Bài giảng Toán A2: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 2 trình bày những kiên thức về hệ phương trình tuyến tính. Nội dung chính trong chương này gồm có: Các khái niệm chung, phương pháp Gauss, hệ thuần nhất, hệ Cramer. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán A2: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán A2 - MS: C01002 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 1 / 10
Nội dung 1 Các khái niệm chung 2 Phương pháp Gauss 3 Hệ thuần nhất 4 Hệ Cramer Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 1 / 10
Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Hệ phương trình đại số tuyến tính là hệ có dạng:  a x + a12 x2 + ... + a1n xn = b1  11 1   a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2   ... ... ... ... ... ... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm  Trong đó: xi là các ẩn số, aij là các hệ số, bj là các hệ số tự do Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 2 / 10
Đặt:      a11 a12 · · · a1n x1 b1 , X = x.2 , B = b2   a21 a22 · · · a2n     A = ··· ··· ··· ···   ..  ..   .  am1 am2 · · · amn xn bm Thì hệ được viết lại: AX = B. Ta gọi: A là ma trận hệ số X là ma trận ẩn B là ma trận hệ số tự do A = (A|B) là ma trận hệ số mở rộng Một nghiệm là 1 vector (c1 , · · · , cn ) ∈ Rn mà khi thay x1 = c1 , . . . , xn = cn thì tất cả phương trình đều thỏa. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 3 / 10
Phương pháp Gauss Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa A = (A|B) về dạng bậc thang. Suy ra nghiệm. Ví dụ: Giải các hệ sau    −2x1 − x2 + 2x3 + x4 = 4 x1 + x2 + x4 = 2    1) −x1 + x2 + 4x3 = −1 −x1 − 2x3 = −2      − x2 − 2x3 + x4 = 4    x1 + 2x2 − x3 = −2 −2x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 2  2)   −x1 + x3 + x4 = 0 2x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −1  Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 4 / 10
  x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2 3) 4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 2x1 + 7x2 − x3 = −1  Định lý Kronecker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn, với ma trận hệ số mở rộng A = (A|B). Ta có: Nếu r(A) < r A thì hệ vô nghiệm Nếu r(A) = r A = n thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu r(A) = r A < n thì hệ vô số nghiệm Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 5 / 10
   3x1 + 4x2 − 6x3 − 7x4 = −18  2x1 + 6x2 − 14x3 − 5x4 = −13   4) −x1 − 2x2 + 4x3 + 4x4 = 11 2x1 + 4x2 − 8x3 − 5x4 = −13      −x − 2x3 + 3x4 = 8 1 Nếu A ∈ Mn thì: hệ có nghiệm duy nhất ⇔ r (A) = n ⇔ det(A) 6= 0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 6 / 10
Hệ thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính gọi là thuần nhất khi tất cả các hệ số tự do bằng 0 Hệ thuần nhất luôn có nghiệm X = 0. Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường. Nghiệm khác 0 gọi là nghiệm không tầm thường. Hệ thuần nhất AX = 0 chỉ có 2 khả năng sau: 1. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ hệ chỉ có nghiệm tầm thường ⇔ r (A) = số ẩn 2. Hệ có vô số nghiệm ⇔ hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ r (A) < số ẩn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 7 / 10
Suy ra: nếu số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường. Nếu A ∈ Mn thì hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi: r (A) < n ⇔ det(A) = 0. Ví dụ: giải hệ thuần nhất sau  x + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0  1   3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0   4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0 3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0  Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 8 / 10
Hệ Cramer Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính mà số phương trình bằng số ẩn và định thức của ma trận hệ số khác 0 Cách giải hệ Cramer AX = B: PP1: Dùng phương pháp Gauss PP2: X = A−1 B PP3: Dùng công thức Cramer Thay B vào cột thứ i của A, gọi nó là ma trận Ai . Thì: det Ai xi = det A Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 9 / 10
Ví dụ: 1) Giải hệ sau   x1 + 3x2 + 7x3 = 1 2x1 + x2 + 2x3 = 0 −7x1 + x2 + 4x3 = 1  2) Giải và biện luận hệ sau theo tham số m   mx1 + x2 + x3 = 1 x1 + mx2 + x3 = m x1 + x2 + mx3 = m2  Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 10 / 10