Bài giảng môn XÁC SUẤT THỐNG KÊ - CHƯƠNG 4

Chia sẻ: Nguyễn Hoàng Thiện | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

319
lượt xem 87
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học chuyên môn xác suất thống kê.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng môn XÁC SUẤT THỐNG KÊ - CHƯƠNG 4

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản §1. Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản x 2 ... x k X x1 1. Phân phối đều rời rạc: 1 1 1 ... P k k k 2. Phân phối không – một A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) 0 1 X ⇔ P q p Định lý 1.1: X có phân phối A(p) thì E(X) = p, D(X) = p.q 3. Phân phối nhị thức B(n,p): Χ : Β ( n, p ) ⇔ Ρ ( Χ = k ) = Cnk . p k .q n − k , k = 1, n Định nghĩa 1.2: Χ : Β ( n, p ) ⇒ Ε ( X ) = np, D ( Χ ) = npq, Định lý1.2: M od Χ = k 0 = ( n + 1) p  hoaë k 0 = ( n + 1) p  − 1 c     Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 1 @Copyright 2010
4. Phân phối siêu bội Bài toán: Cho 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại là đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra n bi (không hoàn lại), n không lớn hơn M và N-M. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là số bi trắng lấy được. Giải: CM .C N−k k n Ρ( Χ= k ) = , k = 0, n −M n CN Định nghĩa 1.3: Phân phối nói trên được gọi là phân phối siêu bội H(N,M,n) Χ : H ( N , M , n) ⇒Ε( Χ) = np, Định lý 1.3: Giả sử N −n M D ( Χ) = npq ,p= N −1 N Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 2 @Copyright 2010
Ghi nhớ: lấy bi có hoàn lại: phân phối nhị thức lấy bi không hoàn lại: phân phối siêu bội 5. Phân phối Poisson P(a),a>0: k −a a Định nghĩa 1.4: Χ : Ρ ( a ) ⇔ Ρ ( Χ = k ) = e . , k = 0,1, 2... k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) thì E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8). Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng 6 bảng phân ph ối Poisson) Ρ ( 0 ≤ X ≤ 12 ) = 0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm∑ …) Ρ ( 6 ≤ X ≤ 12 ) = Ρ ( 0 ≤ X ≤ 12 ) − Ρ ( 0 ≤ Χ ≤ 5 ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 3 @Copyright 2010
Chú ý: Nếu gọi X là số người ngẫu nhiên sử dụng 1 dịch vụ công cộng thì X tuân theo quy lu ật phân ph ối Poisson P(a) với a là số người trung bình sử dụng dịch vụ đó. Ví dụ 1.2: Quan sat trong 20 phut có 10 người vao tram b ưu điên. ́ ́ ̀ ̣ ̣ Tinh xac suât trong 10 phut có 4 người vao tram đo. ́ ́ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̉ Giai: Goi X là số người ngâu nhiên vao trạm đó trong 10 phut thì ̣ ̃ ̀ ́ X có phân phôi P(a), a = 5. Khi ây: 54 ́ ́ Ρ ( Χ = 4 ) = e −5 . 4! Xác Suất Thống Kê. Chương 4 4 Khoa Khoa Học và Máy Tính @Copyright 2010
́ ̣ ́ ̣ §2: Cac quy luât phân phôi liên tuc Ν ( a, σ ) ,σ > 0 2 ́ ̉ 1. Phân phôi chuân −( x −a ) 2 ̣ ̃ Đinh nghia 2.1: 1 Χ : Ν ( a, σ ) ⇔ f ( x) = 2 2σ 2 e σ 2π Đinh lý 2.1: X có phân phôi Ν ( a, σ ) σ2 2 ̣ ́ thì E(X) = a, D(X) = Đinh nghia 2.2: Đại lượng ngâu nhiên U có phân phôi chuân ̣ ̃ ̃ ́ ̉ tăc (hay chuẩn hóa) N(0,1) nêu: ́ ́ 1 f ( u) = −u 2 / 2 e (ham mât độ Gauss). ̀ ̣ 2π Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 5 @Copyright 2010
Đinh lý 2.2: U có phân phôi N(0,1) thì ̣ ́ u 1 − t 2 /2 FU ( u ) = 0,5 + ∫ e dt = 0,5 + Φ ( u ) 2π 0 với Φ ( u ) là tich phân Laplace (ham lẻ) ́ ̀ Đinh lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1). Khi ấy ta có: ̣ ( 1) Ρ ( u1 < U < u2 ) = Φ ( u2 ) − Φ ( u1 ) ; ( 2 ) Ρ ( U < ε ) = 2Φ ( ε ) . Định lý 2.4: X −a Χ : Ν ( a, σ ) ⇒U = : Ν ( 0,1) 2 σ Xác Suất Thống Kê. Chương 4 6 Khoa Khoa Học và Máy Tính @Copyright 2010
Χ : Ν ( a, σ 2 ) Định lý 2.5: Giả sử .Khi ấy ta có:  β −a  α −a  ( 1) Ρ ( α < Χ < β ) = Φ  − Φ ÷ ÷ σ σ ε  ( 2) Ρ( Χ − a < ε ) = 2.Φ  ÷ σ  Ví dụ 2.1:Chiều cao X của thanh niên có phân ph ối chu ẩn 2 N(165, 5 ).Một thanh niên bị coi là lùn n ếu có chiều cao nhỏ hơn 160 cm.Hãy tính tỷ lệ thanh niên lùn.  160 − 165  Ρ ( −∞ < X < 160 ) = Φ  ÷− Φ ( −∞ )   5 = −Φ( 1) +Φ( +∞) = −0, 34134 + 0, 5 Xác Suất Thống Kê. Chương 4 7 Khoa Khoa Học và Máy Tính @Copyright 2010
U : Ν ( 0,1) m U Ví dụ 2.2: Cho hãy tính kỳ v ọng c ủa Giải: 1 − u 2 /2 Ε(U ) = ∫ u . +∞ e du = 0 nếu m lẻ vì cận đối xứng, m m 2π −∞ hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ. +∞ 1 −u 2 / 2 1 −u 2 / 2 Ε( U ) = ∫ u +∞ du = ∫ u.u 2 2 e e du 2π 2π −∞ −∞ 1 −u 2 / 2 1 −u 2 /2 dv = u ⇒v = − e e 2π 2π 1 −u 2 /2 +∞ 1 −u 2 / 2 ⇒ Ε ( U ) = −u. +∞ +∫ du = 1 2 e e 2π 2π −∞ −∞ Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 8 @Copyright 2010
Tương tự: +∞ 1 − u 2 /2 Ε (U ) = ∫ u u 4 3 e du 2π −∞ 1 − u 2 /2 1 − u2 /2 +∞ e du = 3.Ε ( U 2 ) = 3.1; +∞ + 3.∫ u = −u . 3 2 e 2π 2π −∞ −∞ Ε ( U ) = 5Ε ( U ) = 5.3.1; 6 4 ... Ε (U ) = ( 2n − 1) !! 2n Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 9 @Copyright 2010
Ví dụ 2.3: Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại gặp vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được 3 bi trắng, 2 bi đen. Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên: 3 2 C 6 .C5 4 P= . 5 C15 10 2. Phân phối đều liên tục: (Xem SGK) Đinh nghia 2.3:(X,Y) có phân phối đều trên miền D nếu ̣ ̃ 1 , neá (x , y ) ∈ D u  f (x , y ) =  S (D ) 0 , neá (x , y ) ∉ D u  ,vôù S(D) laø n tích mieà D i dieä n Xác Suất Thống Kê. Chương 4 10 Khoa Khoa Học và Máy Tính @Copyright 2010
3. Phân phối mũ E (λ) : Đinh nghia 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân ̣ ̃ phối mũ nếu hàm mật độ của X là: λ .e − λ x neá x ≥ 0;  u λ >0 f (x ) =  neá x < 0 , 0 u  Định lý 2.6 : 1 X : E (λ ) ⇒ E (X ) = σ (X ) = λ 4. Phân phối khi bình phương:(Xem SGK) 5. Phân phối Student:(Xem SGK) Khoa Khoa Học và Máy Xác Suất Thống Kê. Chương 4 11 Tính @Copyright 2010
§3. Các định lý giới hạn ( luật số lớn). 1. Định lý Chebyshev: • Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X là 1 đại lượng ngẫu nhiên.Khi đó ta có: D (X ) P (| X − E ( X )| ≥ ε) ≤ ε2 • Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy Χ1 , Χ 2 ,..., Χ n ,... đôi một độc lập có ∃C > 0 : D ( X k ) ≤ C , ∀k .Khi đó ta có: 1  1 n n ∑ ∑ ( X k )
m  − p < ε ÷= 1 l im P  n n→ ∞  3. Các định lý giới hạn trung tâm. Định lý 3.4(Lyapounov): Giả sử Χ1 , Χ 2 ,..., Χ n đôi m ột độc lập và n ∑E X k − E ( X k ) 3 =0 lim k =1 3/ 2   n→ ∞ n ∑ D( Χ ) ÷ k  k =1  Khi ấy ta có: 1n 1n ∑ Χi − n ∑ E ( Χi ) khi n đủ lớn ( n ≥ 30 ) n ≈ N ( 0,1) U = i =1 i =1 1n ∑ D ( xi ) n i =1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 13 @Copyright 2010
Hệ quả 3.1:Giả sử thêm vào đó ta có E ( X i ) = a, D ( X i ) = σ 2 , i = 1, n 1n ( .∑ X i − a ). n khi n đủ lớn n i =1 ⇒U = ≈ N (0,1) σ m − p). n ( Hệ quả 3.2: khi n đ ủ l ớn U= n ≈ N (0,1) p (1 − p) Xác Suất Thống Kê. Chương 4 14 Khoa Khoa Học và Máy Tính @Copyright 2010
Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X là trung bình cộng của n bi ến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối:Χ1 , Χ 2 ..., Χ n v ới D ( Χ i ) = 5 ( i = 1, 2,..n ) phương sai: Xác định n sao cho với xác suất không bé hơn 0,9973 : a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt quá 0,01 b) Trị tuyệt đối của X-E(X) không vượt quá 0,005. Bài giải: 1n Χ = ∑ Χi , E ( Χi ) = a ⇒ E ( X ) = a; n i =1 D ( Χi ) = σ 2 = 5 ⇒ σ = 5 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 15 @Copyright 2010
a )Ρ( Χ− E ( Χ) ≤ 0, 01) ≥ 0, 9973 . ( Χ−a ) n ≤ 0, 01 n  ≥ 0, 9973  . ⇔ΡU = ÷  5÷ σ    0, 01 n  ⇔Φ ÷ 0, 5 ≥ 0, 9973 +  ÷ 5   0, 01 n  ÷≥ 0, 4973 =Φ( 2, 785 ) ⇔Φ 5÷   2  2, 785. 5  0, 01 n ⇔ ≥ 2, 785 ⇔n ≥   0, 01 ÷ ÷ 5   Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 16 @Copyright 2010
b) . Ρ( Χ− E ( Χ) < 0, 005) ≥ 0, 9973 . | X − E( X ) | n 0, 005. n = ε ) ≥ 0, 9973 ⇔ P (| U |= < σ 5  0, 005 n  ⇔ 2.Φ  ÷≥ 0, 9973  ÷ 5    0, 005 n  0, 9973 = Φ ( 3) ⇔ Φ ÷≥  ÷ 2 5   2 3 5 0, 005 n ⇔ ≥3 ⇒n ≥  0, 005 ÷ ÷ 5   Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 17 @Copyright 2010
$4.Các công thức tính gần đúng 1. Công thức gần đúng giữa siêu bội và nhị thức. Định lý 4.1:Khi n
2. Nhị thức và Poisson: Định lý 4.2: Khi n đủ lớn,p rất bé ⇒ B ( n, p ) ≈ Ρ ( a ) v ới a=np , ak ( ) nghĩa là: Ρ X = k = C k . p k .q n − k ≈ e − a . , k = o, n n k! Ví dụ 4.2: Một xe tải vận chuyển 8000 chai rượu vào kho. Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai bị vỡ là 0,001. Tìm xác suất để khi vận chuyển: a) Có đúng sáu chai bị vỡ b) Có không quá 12 chai bị vỡ. Xác Suất Thống Kê. Chương 4 19 Khoa Khoa Học và Máy Tính @Copyright 2010
. Giải: Gọi X là số chai bị vỡ thì X có phân ph ối B(n,p) n = 8000, p = 0, 001 ⇒ a = np = 8 86 1)Ρ ( Χ = 6 ) = C8000 . p 6 .q8000−6 ≈ e−8 . = 0,122138 6 6! 2)Ρ ( 0 ≤ Χ ≤ 12 ) ≈ 0,936204 Chú ý: Khi p rất lớn thì q rất bé vậy ta có th ể coi q là p m ới ( tức là đổi p thành q,q thành p). Xác Suất Thống Kê. Chương 4 20 Khoa Khoa Học và Máy Tính @Copyright 2010