaân haøng3 cuûa L vôùi coät 2 cuûa U tìm ñöôïc l32 Nhaân haøng2 cuûa L vôùi coät 3 cuûa U tìm ñöôïc u23 Nhaân haøng3 cuûa L vôùi coät 3 cuûa U tìm ñöôïc u33 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
4) Phöông phaùp Cholesky ( phöông phaùp caên baäc hai ) a) Noäi dung : Bieåu dieãn ma traän A döôùi daïng A = B . BT trong ñoù B laø ma traän tam giaùc döôùi T ( B : ma traän chuyeån vò cuûa B , laø ma traän tam giaùc treân ) Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
b) Nhaän xeùt : Caùch tìm B töông töï nhö phöông phaùp LU nhöng soá pheùp tính giaûm ñi 2 laàn Phöông phaùp Cholesky khoâng ñoøi hoûi ñöôøng cheùo cuûa ma traän B baèng 1 Khi laáy caên baäc 2 quy öôùc raèng laáy caên soá hoïc ( caên laø soá döông ) Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
1 1 1  Ví du ï : A = 1 5 5    1 5 14  0 0 B=  0     Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
 2 −1 0  A = −1 2 −1    0 −1 2   0 0  B =  0      Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
b) Nhaän xeùt : *) Phöông phaùp chæ duøng ñöôïc neáu A laø ñoái xöùng vaø xaùc ñònh döông 5) Caùc phöông phaùp laëp : (thöôøng duøng cho caùc heä vôùi ma traän A coù kích thöôùc raát lôùn) 5.1) Ñònh nghóa : (Chuaån cuûa vectô ) x ∞ = max xi 1≤ i ≤ n ( xi : caùc thaønh phaàn cuûa veùctô x ) (chuaån voâ haïn , haøng ) Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
5.1) Ñònh nghóa : (Chuaån cuûa vectô ) n x 1= ∑ xi i =1 ( chuaån 1, coät )  − 1 x= 2  x ∞=   − 3 x 1= x ≥0 x =0 ↔ x=0 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
5.2) Ñònh nghóa ( Chuaån cuûa ma traän )  n  A ∞ = Max  ∑ a i j  1≤ i ≤ n  j =1   (chuaån voâ haïn , chuaån haøng)  n  A 1 = Max  ∑ a i j  1≤ j ≤ n  i =1  (chuaån 1 , chuaån coät ) Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
4 3 Ví duï : A =  ta coù 2 1   n  A ∞ = Max  ∑ a i j   = Max ( 7 , 3 ) = 7 1≤ i ≤ n  j =1   n  A 1 = Max  ∑ ai j  = Max ( 6, 4) = 6 1≤ j ≤ n  i =1  Caùc tính chaát cuûa chuaån ma traän : A ≥0 A = 0 ⇔ A= 0 A+ B ≤ A + B A. x ≤ A . x Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
5.3) Ñònh nghóa ( Soá ñieàu kieän cuaû ma traän A) k1 ( A ) = cond 1 ( A ) = A 1 . A − 1 1 k ∞ ( A ) = cond ∞ ( A ) = A ∞ . A − 1 ∞ 4 3 −1 −1/2 3/ 2 Ví duï : A =   , A =   2 1  1 − 2  k∞ ( A) = A ∞ . A−1 = 7. 3 = 21 ∞ −1 7 k1 ( A ) = A 1 . A = 6 = 21 1 2 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
1 2 1  Ví duï :  A = 2 4.1 4    3 6.1 5.01 − 3859 − 3920 3900  A−1 =  1980 2010 − 2000    − 100 − 100 100  k∞ ( A) = 164790.69 k1( A) = 73566 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
Söï bieán thieân cuûa nghieäm tyû leä vôùi söï bieán thieân cuûa veá phaûi vôùi heä soá tyû leä laø k ( A) x − x ' ≈ k ( A) b − b ' 5.4)) Phöông phaùp laëp Jacobi ( laëp ñôn ) : a) Noäi dung: *) Ñöa heä A x = b veà daïng x = Φ x + g *) Kieåm tra ñieàu kieän Φ = q < 1 (chuaån haøng hoaëc coät) *) Laáy x (0) laø veùctô giaù trò ban ñaàu tuøu yù *) Daõy laëp x (k ) xaây döïng theo coâng thöùc x (k +1) (k = Φx + g) Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
b) Ñaùnh giaù sai soá : k q x (k ) −x d ≤ x (1) − x (0) 1− q coâng thöùc tieân nghieäm q x −x (k ) d ≤ x ( k ) − x ( k −1) 1− q coâng thöùc haäu nghieäm Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
Ví duï : Xeùt heä phöông trình 10 x1 − 1x2 + 2 x3 = 0  1x1 + 10 x2 − 1x3 = 5  2 x + 3 x + 10 x = − 10  1 2 3  x1 = + 0 .1 x 2 − 0 . 2 x3 + 0   x 2 = − 0 . 1 x1 + 0 . 1 x3 + 0 . 5  x = − 0. 2 x − 0.3 x −1  3 1 2 Φ ∞ = 0.5 = q∞ Φ 1 = 0.4 = q1 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
x(k +1) = + 0.1x (k ) − 0 .2 x (k ) +0  1 2 3  (k +1) (k ) (k )  2 x = − 0.1x 1 + 0 .1 x 3 + 0.5  x(k +1) = − 0. 2x(k ) − 0.3x(k ) −1  3 1 2 Vôùi x ( 0 ) = [ 0 0 0 ]T , soá böôùc laëp laø k = 3 k 0 1 2 3 (k ) 0 0 0.25 0.270 x1 (k ) 0 0.5 0.4 0.360 x2 (k ) 0 -1 -1.15 -1.170 x3 Sai soá ∞ - 0.04 Ngô Thu Lương Phương pháp Tính
c)Nhaän xeùt : A ma traän coù ñöôøng cheùo troäi theo haøng : ∑ ai j < ai i ⇒ Φ ∞