intTypePromotion=1

Bài giảng Toán rời rạc (Phần I: Lý thuyết tổ hợp): Chương 2 - Nguyễn Đức Nghĩa

Chia sẻ: Diên Vu | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:103

0
38
lượt xem
4
download

Bài giảng Toán rời rạc (Phần I: Lý thuyết tổ hợp): Chương 2 - Nguyễn Đức Nghĩa

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 2 - Bài toán tồn tại. Nội dung chính được trình bày trong chương này gồm có: Giới thiệu bài toán, các kỹ thuật chứng minh cơ bản, nguyên lý Dirichlet, định lý Ramsey. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán rời rạc (Phần I: Lý thuyết tổ hợp): Chương 2 - Nguyễn Đức Nghĩa

  1. Phần thứ nhất LÝ THUYẾT TỔ HỢP Combinatorial Theory Fall 2008 Fall 2006 Toán rời rạc 1
  2. Nội dung Chương 0. Mở đầu Chương 1. Bài toán đếm Chương 2. Bài toán tồn tại Chương 3. Bài toán liệt kê tổ hợp Chương 4. Bài toán tối ưu tổ hợp Fall 2006 Toán rời rạc 2
  3. Chương 2. BÀI TOÁN TỒN TẠI 1. Giới thiệu bài toán 2. Các kỹ thuật chứng minh cơ bản 3. Nguyên lý Dirichlet 4. Định lý Ramsey Fall 2006 Toán rời rạc 3
  4. 1. Giới thiệu bài toán  Trong ch­¬ng tr­íc, ta ®· tËp trung chó ý vµo viÖc ®Õm sè c¸c cÊu h×nh tæ hîp. Trong nh÷ng bµi to¸n ®ã sù tån t¹i cña c¸c cÊu h×nh lµ hiÓn nhiªn vµ c«ng viÖc chÝnh lµ ®Õm sè phÇn tö tho¶ m·n tÝnh chÊt ®Æt ra.  Tuy nhiªn, trong rÊt nhiÒu bµi to¸n tæ hîp, viÖc chØ ra sù tån t¹i cña mét cÊu h×nh tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt cho tr­íc lµ hÕt søc khã kh¨n. • Ch¼ng h¹n, khi mét kú thñ cÇn ph¶i tÝnh to¸n c¸c n­íc ®i cña m×nh ®Ó gi¶i ®¸p xem liÖu cã kh¶ n¨ng th¾ng hay kh«ng, • Mét ng­êi gi¶i mËt m· cÇn t×m kiÕm ch×a kho¸ gi¶i cho mét bøc mËt m· mµ anh ta kh«ng biÕt liÖu ®©y cã ®óng lµ bøc ®iÖn thËt ®­îc m· ho¸ cña ®èi ph­¬ng hay kh«ng, hay chØ lµ bøc mËt m· gi¶ cña ®èi ph­ ¬ng tung ra nh»m ®¶m b¶o an toµn cho bøc ®iÖn thËt ...  Trong tæ hîp xuÊt hiÖn mét vÊn ®Ò thø hai rÊt quan träng lµ: xÐt sù tån t¹i cña c¸c cÊu h×nh tæ hîp víi c¸c tÝnh chÊt cho tr­ íc - b µi to ¸n tån t¹i tæ  hîp .  NhiÒu bµi to¸n tån t¹i tæ hîp ®· tõng th¸ch thøc trÝ tuÖ nh©n lo¹i vµ ®· lµ ®éng lùc thóc ®Èy sù ph¸t triÓn cña tæ hîp nãi riªng vµ to¸n häc nãi chung. Fall 2006 Toán rời rạc 4
  5. Bài toán về 36 sĩ quan  Bµi to¸n nµy ®­îc Euler ®Ò nghÞ, néi dung cña nã nh­ sau:     “Cã m é t lÇn ng­ê i ta triÖu tËp tõ  6 trung ®oµn m çi  trung  ®oµn  6  s Ü  quan  thué c  6  cÊp  bËc  kh¸c  nhau:  thiÕu óy, trung uý, th­îng uý, ®¹i uý, thiÕu t¸, trung t¸  vÒ  tham   gia  duyÖt  binh  ë   s ­  ®oµn  bé .  Hái  r»ng  cã  thÓ  xÕp  36  s Ü  quan  nµy  thµnh  m é t  ®é i  ngò  h×nh  vu«ng s ao cho trong m çi m é t hµng ngang  còng nh­  m çi  m é t  hµng  däc  ®Òu  cã  ®¹i  diÖn  cña  c¶  6  trung  ®oµn vµ cña c¶ 6 cÊp bËc s Ü  quan.” Fall 2006 Toán rời rạc 5
  6. Bài toán về 36 sĩ quan  Sử dụng: • A, B, C, D, E, F ®Ó chØ c¸c phiªn hiÖu trung ®oµn, • a, b, c, d, e, f ®Ó chØ c¸c cÊp bËc sÜ quan.  Bµi to¸n nµy cã thÓ tæng qu¸t ho¸ nÕu thay con sè 6 bëi n.  Trong tr­êng hîp n =4, mét lêi gi¶i cña bµi to¸n 16 sü quan lµ Ab Dd Ba Cc Bc Ca Ad Db Cd Bb Dc Aa Da Ac Cb Bd  Mét lêi gi¶i trong tr­êng hîp n =5 lµ Aa Bb Cc Dd Ee Cd De Ea Ab Bc Eb Ac Bd Ce Da Be Ca Db Ec Ad Dc Ed Ae Ba Cb Fall 2006 Toán rời rạc 6
  7. Bài toán về 36 sĩ quan  Do lêi gi¶i cña bµi to¸n cã thÓ biÓu diÔn bëi 2 h×nh vu«ng víi c¸c ch÷ c¸i la tinh hoa vµ th­êng chång c¹nh nhau nªn bµi to¸n tæng qu¸t ®Æt ra cßn ®­îc biÕt d­íi tªn gäi bµi to¸n vÒ h×nh vu«ng la tinh trùc giao.  Euler ®· mÊt rÊt nhiÒu c«ng søc ®Ó t×m lêi gi¶i cho bµi to¸n 36 sÜ quan thÕ nh­ng «ng ®· kh«ng thµnh c«ng. Tõ ®ã «ng ®· ®Ò ra mét gi¶ thuyÕt tæng qu¸t lµ: Kh«ng tån t¹i h×nh vu«ng la tinh trùc giao cÊp n = 4k + 2.  Tarri, n¨m 1901 chøng minh gi¶ thuyÕt ®óng víi n = 6, b»ng c¸ch duyÖt tÊt c¶ mäi kh¶ n¨ng xÕp.  N¨m 1960 ba nhµ to¸n häc Mü lµ Boce, Parker, Srikanda chØ ra ®­îc mét lêi gi¶i víi n = 10  vµ sau ®ã chØ ra ph­ ¬ng ph¸p x©y dùng h×nh vu«ng la tinh trùc giao cho mäi n = 4k+2, víi k >1. Fall 2006 Toán rời rạc 7
  8. Bài toán về 36 sĩ quan  T­ëng chõng bµi to¸n ®Æt ra chØ cã ý nghÜa thuÇn tuý cña mét bµi to¸n ®è hãc bóa thö trÝ tuÖ con ng­êi. ThÕ nh­ ng gÇn ®©y ng­êi ta ®· ph¸t hiÖn nh÷ng øng dông quan träng cña vÊn ®Ò trªn vµo: •Quy ho¹ch thùc nghiÖm (Experimental Design), •S¾p xÕp c¸c lÞch thi ®Êu trong c¸c gi¶i cê quèc tÕ, •H×nh häc x¹ ¶nh (Projective Fall 2006 Toán rời rạc Geometry), 8
  9. Bµi to ¸n 4 mµu  Cã nh÷ng bµi to¸n mµ néi dung cña nã cã thÓ gi¶i thÝch cho bÊt kú ai, tuy nhiªn lêi gi¶i cña nã th× ai còng cã thÓ thö t×m, nh­ng mµ khã cã thÓ t×m ®­îc. Ngoµi ®Þnh lý Fermat th× bµi to¸n 4 mµu lµ mét bµi to¸n nh­ vËy.  Bµi to¸n cã thÓ ph¸t biÓu trùc quan nh­ sau: Chøng minh r»ng mäi b¶n ®å trªn mÆt ph¼ng ®Òu cã thÓ t« b»ng 4 mµu sao cho kh«ng cã hai n­íc l¸ng giÒng nµo l¹i bÞ t« bëi cïng mét mµu.  Chó ý r»ng, ta xem nh­ mçi n­íc lµ mét vïng liªn th«ng vµ hai n­íc ®­îc gäi lµ l¸ng giÒng nÕu chóng cã chung biªn giíi lµ mét ®­êng liªn tôc. Fall 2006 Toán rời rạc 9
  10. Bài toán 4 màu  Con sè 4 kh«ng ph¶i lµ ngÉu nhiªn. Ng­êi ta ®· chøng minh ®­îc r»ng mäi b¶n ®å ®Òu ®­ îc t« víi sè mÇu lín h¬n 4, cßn víi sè mÇu Ýt h¬n 4 th× kh«ng t« ®­îc. Ch¼ng h¹n b¶n ®å gåm 4 n­íc ë h×nh d­íi kh«ng thÓ t« ®­îc víi sè mÇu Ýt h¬n 4. A B C D Fall 2006 Toán rời rạc 10
  11. Bài toán 4 màu  Vấn đề này được đề cập trong bức thư của Augustus  De Morgan gửi W. R. Hamilton năm 1852 (De Morgan  biết  sự  kiện  này  từ  Frederick  Guthrie,  còn  Guthrie  từ  người anh trai của mình...)  Trong  110  năm  rất  nhiều  chứng  minh  được  công  bố  nhưng đều có lỗi.  Năm  1976,  Appel  và  Haken  đã  đưa  ra  chứng  minh  bằng máy tính điện tử!             K.  Appel  and  W.  Hankin,  "Every  planar  map  is  4­ colorable,"  Bulletin  of  the  AMS,  Volume  82  (1976),  711­712.  Fall 2006 Toán rời rạc 11
  12. Bài toán 4 màu  Trong ngôn ngữ toán học, bài toán 4 màu được phát biểu  dưới dạng bài toán tô màu đồ thị phẳng.  Việc  giải  quyết  Bài  toán  4  màu  đóng  góp  phần  quan  trọng vào việc phát triển lý thuyết đồ thị.  Bài toán tô màu đồ thị có nhiều  ứng dụng thực tế quan  trọng. Fall 2006 Toán rời rạc 12
  13. Hình lục giác thần bí  N¨m 1910 Clifford Adams ®Ò ra bµi to¸n h×nh lôc gi¸c thÇn bÝ sau: trªn 19 « lôc gi¸c (xem h×nh vÏ ë d­íi) h·y ®iÒn vµo c¸c sè tõ 1 ®Õn 19 sao cho tæng theo 6 h­ íng cña lôc gi¸c lµ b»ng nhau (vµ ®Òu b»ng 38). Fall 2006 Toán rời rạc 13
  14. Hình lục giác thần bí  Sau 47 n¨m trêi kiªn nhÉn cuèi cïng «ng ta ®· t×m ®­îc lêi gi¶i.  Sau ®ã v× s¬ ý ®¸nh mÊt b¶n th¶o «ng ta ®· tèn thªm 5 n¨m ®Ó kh«i phôc l¹i. N¨m 1962 Adams ®· c«ng bè lêi gi¶i ®ã.  ThËt kh«ng thÓ ngê lµ ®ã lµ lêi gi¶i duy nhÊt (nÕu kh«ng tÝnh ®Õn c¸c lêi gi¶i sai kh¸c nhau bëi phÐp biÕn h×nh ®¬n gi¶n). Fall 2006 Toán rời rạc 14
  15. Giả thuyết 3x + 1  Giả thuyết 3x+1 (conjecture) • Giả sử hàm f(x) trả lại x/2 nếu x là số chẵn và 3x+1 nếu  x là  số lẻ. Với mọi số nguyên dương x, luôn tồn tại n sao cho f (13) = 3*13+ 1 = 40 f n (x ) = 1f (4f (...( 4 2f (4x ))...)) 43 f (40) = 40/ 2 = 20 n l� n g� i h� mf f (20) = 20/ 2 = 10 f (10) = 10/ 2 = 5 f (5) = 3* 5+ 1 = 16 • là bằng 1. f (16) = 16/ 2 = 8 f (8) = 8/ 2 = 4 f (4) = 4/ 2 = 2 f (2) = 2/1 = 1 Fall 2006 Toán rời rạc 15
  16. Giả thuyết 3x + 1  Giả thuyết 3x+1: Đoạn chương trình sau đây luôn  kết thúc với mọi số nguyên dương x: repeat if x mod 2 = 0 then x:= x div 2 else x:= 3*x +1 until x=1;  Paul  Erdös  commented  concerning  the  intractability  of the 3x+1 problem: ``Mathematics is not yet ready  for such problems.''   Đã chứng minh với mọi x   5.6*1013 Fall 2006 Toán rời rạc 16
  17. Một số vấn đề mở Open problems  Goldbach’s Conjecture • Mỗi số nguyên n >2 đều là tổng của 2 số nguyên tố • Đã chỉ ra là đúng với mọi n đến tận 4*1014 • Nhiều người cho rằng giả thuyết là đúng  Cặp số nguyên tố sinh đôi (Twin prime conjecture) • Có vô số cặp số nguyên tố sinh đôi (nghĩa là chỉ chênh  lệch nhau 2) • Cặp sinh đôi lớn nhất: 318,032,361*2107,001±1 • Số này có 32,220 chữ số! • Cũng được cho rằng là đúng  Không tồn tại số hoàn hảo lẻ (Odd perfect number)  Nếu bạn giải quyết được một trong những vấn đề  này .... Fall 2006 Toán rời rạc 17
  18. ẢO GIÁC Fall 2006 Toán rời rạc 18
  19. Fractals Fall 2006 Toán rời rạc 19
  20. A bit of humor: Computer terminology Fall 2006 Toán rời rạc 20
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2