Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 5 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 5 cung cấp cho người học những kiến thức như: giới hạn hàm một biến; vô cùng bé và vô cùng lớn; sự liên tục của hàm một biến số;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 5 - TS. Trịnh Thị Hường

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 1 CHƯƠNG 5 GiỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM 1 BiẾN Giảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
X0 hữu hạn, L hữu hạn X0 hữu hạn, L vô hạn lim f ( x) = L x → x0 X0 vô hạn, L hữu hạn X0 vô hạn, L vô hạn
I. Giới hạn hàm một biến 1.1. Định nghĩa Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định tại một lân cận của 𝑥0 , (hàm số 𝑓(𝑥) có thể không xác định tại 𝑥0 ). Ta nói hàm số 𝑓(𝑥) dần tới số thực L nếu ∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0: 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 𝑡ℎì 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜖 Kí hiệu: lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = 𝐿.
1.2. Giới hạn 1 phía Giới hạn trái tại 𝑥0 : 𝑓 𝑥0− = lim− 𝑓 𝑥 = 𝑥→𝑥 lim 𝑓 𝑥 𝑥→𝑥 0 0 𝑥𝑥 0 Đ ịnh l ý: Điều kiện cần và đủ để hàm số 𝑓(𝑥) có giới hạn khi 𝑥 → 𝑥0 là nó có giới hạn phải và giới hạn trái tại 𝑥0 và hai giới hạn đó bằng nhau. lim− 𝑓 𝑥 = lim+ 𝑓 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 𝑥→𝑥 0 𝑥→𝑥 0 𝑥→𝑥 0
Ví dụ: Xét hàm f(x)=|x| lim− f ( x) = 0 x →0 lim+ f ( x) = 0 x →0 lim f ( x) = 0 x →0 Ví dụ: Xét hàm f(x)=|x|/x lim− f ( x) = −1 x →0 lim+ f ( x) = 1 x →0 không tồn tại lim f ( x) x→0
Ví dụ: Tính các giới hạn một phía sau: lim arctan 𝑥 = ; lim arctan 𝑥 = 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ lim arccot 𝑥 = ; lim arccot 𝑥 = 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ Khi a > 1 𝑥 𝑥 lim 𝑎 = ; lim 𝑎 = 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ lim 𝑒 𝑥 = ; lim 𝑒 𝑥 = 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ Khi 0 < a
1.3. Tính chất, phép tính của giới hạn 1.3.1. Tính chất Giới hạn của hàm số trong 1 quá trình nếu tồn tại là duy nhất (nếu có ít nhất hai quá trình riêng mà hàm số dần tới 2 giá trị khác nhau thì không tồn tại giới hạn).
1.3.2. Phép tính giới hạn Định lý 1: Cho lim 𝑓 𝑥 = 𝐿1 , 𝑙𝑖𝑚 𝑔 𝑥 = 𝐿2 (𝐿1 , 𝐿2 𝑙à ℎữ𝑢 ℎạ𝑛) Khi đó a. lim 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝐿1 + 𝐿2 b. lim 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 = 𝐿1 . 𝐿2 𝑓 𝑥 𝐿1 c. lim = (𝐿2 ≠ 0) 𝑔 𝑥 𝐿2
Định lý 2: Xét hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑢(𝑥)). Nếu lim 𝑢(𝑥) = 𝑢0 𝑥→𝑥 0 lim 𝑓(𝑢) = 𝐿 𝑢→𝑢 0 ⇒ lim 𝑓 𝑢 𝑥 =𝐿 𝑥→𝑥 0 Hệ quả: Nếu 𝑓(𝑥) là hàm sơ cấp xác định tại 𝑥0 và lân cận của 𝑥0 . Khi đó lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) 𝑥→𝑥 0
1.4. Hai giới hạn quan trọng 𝐬𝐢𝐧 𝒙 1.4.1. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎 =𝟏 𝒙 Hệ quả: tan 𝑥 a. lim𝑥→0 =1 𝑥 arcsin 𝑥 b. lim𝑥→0 =1 𝑥 arctan 𝑥 c. lim𝑥→0 =1 𝑥 Ví dụ: Tính giới hạn sau: arctan 3𝑥 . sin 2𝑥 lim 𝑥→0 1 − cos 𝑥
𝟏 𝒙 1.4.𝟐. 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝟏 + = 𝒆. 𝒙 Hệ quả: 1 a. lim𝑥→0 1 + 𝑥 𝑥 =𝑒 ln 1+𝑥 b. lim𝑥→0 =1 𝑥 𝑒 𝑥 −1 c. lim𝑥→0 =1 𝑥 Ví dụ: Tính giới hạn 𝑥 2 lim 1 − 𝑥→∞ 𝑥
II. Vô cùng bé và vô cùng lớn 2.1. Định nghĩa • Nói hàm 𝛼(𝑥) là VCB khi 𝑥 → 𝑥0 nếu limx→x 0 𝛼(𝑥) = 0. • Nói hàm 𝛽(𝑥) là VCL khi 𝑥 → 𝑥0 nếu limx→x 0 |𝛽 𝑥 | = +∞. Ví dụ: Khi 𝑥 → 0 có các VCB sau: x, sin x, arctan3 𝑥,… Khi 𝑥 → ∞, có các VCL: 2𝑥 , 𝑥 2 + 3𝑥 , …
2. 2.Tính chất của VCB, VCL • lim𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ 𝑓 𝑥 − 𝐿 là VCB khi 𝑥 → 𝑥0 . • Nghịch đảo của 1 VCL là 1 VCB, nghịch đảo 1 VCB khác 0 là 1 VCL. • Tổng hữu hạn các VCB khi 𝑥 → 𝑥0 cũng là VCB. 𝛼 𝑥 𝑙à 𝑉𝐶𝐵 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 𝑥0 𝛽 𝑥 𝑙à 𝑉𝐶𝐵 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 𝑥0 ⇒ 𝛼 𝑥 + 𝛽 𝑥 𝑙à 𝑉𝐶𝐵 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 𝑥0
• Nếu 𝛼(𝑥) là VCB trong quá trình 𝑥 → 𝑥0 và 𝑓(𝑥) là hàm bị chặn khi 𝑥 → 𝑥0 thì 𝛼 𝑥 𝑓(𝑥) là VCB khi 𝑥 → 𝑥0 . Ví dụ: Tính giới hạn 1 lim 𝑥 sin ⁡ x→0 𝑥 1 𝑥 sin là VCB khi 𝑥 → 0 vì 𝑥 x là VCB khi 𝑥 → 0 1 và sin ≤ 1, ∀𝑥 ≠ 0 nên nó là hàm bị chặn. 𝑥
2.3. So sánh các VCB Cho 𝛼 𝑥 , 𝛽(𝑥)là các VCB khi 𝑥 → 𝑥0 𝛼 𝑥 • Nếu limx→x 0 = 0 thì nói 𝛼(𝑥) là VCB bậc cao 𝛽 𝑥 hơn so với 𝛽(𝑥) (hay 𝛽(𝑥) bậc thấp hơn 𝛼(𝑥)) 𝛼 𝑥 • Nếu limx→x 0 = ∞ thì ta nói 𝛼(𝑥) là VCB 𝛽 𝑥 bậc thấp hơn so với 𝛽(𝑥).
𝛼 𝑥 • Nếu limx→x 0 = 𝐴 với 0 < |𝐴| < +∞, thì 𝛽 𝑥 𝛼 𝑥 là VCB ngang bậc với 𝛽(𝑥). 𝛼 𝑥 Đặc biệt nếu limx→x 0 = 1 thì ta nói 𝛼(𝑥) và 𝛽 𝑥 𝛽(𝑥) là hai VCB tương đương. Kí hiệu 𝑥 ~𝛽 𝑥 , 𝑥 → 𝑥0 .
Ví dụ: Một số VCB tương đương khi 𝑥 → 0 x ~sin 𝑥 ~ tan 𝑥 ~ arcsin 𝑥 ~ arctan 𝑥 ~ ln(1 + 𝑥) ~ 𝑒 𝑥 − 1 Chú ý: Khi 𝑥 → 𝑥0 mà 𝑢 𝑥 → 0 thì ta vẫn có 𝑢 𝑥 ~sin 𝑢 𝑥 ~ tan 𝑢 𝑥 ~ arcsin 𝑢 𝑥 ~ arctan 𝑢 𝑥 ~ ln 1 + 𝑢 𝑥 ~ 𝑒𝑢 𝑥 −1
2.4. Quy tắc thay thế VCB tương đương 𝑁ế𝑢 𝛼 𝑥 ~𝛼1 𝑥 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 𝑥0 𝑁ế𝑢 𝛽 𝑥 ~𝛽1 𝑥 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 𝑥0 𝛼 𝑥 𝛼1 𝑥 ⇒ lim = lim 𝑥→𝑥 0 𝛽 𝑥 𝑥→𝑥 0 𝛽1 𝑥 lim 𝛼 𝑥 𝛽 𝑥 = lim 𝛼1 𝑥 𝛽1 𝑥 𝑥→𝑥 0 𝑥→𝑥 0 ln 1+𝑥 .(𝑒 2𝑥 −1) Ví dụ: Tính giới hạn: lim𝑥→0 sin 3𝑥.arcsin 2𝑥
2.5. Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao Nếu tử số và mẫu số của một giới hạn là tổng của các VCB thì ta chỉ cần giữ lại các số hạng là VCB có bậc thấp nhất của Tử số và mẫu số Ví dụ: Tính giới hạn sau 3𝑥 2 + 4𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − 6𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛4 𝑥 lim x→0 2𝑥 2 + 𝑥 4 − 7𝑥 6
III. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 1. Các định nghĩa: Định nghĩa 1: Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) gọi là liên tục tại điểm 𝑥0 nếu • 𝑓(𝑥) xác định tại 𝑥0 và lân cận của 𝑥0 . • lim𝑥→𝑥 𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0 )