Bài giảng Toán kĩ thuật: Chương 3 - ĐH Cần Thơ

Chia sẻ: Huynh Thanh Hiep | Ngày: | Loại File: PPTX | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

95
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 3 Chuỗi fourier và biến đổi fourier thuộc bài giảng Toán kĩ thuật, cùng nắm kiến thức trong chương này thông qua việc tìm hiểu các nội dung sau: một số dạng tín hiệu quan trọng, khái niệm hàm tuần hoàn, chuỗi fourier, tích phân fourier–biến đổi fourier, phân tích phổ tín hiệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kĩ thuật: Chương 3 - ĐH Cần Thơ

Chương 3 CHUỖI FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER
Nội dung • Moät soá daïng tín hieäu quan troïng • Khaùi nieäm haøm tuaàn hoaøn • Chuoãi Fourier • Tích phaân Fourier – Bieán ñoåi Fourier • Phaân tích phoå tín hieäu
Mo ä t s o á d a ïn g t ín h ie ä u q u a n t ro ïn g • Tín hiệu xung vuông góc (t) • Tín hiệu xung cosin • Hàm dốc (Ramp function) • Cặp phân bố (t) chẵn lẻ • Hàm bước nhảy đơn vị u(t) • Phân bố lược • Hàm xung lực đơn vị • Dãy xung vuông lưỡng cực • Tín hiệu Sgn(t) • Dãy xung vuông đơn cực • Tín hiệu xung tam giác • Tín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ • Hàm mũ suy giảm • Tín hiệu Sinc • Hàm mũ tăng dần • Tín hiệu Sinc2 • Xung hàm mũ • Tín hiệu Gausse
Mo ä t s o á d a ïn g t ín h ie ä u q u a n t ro ïn g • Tín hiệu xung vuông góc (t) • Hàm dốc r(t) x (t ) = Π(t ) 1  1 0 ,t >  2 r(t) t , t ≥ 0 x(t ) = ∏(t ) =  1 r (t ) =  1 1 0 , t < 0 1  ,t < − 0 1  2 2 2 0 t −c x (t ) = a.Π( ) b t −c ⇔ x (t ) = a.Π( ) a b r(t-a) K t ,t ≥ a c r (t − a) =  0 , t < a 0 0 a b • Hàm dốc r(t-a) nhân với hệ số K cho hàm K.r(t-a), dạng sóng là đường thẳng có độ dốc K và gặp trục t ở a
Mo ä t s o á d a ïn g t ín h ie ä u q u a n t ro ïn g • Hàm bước nhảy đơn vị u(t) u (t ) 1 1/2 0 ,t > 0 x(t ) = u (t ) = 1(t ) =  1 ,t < 0 0 Xu (t −τ ) x(t ) = Xu (t −τ ) 0 τ x (t ) X X x(t ) = [ t.u (t ) − (t − τ ).u(t − τ )] τ X = [ t.1(t ) − (t − τ ).1(t − τ )] τ 0 τ
Mo ä t s o á d a ïn g t ín h ie ä u q u a n t ro ïn g • Hàm xung lực đơn • Tính chất hàm vị (t) 0 ,t ≠ 0 xunga. ∫lδự)c= a ; a ∈ R ∞ ∫ a.δ (t )dt = (t dt ∞ δ (t ) =  −∞ −∞ 1 ∞ ,t = 0 t d 1(t ) ∞ ∫ δ (t )dt = 1 ∫ δ (τ )dτ = u(t ) = 1(t ) o ⇔ dt = δ (t ) −∞ 0 t x(t). (t) = x(0).(t) x(t).(t – t0) = x(t0). (t – t0) ∞ ∞ (t – t0) ∫ x(t ).δ (t )dt = x(0) ∫ x(t ).δ (t − t )dt = x(t ) 0 0 0 , t ≠ t0 −∞ −∞ δ (t − t 0 ) =  1 ∞ , t = t0 t  δ   = t0 .δ (t ) t  +∞  0 ∫ δ (t − t 0 ) =1 0 t0 t −∞ (-t) = (t) ∞ ∞ x (t ) ∗ δ (t ) = ∫ x(τ ).δ (t − τ ) dτ = ∫ x(t − τ ).δ (τ ) dτ = x(t ) −∞ −∞ x(t)*(t - t0) = x(t-t0)
Mo ä t s o á d a ïn g t ín h ie ä u q u a n t ro ïn g • Tín hiệu Sgn(t) • Tín hiệu xung tam x ( t ) = Sgn(t ) giác x (t ) = Λ t ) ( 1 1 1 , t > 0 1− | t |  , khi t ≤ 1  x(t ) =  x ( t ) = Sgn ( t ) =  0 , t = 0 t 0 , khi t > 1 0 t − 1 , t < 0   −1 1 0 −1 Hàm mũ suy giảm Hàm mũ tăng dần x(t) X  X .e −αt , t ≥ 0, α > 0 X x(t ) =  0 ,t < 0 x(t ) = (1 − e − α t )1(t ) ; α >0 0 t t 0
Mo ä t s o á d a ïn g t ín h ie ä u q u a n t ro ïn g Xung hàm mũ Tín hiệu xung cosin X t 0 T π π − 0 2ω0 2ω0  T  t −   t  x(t ) = X .e ∏ −αt 2  ,α >0 x(t ) = X . cos(ω 0 t ).Π   π /ω   T   0     
Mo ä t s o á d a ïn g t ín h ie ä u q u a n t ro ïn g • Tín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ • Tín hiệu Gausse 2 X x(t ) = e −πt 1 2π 4π ω ω -t 0 π 3π ω ω | | -X 1 -1  X .e −αt . sin ω 0 t , t ≥ 0 x(t ) =  x(t) = e− πt 2 0 ,t < 0
Mo ä t s o á d a ïn g t ín h ie ä u q u a n t ro ïn g • Cặp phân bố (t) chẵn lẻ 1 ||(t) 2 1 1 1  | | (t ) = δ (t + 2 ) + δ (t − 2 ) 2  − 1 0 1 t 2 2 (t) 1 2 1 1 1 1  2 | (t ) = δ (t + 2 ) − δ (t − 2 ) 1 0 t | 2  − 2 1 − 2
Mo ä t s o á d a ïn g t ín h ie ä u q u a n t ro ïn g • Phân bố lược | | | (t ) ∞ | | | (t ) = ∑δ (t − n) . . . . . . . . n =− ∞ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 t • Tính chất phân bố lược  − t ) = ( t ) ( ∞ x(t ). t ) = ∑ x (n).δ (t − n) ( n =− ∞ ∞ ( t + n ) =  t ) ( x(t ) ∗  t ) = ( ∑ x(t − n) ∞ t    =| τ | . ∑ δ (t − nτ ) n =− ∞  τ  n=− ∞
Mo ä t s o á d a ïn g t ín h ie ä u q u a n t ro ïn g • Dãy xung vuông lưỡng cực x (t ) . . . . . . . . −T T 0 T t − T 2 2 • Dãy xung vuông đơn cực x (t ) X . . . . . . . . -T -T 0 T 2T t 
Mo ä t s o á d a ïn g t ín h ie ä u q u a n t ro ïn g • Tín hiệu Sinc Sinc(t) 1  sin ω 0 t  ,t ≠ 0 x(t ) = Sinc(ω 0 t ) =  ω 0 t 1  ,t = 0 − 3π π π 3π − ω0 ω0 ω0 ω0 4π 2π 2π 4π − ω − ω 0 ω 0 0 0 ω0 • Tín hiệu Sinc2 Sinc2(t 1 )  sin 2 ω 0 t  ,t ≠ 0 x(t ) = Sinc 2 ω 0 t =  (ω 0 t ) 2 1  ,t = 0 3π 2π π π 2π 3π − − − ω0 ω0 ω0 0 ω0 ω0 ω0
Ví dụ
Kh a ù i n ie ä m h a ø m t u a à n h o a ø n • Khái niệm • Lưu ý • f(t+2p) = f(t) • Không phải tất cả các hàm Với 2p: chu kỳ của f(t) tuần hoàn đều có chu kỳ cơ bản • f (t + 2p) = f (t + 2p + 2p) • Nếu  = n2/2p thì 2/ = 2p/n = f (t + 4p) . . . là chu kỳ cơ bản của = f(t+2np) cos(nt/p) và sin(nt/p). Và lúc Số 2p là chu kỳ cơ bản đó n.(2p/n) = 2p cũng là chu f(t) kỳ của hàm cos(nt/p) và sin(nt/p) t • Hàm tuần hoàn thì không cần 0 p 2p 4p 6p xác định trên tất cả các giá trị của biến độc lập
Ch u o ã i Fo u rie r • Chuỗi lượng giác: a0 ∞ + ∑ (a n cos(nx) + bn sin( nx)) 2 n =1 Ta thấy nếu chuỗi hàm lượng giác có tổng f(x) hay h ội tụ về f(x) trong một miền nào đó thì f(x) phải là hàm tuần hoàn chu kỳ là 2 . • Chuỗi lượng giác mở rộng: 1 ∞ nπx nπx a0 + ∑ (an cos + bn sin ) 2 n =1 p p 1 πx 2πx nπx πx 2πx nπx = a0 + a1 cos + a2 cos + ... + an cos + b1 sin + b2 sin + ... + bn sin 2 p p p p p p Tương tự nếu chuỗi trên hội tụ đến hàm f(x) thì hàm f(x) cũng tu ần hoàn với chu kỳ T = 2p.
• Công thức Euler mở rộng d + 2p nπt d + 2p mπ t nπ t (a) ∫d cos p dt = 0 ;n ≠ 0 (e) ∫ cos . sin dt = 0 d p p d + 2p nπt (b) ∫ sin dt = 0 d + 2p mπ t nπ t d p (f) ∫ d sin p . sin dt = 0 ; m ≠ n p d + 2p mπt nπt d + 2p nπ t (c ) ∫d cos p . cos p dt = 0 ; m ≠ n (g) ∫ sin 2 dt = p ; n ≠ 0 d p d + 2p nπt (d ) ∫d cos 2 p dt = p ;n ≠ 0
• Định lý Dirichlet • Nếu f(t) là hàm tuần hoàn, bị chặn và có một số điểm xác định không liên tục trong một chu kỳ của nó thì khi đó chuỗi Fourier của f(t) sẽ hội tụ đến f(t) tại tất cả những điểm mà f(t) liên tục. Còn tại những điểm mà f(t) không liên tục, chuỗi Fourier của lim f (t ) + lim f (t ) nó sẽ hội(tt=ụ) = ến giá trị= trung(t bình của giới S n t đ 0 t →t 0− 2 t →t 0+ f (t ) + f 0− 0+ 2 ) hạn trái và giới hạn phải của f(t) tức nếu tại điểm t=t0 hàm số bị gián đoạn thì:
• Chuỗi Fourier (khai triển Fourier) Cho hàm số f(t) tuần hoàn với chu kỳ T = 2p thỏa điều kiện Dirichlet. Khi đó hàm f(t) có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi Fouier 1  nπt∞ nπt  f ( = ứ ∑a theo côngt )th2 ac+sau:cos p + b sin p  0 n  n  n =1   1 d +2 p 2 d +T  a0 = ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt p d T d    1 d +2 p nπt 2 d +T 2nπt  an = ∫d f (t ) cos dt = ∫ f (t ) cos dt  p p T d T    bn = 1 d +2 p nπt 2 d +T 2nπt  p ∫d f (t ) sin p dt = ∫ T d f (t ) sin T dt  
• Lưu ý • Tại điểm hàm f(t) không liên tục thì chu ỗi đó bằng trung bình của giới hạn trái và phải • Thành phần a0 chính là trị trung bình của hàm f(t) trong một chu kỳ. Vì thế nó chính là thành phần DC của ntín hiệu đi1ện. nπt 1 p 1 p πt p a = ∫ f (t ).dt a = ∫ f (t ) cos dt b = ∫ f (t ) sin dt Người ta hay chpọn đoạp lấy tích phân n n • 0 n −p p −p p p −p trong khoảng (-p, p) hoặc từ (0, T).