Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2: Bài 7 - ThS. Đoàn Trọng Tuyến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

42
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định" trình bày khái niệm tích phân xác định và ý nghĩa hình học; các tính chất cơ bản của tích phân xác định; phương pháp đổi biến số; phương pháp tích phân từng phần.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2: Bài 7 - ThS. Đoàn Trọng Tuyến

BÀI 7 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ThS. Đoàn Trọng Tuyến Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014105206 1
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG • Giả sử một cái hồ nước có hình dạng một tam giác cong như sau: y 4 A x2 y= 0 B x • Trong đó điểm B có hoành độ x = 20 (m), cạnh cong OA có phương trình y = x2. Hãy tính diện tích của cái hồ hình tam giác cong này. v1.0014105206 2
MỤC TIÊU • Nắm được định nghĩa tích phân xác định qua công thức Newton – Leibnitz; • Nắm được ý nghĩa hình học của tích phân xác định; • Đổi biến thành thạo các dạng tích phân cơ bản, đặc biệt là tích phân các hàm chứa căn; • Sử dụng tốt phương pháp tích phân từng phần. v1.0014105206 3
NỘI DUNG Khái niệm tích phân xác định và ý nghĩa hình học Các tính chất cơ bản của tích phân xác định Phương pháp đổi biến số Phương pháp tích phân từng phần v1.0014105206 4
1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC 1.1. Tích phân xác định của hàm số liên tục 1.2. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định v1.0014105206 5
1.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC • Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên một khoảng X, a, b là hai số thực bất kỳ thuộc khoảng X. Tích phân xác định từ a đến b của hàm số f(x) là hiệu số: F(b) – F(a) với F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x). • Ký hiệu: b b  f(x).dx  F(b)  F(a)  F(x) a a • Công thức trên được gọi là công thức Newton – Leibnitz. Chú ý: Định nghĩa nêu trên chỉ áp dụng cho hàm liên tục v1.0014105206 6
1.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ: 2 2 x2 3 I1   x.dx   1 2 1 2   6 cos 2x 6 1 I2   sin 2x.dx    0 2 0 4 2 2 dx 1 ln3 I3    .ln 2x  1  1 2x  1 2 2 1 v1.0014105206 7
1.2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục và không âm trên [a, b]. • Khi đó tích phân xác định của f(x) trên [a, b] là diện tích của hình thang cong AabB giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. y f (x) y= B A b S   f(x).dx a a b x v1.0014105206 8
2. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Với giả thiết các tích phân tồn tại, ta có: a a b 1)  f(x)dx  0; a  f(x)dx    f(x)dx b a c b b 2)  f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx a c a b b b 3)  f(x)  g(x) dx   f(x)dx   g(x)dx a a a b b 4)  k.f(x)dx  k. f(x)dx, k   a a b b 5) f(x)  g(x), x  [a;b]   f(x)dx   g(x)dx a a 6) Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì tồn tại ít nhất một điểm   (a; b) sao cho: b  f(x)dx  f().(b  a) a v1.0014105206 9
3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ b Xét tích phân: I   f(x)dx a Đặt x = (t) với t  [; ] thỏa mãn các điều kiện:  (t) xác định, liên tục và có các đạo hàm liên tục trên [; ]  () = a; () = b. Khi đó: b   I   f(x)dx   f  (t). '(t)dt   f(t)dt a   v1.0014105206 10
VÍ DỤ 1 2 dx Tính tích phân I1  1 1 5x  1 • Đặt t  5x  1 t2  1 2t • Ta có x  , dx  dt 5 5 • Đổi cận theo t: x = 1 ↔ t = 2; x = 2 ↔ t = 3 • Theo công thức đổi biến ta có: 2 t.dt 2   1   3 3 3 2t.dt I1        1   .dt  2 5   2 1  t 5 1  t 5 2 1  t   3 2 2 4   t  ln 1  t   1  ln  5 2 5 3 v1.0014105206 11
VÍ DỤ 2 1 2 Tính tích phân I2   1  x 2 .dx 0 • Đặt: x = sin t • Ta có: dx = cos t. dt • Đổi cận theo t: 1  x0  t  0; x  t 2 4 • Theo công thức đổi biến ta có:    4 4 4 I2   1  sin2 t.cos t.dt   cos t.cos t.dt   cos2 t.dt 0 0 0   1 1  sin 2t  1  4 0 1  cos 2t  .dt   t  4    2 2 2 0 8 v1.0014105206 12
4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tích phân từng phần trong tích phân xác định có dạng b b b  udv  uv a   vdu a a trong đó u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b]. v1.0014105206 13
VÍ DỤ 1 1 Tính tích phân I1   x.e .dx 3x 0 du  dx u  x  Ta đặt:    e3 x dv  e .dx v   e .dx  3 3x 3x Theo phương pháp tích phân từng phần ta có: 1 1 1 e3 x 1 1 3x e3 x e3 x 1  2e3 I1  x.   e .dx  x.   3 0 30 3 0 9 0 9 v1.0014105206 14
VÍ DỤ 2  x Tính tích phân I2   x.sin .dx 0 3 u  x du  dx   Ta đặt:  x   x x  dv  sin .dx  v   sin .dx  3cos 3 3 3 Theo phương pháp tích phân từng phần ta có:    x  x x x I2  3x cos  3  cos .dx  3x cos  9 sin 30 0 3 30 30 9 3  3  2 v1.0014105206 15
GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định, diện tích của tam giác cong OAB là 20 20 x3 8000 S   x .dx  2   2666,67 (m2) 0 3 0 3 v1.0014105206 16
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 8 dx Giá trị của  là: 1 3 x A. 9/2 B. 4/3 C. 3/2 D. 5/2 Trả lời: • Đáp án đúng là: A. 9/2 • Vì: Sử dụng công thức Newton – Leibnitz ta có: 8 8 8 dx 8  3 32 1 3 3 9 1 3  1 x dx  x  3 x 2  (4  1)  3 x 2 1 2 1 2 2 → Chọn đáp án A v1.0014105206 17
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2 1 Giá trị của tích phân  (x  3e  x )2 dx là: 0 7 9 12 A.  2 6 2e e 7 5 1 B.  2  9 3e e 5 4 3 C. 2  2  e 3e 4 7 9 12 D.   2  6 2e e Trả lời: Đáp án đúng là: D.  7  9 2  12 6 2e e v1.0014105206 18
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2 Vì: 1 1  (x  3e ) dx   (x  6xe  9e )dx x 2 2 x 2 x • Khai triển tích phân 0 0 • Lại có: 1 1 x3 1 0 x dx   2 3 0 3 1 9 2 x 1 9 9  9e dx   e   (e2  1)  (1  e 2 ) 2 x 0 2 0 2 2 1 • (Sử dụng tích phân từng phần)  6xe  x dx  6[1  2e 1 ] 0 7 9 12 • Tích phân có giá trị là:   2 6 2e e v1.0014105206 19
CÂU HỎI TỰ LUẬN 2 x3 Tính tích phân xác định: I  dx 1 1 3 x  1 Giải: x 1 2 Đặt t 0 1 t  3 x  1  x  t 3  1  dx  3t 2 dt t3  4 2 1 t  4t 2 1 5 I  .3t dt  3  dt 0 1 t 0 t 1 1 1 dt  3  [t  t  t  3t  3]dt  9  4 3 2 0 0 t 1 1 t t 4 t 3 3t 2  5 1  3     3t   9ln t  1 0 5 4 3 2 0 73   9ln 2 20 v1.0014105206 20