Bài giảng Toán B2: Chương 3 - Trần Thị Thùy Nương

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

76
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán B2 - Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1" cung cấp cho người học các kiến thức: Các khái niệm cơ bản, một số phương trình vi phân cấp 1, phương trình phi tuyến tính cấp 1. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán B2: Chương 3 - Trần Thị Thùy Nương

1/8/2015 1. Các khái niệm cơ bản Phương trình vi phân (PTVP) cấp 1 là phương trình có dạng CHƯƠNG 3 F ( x, y, y′) = 0, (1) trong đó PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 dy y′ = . dx Ví dụ 3.1 y′ + 2 y = 2 x ; ( x + y)dy − 2 ydx = 0. 1 2 Nếu giải phương trình (1) theo y′ , ta được Đồ thị của nghiệm y = y ( x) được gọi là đường cong tích phân của (1). y′ = f ( x, y). (2) Nghiệm của PTVP (1) hoặc (2) trên khoảng Bài toán Cauchy (Côsi) (bài toán đầu) (a, b) là hàm số y = y ( x) xác định trên (a, b) Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của PTVP (1) hoặc (2) thỏa mãn điều kiện đầu sao cho khi thay vào PTVP ta được một đẳng thức đúng. y ( x0 ) = y0 (3) Nghiệm y = y ( x) có thể cho ở dạng tường hay nói cách khác là tìm một đường cong tích minh hoặc dạng ẩn. phân của (1) hoặc (2) đi qua điểm ( x0 , y0 ). 3 4 Hàm số y = ϕ( x, C ) được gọi là nghiệm tổng Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát của PTVP cấp 1 trong miền D ⊂ ℝ 2 nếu quát khi cho hằng số C một giá trị cụ thể với mọi điểm ( x0 , y0 ) ∈ D, tồn tại duy nhất một được gọi là nghiệm riêng. số C0 sao cho y = ϕ( x, C0 ) là nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện đầu y ( x0 ) = y0 . Nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào Điều đó có nghĩa là tồn tại duy nhất C0 sao cho được gọi là nghiệm kỳ dị. i) y = ϕ( x, C0 ) là nghiệm trong lân cận x0 ii) y0 = ϕ( x0 , C0 ). 5 6 1
1/8/2015 Ví dụ 3.2 Giải PTVP 2. Một số dạng PTVP cấp 1 y′ = cos x 2.1 Phương trình tách biến (có biến phân li) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn y (0) = 1. Dạng cơ bản f ( x)dx = g ( y)dy (4) Ta có y = ∫ cos xdx + C = sin x + C , Phương pháp giải với C là hằng số tùy ý, là tất cả các nghiệm Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình (4), của phương trình. ta được Vì 1 = y (0) = sin 0 + C , nên C = 1 và nghiệm riêng cần tìm là y = sin x + 1. ∫ f ( x)dx = ∫ g ( y)dy + C , với C là hằng số tùy ý. 7 8 Chú ý Ví dụ 3.3 Giải PTVP 1. Phương trình dạng xdx − y 2 dy = 0. f1 ( x) g1 ( y)dx = f 2 ( x) g 2 ( y )dy (5) có thể đưa về dạng (4): trước hết cần lưu ý - Nếu g1 ( y ) = 0 tại b thì y = b là nghiệm của (5). - Nếu f 2 ( x) = 0 tại a thì x = a là nghiệm của (5) . 9 10 - Các nghiệm khác tìm được bằng cách chia Ví dụ 3.4 Giải PTVP hai vế cho g1 ( y ) f 2 ( x) rồi lấy tích phân x(1 + y 2 )dx + y (1 + x 2 )dy = 0. f1 ( x) g 2 ( y) ∫ f 2 ( x) dx = ∫ g1 ( y) dy + C . Ví dụ 3.5 Giải PTVP 2. Phương trình y′ = xy ( y + 2). y′ = f (ax + by + c) có thể đưa về biến phân ly bằng cách đổi biến z = ax + by + c. 11 12 2
1/8/2015 Bài tập 1 Giải các PTVP sau Bài tập 2 Tìm nghiệm của PTVP thỏa mãn điều kiện ban đầu 1. x(1 + y ) dx + y (1 + x ) dy = 0. 2 2 2 2 xy + 3x 1. y′ = , y (2) = 2. 2. ( x + 1) y′ = xy. 2 x2 + 1 3. ( x 2 − yx 2 ) y′ + y 2 + xy 2 = 0. π 2. y′ + cos( x + 2 y) = cos( x − 2 y), y (0) = . 4 4. ( x − y 2 x)dx + ( y − x 2 y)dy = 0. 3. x( y 6 + 1)dx + y 2 ( x 4 + 1)dy = 0, y (0) = 1. 5. ydx = ( x 2 − a 2 )dy. e2 x π 4. e1+ x tan ydx − dy = 0, y (1) = . 2 x −1 2 13 14 2.2 Phương trình tuyến tính cấp 1 Bước 2: Tìm nghiệm của (6) ở dạng y = C ( x).e ∫ − p ( x ) dx Dạng cơ bản (7) y ′ + p ( x) y = q ( x ) (6) Thế (7) vào (6), ta được C ′( x) = q ( x).e ∫ p ( x ) dx ⇒ C ( x) = C1 + ∫ q ( x).e ∫ Phương pháp giải p ( x ) dx dx (8) Bước 1: Giải phương trình thuần nhất với C1 là hằng số tùy ý. Thế (8) vào (7), ta y ′ + p ( x) y = 0 được nghiệm của (6) được nghiệm − p ( x ) dx  y=e ∫ . C1 + ∫ q( x).e ∫ dx  p ( x ) dx y = C .e ∫ − p ( x ) dx .   15 16 Ví dụ 3.6 Giải PTVP Ví dụ 3.8 Giải PTVP y′ + y = 4 x. y′ − x 2 y = 0, y(3) = −e9 . Ví dụ 3.7 Giải PTVP Ví dụ 3.9 Giải PTVP ( x 2 + 1) y′ + xy = −2. y′ + y cos x = e − sin x . Ví dụ 3.10 Giải PTVP dy = x 2 + 2xy + y 2 dx 17 18 3