Bài giảng Toán cao cấp A3: Chương 1 - ThS. Nguyễn Công Nhựt

Chia sẻ: Hoamaudon | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp A3: Chương 1 Tích phân bội, cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân bội hai (kép); Tích phân bội ba. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A3: Chương 1 - ThS. Nguyễn Công Nhựt

Bài giảng TOÁN CAO CẤP A3 Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc Ngày 17 tháng 9 năm 2020 h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 1 / 113
TOÁN CAO CẤP A3 Tài liệu VP Khoa Công nghệ thông tin - Tầng 1 Thang điểm đánh giá Quá trình 20% Giữa kỳ 20%. Thi cuối kỳ 60% h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 2 / 113
TOÁN CAO CẤP A3 Nội dung môn học gồm 3 chương: 1 Tích phân bội 2 Tích phân đường 3 Phương trình vi phân h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 3 / 113
Content 1 TÍCH PHÂN BỘI Tích phân bội hai Tích phân bội ba 2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Tích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 2 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân cấp 2 h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 4 / 113
Content 1 TÍCH PHÂN BỘI Tích phân bội hai Tích phân bội ba 2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Tích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 2 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân cấp 2 h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 5 / 113
TÍCH PHÂN BỘI NỘI DUNG 1-1 Tích phân bội hai (kép) 1-2 Tích phân bội ba h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 6 / 113
1. Tích phân bội hai NỘI DUNG 1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) 2 Tích phân bội hai 3 Tính chất của tích phân bội hai 4 Phương pháp tính 5 Ứng dụng của tích phân hai lớp h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 7 / 113
1.1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) Xét hàm số z = f (x , y ) liên tục, không âm và một mặt trụ có các đương sinh song song với Oz , đáy là miền phẳng đóng D trong mpOxy Hình: h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 8 / 113
1.1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) Định nghĩa Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau ∆Si , i = 1; n . Diện tích mỗi phần cũng ký hiệu là ∆Si . Khi đó, khối trụ cong được chia thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi phần ∆Si ta lấy điểm Mi (xi ; yi ) tùy ý và thể tích V của khối trụ là: n V ≈ ∑ f ( x i ; yi ) ∆ Si i =1 Gọi di = max d(A,B ) | A, B ∈ ∆Si là đường kính của ∆Si . Ta có: n V = lim max di →0 ∑ f ( x i ; y i ) ∆ Si . i =1 h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 9 / 113
1.2. Tích phân bội hai Định nghĩa Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền D đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy . Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si , i = 1; n . Lấy n điểm tùy ý Mi (xi ; yi ) ∈ ∆Si , i = 1; n . Khi đó, In = ∑ni=1 f (xi ; yi ) ∆Si được gọi là tổng tích phân của f (x , y ) trên D (ứng với phân hoạch ∆Si và các điểm chọn Mi . h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 10 / 113
1.2. Tích phân bội hai Nếu giới hạn I = limmax di →0 ∑ni=1 f (xi , yi ) ∆Si tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si và cách chọn điểm Mi thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của hàm số f (x , y ) trên miền RR D . Ký hiệu: I = D f (x , y )dS Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox , Oy ta được ∆Si = ∆xi ∆yi hay dS = dxdy I= f (x , y )dS = f (x , y )dxdy . ZZ ZZ Vậy D D h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 11 / 113
1.2. Tích phân bội hai Nếu tồn tại tích phân D f (x , y )dxdy , ta nói hàm số f (x , y ) khả tích trên miền D ; f (x , y ) RR là hàm dưới dấu tích phân; x và y là các biến tích phân. Nhận xét S (D ) = dxdy D) ZZ (diện tích của miền D Nếu f (x , y ) > 0, liên tục trên D thì thể tích hình trụ có RR các đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn bởi các mặt z = 0, z = f (x , y ) là V = D f (x , y )dxdy Định lý Hàm f (x , y ) liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì khả tích trong D . h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 12 / 113
1.3. Tính chất của tích phân bội hai Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại. Tính chất 1. f (x , y )dxdy = f (u , v )dudv ZZ ZZ D D Tính chất 2 [f (x , y ) ± g (x , y )]dxdy = fdxdy ± gdxdy ZZ ZZ ZZ D D D D kf (x , y )dxdy = k f (x , y )dxdy , k ∈ R ZZ ZZ D D Tính chất 3. Nếu chia miền D thành D1 , D2 bởi đường cong có diện tích bằng 0 thì: f (x , y )dxdy = f (x , y )dxdy + f (x , y )dxdy ZZ ZZ ZZ D D1 D2 h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 13 / 113
1.4 Phương pháp tính 1.4.1 Đưa về tích phân lặp a) Định lý (Fubini) I= D f (x , y )dxdy tồn tại, trong đó RR Giả sử tích phân D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1 (x ) ≤ y ≤ y2 (x )} R y (x ) Rb R y (x ) và với mỗi x ∈ [a ; b ] cố định, y12(x ) f (x , y )dy tồn tại. Khi đó: I = a dx y12(x ) f (x , y )dy . Tương tự, nếu miền D là: D = {(x , y ) : x1 (y ) ≤ x ≤ x2 (y ), c ≤ y ≤ d } Rd R x2 ( y ) thì I= c dy x1 (y ) f (x , y )dx h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 14 / 113
1.4.1 Đưa về tích phân lặp Chú ý 1) Nếu miền D là hình chữ nhật, D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d } = [a ; b ] × [c ; d ] Rb Rd Rd Rb thì D f (x , y )dxdy = a dx c f (x , y )dy = c dy a f (x , y )dx RR 2) Nếu D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b , y1 (x ) ≤ y ≤ y2 (x )} và f (x , y ) = u (x ) · v (y ) thì: b y2 ( x ) f (x , y )dxdy = u (x )dx v (y )dy ZZ Z Z D a y1 ( x ) 3) Nếu D = {(x , y ) : x1 (y ) ≤ x ≤ x2 (y ), c ≤ y ≤ d } và f (x , y ) = u (x ) · v (y ) thì d x2 ( y ) f (x , y )dxdy = v (y )dy u (x )dx ZZ Z Z D c x1 ( y ) 4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những miên đơn giản. h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 15 / 113
1.4.1 Đưa về tích phân lặp Ví dụ 1. 0 ≤ x ≤ π2 I= D 4y xdxdy 3 sin 2 D là hình chữ nhật D : RR 1≤y ≤2 Tính tích phân trong đó h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 16 / 113
1.4.1 Đưa về tích phân lặp Ví dụ 2. I= D xydxdy trong đó D là hình chữ nhật D : y = 2 − x 2 , y = x RR Tính tích phân Hình: h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 17 / 113
1.4.1 Đưa về tích phân lặp Ví dụ 3. Cho I = D f (x , y )dxdy . Xác định cận tích phân lặp với miền D giới hạn bởi RR y = 0, y = 2x , x = a > 0 Hình: Chiếu lên trục Ox Hình: Chiếu lên trục Oy h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 18 / 113
1.4.1 Đưa về tích phân lặp Ví dụ 4. I= D 6xy 2 dxdy D = [0; 2] × [−1; 1] RR Tính tích phân Trong đó, Ví dụ 5. I= D (2x + y )dxdy Trong đó, D = {y ≤ x ≤ 1 − y , −2 ≤ y ≤ 0} RR Tính tích phân h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 19 / 113
1.4.1 Đưa về tích phân lặp Ví dụ 6. I= D ydxdy trong đó miền D giới hạn bởi các đường y = x + 2, y = x 2 RR Tính tích phân Hình: h Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng 9 năm 2020 20 / 113