Bài giảng Tuyển chọn hệ phương trình

Tất cả vì học sinh thân yêu

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 1

Tất cả vì học sinh thân yêu

GIẢI HPT – PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

6

5

10 x



2

x



y



2

4 x y

,x y   )

2

x

  5

2

y

  1

6

   

Bài 1: Giải hệ phương trình (

Bài giải:

2

y

    -

1 0

y

1 2

Điều kiện:

5

5

- Xét x=0, từ pt đầu suy ra y=0, thay x=y=0 vào pt thứ hai không thỏa mãn (loại)

0x  , chia 2 vế của pt đầu cho

5 x  , ta được

0

x



2

x





2

y x

y x

æ ç è

ö ÷ ø

æ ç è

ö ÷ ø

'

f

5 2 , t

t

f



45 t

2 0,

t

- Xét (1)

     . Ta có t

     .

  t

  t

2

f

  t

5 2 t

Xét hàm số

x

x

y

  t

y     x

Vậy hàm số đồng biến trên  . Do đó (1) . Thay vào pt thứ

y

  5

2

y

  (2)

1 6

2 của hệ ta được:

g y ( )



y

  5

2

y

   - . y

1,

1 2

' g y ( )





   - y

0,

Xét hàm số

-

;



1 2

1 2

1 y

1 y

2



5

2



1

æ ç è

ö ÷ ø

Ta có . Vậy g(y) đồng biến trên khoảng .

y  4

Mà g(4)=6 nên (2)

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 2

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

3

2

xy x (

  1)

x



y

 - x

y

2  - 2 Suy ra hoặc y  x    4 4 4 x   y x    y

2

2

y

2



9

x



3



4

y



1

  x

x



1



2



  0 2







  1 

   3 

Bài 2: Giải hệ phương trình

x

 y

2

Bài giải:

(1)

y

x

-  y

  - x



 1

2

y



x



1

   0 

Biến đổi PT

2

2



x 3 2

9

x



3



4

x



2

1

  x

x



1



0









2

2

x

2

x



  3

2

 -

x ( 3 ) 2



- ( 3 ) x



3

    2

 1



 1





x = y thế vào PT (2) ta được:







f

2

x





f

- 3

x







2

f

 '( ) 0, t

 . t

f

t ( )



t

t

 

3 2



 1 

Xét có

2

x

1

3

x

x

y

1   -   -   - 5

1 5

f là hàm số đồng biến nên:

y

x

2 1

2

2

2

2



1) 2





3(

x

9

x



3

4

x

 

1 2

1

  x

x



1

 0









 thế vào 



(2)

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 3

Tất cả vì học sinh thân yêu

Vế trái luôn dương, PT vô nghiệm.

-

;

-

.

1 5

1 5

æ ç è

ö ÷ ø

3

y



3(

x



y

) 6 (

y y



-

   2) 14 1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất:

3

2

3

27

x



27

x



20

x

 

4 4.

y



2

x

-

  1 2

3   x   

Bài 3: Giải hệ phương trình sau .

3

3

2

Bài giải:

3

3

 x

3

x



-

y



-

 2



 23

y

Phương trình (1) x  3 x - y  6 y - 15 y  14

3 

2

Xét hàm số: liên tục trên R. f )( t  t 3 t

Rt 

pt

:

)( xf



f

2(

---

2

2

y

y

x

y

)

x

Ta có f t )('  t 3  3 0  hàm số đồng biến trên R. với 

3

3

2

3

27

x



2

x



20

x

 4

3 14

x

x



3(4

x



)1



41

x

x



1

  3

 1

Thế y = 2-x vào phương trình (2) ta được.

3 

2

Xét hàm số: )( tg  t 4 t liên tục trên R.

3

2

3

3

Ta có tg )('  t 3  4 0  hàm số đồng biến trên R.

xg 3(



)1



g

(

x

 3

)1

1

x

x

 1

27

x



27

x



9

x



1

x

1

Suy ra:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 4

Tất cả vì học sinh thân yêu

x



0

y

2

3

2



27

x



27

x



8

x

0 

2

27

x



27

x

8 

(0

vn

)

  

x

  1

(

x



1)(

y

-

  

x

y



y

-

2



Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(0;2)

x y ,







(

1 3



(

y

-

2)

x

 -

2) 

5 2 

x x

y 8)(  1) - 2  - 7 x 4

    

Bài 4: Giải hệ phương trình

Bài giải:

Điều kiện:

Xét phương trình:

Đặt ta được phương trình:

Từ phương trình ta có thay vào phương trình ta

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 5

Tất cả vì học sinh thân yêu

được

Tiếp tục giải phương trình

Xét hàm số

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 6

Tất cả vì học sinh thân yêu

Do đó hàm số đồng biến trên

Từ

Giải phương trình

+) Với

+) Với

2

2

x



4

y



y



1



  2 1



Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:

x y ( ;



 . )

2

3

3

y

-

10

y

  2

2

x



   1 2

   x    12 

Bài 5 : Giải hệ phương trình

Bài giải:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 7

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

(1)

  x

x

  4

- ( 2 ) y

  -

4 ( 2 ) (*)

y

2

t



t

t





4

2

Ta có: .

f t ( )



t

   t

4

f

t '( )



  1





0.

t 2

t 2

2

t



4

t



4

t



4

Xét hàm số đặc trưng

f x ( )



f

-   - ( 2 ) y

x

2

y

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ (*) suy ra: .

2

3

3

3

x



5

x

  2

2

x



1

3

3

3

3



2

x





x

2

x



1 (**)

   x

 1



 1



   1

Thay vào phương trình (2) ta được:

3   t

3

3

Xét hàm số g t ( ) t 2 ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra

- ( 1;

); (0;0)

1 2

2

2





y y

  

1

x

y

 1

  1

3 2

. Vậy hệ có hai nghiệm là . x   1 x 1  x 0     - 1 x 

x y ( ,



 )

2

x

-

2

x

  

5 1 2 2

x

-

4

y



  2 2

      x 

Bài 6: Giải hệ phương trình:

Bài giải:

x

y- 4

  0

2

2

Đk: 2

2



2

2

x

x

-

  4

2

y

  1

y



 -  1



 1

2



 - 2 x 4 y   2 y   1 y thế vào PT (2) ta được Ta có:   1

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 8

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x

1

1

2

y

2 1   

y

y

  )

0

y





  

1

y

y



1 (*)

- 2

-æ x ç 2 è

ö ÷ ø

(vì

f

  t

2 1  trên 

t

  t

2

t

t

t

0,

t

t

t

f

'

  1



  

0,

t

 , do

2 1         t

  t

t 2

  1 2

t



1



1

t

1

Xét hàm số

f



  t f

 f y



-æ x ç 2 è

ö ÷ ø

  x

2

y

 1

đồng biến trên  , theo (*) ta có

x

y 2

 thay vào (1) ta có:

1

2

2

2

y

  1

y

  4

y

    y

1

2

y

  -     y

2

1

y

x

2



3 4

5 2

x y ;

Với



5 3 ; 2 4

æ  ç è

ö ÷ ø

2

x

-

2.

y



2

y



8

x

  y

4

x





Vậy hệ có nghiệm 

xy



2

x

-

11



12

-  

y

x

- 7 3

x



0

   

. Bài 7: Giải hệ phương trình

Bài giải:

2

  x

,

y

 0

7 3

Điều kiện

4

x

y

Ta có

2

x

-

2.

y



4(

x

-

2)

y



-  8 2

. Dấu “=” xẩy ra khi y=4x–8

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 9

Tất cả vì học sinh thân yêu

4

x

8

2

y



8

x



y



x









 8 4

  y 2

. Dấu “=” xẩy ra khi y=4x–8

2

x

-

2.

y



2

y



8

x

  y

4

x





Suy ra . Dấu “=” xẩy ra khi y=4x–8

2

4

x

6

x

-

11



x



0

x

- 7 3

2



4

x

- - x

3



 4 3

x

- 7 3

x

2



0

- 



 4 3 



2

2

3

- - x

x

x

3

- - x

2



x



2;

-



4

x

- - x

3

-





7 3

  - -  x 1    x

1

  4 3

x

  - 7 3

x

-  x   - x

2

  

  

æ 0 do ç è

ö ÷ ø

2  - - x

x

-

-



0



1 x

 4 3

  x

1

- 7 3

 - x

2

1 x

  3 4  

  

2

x

- - 

 3 0 ( )

x





4 (3)

 4 3

  x

1

- 7 3

 - x

2

1 x

1 x

    

1



13

1

-

13

2

Như vậy, pt(1)  y = 4x – 8. Thế vào pt(2) ta có:

pt

  - -    ( )

3 0

x

x

x

  x

2

2

1



13

+

x



2

1



13

Đối chiếu điều kiện ta có

; 2 13 6

-

2

ö ÷ ø

æ ç è

Hệ có nghiệm

+ Xét pt(3)

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 10

Tất cả vì học sinh thân yêu

  x

2;

 

4 3

x

   

1 3

x

10

  6



7 3

1 6

1 x

 4 3

  x

1

  

  

  x

2;

:

g x ( )



- 7 3

x

 - x

2

7 3

 

ö ÷ ø

3



g x '( )

 -

  1



0

3 - 2 7 3

x

2 7 3 -

- x 2 7 3

- x

Xét hàm số



g x ( )



g



3

7 3

1   3

- 7 3

 - x

2

1 x

æ ç è

ö ÷ ø

. Do đó,

2;



  

3 4

7 3

1 6

1 x

 4 3

  x

1

- 7 3

 - x

2

1 x

    x 

  

1



13

: hay pt(3) vô nghiệm

; 2 13 6

-

2

æ ç è

ö ÷ ø

3

2

3

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất





  1

3

  2

2 x - 4 x  3 x -  1 2 x 2 - y - 3 2 y Bài 8: Giải hệ phương trình x   2 14 - x - 3 2 y  1    

0x  không phải là nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho

3x ta được

 -  2

-



-

y

- 3 2

y

  1

 2 2



4 x

3 2 x

1 3 x

1



1

-



- 3 2

y

- 3 2

y



- 3 2

y





  *

1 x

æ  - ç è

31 ö ÷ x ø

æ ç è

ö ÷ ø

3

f

t

t

Bài giải: Ta thấy

  luôn đồng biến trên 

  t

Xét hàm

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 11

Tất cả vì học sinh thân yêu

 - 

1

- 3 2

y

  *

  3

1 x

3

3

1

7





0

  - x



3

1   2 3

x

- 4 2

15

15







x



2 3 x  0 

æ ç ç ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

x y ;

7;

.

Thế (3) vào (2) ta được x   2 15 -    -  - x 2 3 2 1 x 15 -  0 x



111 98

æ  ç è

ö ÷ ø

x

2

   -

6 1

y

y

(1)

Vậy hệ đã cho có nghiệm 

2

  x

xy

9



y



0 (2)

   9 1 

Bài 9: Giải hệ phương trình

6 0

Bài giải:

x x

y     - 1

  

Đk:

y  , để hệ có nghiệm thì 1

0

y  .

0

VT

(1)



2

x

  

6

y

2 5

+) Nếu



VT

(1)



VP

(1)

VP

(1) 1

 - 

y

1

   

hệ vô nghiệm.

2

2

2

9 1

  x

xy

9



y

  0

9



y

9

y

(3)

  -



  -



3 x

3 x

æ ç è

ö ÷ ø

ö ÷ ø

æ ç è

+) Nếu y < 0, từ (2) suy ra x > 0

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 12

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

 9 2 t

2

f

t ( )



t

9



t

,

t



0;

f

t '( )



  

0

t

0

2

9



t

(3)



f



f

(

-   -  

x

y

y

)

9 2 y

3 x

3 x

æ ç è

ö ÷ ø

Xét hàm số

2

   - (4). Hàm số y

6 1

y

g y ( )



2

  đồng 6

y

9 2 y

9 2 y

Thế vào pt(1) ta có phương trình

;0- ; hàm số h(y) = 1 – y nghịch biến trên 

;0- và phương trình có ngiệm y = –3

biến trên 

2

2

y

- 

1 2

y

  1

x



x



xy



  y 3 1

nên pt(4) có nghiệm duy nhất y = –3. Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (1; –3).

2

2

x

  y

3



y

-

3

x



  7 2

   

Bài 10: Giải hệ phương trình :

2

Bài giải:

y

- - x



2

y

-  1

x



0

Đk: y  1, x  0, y  3 x

 1

1 -  1

y

x

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

Từ pt (2) ta có : 

2

2

x

  -

1

x

x

-  

1

x

7

-

3

Suy ra, y = x + 1

2

2

f x ( )



x

  -

1

x

x

Thay vào pt (1) ta được

-  1 x

Xét hàm số:

Chứng minh hàm số đồng biến

Ta có nghiệm duy nhất x = 2

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 13

Tất cả vì học sinh thân yêu

x

  3

xy

  x

3

y

3



y



Vậy nghiệm của hệ là (2;3)

2

x

-

3

y

y

-



-

3

2

x

x

x

 -



   1



    x  1

y 1 2 

  1 1   1 2 2

    

Bài 11: Giải hệ phương trình:

Bài giải:

   x

3

x



3

y



 - x

2

y

  1

y

 1





 1

Pt(1)

2

22 b



 0 , (1)

x  3 Đặt a b ,  trở thành: a -  ab a b  a b  -     0 a b 2   1 0  y  1    a   b 

a

b 2

  vô nghiệm do

1 0

a b 

0

,

+

x   thay vào (2) ta được:

2

y

2

+ Xét a = b







 1





2

3

x



3



x



x

-

  - x







 1

  2x 3 .

x - 3   1 2 x

y

3

5(

tm

2



3

x

x

 

1 2



x



x

-

x 



 1

   2x 3 *

   

) 

  

2

2



x



1



2

x

 

1 2



x

2

x

-



2

x - 3 x  3  x  x -  2x 3 x  - 1 2 



 -  1



 1

 

 









 

 

  

  

2

f

'

0

(*)

    t

0t  có

f



t



2

t



2

  t

  t







f

Xét hàm số ,

  t

 f x

 1





Suy ra đồng biến mà f x  1  -    - x 1 1 x

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 14

Tất cả vì học sinh thân yêu

1



    3

y

x

5

3x



0

 x  2 - x 

3;5

2

x

-

x

-

2

x

-

1



-

2

y



 y y

Vậy hpt có nghiệm: 

xy

4



2

y



2

y



2



5

y



12

x

-

 x

 1 2 





  4 1   6 2

 8 2    

Bài 12: Giải hệ phương trình:

Bài giải:

y  0

y

x





2

0



 1 x  2     y 2 

3

2

3

2

ĐK: . Từ pt (1)  dể pt có nghiệm thì

x

x

x

y

y

y



-

-

-



-



-



2 2

1

2 2 2

1

4 2 2

1

2

4



 







3

2

2



(*) PT   1

f

t

t



-





 22 t

t 4

0

f

t

t

t



-

 

t 3

4

4 2

2

   nên f(t) 0

0





  t

 t  -

2

  t luôn đồng biến

Xét hàm số có

f

x

x



-





-  y

2 2

1

2 2

1

 f y







Từ pt (*)

3 2 





 y y



y

 -

z 2

3

3

2

2

2

y y y Thay vào pt ( 2 ) ta được pt   2   2 3 2

z

y

z

yz

z

y

yz

z

y

 ta được pt







-

2

2

3

2

  0

 y  -





y

z



 t m /

 loaïi 



    

Đặt

y

y

y

x

t m



    

2

2

1 ( /

)

Với y = z ta được

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 15

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

2

2

2

-

y



x



2

x

-

y

 x x







x y ,



3

2

2

2



 

3

2

x



2

x

-

y



x



y



2



y

1

x





 x

 

2

x

1

     

Bài 13: Giải hệ phương trình:

2

Bài giải:

2

2

2

ĐK: x y  0

x



x

-   - x

x

y

y

Từ PT(1) tìm được

3

3

Thế vào (2) đưa về pt chỉ có ẩn x

3

3

f

t

t

Đưa được về hàm 1   1     1 1  1 x 2 x 2 x 1 x æ ç ç è ö ÷ ÷ ø

  đồng biến trên  từ đó được pt

1





1

 giải được

  t

1 x

2 x

x

 -

L

,

x



N









 5 1 2

- 5 1 2

Xét hàm

; 

5 - 2

5 - 1 2

ö ÷ ø

æ ç è

2

2

3

x

 -

1 3

2 x y



2

4

y

   1 1

8

2 x y

  1





Nghiệm

2 x y

-  

x

  2 0 2

    

Bài 14: Giải hệ phương trình 

Bài giải:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 16

Tất cả vì học sinh thân yêu

VT



0,

VP

0

  Hệ phương trình chỉ có nghiệm (x;y) với

y  thì 0

y  0

  1

  1

+) Với

2x 

y  nên từ phương trình (2) của hệ suy ra

0

2

2   - x

1 3

2 x y

  2

2

2 x y

4

y

 - 1 1

+) vì





2

2

   

1 2 2

x

2 x y

4

y

  1

2 x y

  3

Khi đó:   1

2 x y

2

2

x

  

1

x

2

2 x y

4

y

 

1 2

2 x y

2



1



2

y

4

y

 

1 2

y

1 x

1 2 x

1   x

2

Thay vào phương trình (3) ta được: 2  - x

f



t

1



t

 với

t

t  0

  t

2

+) xét hàm số:

2

t  0

  t

2

f



f

2

y

    2 y

xy

t với mọi f '  1  t    1 0 1  t

 0;  . Mà





1 2

1 x

1 2

æ ç è

ö ÷ ø

 f(t) là hàm đồng biến trên 

xy  vào phương trình (2) của hệ ta có:

x

4

1 2

1    y 8

+) Thay

4 1 8

 x    y

x y ;

4;

Thử lại thấy thỏa mãn hệ phương trình đã cho.



1 8

æ  ç è

ö ÷ ø

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 17

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

2

y



3

y

  y

x

x

4

-

22

21



-





2

2

x

x

 1

x y ,



Bài 15:



 

2

2

x

-

x 11

y

 

   1 1   9 2 2

   

Giải hệ phương trình

x 

  1/ 2 *

2

3

2

3

  

  3







3

2

2

5

3

y

x

x

y

y

y

y

x



2

x

- 1

Bài giải:

 1

3

 

 1   1 2

1 2

- 

  2

x

2

x

  y

23 y

3

y

- 1

3 - -   y 

1 4 

3

y



2

y

2

x

-

1



2 2

x

-

  



   1

  1 3

y 

2 

f

3   t

t 2

Điều kiện: Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) nhân với 2 ta được:  y 2

2

31    t t 3

f

t

f

với t  

  t

Ta có: đồng biến trên 

    y

 1

2

2

f -    1 1 y 2 x -   1 y 2 x - - 1 1 f 2 x Xét hàm số:   t Do đó:   3

      9 2 2

2

Thay vào (2) ta được: x - -  1 2 2 2 x x - x 11  11 x 2 x 11 2 2 x - x 11   1 2 -   

 4 2

 -  1

2   11 4

2

4

2

3

  với 2 0  -      

x 121



x

- 121 44

x

x x 11 -  2 x

x

 -  x

4 4

8

 x

4

3

2

3

2

x

  4  - 4 x

x

44

x

-

250

x



  -

x

-

40

x



125

x

-

125

 0

44 

242 -  1 4



2

 0



25

x

-

x

-

20

x

 1

  -

125 0 

11 0 **  

1

x      * , **      * , **     * , **

165   5 4  tm  5  ktm



 tm y y 0 2    x 1      5 x  5 / 2   x    x    x

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 18

Tất cả vì học sinh thân yêu

 x y  ;

    1;0 , 5;2

 

4

2

2

3

2

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là 

2 x y





2

2 x y -

  x  Bài 16: Giải hệ phương trình: x y ,  3 x 2 y - y - 5 2 x  - y 1   

x 

Bài giải:

5 2

2

2

2

Điều kiện:

2  - - x

1

y

x



y

    hoặc y

0

0

x







Phương trình (1) x y  1

x

y  thế vào (2) không thoả mãn.

0

2

32 y

-

- 3 2

y

- 

1 0 (3)

Trường hợp

3



Trường hợp x y  thế vào (2): 1

f



t 2

-

- 3 2 t

-

1;

t

-

;

;

ma f `



0

  t

  1

3 2

æ ç è

  

2

Xét hàm

y

      2

1

x

x

2

1y  . Với

Suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất: (thoả điều

  2;1 ;

 2;1

2

2

2

x

2

y



1

- kiện) Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

  x 2  x

    y 2 x 2 y 2  -  - y x 2 2 2 0

y

   

Bài 17: Giải hệ phương trình: .

Bài giải:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 19

Tất cả vì học sinh thân yêu

x

 -

2,

y

1  - 2

2

Điều kiện:

x  - 2 y  2 x y Phương trình thứ hai của hệ tương đương với -  2

2

2

2

x

 - ( 2

y



2

x

-  y

2)

  x

x

  2

2

y

  y

2

y



1

2

2

  x

3

x

  2

x

  2

4

y



2

y



2

y



1

2

2

  ( x

1)



(

x

  1)

(

x

  

y 1) 1 (2 )



2

y



2

y

1

 (1)

2

1

f

t ( )



t

  t

t

1

Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

 với

t  - .

1

f

t '( )



t 2

  1

;

f

t ''( )

 - 2

;

f

t ''( )

   -

0

t

Xét hàm số

3 4

2



1

1 t

4

t





3 1

1;

)

f

t '( )



f

'





0

Ta có

t  -  . Do đó hàm f(t) đồng biến trên [ 1;

-  .





1 2

3 4

æ ç è

ö ÷ ø

   ( f x

1)

f(2 y)

     1 2

x

x

y

2

y

Suy ra với mọi

- . 1

Suy ra phương trình (1)

2

2

2

y

-



2

y

-

2(2

y

-  -   - 2 0

1)

6

y

y

7

y

   1 0

Thế vào pt thứ hai của hệ, ta

2 1

1 1 6

 y    y 

được

2 1 ; 3 6

æ -ç è

ö ÷ ø

Suy ra nghiệm (x;y) của hệ là (1;1), .

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 20

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

x



4

y



y



1



2





2

3

3

y

-

10

y

  2

2

x



1

Bài 18: Giải hệ phương trình :    x   12 

Bài giải:

2

2

x



x

  4

-

2

y

4

2

y





   -



y



f



t

t





f

Phương trình đầu ên của hệ tương đương với:

2 4  

  t

  f x



2 - y

2

t



t

t

t

f

'

  1





  

0,

t

f

với

  t

  t

t 2

  4 2

2

t



4



4

t

t



4



f

x

y

Ta có là hàm số đồng biết trên R.

  f x



2 -   - y 2

Từ đó

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 21

Tất cả vì học sinh thân yêu

x

 -

2

y

2

3

3

3

3

3

y



  t

3 2 t

x

2

x



1

Thế vào phương trình sau của hệ phương trình đã cho ta được:

  g t

   1

3

3

g

 x 1     1 

1

x

2 2    x x 5 3 3       x x 1 2     g x 1





2



t 3

   

2 0,

t

với

  g t '

  g t

3

3



1

x

g





 g x





3

3



1

2

2

0

y

 1    x x 1 3 x    0 x 3 1  -   x y     x 0 

Ta có là hàm số đồng biến trên R. Từ đó:

3



3

y

x  2 - xy

 x 2   5 5

-  y 1 - x y 6

  1   2

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:(-1;2),(0;0)

Bài 19: Giải hệ phương trình   2  2 y 

3

3

x



x

2

x

-  1

y

  y

3

2

x

-

1



3 2

x

-  1

y



y 3 ;

Bài giải:

  , 1

  - 2

 1



3

1 2

'

2

f

3   t

t trên 3

 ,

co f ´



t 3

   

3 0

t

f

 Đk x

  t

  t

  t

ét hàm số đồng

 f y





 -  

y

5

y

-     - 0

y

x

5;

y

1;

x

 f 2 x 1 y 2 x biến trên  ,pt(1) trở thành - ; 1

 -

  



 1

 Pt(2)

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 22

Tất cả vì học sinh thân yêu

y

 -  5

2

x

5,

1

-  - vô nghiệm

 Với



2 1

y  -  1 x 2 x -  -  x 1 1    x 2 2 Với 1 -  1 x -  x  2 x 

x

    

2

2

1

y

2.

 x y  ;





3

2

2  2;1  2 Với nghiệm của hệ là 

3

2

3

2 x   - 5 y 3 - -  y x x - 3 x - 10 y  6 Bài 20: Giải hệ phương trình: x - 6 x  13 x  y   y 10    

Bài giải:

3

3

x

-

2



x

-

2



y



y









  *

3

f

t

t

2

y

Phương trình thứ 2 của hệ được biến đổi thành:

  là hàm số đồng biến trên R. Ta suy ra (*)

x  -

  t

3

3

Xét hàm số

2

3 x  - 3 - 5 2 x  x - 3 x - 10 x  26

3 x

  -  - 3 3





- 5 2  x 3  x - x 3 - 10 x  24 Thế vào phương trình đầu của hệ:  1



2

2



  12 1



 - -  12

 x 3

   3 3 1

 - 5 2 x

2

x

x- -

12 0.

1

x

3 x 2 - 2 x 2 -    x - 2 x x   x - - x  1  2 - 5 2 x x 3 2 3   3 3  x    

-   thì



5 2

x



2;

y

Phương trình (1) vô nghiệm vì với

2x 

 0

Từ đó suy ra hệ có nghiệm duy nhất

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 23

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

3

2 x y

3

2

3

3   x   

xy - 2 - 2 y  - x 2 y  0(1) Bài 21: Giải hệ phương trình 6 y   5 x  3 x  2 y - 3(2)

3

2

Bài giải:

2 x y

3 y 2 )

2

2 ( - x x 2 1 0,   

2 ( y x -  ).

3

2

3

3

3 3

x

  5

x



3

x



2

y

-

3

   x

5

3

3

x

  5

(

x



1)



(

x

(1) 2 )  ( xy ( x -  y 2 )  y 2 )  ( x -  2 ) 0 y  - ( x 2  2 ) 0 2   ( x y  1)( x - 2 ) 0 y x x  y x y R , -  y    ( Vì 2 y

 (*) 1)

3

2

Thay vào (2), ta có:

f t ( )     t R , t f  '( ) 3 t t t R Xét hàm số     . Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên 1 0,

x

y

1

  

3

  x

23 x

-  4

0

R.

3 3

3 3





1 2  -   - 1

2

y

x

   

1;

 f x  5  f x (  1)     5 x x 1 (*) .

1 2

æ ç è

ö ÷ ø

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: ; (-2;-1).

3

2

3

y 2   x 8 2   x 10 y - 3 xy  12(1) Bài 22: Giải hệ phương trình 5 y 2 - -  8 6 x y  xy 2 - x (2)  3   

Bài giải:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 24

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

3

y 2   x 8 2   x 10 y - 3 xy  12(1)

5 y 2 - -  8 6 x y  xy 2 - x (2)  3   

Điều kiện: x [-2;2]

3

3

2

x



3 2

-  x



3

Nhận xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2)

  -



2 y

2 y

æ ç è

ö ÷ ø

æ ç è

ö ÷ ø

(2) (*)

3   t

f t ( ) t 3 Xét hàm số trên R  hàm số đồng biến trên R







3

y

2

  x

8 2

  x

10

y

-

3

xy



12

   3 2

x

4 2



x

2

-  x

10

y

-

3

x



6 2

-

x

 f 2 - x  f  -  2 x (*) thế vào (1) 2 y 2 y æ ç è ö ÷ ø

2

  - 3 2

x

6 2

-  x

4 4

-

x



3

x

-

10 0

 (**)

2

2

2

 - x

2 2

-    t

x

t

- 10 3

x

-

4 4

-

x

(1)

Đặt

2

x



;

y



5

0 t 3 - t Phương trình (**) trở thành 3 t      0 t

6 5

- với t = 0:

 - x 2 2 3 x - với t = 3: 2 -  phương trình vô nghiệm, vì vế trái 2 .

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 25

Tất cả vì học sinh thân yêu

xy

xy

4



(

xy

-

2)2



xy

- 

3 0

x

-

y

)



log

x .log

y



0

2 log ( 2

2

2

  

Bài 23: Giải hệ phương trình

Bài giải:

Điều kiện: x > y > 0

t

t

t

t

Đặt t = xy > 0, phương trính thứ nhất của hệ trở thành

t 1)(2

t   1 0

t

t

t - 

3 0

4  - ( t 2)2  -    3 0 (2 t  - t 3) 0 3 0 2    -  , vì 2 t

1t  . Khi đó ta có

y

f t ( )  2 3 t Vì hàm  - đồng biến trên R, mà f(1) = 0 nên 2

1  . x

xy = 1, hay

2

x

1

log

x

-



log

  0

log



log

x

2 2

2

2 2

2 2

1 x

1 x

- x

æ ç è

2

ö ÷ ø 2 x

1

x

1

log



log

x



x

2

2

2

x







  x

2

2

2

x x

1 -  x 2 -  1 1

1

x

x

1

  

log

 -

log

x



2

2

- x - x

- x - x

1 x

     

     

x 

2

y 

Thế vào pt thứ hai của hệ ta được:

1 2

Suy ra hệ của nghiệm là ,

2

2

4

x

4



xy



y



2

x

 - 

2 0

y

Bài 24:

x y ,





 

2

x



y

- 

9 0

   8 1 2 - 

Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 26

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

4

x

4



xy



y



x

y

2

 - 

Bài giải:

2

x



y

- 

  2 0 1   9 0 2

   - 8 1 2 

Xét hệ phương trình:

t



2

x

 , phương trình (1) trở thành:

y

1-2x

   . Đặt

0

x

1 2

2

Điều kiện:

0

y

x

   - 1

1 2

y

x

2

8

y

y

-  9 0

u

y

0

t 2 0 2  1  t  -     - t t   . Thế vào phương trình (2) ta được phương trình Nếu t = 1 thì 2

 , phương trình trở thành:

Đặt

4

3

2

u



u 8

-   - 0

u

9

u



u

  u

9

   . Khi đó hệ có nghiệm

1

u

0



 1



0

x

  -  - 2

1 2

y

x

   . Thế vào phương trình (2) ta được phương trình

3 0

y

y

2

8

y

  3

y

-   9 0

8

y

  3

y

-

3

y



3

0







8

y



-

3

y

  3

0

 - 3 



    

1  x   y Nếu t = -2 thì 2

y  - thì hệ có nghiệm

3

Với

1   x 2    - y 3  y

  3

8



y

-

3





  0 3

v

y

v

3 6 v-

Xét phương trình

  , phương trình (3) trở thành:

  8 0



v

8

 , ta có:

2

f

'

   

v

2

3 0   f v - và 6

Đặt

3 6 - v   v

Xét hàm số   v



f

Hàm số -  2;8 4 2 - 2;8 4 2

3 v ' f 0 f v đạt cực đại tại      và 8 4 2 8 0

-

 nên

0

0v 

 0

 , đạt cực tiểu tại    0 f v  không có nghiệm

Vì

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 27

Tất cả vì học sinh thân yêu

0

x



;

1

x     y

1   2    - y 3 

4

2

y

-

x

-

2

y

4 0





x y ;



Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là



 

3

2

3

x



3

x



4

x



y

 - y

- -  x  2 4

 1

   

Bài 25: Giải hệ phương trình

3

3

Bài giải:

x



  

1

x

2

y



2

y

 1





3

f

t

t

(1) Phương trình thứ hai của hệ tương đương với 

  với t  

  t

2

f

'



t 3



t

,

f

'

0

Xét hàm số

 với mọi t   . Do đó hàm f(t) đồng biến trên R. Khi đó

  t

  t

Ta có

f

2

y

     1 2

x

y

x

2

y

- 1

  1

    f x

 1





phương trình

4

3

2

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được

2

2

y

-  y

1

5

1

2

2

y



2

y

-

y

-   3 0

  y

  - y







2

 2

y

-  - y

3

  

1

5

1

5

y - 2 y  3 y - 2 y -  3 0

5;

5;

- 2

 2

æ -ç ç è

ö ÷ ÷ ø

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

Suy ra nghiệm (x; y) của hệ là và

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 28

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

  3 1



   1

2

2

  1 2

x 4 y x 2 y  Bài 26: Giải hệ phương trình 2 y  4 y    1 x x     

Bài giải:

y  0

2

2

Điều kiện:

  1



   1

2

2

PT  4 y 2 y    3 x 0  x x   

PT

  2

y

4

y

  

1

x

x



  2

  1 3

f

  t

t

Khi đó,

  t

 0; 

 trên  2 1

Xét hàm

f

'

  1

    t

0

0

f

 0; 

  t

  t

t 2

t



1

PT



f

2

y



2

Có đồng biến trên 

  x y

  3





  f x

5

3

Khi đó,

10

6

3

9

5

2



t

t



t 10



t 6



t 3

Thay vào phương trình (1) ta được phương trình: x  x  x x  3

  có t

 do 0

t  0

  g t

  g t '

g

3

1

1

x

x

t

Đặt t x  có hàm số 0

       1

 1

Mà

x y ;

1;

x

1

y

   . Hệ phương phương trình có nghiệm duy nhất 



1 2

1 2

æ  ç è

ö ÷ ø

3

2

2

y



5

x

-

2

y



10

x

-

3

y

 

Với

3

2

x

  2

4

-  y

x



y

-

4

x

-

2

y

  6 0 1   2

3  - x   

Bài 27: Giải hệ phương trình:

Bài giải: Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 29

Tất cả vì học sinh thân yêu

x

 -

2;

y

 4

2

3

2

(1)

3   x

5

x



10

x

  6

y



2

y



3

y

2

3

3

2

  x (

1)



2(

x



1)



3(

x

  1)

y



2

y



3

y

3

2

2

Điều kiện

f x (



1)



f y ( )

1

y

x

f t ( )  t  t 2  t 3 , f  '( ) 3 t t  t 4   3 0 Xét hàm số   t R

   thay vào pt (2) ta được

3

2

Suy ra

x   2 3 -  x x  x - 4 x Phương trình



3

2

2





( x  2)(3 - x ) - 2 2 - 1     x 2 3 - x -  3 x  x - 4 x -  4  ( x  1)( x - 4) x   2 3 -  x 3

2

 2 ( 3

 2)(3





2

x  x - ) 4 -  ( x  2)( x - - x 2)  x   2 -  x x  ( 3 - x )  2

2





2  - - x

x

(

2)

x

  2



0

x

  2

3

-  x

3

(

x



2)(3

-

x

)



2





2 

   

   



0 (

vi x

 - 2)

2

2) 2( - x - ( x  2)( x - - x 2)  0  3 ( x   2 3 -  x x  2)(3 - x )  2 2)(3    x 

x y

)



(2;3), ( ;

x y

)

 -

( 1;0)

0 x x  x 2  - -     - 2 1 x 

Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( ;

Bài 28:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 30

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

x



y

 - x

y

   1

,

x

, y





 

2

2

y

2



9

x



3



4

y



2

1

  x

x

  1

0







 xy x 



   3 

Giải hệ phương trình Giải hệ PT

Bài giải:

3

3

3

2

x



y

 -  - y

x

x

2 x y



y

-

xy

x

ĐKXĐ x  

 -  y 0

 xy x

   1

x

2

x

y

x

0

y

  -



 1

2

 y  y

x



1

    0 

Ta có

2 1

2

2

2

2

3

x





1 2



9

x



3

4

x



6

1

  x

x



1

 . Dễ thấy PT vô nghiệm.

0













2

2

Với y x  thay vào PT thứ 2 ta được

x thay vào PT thứ 2 ta được

3

x

2



9

x



3



4

x



2

1

  x

x



1

 0











2

2

Với y





 1

2

2

 3x 2  9 x  3  - 2 x  3  2 x   2

  - 2

 1

  - 2

 1

 

 

 3 x 2  9 x  3 x  3 x -  2

 

2

2

2

f



t

t

 

2 2

  t

  t

2

t Xét hàm số ta có f '  t    2 2  0 suy ra hàm số

  1  



t  2

đồng biến

3

x

 -

2

x

x

x y ;

;

-

-   - . Vậy HPT có nghiệm  1



1 5

1 5

1 5

æ  - ç è

ö ÷ ø

Từ đó suy ra

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 31

Tất cả vì học sinh thân yêu

y

-

2

  

5 2

x

y



y

-

2

x

x

 1







y

-

2

x

 -

1 3



- 2





    1   y  1  7 x 4

8 -

x x

    

Bài 29: Giải hệ phương trình:

Bài giải:

x

 -

1;

y

 2

Điều kiện

x

  1

a ;

y

-  2



2

 b a b ,



2

2

2

2

2

a ab a





-  

1 5 2

b



2

  - 

a b ab b

-

b



a

-

b

 0





a b

 1 2a



b

 0

  -





a b  (do

a b ,

  

1 2a

0

  )

b

0

   x

1

y

-    y 3

2

x

Đặt , từ (1) ta có:

x

8

4

x



x

8

4

x



x



8

x

-















x



x





- 2

- 2

 1

  -  1 3

-

  4x 7

x

-

  4x 7

x

 1   1 3

x

Thế vào (2) ta được:

8  x

  *

2

 x - 4   4 x 7 x x  1   1 3 x    

x

11;

y

8

2

+





 1



   



2

2

   x

1 3

x



1





x

-

2



x

-

2











 

3 .  





 

   3 ** 

    

 3  

   x 1 3 x  4  x  x - 4x+7 +   *

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 32

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

f

'



3

t



    nên f(t) đồng

0

t

f



t



3

t



3

  t



2 1

  t







Xét hàm số với t   có

2



f

x



1



2

2

x

x

biến trên 

 **

 f x



2





 x x

  1

x

-

 4x 4

-    -   1 

2

5



13



  x

T M /





2

  5x 3 0

 x  2 - x 

5



13

11

13

x



  y

2

 2

5



13

13 11 ;

Do đó 

 8;11 và

2

 2

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

3

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x;y) là 

3

 y y y - - 2 2x





y - - 2x+1 8x  - 13 y - 2  - 82x 29 -  2  2 1  8x  Bài 30: Giải hệ phương trình   

2

x

 

1 0

 -

x

Bài giải:



1 2

y

- 

2 0

  

2

     y



3

Điều kiện:

38 x



y y

2

x

x



2

x



y

-

2



y

- 2













2

3   t

, f'

t 3



t

f

Phương trình

   t 1 0

2 2 - -    t

x

y

y -  2   t Hàm số f(t) liên tục và đồng biến trên R. Suy ra: 2

- 2

Xét hàm đặc trưng:

2y

- vào phương trình thứ hai ta được:

Thế 2x

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 33

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

52x

- 82x 29

2

2x 1

 

-

-

- 

2

2

  2x 1 4x - 24x 29

    -

  2x 1 8x   2x 1 -    - 2x 1    - 2x 1

24x+29 

 2x 1



 2x+1 4x - 0  - 2x 1 4x  - 24x 29  0

2

2 x -      x 1 0 y 3

2

2 x  - 1 4 x  x -  29 0 1 2 24    

24 x -  29 0

1,





x

t

t

0

2

2

4

2

Giải phương trình: Đặt 2

 - - 1

 2

 12 t Ta được phương trình: - - t t 29 0   - t t 14 -  t  42 0 x 2 1 4   - x 2 - 1 x    t 2 2   1





 - 3 loai

2

  - t











 t  t   1 - 29 2 t  3 t - - t 7 0     t loai 2

1  29

    t  2

t

    

2

x

y

11

3 2

1



29

13

29



Với

t



  x

  y

2

 4

103 13 29 2

13

 29 103 13 29

Với

;

1 2

3 2

 4

2

æ ç è

ö æ ;3 ; ÷ ç ø è

æ ö ;11 ; ç ÷ ç ø è

ö ÷ ÷ ø

3

2

3

Vậy hệ phương trình đã cho có3cặp nghiệm:





  y 3 2 1

3

  1 2

2 x - 4 x  3 x -  1 2 x 2 - y - Bài 31: Giải hệ phương trình x   2 14 - x - 3 2 y     

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 34

Tất cả vì học sinh thân yêu

 -  2

-



-

y

- 3 2

y

  1

 2 2



3 2 x

1



1

-



- 3 2

y

- 3 2

y



-





  y 3 2 *

1 3 x 1 x

3

ö ÷ ø t

t

4 x 31 ö æ  - ç ÷ x ø è f Xét hàm

  luôn đồng biến trên 

æ ç è   t

1

 - 

-

y

  *

  3 2 3

3

3

1 x Thế (3) vào (2) ta được

Bài giải: Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho x3 ta được

1

7





0

  - x



3

1   2 3

x

- 4 2

15







15

x



2 3 x  0 

æ ç ç ç ç ç è

x   2 15 x 1 2 3 2 15 -  0 x

x y ;

7;

x -    -  - ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø



111 98

æ  ç è

ö ÷ ø

3

3

2

y

  2

y

-  2

x

  4

x

Vậy hệ đã cho có nghiệm 

2

2

2

y



x



12

-  8

x

 - y

x



2

x

-

y



 4 2









   

Bài 32: Giải hệ phương trình:

y

 -

2

Bài giải:

2

y



  

2

2

2

12





y

y

-  8

x

 - y

x



2

x

-

y

x + Từ pt thứ 2 ta có:  4 2











+ Đk:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 35

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

   - 8

x

y

y



y



12

-

x



2

x

-

y

 0



 4 2







2

2

2



x

  8

y

-

2

y



y



12

-

2

x



2

x

-

y

 0

 4 2

 











2

2

2

2



  6

2

y

  8

y





  - y

2

2

2

x

  2

x

-

y

2     

2

y   0 + Thay vào pt 1 ta được:

3

3

2

y

  2

y

-  2

x

  x

4

3

3

3

3

3

3

  

- 

- 

 

y 2

y 2

x

   4 x

- y 2

  4

y 2

x

4 x





 2 y  - 8 y  6 x  - 2 x - y  0 

3 4  t R . Ta có:

tf  

2

+ Xét hàm số:   t t

3





  f x

3

  t

y

-

2

3





3

y

0

  2

4



TM

t 3 f   ' 1     t R 0, f   -  y 2 x t 2





3

-  2

y

x

3

+ Vậy ta sẽ có:

  x y  -

 -

: 4; 2

4     - x      - 2 y    Kl: Nghiệm duy nhất của hệ là: 

Bài 33:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 36

Tất cả vì học sinh thân yêu

2





x

y



2

x



y









 1

 1



x y ,







2

x 1 x  x 8 -  -

x

3 4

x



y



1



 1

    3 

Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình:

Bài giải:

3

3

2





x

x





y



2

x



y



y



2

y



1

  1







 1

   1





Điều kiện  - 1  - 1 x y

 1

x



 1 1



x

x 

 x x  1

3

3







y



1



y



1





x x 

1

æ ç è

2

x 1 x  3  t

f

f

'



t 3

    

1 0

t

ö ÷ ø Xét hàm số

t trên  có

    x x 

  t

suy f(t) đồng biến trên  .



1  

Nên . Thay vào (2) ta được f  f y  y  1 x x  1 x x  1

23x

2





x

x

2

x



1

  - 2

 1

  t ö ÷ ø 3 4 x x 

1

x

-

6

x

- 

3 0

x

 

3 2 3

2

x

  -

1

x

1







-



x

2

x

  -

1 1 3

x

x



   

5 2 13 9

    

2

x

1 3 -

10

x

- 

3 0

2 x    2        9 

2

y



-

1

æ ç è x 8 - -   1

x x 

1



-

Ta có:

x

 

3 2 3

y  

x



y   -

4 3 3 2

5 2 13 9

 41 7 13 72

Với . Với

Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện.

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 37

Tất cả vì học sinh thân yêu



x y ;





4 3 3 2

æ ç 3 2 3; ç è

ö ÷ ÷ ø

-

x y ;



;

-

KL: Hệ phương trình có hai nghiệm 



5 2 13 9

 41 7 13 72

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

2

x

- - 

1 ln

y

2

 

y  4 5 2x 2 

& 

2

3

6

y



2

y



x

  2

2x

y - 

7

y x  1



    

Bài 34: Giải hệ phương trình

2

x

- - 

1 ln

y

  1

2

 

4 2

y x

 

5 2

Bài giải:

2 -x

2

3

6

y



2

y



x

  2

2

x

y - 



  7 2

y x  1

    

2

2

x   

1 ln



2

x



2

  

2 ln

y



4

y



5

y

x

Xét hệ (Đ/K: )









2

2

x   

1 ln

x



y    

2 ln

y



2





 1







 1



   1 *

2

2

Ta có:   1

f

t  

ln

t



t R . Ta có 

  t

  t

2

2



 1 ,

 1 1

1 -t

Xét hàm f '   1    t R 0 , dấu bằng  t 2 t  1   t t

x     

1

2

y

2

xảy ra khi và chỉ khi

 f x

   1

 f y



x   

y

1

2

36

x

- 

1 2

x x

  2

2

x

x - 

Nên f(t) đồng biến trên R theo (*) suy ra

  8 3

Thay vào (2) ta được

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 38

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

3



;1-

2

4



x



2

x



x



4





3

Xét x   1 6 x -  1 2 x x   2 2 3   7 2 x x -  8 nên (3) không có nghiệm trên

6

x

- 

1 2

x x

  2

2

x

x



1x



 1



 -    1 1

10 2

2

2

2

x



x



4

2

Xét , khi đó



2

x

-   -

8

x

x

2



0





10 2

3 2

x ; y



Mà . Do đó (3) xảy ra khi và chỉ khi x = 2.





 2;1

(thỏa mãn điều kiện) Do đó hệ có nghiệm 

2

2

3

3

x

-  1

x x (

-

3

x



3)

-

x

-

6

x

  6

2

y

  2

y

 

  3 2 1

2

3

x

- - 1

x

-

6

x

  6

y

 

  2 1 2

  x   3 

Bài 35: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

2

3

Bài giải:

-

x

-

6

x

  6

y

  -

2 1 3

x

- vào PT(1) ta được :

1

3

3

(

x

-  1)

(

x

-

1)

  1

y

  2

y

  2 1

2

3

Thế

f

t ( )

  t

t

  1

f

t '( ) 1

 



0

t 3 3

t



1

3

3

Xét hàm số suy ra hàm số đồng biến

f x (

-  1)

f

(

y

  - 

2)

1

x

y

 .Thế vào PT(2) ta được :

2 2

2

3

x

- - 1

x

-

6

x

  x

6

Mà

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 39

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

 -  

3

1

x

x

x

-

6

x



6

2

2

 -  x

1) 2

9(

x

-

6

x

 

6 2

x x

-

6

x



6

2

-

6

x



6)

 (15 x  - x (

- 5)(

2 2 15 2 ) - x - x x 1)(4

-

x

  

y

127 64

2 4 (  x x 5) 0  - 5 4 5

x

  

y

62

   

Đối chiếu điều kiện

;

-

5 4

127 64

æ ç è

2

2





y y

  

1

x

y

 1

ö ÷ ø 3 2

x y ,



Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt và (5;62)



 

2

x

-

2

x

  

5 1 2 2

x

-

4

y



2

      x 

Bài 36: Giải hệ phương trình:

  1 0

2

2

2

2

2

  2 y

4

y

 

2 2

y y

 

1 2

x

 3

  y

2

y y

  1

y

 

1 2

x

-

4

y

 2

  1

Bài giải: ĐK: y- 2 x

2 1 

2



2

  y y  2 x - 4 y  2



 -  1

2

2

2

2

x - 2 x  5 (2) ta có: 2 x - 4 y   2 x 2

x

1

1



 -  1

2

2



y



y



1







1









- 2

-æ x ç 2 è

ö ÷ ø

1

2

x - 2 x  5  y  y  1  x 2

y

  

1

y

2

y

 - 1

y

Ta có:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 40

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x

1

1

2

2

2

  y

y

  1





1

y

 -   y

1

0

y

  

1

y

0

- 2

-æ x ç 2 è

ö ÷ ø

f

  t

t

2 1 

  t

f

'

  1

  0 t

  t

t 2

t



1

1

  - thay vào (2) ta có:

2

1

x

y

 f y



-æ x  ç f 2 è

ö ÷ ø

2

2

x



x

-

  

4 1 2 2

x

-

2

x

   

2 2

x

x

-

  5

4



 1



 1

x

  4

x

- -  4 0

  -

21 



 1

t

t

1x

Xét hàm

-  ta có: t

2 4   - 4

4

-  t

0



4







2

2



12



TM

  4

t

-  8 t

16





t   8 t 

  t 

 t   t 

4 3 2

Đặt

t 

1

x

y

3 2

3  -      x 4

5 2

3 2

x ; y

Với



5 3 ; 2 4

æ  ç è

ö ÷ ø

y

-

2

  

5 2

x

y



y

-

2

x

x

 1



Vậy 



x y ,







y

-

2

x

 -

1 3



- 2





    1    1 y  7 x 4

8 -

x x

    

Bài 37: Giải hệ phương trình

Bài giải:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 41

Tất cả vì học sinh thân yêu

   x

1

x



y

-

2



2

y

-

2

-

x

y

- 2

  1



 1









 -  1

2 Đkxđ:  - 1  y  x 

2

2

 a ab



b 2

-

a

  

b

b



-





b



b

 1





 b a b a



 1



a b

b b



b 2

    0

  -

 1

 1

  -

 a b a

   0 1

 a b  a

b 2

 

1 0

do

a,b 0

 

a+2b+1>0

  

x   1 a Đặt a,b 0  y -  2 b    

x

  - y 2

1

x   3

y

Với a = b ta có:

x

-

x

 

1 3





2



x



x

 -

1 3

Thay vào (2) ta có:

  -









8 2

 1



 1



 - 4

x

x



7

2

x



x

-

2



3

x



x

-

8

-

4

x



7

x



2



 1



 

x

8

x



4



8

x

 - 4



0

  -





  - x



   1  x

 

1 3

   1 3

x

   

   

8

x



4

x

 

1 3



x



x

-

2



3

 x 



2





   1 

 

  

a

x 8 x  4  x  x  - 1 3 x - 4 x  7    

a



0

x

1   x -  b 2

   

Đặt

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 42

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

a



3

a



3



b



3

b



3











Ta có: 

f



t

2 3 

t



  0

t

  t

 3





2

2

2

2

f'





3

  

t 3 2

t



t 6

  

t 3 3

t



t 6

 3

  t

 t t 2





23 t



t 6

 

3 3

t



   t 0

0



2 1





Xét hàm

 f a



  f b

2

2

 f(t) đồng biến

5



13

TM





  x

2

5

-

15

loai





   x 

2

   -    x 1 1 2 x x x - 4 x   - 4 x 5 x   3 0

x

  

8

y

11

5



13

11

13

Vậy với

x



  y

2

 2

5



13

x y ;



13 11 ;

Với





 8;11 ;

 2

2

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

3

2

y

  y

2

x

1

-  x

3 1

-

 x y R ,

Kết luận: 

x 



2

2

2

- 9 4

y



2

x



6

y

-

7

   

Bài 38: Giải hệ phương trình

Bài giải:

x



1;

y

3 3 ; 2 2

  - 

  

Điều kiện: . Ta có

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 43

Tất cả vì học sinh thân yêu

3    y

2

y

2 1

-  x

2

x

1

-  x

1

- x

  1

32    y

y

2 1

-

x

1

-  x

1

- x

f



32 t

t

 , ta có

  t

2

f

'



t 6

1 0

t R

    suy ra f(t) đồng biến trên R. Vậy

  t

0





f

1

x

y

1

x

  1

 f y





 -  

 y 2 y

 - 1

x

-   

2

Xét hàm số

2

2

2

PT



2 4

x

  5

4

x

-

12

x

-  2

4

x

 



2

x

-

2







 5 1

Thế vào (2) ta được: 4 x   5 2 x - 6 x - 1









4

4 x   5 2 x - 3 vn   2 loai 4 x   - 5 1 2 x     1 2 1   x 2     x 1     - x 

4

5

6

4 x y

  y 2 Với . Vậy hệ có 2 nghiệm x 1 y  - 2  -   2 

10 x

 y   x Bài 39: Giải hệ phương trình: 4 1  - x 2 1 - - x 3 x   1 1 - y    

Bài giải:

-  

x

1,

y

 1

Điều kiện: 1

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 44

Tất cả vì học sinh thân yêu

0;0

 x y  ;





là một nghiệm của hệ phương Nếu x = 0 thay vào hệ phương trình ta được 

5

5

5

trình.

x  , từ 0

4 x y



y



10 x

6   x





x



x

y x

y x

æ ç è

ö ÷ ø

4

5

f



t

t t R ,

f



t 5

1 0,

t R

'

Nếu

  . Ta có

    , nên f(t) đồng biến trên R.

  t

  t

2

Xét

  

x

y

x

  f x

y x

y x

æ  ç f è

ö ÷ ø

2

4 1

 - x

2 1

- - x

3

x

  1

1

-

x

Do đó . Suy ra

2

2

u

-

v

x







Thay y = x2 vào phương trình thứ hai ta được (*)

u



1

  x

0,

v



1

-  . Ta có 0

x

2

2

1 2  v



2

    u 

2

2

2

2

Đặt

u

-

v



u



v



uv

u 4

-

2

v

-









1 2

3 2

2

2

  2 u

v

-

4

- u v



v 2

 -

0

2

 0





   -

 u v u v 2



Phương trình (*) trở thành

u 2v

1

-  x

2 1

   -  

x

x

y

3 5

9 25

Nếu thì

v

2

 - thì 1 u

x

; y



Nếu -  - 2 x 1   pt vô nghiệm x





 0;0 ;

3 9 ; 5 25

æ -ç è

ö ÷ ø

Tóm lại phương trình có các nghiệm là 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 45

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

x



4

-

5

- 

1 4

y

-  x

2 2

y

 y x



x y ,





 

4

-

4

  x

2

x

-

1

 y x



   

Bài 40: Giải hệ phương trình

Bài giải:

2

2   x

4

xy

-

20

y

- 

1 4

y

-  x

2 2

y

  1

  4

xy

16

xy



2

x

1

x

- - . Thay vào (1) ta có

 2

2

2

x



2

x

-  1

2

y





2

2

y



 1



  - 1 1

2

u





t



2

t

1

Điều kiện . Với điều kiện đó 1 0  x   y

- với

t   . Hàm số này luôn đồng biến.



  g t

 1;

2

2

Xét hàm số

x



2

x

-  1

2

y





2

2

y

 -   1

x

2

y

  -  x

1 2

1

y



 1



 1

Vì thế

Thay vào (2) ta được

2

2







22 x

x -  1 2 x - 2 2 1 - 2 x - 9 x   8 2 x -  - 2 1 x 2  x x -  - 1 2 x  2 2 1 -  2 -    1 1 

  -  - 2 2 1 0

 



- x  9 2 2   10 4 2  0 x -  1 2 x - 2 2 1 2 x   -    

22 x



2 2 2 1





Phương trình bậc hai - 9 2 2  x   10 4 2  có 0 nên có hai nghiệm

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 46

Tất cả vì học sinh thân yêu



-  2 2 1 0



x - 22

x 1

5 2 2 2

-

là và 2 x  . Nghiệm x2 bị loại vì 2

x

-  - 1

2

x



2 2 1

-  

x

5 2 2 2

-

-





Hoàn toàn tương tự ta có

5 2 2 3 2 2 ;

5 2 2 3 2 2 ;

2

4

2

4

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

3

2

x

2

x

- - 1

y

-

3

y



15

y

  7

2

x



1



Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là và



2

 4 2  y y



2

2



6

-  x

2

x



2

y

-

15

x



4

y



12

2

    

Bài 41: Giải hệ phương trình

f



34 t



t 3

Bài giải:

  t

  6 1

   f

 1





2

y

  1

2

x

-  

1

y

2

y



2

x

- . Thế vào (2):

2

2

2

x

-  1

6

-  x

2

x

-

x 11

1 2

8

x



6

- - x



2

x

-

x 11

  5



x

-

x

-



 5 2

 1

 1

   - -





x 

- 5 - x

2

 1 1

5 

- 6

x -

x

1

1

A

0

 với

Điều kiện: với . Vì f(t) đồng biến nên 1   x y  f 2 x - 1

1x  )

A



2

x

  1

-



0

  x

5,

y



2.

  - x

5

1



6

-

x

2



x

-

1

3

2

(do



   1

2

2

x 4 y x 2 y  3 (1) Bài 42: Giải hệ phương trình 2 y  4 y    1 x x  1 (2)     

Bài giải:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 47

Tất cả vì học sinh thân yêu

Điều kiện:

y  0

2

2



   1

2

2

PT

(2)

  2

y

4

y

  

1

x

x

1

Khi đó,

 (3)

f

  t

t

Xé thàm

 0; 

  t

 trên 2 1

t

Có

f

'

  1

  

0

t

0

  t f

đồng biến trên 

 0; 

  t

2

t



1

PT

(3)



f

2

y



2

Khi đó,

  x y





  f x

5

3

PT (1)  4 y 2 y    3 x 0  x x   

Thay vào phương trình (1) ta được phương trình:

10

6

3

9

5

2



t



t



t

c ó g'



t 10



t 6



t 3



0

dot

x  x  x x  3

Đặt t

 0

> 0 có hàm số   g t

  t

g

1

1

3

x

x

t

Mà

       1

 1

x

1

y

x y ;

1;

Với

   . Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 



1 2

1 2

æ  ç è

ö ÷ ø

x

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 48

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2





x



y

 - x

y

 1

, ( ,

x y



 ).

2

2



9

x



3



4

y



2

1

  x

x

  1

0

y

2









 xy x 

   3 

Bài 43: Giải hệ PT

Bài giải:

x 

.

3

2

3

2

x



y

 -  - y

x

x

2 x y



y

-

xy

x

ĐKXĐ

 -  y 0

 xy x

   1

x

2

x

y

x

y

0

  -



2

 y  y

x



1

 -     1 

Ta có

2

2

2

2



1 2

3

x



9

x



3

4

x



6

1

  x

x



1

 . Dễ thấy PT vô nghiệm.

0







2 1 







2

2

Với y  thay vào PT thứ 2 ta được x

x thay vào PT thứ 2 ta được

3

x

2



9

x



3



4

x



2

1

  x

x



1

 0











2

2



x 3 2



9

x



3

 -

2

x



3



2

x





2





 1

Với y



2

2



x 3 2



9

x



3

2

x

-

3

x

-



2

  -

  - 2

 1

 1

 

 



2

2

2

f

t ( )



t

t

 

2 2

2

t Xét hàm số ta có suy ra hàm số f t '( )  t    2 2  0

  1  



t  2

đồng biến.

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 49

Tất cả vì học sinh thân yêu

x y ;

;

-

.

3

x

 -

2

x

-   -

1

x

.



1 5

1 5

1 5

æ  - ç è

ö ÷ ø

5

x

-

5

y

-  2

y y (

-

4)

y

- -

2 2

x

x y ,



Từ đó suy ra Vậy HPT có nghiệm 



  .

3

y

- -

2 1) 2

x

 

1 8

x

-

13(

y

-

 2) 82

x

-

29

 32   ( 

Bài 44: Giải hệ phương trình:

Bài giải:

x

 -

,

y

 2

1 2

5

2

5

(1)



x (2 )



2

x



(

y

-

y 4 )

y

- 

2 5

y

-  2

x (2 )



2

x



y

-

2



y

-

2(3)

Đặt đk



5

4

+)

5   t

f

x (2 )



f

(

y

-  

2)

2

x

y

Xét hàm số f t ( ) t , f  '( ) 5 t t     , suy ra hàm số f(t) liên tục trên R. Từ (3) 1 0, x R

- 2

x



y

-

2(

x



0)

ta có

3

2

Thay 2 vào (2) được

2

(2 x - 1) 2 x   1 8 x - 52 x  82 x - 29

2

 - (2 x x   1 (2 x - 1)(4 x - x  29)

2

2 x  - 1 4 x  24 x - 29  0 1)  - (2 x 24  1) 2 

2 1 2  - x 1 4 x  24 x -  29 0(4)   x  

Với x=1/2. Ta có y=3

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 50

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

(4)



( 2

x

 -

1 2)

-

(4

x

-

24

x



27) 0

 

-

(2

x

-

3)(2

x

-

 9) 0

3 - 2 x   1 2 x 2

3 / 2  x

(2 x -  9) 0(5) 1   1 2 2 x    

2

Với x=3/2. Ta có y=11

1



29

3

2

Xét (5). Đặt t  2 x     1 0 2 x t - . Thay vao (5) được 1

t



2

13

29



x



,

y



 4

103 13 29 2

3

3

2

2

. Từ đó tìm được t  t 2 - 10 21 0    t ( - t 3)( - - t 7) 0  . Tìm được

3

2

x - y  5 x - 2 y  10 x - 3 y  06 Bài 45: Giải hệ phương trình : x 2  4 y - x  y - 4 x - 2 y    

Bài giải:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 51

Tất cả vì học sinh thân yêu

x



-2;

y



4

3

2

3

2

)1(

5

x



 6

y



2

y



3

y

3

2

3

2



x





(3

x



)1



y



2

y



3

y

 x    1 x

 2

10 x  1

3

2

2

Điều kiện

Xét hàm số f )( t  t  2 t  ,3 t f )(' t  3 t  4 t 0  Rt 3

3

2

Suy ra f(x+1) = f(y) => y= x+1 thay và pt (2) ta đuợc

2

3

2

2





x 

2

3

-

x

- 3

x



x

-

4

x

- 4



x



-

4



 x 1







 x   2

  x - - 32 - x 3

2 3

x

2





x



x

x --

)2



 (2

  x  2 - x 3

-

x



2

x

 2

 4  32







2

2



-

x



2

x --

2



 x

 0 

x - (2 - x

)2 

-

x



2

x

 2

3

 32





  x - - 32    x  3 x     x 3



2 --

x

2

x

 2

0

 x

x

 2

3

x -

x



-

x



2

 32





   

   

2    3 - )2



(0

xvi

2 --

x

x

2

0 

x x

2  -

1

  

Phương trình : x  2 3 x - x  x - 4 x - 1

3

x -

y 

13

-

2

1

2

y

x

x

Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) = (2;3) , (x;y)= (-1; 0)

2

2

2

49 -

-





2

6

7

y

y

x

Bài 46: Giải hệ phương trình:

    Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 52

Tất cả vì học sinh thân yêu

1x

Bài giải:

3

3

3

y

 y

2

x

1

- x

13

2 - y

y

x

-

x



1

-

x

y

1

-

x

, ta có:

 1.2



ĐK:  2

32 t

  tf

  t Vì h/s đồng biến trên R.

2

2

x

-

6

x

- 1

4

x



5

2

x



x



15

2

x

2



4

x



x - 4  - 2

x 8 

 44 

425 2 15

1x

Thế vào pt kia ta được pt:

1- x

2

- 22 x  4 x  15 vì

5

(

xy

-

3)

y

  2

x



x



(

y

-

x 3 )

y



2

tmđk.

x y   )

2

9

x



- 16 2 2

y

  8

4 2

-

x

   

Bài 47: Giải hệ phương trình: ( ,

Bài giải:

1

 x

2 Đk: (*) .Với đk(*) ta có 0 y   x  - 2   

(

x

-

y



3)

y

 - 2 (

x



1)

x

 1) ( 

 

(

y



3)

y

  2

(

x



1)

x

(3)

   0 

(1) 

Nội dung

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 53

Tất cả vì học sinh thân yêu

2 2

y

    -

8 1

y

loai (

)

31 8

3

Với x = 1 thay vào (2) ta được:

y

(3)

2



y

  2

(

x

)



x

3

2

Ta có: (4). Xét hàm số

     

3  '( ) 3 t t



f

(

y



2)



f

(

x

)

2

x

y

x

y

f t ( ) t f t     Hàm số f(t) là hs đồng biến, do đó: 1 0; t

     - thay vào pt(2) ta được: 2

2

4 2

-  x

2 2

x

  4

9

x



16

2

2

2

2

2

 -

32 8

x



16 2(4

-

x

  -

8(4

9

x

x

) 16 2(4



-

x

)

-

(

x

)



x 8 )

 0

(4)

2

2

2

t



2(4

-

x

)

(

t



0)

0

-

2

  t Đặt: ; PT trở thành: t 4  t 16 - ( x  8 ) 0 x    4 0( loai ) x 2 x   - -  t  2

2(4

-

x

)

  x

  y

2

x   2

4 2 3

4 2 6 3

x



  x 2 32 9

   

4 2 4 2 6

Hay

;

3

3

æ ç ç è

ö- ÷ ÷ ø

Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) là:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 54

Tất cả vì học sinh thân yêu

y

x

-    x

2

y

x

- - y

y





 1

  1

2

2

y

-

3

x



6

y

 

1 2

x

-

2

y

-

4

x

-

5

y

-

  3 2

  - 1   

Bài 1: Giải hệ phương trình

Bài giải chi tiết

Điều kiện: x x   y 0  x y 2 ; 4 - 5 y -  3 0   

  - 1

  1



 1



 - - 1



 1



 - y y x x - -  y y x - - y y  0 Phương trình (1) trở thành: 

  - 1





 - -  1

 1 1



y

x

- - y



  0

  - 1



 1

1   y

1

1 -  y

1

x

1  y

1

 y  x 

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

y x y x - - y - y  0

1y 

 -

9 3

x



2

x

- - 2

4

x

- 8

 -

9 3

x

   x 3

0

 2

* Với

x

y  1

2

2

  y 2

3

y

-  2

2 1

- - y

1

-  

2

y

y

3

y

-  2

1

-

y

  2

  3

* Với

1y 

Điều kiện:

- - y

-  y





-

1

2

2

1

2

y

y

y

x

y

 0

  3

  - 2 1

 1







Cách 1: Phân tích thành nhân tử

 1 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 55

Tất cả vì học sinh thân yêu





 1





 - 2 1 y 1 - - y y  2 y  1 - - y y  0



 1



2 1

-  y

2

y

 

1 0

 VN



2

 - 

1

y

y

1

-  y

y

   

5

5

1

 2 1 -  y 2 y  1 - - y y  0

y  ) 0

  y

  x

-  1 4

 2

(vì

2    y

2

y

2

1

-



1

y

- y

  3



2

f



t 2





0

f'



t 4

0

t

Cách 2: Khảo sát hàm số

2  t t

  t



  t

 0; 

    . Do đó f(t) đồng biến trên  1

5

5

1

2

Xét hàm số có

y  ) 0

y



1

-   -   1

y

y

y

y

  x









-  1 4

 2

Mà nên (vì f y  f 1 - y

5

1

Sau khi thử lại, ta thấy tất cả các nghiệm của phương trình đều thỏa mãn.

;

  x  

3 1

5

 x   y 

y

 2 -  1 2

2

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:

2

2

    1 - x 8

 5

 4 4 xy

   16 0 2

y  5 x  - x Bài 2. Giải hệ phương trình y y - x - 4  16     

Bài giải chi tiết

Phương trình (2) tương đương với:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 56

Tất cả vì học sinh thân yêu

  2

  -





 4 y 5 x - 5 y  - x 4 x y 5 x       - 0 y 4 

y

x 5

 4

y

x

4

0

2

x

4



5

x



4

x

-

4

  0

6

x

5

x

  1

   5











   4

y

0

     4   -   x 5 

2

*

y

 - 4

x

x

4



5

x



4

x

-

4

  0

6

-

4

 0

  ; 1

  -









 x x



*

 -

x

 * 0    y      4 y x x 4 0 

;

;

4 5

x y

 

0 4

x y

 

4 0

  

  

0

     y

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:

3

2

2

2 x y

  2 0 1 

  0 2

xy  -  x Bài 3. Giải hệ phương trình 2 x -  x y - 2 xy -  y   

Bài giải chi tiết

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 57

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2



x

2

x

-  

y

-

2

x

-   -

0

x

y

2

x

y

  2



 1

 y y

 1

 -   0 1





2

2

2

2





    1 0 1 

  1 2

y - xy  4 y Bài 4. Giải hệ phương trình 7 - x - y   2 x    x     y   

Bài giải chi tiết

2

2

2

7

x

-

y



2

y

-

xy



4

y

  0

y

x

-

y

-

x

-

y



0

  2

















  - y 

 

 15 2 - 

 

0

y

3

x

-  y

5

0

x

3

  - - y x





x

5

 y  y    -     y 

2

y



x

Phương trình (2) tương đương với:

   (vô lý) 1 0

  0; 1

*

2

  3; 1

2

y

  x

  x

9

x



46 0

1 x y  * y  - x 2 0 x x    - 2  - -     -   - 2 y x 5 

 (phương trình vô nghiệm)

  5; 1

*

2

3

2

y

-

4

xy



3

y

-

2

x



y





  0 1

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: ; x y 1   - 2 x y 2  -  - 5      

2

2

2



y

  2

x



y



    2

 xy x



 5x   

Bài 5. Giải hệ phương trình:

Bài giải chi tiết

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 58

Tất cả vì học sinh thân yêu

xy



1

2

2

2

2

2

2





y

  2

x



y

  -

xy

2

x

x



y

-

2

  2



 xy x







 1



2

2

x



y



2

    0 

2

3

xy





5

2 x y

-

4

xy



3

y

-

2



y

Phương trình (2) tương đương với:

 0

  1; 1

 xy x



0

loai

2



 vi xy=1

2

3

y    1

x



3

2 x y

-

6

xy



3

y

  0

3

-

y

 y x



   0

y

2

2

2

3

2

2

* Với

x



y





5

2 x y

-

4

xy



3

y

-

x



y

y

 0



x

  2; 1





y   x 

2

3

2

3

 -

x



4

2 x y

-

5

xy



2

y

  -

0

x

y

x

-

2

y

 0



 



2

2

x



2

x y

  1   1

2

2

x



y



2

x



y





x

 

2

x



2

y

y



2

2 5

  

2

2

x



y



1

       5     

y

  2

2 5

               

* Với

x   2 5 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: ; x y 1     1    2 2 5        y 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 59

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x

 - -

1

y

x



2

y

y

2

  1 0 1

2

2

x



y

-

2

xy



4

x

-

3



y

-  -   x   0 2

   

Bài 6. Giải hệ phương trình:





x

y

0

  1



 -   1

-  1 y x  -  1 x

y

2

x



2

y

-

2

 -  x

y

1



    y

0

x

1



 1

y

2

x

x



2

-

2

2

  x

x



-

2

4

x

-

4

x



ö ÷ ÷ ø  0

  2



æ ç ç è 2  1

1 1  -     - x x 1

 1

y 

 -      (thỏa mãn) 2

2

3

0

x

x

y

Bài giải chi tiết

2

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: 2 3 x    y

  1

3

2

2

x - -  y x y - x y Bài 7. Giải hệ phương trình:

  1 11 2





2 x  y - 3 2 x -      

y

Bài giải chi tiết

- - 

y

x

0

x

  x  2     x 

1 2

2

y

  0

  0

x

- - 

y

x

0

Điều kiện:

y  0

3

y - x

y

Nếu (vô lý). Nên

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 60

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

  0; 1

  man 2





2

0 0 Với x - -  x y  khong thoa x 0 x -  x 0  y  2  1  y         x

y

y

3

3

 -  x

y

 - - 

1

y

x

-

1

  1

2

2

x

- - x

y

x

- - x

y

Với x - -  , ta có: 0 x y



 1

2

2

3

3

 - -  x



1

x



y

 - - x

y





0



 1

2

3

3

x

- - 

y

x

1

x

-

y



x

-  y

1



2

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

2

2

2

2

x



y



2 2x

-

3

xy



2

y

2

xy

y

  1

x  y x - - y - - y 1    0 y 1 x x - y  x -  y 1 x 

x

  y

x

-  y

3

x

-

4

y



   x   4 2

   

Bài 8. Giải hệ phương trình:

Bài giải chi tiết

Điều kiện: y  - y  x  x 

2

2

2

y



2 2

x

-

3

xy



2

y

-

x



y

 0

  1

  - x







2

2

x

-

3

xy



2

y

-

x



y



2

x

y





0

  -



2

2

 4 2 2 2

x

-

3

xy



2

  x

 y

2 y

Phương trình (1) tương đương với:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 61

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

  - x



2

2

 xy 3

2 y 2

7

y

1



  

0

x

y

  - x

2

2

2

2 2

x

-

3

xy



2

y

  x

y

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

7 x - y y   0    x y 2 2 x -

4



2

x

 -  x

4

    2

y

x

2

Khi đó:

  2

2

2

x



x

-

8

x



16

 x  

(thỏa mãn)

2

2

2

2

x



y



y



2

y

  1

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: 2 2 x    y

x



y

5



- x   3 2

   

Bài 9. Giải hệ phương trình:

Bài giải chi tiết

x

y  0

Điều kiện:

Với y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình

2

2

2

2



x



y

-

x

-

y

-



0



  1

y 3 2

y 2

æ ç è

ö ÷ ø

æ ç è

ö ÷ ø

2

2

2

2

Với y > 0, ta được:

2

2

2

2

x - y x - y 5 4 5 4    0 x  y  y x - y  3 2 y 2

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 62

Tất cả vì học sinh thân yêu

1

1

2

2

y





0

2

2

2

2

5 4

æ  - x ç è

x



y



y

x

-

y



æ ç ö ç ÷ øç è

3 2

ö ÷ ÷ ÷ ø

y 2

2   x

  x

y

25 y 4

5 2

-

12

x



9

 

x

2

x

3

  2

  x      x 

24 x 3 2

Khi đó:

    1

x

y

2 5

(thỏa mãn)

1

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:

2

x

 - 1

x

 - 

x

y

y

- 

2 4

x

-

3

y



 1

  0 1

2

2 5  x    y 

3

2

2

3

x



x



y



xy



  2

y  xy

x



1

 -  x    

Bài 10. Giải hệ phương trình:

 - 1

x

2

x

 - 

x

y

0

Bài giải chi tiết

 

1 0

xy 2

     x    y

Điều kiện:

Phương trình (2) tương đương với:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 63

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

3

2

2

3

x



x



y



xy

-  y

-

y

y  xy

x



1

2

2

x





y

x

-  y



y

-  x

 1





 y y

 1





2

3

2

2

3

2

2

2

 1 

x

xy



1

3

x



x



y



xy



3 y x



x



y



xy



y

xy 



2

2



xy



y







 -  x

y





0



 1

2

3

2

2

3

2

2

2

 y y 

x

 1 

xy

1

3

x



x



y



xy



y x 3



x



y



xy



y

x 



    

2

2



     

2

3

2

2

3

2

2

2

 y y 

 1 

3



 xy  y  Do      y 0 x 1 x xy 1 x  x  y  xy  y x 3  x  y  xy  y x 

2

x

x

 - 1

x

-  1

x

-  -  3 0

1

x

  1

  -

 1

 - x

2 1

x

x

x

-

2

 0







 - -  1 1



 - -  1 1

2

 - x

1





x

-

2



0





- x 2 -  x 1 1

- x 2 -  x 1 1

Thay vào phương trình (1), ta được:

  - x



2 1 - x -  x 1 1

    3

2

x

y

2   1  0 1 -  1 1 x æ ç ç è ö ÷ ÷ ø

Sau khi thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn đề bài

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: 2 3 x    y

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 64

Tất cả vì học sinh thân yêu

  1

2





  2

3 x   3 3 y - - 5 y Bài 11. Giải hệ phương trình: x  16 y - x   y 2 xy  - x   

Bài giải chi tiết

Điều kiện: 0 5  x   y

2

2

x



16

-

x

y

2

-

y



2

  x

16

y

-

x

-  y

2

xy



  2







 -  y

2

 y x xy



y

x



 16

y

-

 x



y

y 

- 

x

16

x

y

-



0

  -



2

2 xy

x



16

y

-

x



y

- 



   

 y    y 

 - x

3

x

  3

3

y

5

- - y

Phương trình (2) tương đương với:



y

- - 5

 - x

3

x

  3

  -

0

x

3

x

  3



0

11 4

11 4

æ ç è

23 ö ÷ 2 ø

2



x



9

x

  -  

3

3

x



16





11 4

7 6 10 4

æ   ç è

ö ÷ ø

Ta có:  1

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 65

Tất cả vì học sinh thân yêu

x

16

-

  

0

x

y

2

2 xy

y 

y

x



16

y

-

x



y

- 



2

2

  2

3

x

x

  3

x

-  

4

5

x

9 2

x

- 

2 2

x

-

2

x

-

15

  1

Do đó







2

2



9

x

-

2

x

-

15



2

x

-

9

x

 9

2

2

-

9

x

 



    6

x

y

6

2

2

2

15

-

x

-

2

x



2

x

-

9

x



9

x 

9 0 





   81 

Thế vào (1) ta được: 

2

2

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: 6 6 x    y

 xy x



2



 -  1

x   2 x  y - - y   2 y  4 Bài 12. Giải hệ phương trình: 1 -  y x   2 x y 4 x - 3    

2

2

Bài giải chi tiết

 xy x



- y  0 - y x 

Điều kiện:

2

1    - 2 x  -   y 4 

4x 3

- 

x

-

y



1

-  y

x

2

0

2

x

x

 1



3        0 4

2

2

Từ (2) ta có:

 xy x



2

2

x



2

-

y



4

x



y

-

-

y

4











0

2

2

   2

x

y



 4

x



y

-

-



2

 xy x  xy x

 -  y

Phương trình (1) tương đương với: x  - 2 y   4 x  y - - y -  2 0

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 66

Tất cả vì học sinh thân yêu

x

- - y

2

x



2









0

2

2

- - y x   2

2 y

x



4

x



y

 -

-

y



 2

- - y  xy x

xy 

x



2

 - - x

y

2









  0 3

- - y 2

2

1   2

x

y



4

-

x



y

-

y



2

xy  xy x



æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

x

- - y

xy

  2

x

-

y

y

  1

x



-

y

1 0

  do

x



,

y

 1

 1



  - 1





 1 1



3 4

x

- - y



2







0

2

2

1   2

x

y



4

x



y

-

-

y



2

xy  xy x



2 0

x

y - -  . Thay vào (2) ta được:

Ta có:

2

3

2

3

-  x

2

  x

x

x

-

3



4

x

-  -

3

x

3

x



4

x

- - 3

x

 - 2

3

-  x





  0 4

3



x

-

23 x



4

x

- - 3

x

 - 2

3

x

Nên  3

- với

x

;3

  f x

3 4

   

  

Xét hàm số

2

  x



2 1

x



2

-

3

-

x



2

x

-   

1 0

x

;3

   -    x

2 3

2

x

x

3

-

x

x Có f '  3 x - 6 x  - 4   3 x -   1  0 1 x 2  2 1 - 2 3 x 2  -  x 3 - - 2 3 x x 2







3 4

æ ç è

ö ÷ ø

x

-

3

y

x

-  1

y



2

x

-

y

  1

Do 

2

2

2

y





3

x

 

3 32

x

-



 1

  24 2

-  1 

 3    

Bài 13. Giải hệ phương trình:

Bài giải chi tiết

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 67

Tất cả vì học sinh thân yêu

1

0

y

 x   y   x

Điều kiện:

 - 3

x

3

y

-  -

3 2 2

x

-  y

x

- - 1

y

 0

* Nếu x = 1 thì từ (2) suy ra y =0 thỏa mãn hệ.

-  x

y

y



 - - 

3

x

y



0



 1



 2 1  1

x

-

y

x x

1 - - -  1

y

 - - x

y

-



0





2 x

1



-

y

1 -  1

x

y

æ  1 3 ç ç è

ö ÷ ÷ ø

3

-

 - 

3 2 1

* Nếu x > 1 ta có  1

y - -  (Do

1 0

x

1



-

y

2 x

2

2

2

)



2

2

2

2

x

3

x



3

x

3

x



3





- 

8 8

-

-

1

 2 x

32 x

24 -  3 x

 2 x

x

4 x

3 3 x

3

æ ç è

ö ÷ ø

3

2

2

2

2

3

2

x

-

4

x



3

x

 

3 2

x x

 

3 4

x

8

x

-

4

x



3











 -

3

3

2

x

x

x

 

3 2

x

 



2

2

2

x  3 x   3 32 x - 24 Thay vào (2) ta được 





3

2

  - x



3

2





3



21

3

2

 - x

4

x

   

3 0

x

2

x   3 x  3 x   0 4 x  3 8 3 x x x   3 2 x          

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 68

Tất cả vì học sinh thân yêu

1



21

y



2

3





21

x y ,



21 1 ;

(Do x > 1) suy ra



  1;0 ,

2

2

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

2

2

Kết luận: hệ phương trình có nghiệm 

 1



 1

  1

2

2

  1 2



y    2 y y - x     1 x x y Bài 14. Giải hệ phương trình: x  x x -   3 y 2 x    x y    x    

Bài giải chi tiết

x

y-   3 0

2

Điều kiện:

  2

   x





2

 - - x

y



1

  - -  x

1 0

0

y



 1

 x -  

x 3 2

y

x

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

2

2

x



x

-  

2

x

x

-

2

x

  

1 2

x

x

- 1

x x -  - 3 2 y  - -  1 0 y x

 1





2

2

2

2

2

x

-  x

2

v

-



1

v

-



1

2

2

Thay vào (1) ta được: 



1

u



-

2



v

-

u

u v ,



0





2

u 2

u 2

æ ç è

ö ÷ ø

æ ç è

ö ÷ ø



v

x

  x

1

  u   

Đặt ta được

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 69

Tất cả vì học sinh thân yêu

  -

 v u u v

 1



  u v  - 3   0 3 u  v     u v 

x y ;



;

-

,

- -

7 8 1   x 2    - x 1    x 





 1; 2 ,

1 2

1 2

- 1 7 ; 8 8

æ ç è

ö ÷ ø

æ ç è

ö ÷ ø

4

x

-  1

4

y

-  - 1 6



  x 8 1

8  x

2

1

Từ đó ta được các nghiệm 

2

2

2

y

  1

x



2

y

  

1

x

2

y



2

x



  1 2

    

Bài 15. Giải hệ phương trình:

Bài giải chi tiết

1 x y  , 4

2

2

2

2

y



2

x

  1

x



2

y

 - 1

x

  2

   - y

 1



   0 1

4

y

-

x

2

y

x

-







0



2

2

 2

y

  1

y



x



1

x



 2

y

   

1

x

1

Điều kiện:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 70

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

y

x





0

  -



4 2

2

1

y

y



2

x



1

x



2

y

1

     

      x 1 

y  x

2 4

x

-  

1 6 8

x



2

8  x 1

Thay vào (1) ta có:

Dò nghiệm ta được x = ½ là nghiệm kép , ta tìm cách đánh giá như sau :

Áp dụng BĐT Cauchy: khi thay x = ½ vào 4 1x - = 1 ,nên ta áp dụng

x



x





8

= 4 . nên ta áp dụng

 2 2

   1

 2 2 2

 1

2 4 x -  1.1 4 x -     x 1 1 4 VT 4 x  6

8  x

2

1

8  x

2

1

8 1x 

2

Ta thay x = ½ vào





 2 2

   1





 2 2 2

 1

VP  4 x - 2  x  4 x - 2  x   4 x -   2 8 4 x   6 VT Dấu 2 8  x 2 1    8   1 x 

x

1    y 2

1 2

x y ,

"=" xảy ra khi



1 1 ; 2 2

æ  ç è

ö ÷ ø

y

2

xy

-  1

x

   1 1

  1

 y

Kết luận: Vậy hệ có nghiệm 

2

y



1

-





  2

3 x

2 y

1 x 3

      

Bài 16. Giải hệ phương trình:

Bài giải chi tiết

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 71

Tất cả vì học sinh thân yêu

0

1

-    0

x

0

3 x 0  -

1

 y   xy   1    x  x 

 - - 

1 1

xy

x

 - 1

1



 0

  1

2 y

x

-

2 y







0

xy xy

2 - -  1 1

x

  1

1



2 y

1

2



  -   

2 0

xy

xy

0

2

  - xy



1 - 

1 1

xy

y x

  1

y

1



2 y

æ ç ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø



1

-

  x

Điều kiện:

3 x

1 x 3

1 x

Thay vào (2) ta được:

2

2



1

-



1



3

-



4



1 x

3 x

1 3

1 x

1 x

1  - 3

1 x

4 3

1 x

æ ç è

ö ÷ ø

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

ö ÷ ÷ ø

æ ç ç è

Áp dụng BĐT Bunhiaiscopki ta có

Suy ra  1 -  3 x 1 x 2 3

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 72

Tất cả vì học sinh thân yêu

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số thực dương ta có: x   2 x  1 x 3 1 x 3 2 3

x







1

1 x 3

1 x

3 - x

1 x 3

Nên

3



-

1 1 x

1 3

1 x

  x     

Dấu bằng xảy ra khi vô nghiệm.

3

3

y

2

-

2

y

-

2

4

xy

-

2

x

- 

4 8

x

-  4

3

x

x

  1

Kết luận: Vậy hệ đã cho vô nghiệm

2

2

x



2

y

y



2

x



   x

  2 2

      y 

Bài 17. Giải hệ phương trình:

Bài giải chi tiết

3

4 xy - 2 x -  4 0

2

2

y   x 4 Điều kiện:  2 y  0 x

2

2

  - y

y



2

x

  2

x



2

y

-

x

  2

 1





   0 1

y

-

2

-

1

y

-

2

x

-

1







0

x 2

2 2

y

y



2

x



2

x



2

y

  x

1

2    1



 2 x   2 0 y       

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 73

Tất cả vì học sinh thân yêu

1

1

y

2

x

-





0

  - 2

 1

2

2

y

y



2

x



2

x



2

y

  x

1



   1

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

 - 2

y

2

x

-  (Do

1 0

y

x 

3 4

2

3

3

)

2

x

2

x

- 

4 8

x

-  4

3

x

Thay vào (2) ta được

3

3

2

3

2

3

x





x

-

4



x

2



x

-

2



8

x

- 

4 2

x

2

x

-

4









 2 4 

 

 

 

3

x

-

4

Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có:

  x

2

2

5 y  2



2

x

-

2

  4   

Dấu bằng xảy ra khi (thoả mãn)

2;

5 2

æ ç è

ö ÷ ø

2

2

y

-

2

x

3

2

y

-  2

3

x

-

5

y



5

y

-  2

  1

  x 2

Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất

2

3

3

3

x

  y

2 x y

-

xy



y



2 x y

  2

    3 

Bài 18. Giải hệ phương trình:

2

3

3

3

x

y



x

-

2 x y



x

-

2 x y

-

xy



y

 0

  2

  -











2

2

2

x

-

y

x



y

-

y

x

x









y







0

  - x



2

2

2

2

3

3

2

2

2

3

2

3

3

3

 x x y



4 x y

x



x



x x y

-

xy



y



2 x y

-

xy



y





Bài giải chi tiết

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 74

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

  -



3

2

3

3

2

2

2 x y

3

2

3

3

4 x y

2 x y





2 x y 2

2

x



-

2

3

2

x

-  2

3

x

-

5

x



5

x

-  2

x

y . Thay vào (2) ta được:

  3

x 3 2

y x  0 x y    2 -  y x   x   - xy  y 3 4 xy 2 3 4 x ö ÷ ÷ ø æ ç ç è æ ç ç è ö ÷ ÷ ø             1    

3

2

2

3

x

-

5

x



5

x

-  2

3

x

-

2

x

-  x



Nhẩm x = 3 là nghiệm kép , ta thay x = 3 vào :



   7 7



 1

x

x -  ; 2 1

x

-  2

1

x

-

2







 1 *

- 2

2

x



x

-

1

3

2

2

3

x

-

5

x



5

x

-  2

3

x

-

2

x

-  x



**

Áp dụng BĐT Cosi ta có:









 1

2 2

2

x



-

2

3

2

Và:

x

-  2

3

x

-

5

x



5

x

-  2

x 3 2

 - x

2

Cộng vế theo vế (*) và (**) ta có:

  x

3

2

x

-  2

x

-  x

1

1   3 

3

y

x

    3

Dấu bằng xảy ra khi

Nên  3

3;3

Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 75

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x

  y

2

x

-  y

  1

- x y 2 x

2

x

-

2

y

 

2 2

x



4

y

2

x

-

  1 2

    3 

Bài 19. Giải hệ phương trình:

Bài giải chi tiết

Điều kiện: 0 1 2   y

2 x -  y 0

2

  - x

y

2

x

-  y

  1

- x y 2 x

2

y

-  x

0

-

2





x

  y

2

x

-  y

2

x

2 y   y

x 2

x

x

-

y

- x y 2 x

   

  x  x    

x

  y

2

x

-  y

2

x

  x

2

x



y

2

x

-

y

 vô nghiệm do x > 0.

0







23 x

* Nếu

x thay vào (2) ta được:

2

-   2 2 x x  2 x 2 x - 1

 -  1

2

2

2



x

2

x

- -



x

-



x

-





 1

  0 3



 1 1



 1

2

2

x

- -



0

x

 1 1

2

 2 x x - 2 2 x x - 2 x   - 1 x 2 x   1 0 * Nếu 2 y 

-

0

 x

 1

2

x

-



0

  1

        

Ta có:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 76

Tất cả vì học sinh thân yêu

0

x

- 

1 1

2

    1

x

y

1

x  nên   3

1 2

1 2

x



1

  x      x     

Với

1;

1 2

æ ç è

ö ÷ ø

2



y

x



xy

-



3 4

2

y

Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất

3

3

2

x

y



8



3 8

x

  

1 4 2

x

y





2 1





    

Bài 20. Giải hệ phương trình:

Bài giải chi tiết

x



0,

y



0,

xy

3  4

-

1

xy

 -

x



xy

0





0

  1

1 - -   2

3 4

1 y

y

xy



xy 

 1

xy

- 1 3 -  4

1 2

1



  

xy

0

1

  - xy

 1

y

xy





 1

xy

1 3 -  4

1 2

æ ç ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø

38 x

 

1 3 8

x

  

1 4 2

x



Điều kiện:



2 1

Thay vào (2) được:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 77

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

2

2

2 8

x

 

1 2

2

x



x

-

2

x





2

x

 

1 4

x

-

2

x

 

1 4

x

 2



 1 4

 1

3

2

2 8

x

 

1 6 8

x

 

1 4

x

 

2 8

x



  10 8 4

x



6 8 x   1 2.3. 8 x    1 9 8 x   1 8 x  10



2 1



38 x

 

1 3 8

x

  

1 4 2

x





2 1

Suy ra

x

   thử lại thấy thỏa mãn

1

1

y

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

1;1

2

Kết luận: Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 

2 4  



 2 9









  2 1   2

x - y x -  4 2 x  y - Bài 21. Giải hệ phương trình: x - - y  y 4 - y  3 x - y    

2

2

 

4 0

Bài giải chi tiết

2

 - y x   4 x   y

2

2

 - x

y

 -

4 2

x



x

- - 4

y

2

-  0

  1

2

2

Điều kiện:







2

2

 -  4

 2

   4 2

x

- - y

2

 - y

x

2











0

2

2

- - y x -  4

2 y

x

-

2

x

-

y

  

4 2

x

2

x

 - - x



2

y

  - -  x

2 0

0

y





 - y 2

2

1 -  4

-

2

y

x

 

4 2

-

y

x

x

æ ç ç è

x - y 4 x 4 -  x - 4 - y - 2    0 x y - x - y x

ö ÷ ÷ ø Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 78

Tất cả vì học sinh thân yêu

y

9

-

y



y

4

-

y

 6









Thay vào (2) ta được

2

y

. 9

-  y

4

-

y

.



y

 - 4

y

9

-  y

y

  36

y

9

-

y



y

4

-

y

 6

y



















4

y

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:



x

y

y -

9

y

- y

36     13

62 13

x y ;

Dấu bằng xảy ra khi (thỏa mãn)



62 36 ; 13 13

æ  ç è

ö ÷ ø

2

x

  -  y

1

x

y

  x

1

-

x

  1

Kết luận: Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 

0x 

x





4

2

y

  x



  2

1 

y

1

y 2 4

    

Bài 22. Giải hệ phương trình: với

2

  -  y

1 0

x

x

2



0

Bài giải chi tiết

y 0

   x    y 

x

 - y

1

2

   - - 

1

x

y

x

x

y

-

1

-  

0

x





0

  1

2

y y

1  - x -  1

x

x

  -  y

1

x

x

1

1

  - x

y



   -  x

1 0

0

y

Điều kiện:

0x  )



 1

2

y



1

-

x

x

  -  y

1

x

x

ö ÷ ÷ ø

æ ç ç è

5

y

2

(Do

y

- - 

1

y



1 

y

1

 4

Thay vào (2) ta được:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 79

Tất cả vì học sinh thân yêu

y

1

2

y  0

y

- - 

1

y

 2

2

2

2

1

2

2

y

- - y

-

y

-

5

y

-

2

y



5



0





Ta có: với

 1

  1



3 16

æ y ç 2 è

ö ÷ ø

y

1

2

Thật vậy: 

y

-  

1

y

  3

 2

y

1

Suy ra





  1 4

 4

1 

y

1

5

y

2

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

y

-  

1

y



1 

y

1

 4

Cộng vế tương ứng (3), (4) rồi rút gọn ta được:

y

   (Thỏa mãn)

1

0

x

Dấu "=" xảy ra khi

0;1

2

2

2

x

  y

x

-  

y

x

xy



y

Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất 

2

x

-  1

x

  y

x

-

1

   

Bài 23. Giải hệ phương trình:

1

0

Bài giải chi tiết

0

 x  x -  y     x y 

2

2

x

- - y

x

- - y

2

x



xy



y

  -

0

x

y

-

x

- - y

x

-

y

2

x



y

Điều kiện:

 0











1

-

-

2

x

-  -

1 2

y

x



0

Từ (1) ta có:

x

y

1

-

-

2

x

-

y

  

0

x

y

  -



1 - x

y

1 - x

y

ö ÷ ÷ ø

æ ç ç è

(Do )

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 80

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

 -  - -  x 1 1







Thay vào (2) ta được: x -  1 2 x  x 1 2 x - 2  x - 4

  -









-

x



2

  - -  - 

1 1

2

x

x

0

x 2  - x  2    0 x 2 1 -  1 1 x 2 x 2  2      





1 -  1 1

x

2 x

2



2

(Do )

x

   (Thỏa mãn)

2

2

y

2;2

Với

 x y  ;





y



2

x

-  1

1

-  

y

y

2

Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất 

2

x x



-



x

-

y

 y x

 1

   

Bài 24. Giải hệ phương trình:

x

- 

1 0

2 1

0

Bài giải chi tiết

0

2

x

 -  1 -  y

0

  y   y   x   y x   

2

xy

-  y

x

-  y

x x

Điều kiện:

  3

2

2

xy

-

x

y

2

(2) tương đương với

xy

- - y

x

-  y





  4

2

- xy x x x

- x x

xy

-  y

x

-

y

2

y

x

y

2

xy

-  y

x x





Ta có:

- x x

-  x x

Cộng vế (3) với (4) ta được:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 81

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

2

2

2

2

2



2

-

x



x

-   y

x

4

-

x



x

-   - -

x

y

x

x

y

  

0

y

x

- x

 y x



 y x











2

2

2

x

 -  -    x

1

1

x

x

x

-  2

x

Thay vào (1) ta được:

2

2

x

1 1

x

x

2

x

 - 

1

x



 -  x 2

 2

2

2

-

x

  

1 1

-

x

2

2

-

x

  

1

x



x 2

  x 2

2

2

-

x

x

x

2

2

x

-  

2

x



Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

  1 x

 2

  x 2

     (thỏa mãn) y

0

0

1

x

  - x

21

Cộng vế ta được:

 x y  ,

 1;0



2

2

2

Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất 

 x y

 1

  1 1 1

  17 2

2 x x  xy  x -  y 2   y y   Bài 25. Giải hệ phương trình: 2 y -      y 1 5 x x x 21 -    

1

-  

5 0

Bài giải chi tiết

 x  x y 2    - y 1 

2

2

x

y



x



y



x

- -  0 1

y

  1

  -

 1 2







2

2

2

2

2

x



y

x

- - y

 1

x

1

x

1



2





0

y





0

   - - x

 1

- - y 2

2

 y

x





1

2 x



 y

y 

1

x

-  y

1

x

-  y

1

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

Điều kiện:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 82

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

   1 y x

2

x

-  

3

x

x

- - x

x 21

-

17

 0

2

2



2

x

-  -

3

x

x

x

-

3

x

  2

3

x

x 21

-

17

 0



   1



 - - 1

1

2

3

x







0



  - x

2

3

x

-  1

9 x 21

-

17

2

x

-    3

x

x

1

ö ÷ ø

æ  2 1 ç è

1

Thay vào (2) ta được

x

     x

1





0

2

17 21

1 3

3

x

-  1

-

17

9 x 21

2

x

-    3

x

x

1

Do

1 Suy ra phương trình có nghiệm 2 x    x

 x y  ,

   1;0 , 2;3



2

2

4

x



8

y

-

10

x



9

y



y

6

x



-



 1

  5 1

2

Kết luận: Vậy hệ đã cho có các nghiệm 

x



y

x

1

 1



2

1

- - x





 -

  2

 x y

 1

 x

1 y

y

    

Bài 26. Giải hệ phương trình:

Bài giải chi tiết

2

2

1

x

1

x

y

1

y

1

-

 -

 -

Điều kiện: 0   x 1 -   1 x 0   

 2

- x

 2 x

y

 y

Phương trình (2) tương đương với:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 83

Tất cả vì học sinh thân yêu

x

-



y

x

y





2

2

1

x

y

1

1

y

1

x

 xy

 x y 2 2 x y



- -

-



  0

-



0

 2

2

2

- x

 y

y

 2 x

1

x

y

1

1

y

1

x

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

 -



 2

- x

 y

y

 2 x

y

x

1

x

-

y





      - y

0

0

x

x

y

2

2

 xy

1

x

y

1

1

y

x

1

 -



 2

 2

- x

 y

y

x

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ ç ç ç ç ç è

2

12

x

-

19

x

  - 5

x

6

x



  1

2

2

x

-

19

x



5



0

x

-

-

x

x

-

19

x



0

 12







2

2

2

2

 12 x

-

2

x

-

x

-

25

x



5



0

x

-

19

x



5



x

6

x



6

 1 3





  5  5 24





    

    12  

x

   -

y

1 2

1 2 25

145

25

145

x



  - y

 48

 48

    

25

145

25

145

x y ,



;

-

;

-

Thay vào (2) ta được:



1 2

1 2

 48

 48

æ ç è

æ ö ; ç ÷ ç ø è

ö ÷ ÷ ø

xy



x

-

y

xy

-

2



x

  y

y



  1

Kết luận: Vậy hệ đã cho có các nghiệm 

 xy

 -

y





x

x



 1

 1



  4 2

 

 

      x 

Bài 27. Giải hệ phương trình:

Bài giải chi tiết

x y  0 ,

Điều kiện:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 84

Tất cả vì học sinh thân yêu

x

y

 0

x

y  không thỏa mãn (2) nên ta có

0

Nhận thấy

xy



x

-

y

xy

-



x

- - y

y

 0





2

2

xy



x

-

y

xy

-

2

y

-  2

x

-

y





y

y





  0





0

x x

- 

y

x x

- 

y

xy



x

-

xy

-



y

 2

xy



x

 - y

xy

-

2

y





  y

- 

xy 

 y  

xy

y

x

y





  -



  0 3

1 

x

y

xy

-

2



y

xy



x

-

y



-  2 



    

    

2

Phương trình (1) tương đương với

y



xy





x

-

x

4 

x

1

2

Ta có phương trình (2) tương đương với







2 1

2

0x 

 1  x

 2  x

xy

y

4  x  x - - x 2 x  - Ta có:  x - -  2 x   0 với 4  x 1 1 x 1

xy

-    y

2

0





0

1 

x

y

xy

-

2



y

xy



x

-

y



-  2 



Suy ra:

x

   1 y 1 x

y  thay vào (2) ta được 

 1 3

2

17





x y ,



17 1 ;

x  x - x   4 Nên  3 1  17 1  17   y     x  4 4



 1;1 ,

4

4

æ  1 ç ç è

ö ÷ ÷ ø

2

3

Kết luận: Vậy hệ đã cho có các nghiệm 

3

4

4

4



 2 4





 1

x - - x y . x -  y y Bài 28: Giải hệ phương trình: x - - x  y -  1 3 -  y 6 y  3 x  x  30    

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 85

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

0

Bài giải chi tiết

3

 x - -  y x    4 x 2     1 y 

2

2

2

x

- - x

y

3.

x

- - y

x

- - x

y



x

- - -

y

x

y

 0





Điều kiện:



2

x

- - x

- - y

x

- - y

x



y

 y x

 1





2

2

3



x

- - x

y

x

x

- - -

x

y

y

  0

y





0

 - -  1



2

2





3

3

 1 - - 

x

y

y

x

x

-

y



x

-  y

1





2

Phương trình (1) tương đương với: 



 1

2

3

3

4

4

4

x - - x x  y  - - x y      x 0 y 1 y 2 x - -  y x y  x -  y 1 2 3 4 æ ç è ö ÷ ø            

x

-

-

x



x

-  2

4

-  x

6

x

3

x



x



30



 2 4



x

x

4

x

-

-

x





1



 2 4



-  - 2 4 2

3

3

6

x

3

x



2 27

x



x

Thay vào (2) ta được:

x

1

x

2

4

4

x

- 

2 1.1.1.

x

-  2



1 1 1 4

7

x

x

4

4

4

-  x

1.1.1 4

-  x



          

27     - 1 1 1 4    - 4

 4 - 4

3

4

4

4

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

x

-

-

x



x

-  2

4

-  x

6

x

3

x



x



30



 2 4



Từ các BĐT trên ta được:

x

   y 2

3

3;2

Dấu bằng xảy ra khi

 x y  ,





Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 86

Tất cả vì học sinh thân yêu

y

2

y

x

   

4 1 0

y



    3 1

3

2

2

2

x



5

x



4

x

  1

  y

4

x



 x x



1 x

 -  x    

Bài 29: Giải hệ phương trình:

Bài giải chi tiết

 - y

2

Điều kiện: 3 2    y x 4 0

x 0 1   x       

x

-  

1

y

x

  

4

y

x

-

y

2

y

  0

3





 -   y

1

x

x

  -

4

y

2

y

  3

x

-  y

2

y

  0

3



 1

 -   y

1

x



x

-  y

2

y

  3

0



 1

x -  y    4 y

1 2

x

y



3

 -  x

y





2

y



3



0



1 4

x

  

y

2

y



3

æ  1 1 ç ç è

ö ÷ ÷ ø

 -      1

1 0

y

y

x

x

3

2

2

Phương trình (1) tương đương với:

2

x



5

x



4

x

  1

x

2

x



5

x





1  x

2

2

2

2

2

2    x

2

5

x

  4

2

x



5

x

   - x

2

x x

x

-

5

x

5

x

  4 0





1 x

1 x

1   x

1   x

1 x

Thay vào (2) ta được:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 87

Tất cả vì học sinh thân yêu

 -   1 y 0 x

2

2

2

2

2

2

2

2

y

x

- - 

y

2

x



3

xy



4

y





 1

x    y x  -  x 1 3 2 1 x  x x - 5 x x    4 0  1  - x 1  - x  x   - y æ ç ç è ö ÷ ÷ ø æ ç ç è ö ÷ ÷ ø x  -  x 4 1 x         y           x  1 2 - - 4 3 2 4 -  4 3 2 4 3 2 4 3 2 4

3

x

- 

2 4 2

x

 - 

2

y

5

x



5

y

 -

  0 1   2 3 2

   x   3 3 

Bài 30: Giải hệ phương trình:

2

2



3

xy



4

y



0

x

2

Bài giải chi tiết

2

x

2 3   y

2

    x  

Điều kiện:

2

2

x



2

y

x

-

y



2

x



3

xy



4

y

-

x



2

y

 0











-

y



y

x



2

y





0

  - x





2

2

 x x xy



2

x



3

4

y

  x

2

y

x

x

y

x



2

y





  -



  0 3

2

2

2

x



3

xy



4

y

  x

2

y

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø

3

3

Phương trình (1) tương đương với:

2

x

5

x



5

y

   

3

2

x

5

y

5

y

  2 0

3     5

Từ (2) ta có:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 88

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x

    2

x

y

5

y



2



2

x



y

   3

2

x

2

y

  

0

x

2

y

 0













0

x

y

y

x

 -    thay vào (2) ta được:

Mà

3 5 6

a



3 6

x



2,

b



3

x

-

2

a b ,



0

7 3 x -  2 x  - 2 3 Nên  3





3

5

7

b



5

a

-

3

- a 7

Đặt ta được:





    1

y

x

1

2

3

2

 

2 1

3

5

a

-

b 2



6

3

a   b 

  

a

-

2

- 

6 0

- a 7

æ ç è

ö ÷ ø

  b     

(thỏa mãn)

 x y  ;

  1;1

3

2

2

2

2

2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 

2 x y





2 2 x  4 x   2 xy  2 x  xy  2 x   4 x  2 y

Bài 31: Giải hệ phương trình: 2  x -  2 8 -  8 y - 19  35 y 38 2 y    - x  y 

Bài giải chi tiết

2 19 8

 x    y

Điều kiện:

3

2

2

2

2

2

2

2

x



4

x



2 x y



2

xy

-

xy



2

y

2

x



xy

-

y x



2



0









 

 

- 4

y

-

x

x



y

x



2

- 2

y

-

x

y



x





0

3

2

2

2

2

2

 x 4

2

x





 2 x y



2

 xy



 xy

 

 



2

y

2

x

xy

y x

2

  

Phương trình (1) tương đương với:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 89

Tất cả vì học sinh thân yêu

x

4



2

y

x



y



  

0

x

y

  - x





2 2

3

2

2

2

2

 2 x y

 2

2

x



4

x





xy



xy



2

y

2

x



xy



y x

   

    2 

x

2



x

-  2

8

-



8

x

-

19

- 2

35 38  2 x x

2

2

x x

-  2

8

-

35

x



38



x

8

x

-

19

2



8

x

x

-

19

-

x

-

2



8

x

-

35

x



38

-

x

-

2

 0





 -  x 

x 

Thay vào (2) ta được:

2

 -

 x

 x

 2 7 x 35

  - x

x

-

2

x

17





0

  - 7



2

x  19

8

x

-

x

-

2

8

x

-

35

x



38

 - x

2

æ ç è

ö ÷ ø

x 7 x - 17 x - x - 17    0 8 x 19  - 2  38 2 8 -

2x  )

x 

y 

17 7

17 7

x y ,

(do



17 17 ; 7 7

æ  ç è

ö ÷ ø

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 90

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

4

2

3

(

x



1)

y

 

1 2

xy y (

-

1)

Câu 1 : Giải HPT :

2

4

4

xy

(3

xy

-

2)



xy x (



2 ) 1



y

  

2

4

Thế

vào PT (2) ta được

1



xy

(3

xy

-

2)

-

4 xy x (



y 2 )

4

2

:

y

 (1 3

2 x y

-

 4 ) 0

xy

0

xy



1 1 3

   y    xy    

Thấy

y  không phải nghiệm của hệ

0

2

4

4

2

2

Với

xy

  

1

y

y

 

1 2

y

-  - - (

2

y

y

y

1)(

y

   1) 0

y

y



  x

 5 1 2

2  5 1

5

1

y



  x

- 2

2 -

1

5

     

4

4

2

2

4

Với

xy

  

y

  1

-  

   1 0 y



y 2 3

y 2 3

y 3

y 9

y 2 3

1 3

y 9

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 91

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

y



2

xy

Câu 2: Giải HPT :

9

4



y



2

xy

x

(1)   2

3

3

3

4

2

PT(2) 

(

x



y

-

xy



y



2

xy

x

)



  x   3  

2

2

3

3

4



2

xy

x

-

xy



y



2

xy





x

  y

0



2

3

6

2

x

-

xy



y

-

y



  0 *

3

2

x



y

-

3

xy

-

y

 0

   (*) 

23

3

2

 4 xy 4

-

3

xy

-

y

 0

0



 -

xy

    y x   xy 1    

1 4

Với xy=1

1   x y

x   1

y   

1

(1)  4 y

22 y-

   1 0

Với

xy

 -

 - x =

1 4

1 y 4

2

(1)  4 y

4

y 2

-  1 0

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 92

Tất cả vì học sinh thân yêu

1



 2 y





y =





x =

- 5 1 2

- 5 1 4

2

- 5 1

1



 

;



Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (0;0), 

 1; 1 ,

2

- 5 1

æ ç ç è

ö- 5 1 ÷ ÷ 2 ø

4

3

2

2

x

-

x

-

-

y



12

x

 

6 0

6





Câu 3. Giải HPT :

2

4

2

2

2

x

-

x

-

y

-

x 11

 

5 0

 

 x y  1

   5 

2

2

2

2

6

x

-



xy

x

2 x y



 -  1



2

2

2

2

2

2

x

-



x



x

-

y

 

 1  1



 1

    5 

Dễ thấy x=y=0 không phải là nghiệm của hệ.

2

2

2

x

x

1



6





(*)

 1 2

- 2 x y

- x

1 y

Ta có:

2

2

2

2

x

x





 1





 1 2

- 2

- 2 x y

1 2 y

x

     5  

x



a

2 1 - x

Đặt

(a,b 0)



b

   1    y

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 93

Tất cả vì học sinh thân yêu

6

2 2 a b

 

a b

Hệ trở thành:

2

2

2 2 a b



a



b

   5 



 4 4 a b 36



2

ab



5

2 2 a b

1 ab  2

2

1

x

Với

ab





1 2

- xy

1  2

1



17

  x

4

(*) 



1 2

3 2

y 2

1   y

5

1

y    y 

   x 

 2

1



17

1

5

Vậy hệ có nghiệm (x;y) =

;2

4

 2

æ ç è

ö ;1 , ÷ ø

æ ç è

ö ÷ ø

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 94

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

x

-

y

)

 

3 0

Câu 4 : Giải HPT :

(4 (2

x x

- 4 - 7)(

xy x

 -

- 4 y 51)(   ) 1 0 y

  

2

2

2

3(

x

-

y

)



(

x



x

-

y

)

 

3 0

)

y

x



y

)



(

x

-

y

  ) 1 0

51 (   -

x

y

-  - ) 7 (

      ( 

Đặt

1

-

4

2

2



2 a b

-

b 51

 

3 0

a







x x

  a y -  y b

(

a b

 -

  7) 1 0

2

2

  

3 b   

b (

2 -  b b 7 b  b 1)(2

b 4

-

-  b

 2) 0

    

x

  y

3

  2

3

a



3

x

-  

2

y

3

 b    

    





x

  y

3

 - 2

3

a



3

x

-  -

2

y

3

 b    

    

      

      

3

3

3

x



5

y

-

2

xy



6

Câu 5 : Giải HPT :

3

3

2

x



3

y



3

xy



8

  

3

3

Rút lần lượt

,x y theo xy ta được :

3

3

3

x



xy

- 22 21

3

x



5

y



8

3



-



3 x y

(22 21 )(13

-    xy

12)

xy

xy

1

3

3

3

y

-



xy

12

13

2

x



3

y



5

  

1

x

y

      Đoạn giải PT bậc 3 ẩn xy có 2 nghiệm rất lẻ không biết có phải do đề không ạ…

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 95

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2





2

x



y

  1





Câu 6:Giải HPT :

2

2



y

-

x

  2

1 y 2 1 y 2

1   x   1  -  x

ĐK:

x y  0 ,

3

-

  y

3

2 x y



1

3

2



  x

3

xy



2

  1   1

  2   2

2

3

xy



2

Ta có hệ mới:

y



3

2 x y



1

3   x   3 

3

3

y



3

3





3

1

-

x

y



1

   x y   -  y x  

 

   x    

3



  x  

3

y

 

 3 1 2 - 3 1 2

2

4

2

x



xy





(

x

-

y

)

y

Câu 7 : Giải HPT :

2

2

x

-

xy



 - x

y

y

  

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 96

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

4





b

Đặt



x    - x

y y

a   b 





b

     

a 3 4 2 a 4

b 4 2 b 3 4

2

2

4

3

2

Thế ta được :

b

-

-

b 3



  

0

b

b 2

-

b 3

0

b 4

b 9 4

 b 0  1    b    - b 3 

0 0

1 1



  b   a   b    a   b a

1  - 1



2

2

x

-

y



-

  1

3 y 2

1 x

Câu 8: Giải HPT :

3

x



y



5



     

ĐK:

x y  0 ,

x

y

x

-

y

x



y





PT(1) 





- xy

1 y 2

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 97

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

 - y b a

x

-  y

a

2

2

Đặt



b

a

x

 

y b

xy



  

    

- 4





ab

2

2

Hệ trở thành:

4 a - a

1 - b a

3

b 5

     b

3



5

 a b

 3



a b b

 

0

  - 1

a

3

5

3  b a a b -    b

3

3

5

y





  x  

3

-  - 1 y

   x   x  

y

 

- 5 1 2  5 1 2

x





x

 - 

3 3

y

1 y

Câu 10: Giải HPT :

2

x

  y



8

1 y

     

ĐK:

x





 0, x+y 3, y 0 

1 y

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 98

Tất cả vì học sinh thân yêu

x





a

1 y

Đặt

a,b 0



x

 - 

3

y

b

    

1

  1

2

3



Hệ đã cho trở thành:

  a b 2 2



b

a



5

2

  

  2

1

 a    b   a   b 

x

4

10

y

  3

10

x





1



  1

4

10

x

1 y   y

7

    

 - 3

y

10

  -           x    

3 1



x



4





  2

5

4

1   y     x y 

 - 1

  x    y    x   y 





  4 1

2

2

x -

y

x

y y

Câu 11:Giải HPT

5  x 2

2

x

y

x

  y



  5 2

- 5 xy

     5 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 99

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

ĐK:

x

y- 

0, x+y



 0, xy 0

2

2

2

2

2

PT(1) 

x

-

5

y



xy



5

2 x y



4

x

-

y

x



y









-

  y

5

x



4

x

-



y

x y

x y

5 y x

y x

æ ç è

æ ö ÷ç øè

ö ÷ ø



y



a

Đặt

Hệ đã cho trở thành:

a a

 

5 b b 5

 

5 4

ab

  



b

x y y x

    - x 



y



2

2

y



2

x



5

y







2

2

x

-

2

y



x

   



  a    b 

5 2 1 2

x y y x

     - x 

x

-

y

-

2

x

-

y

x



y

 0

5 2 1 2 

  3







1

x

  y

1 2



(*) 

3 2 

2

x



2

y

3 (*)

x

 -

   

3 2

3

  x    y       y

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 100

Tất cả vì học sinh thân yêu

7

x

  y

2

x

  y

5

Câu 12 : Giải HPT :

2

x

  -  x

y

y

2

   

2

2

2

x



y

 x b

-

a

Đặt



2

2

y



7

a

-

b 2



7

x



y

5   5 

  a   b 

Ta có hệ mới :

a b

 

5

a b

 

5



2

2

2

2

2

2

 a b 5

-

a

-

(7

a

-

 2 ) 10 b

3(5

-

a

)

-

8

a



5

a



10

  

  

 - 5

a

77

(Bài này không hiểu sao ra lẻ vậy )

-  5 2 a

 - 5

77

- - 5 2

b       a   b     a

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 101

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

x

1

-

y



y

1

-

x



1

Câu 13:

(1

-

x

)(1



y

 ) 2

   

2

2

ĐK:

1

-

x



0, 1

-

y

 0

2

2

2

2

2

2

x

1

-

y



y

1

-

x



x

 - 1

x

-

y



y

 1



 1





PT(1) : 

2

2

y



Dấu “=” xảy ra 



2

2

x -

y

1

y -

x

1

x



y

2 1 

 x  2 

Với x

y thay vào PT(2) không thỏa mãn.

2

Với

x

y

2 1 

2

2

PT(2) 

x

-  y

xy

   1 0

x

y



2

xy

  -

1 1 2

xy



Ta giải được

thỏa mãn hệ.

xy xy

 0  -

4

0 1

  

 x   y

3

x

-

2

y



3 8

 - 

x

y

10

Câu 13 :

8

 - -

y

x

2 4 2

-

x

  y

1

   

3

x

-

2

y



a

2

2

Đặt

.Ta có hệ mới :

 -

4 2

x

  y

b

-

a

-

4

8

 - 

y

x

b

   

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 102

Tất cả vì học sinh thân yêu



a

- 10 3 b



- 10 3 b

a

a



b 3



10



2

2

2

2

a



 121 4 55 33 - 10 3 b

- 

1 2

b

-

- (10 3 ) b

-

4

-

2

b

-

a

- 

4 1

  b  

   b  

- 121 4 55 33

      b          b

(Lại một bài lẻ khủng khiếp…)

2

x



2

x

  

6

y

1

Câu 14 : Giải HPT :

2

2

x



xy



y



7

   

2

PT(1)

2   x

2

x

  6

y



2

y

 (3) 1

2

Lấy

(3)

-

 (2) 2

y



(

x



2)

y

-

2

x

-

12 0

  -

y

(

2)(2

y

  x

 6) 0

Với

y

x  1     - 2 x 3 

2

2

2

Với

x

 - 2

y

-  

(2

6

y

6)

-

(2

y



6)

y



y

  

3

7

y

18

y



29 0

  y

2



y

4

y



Câu 15: Giải HPT

2

x



x

 - y

2



y

 

   1 y x  1

 x    

Thấy

y  không phải là 1 nghiệm của phương trình.

0

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 103

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x

  

x

y

4

x



a

Hệ 

Đặt

2

x

x

 - y

2



1





2 1    y     x y b 

ö 1 ÷ y ø ö 1 ÷ y ø

æ ç è  æ  ç  è 





Hệ đã cho trở thành:

-

2



1

1 3

x x

2 1     y

y 3

  a b  a b

4 

a    b

  

  

1 2





5

y

  x   y   - 2 x   

2

x



2

x

 - 

6

y

1

Câu 16:Giải HPT :

2

2

x



xy



y



7

   

2

2

2

2

-

y



2

x

-

2

y

 

5 0

b

a



Đặt



xy=

2

x x

-  a y   y b

- 4

x



y

  7

xy

  



 x    

a

 -

2

 

5 0

5 

b



Hệ đã cho trở thành:

 ab 2

a 2

b 3



a



28

2

  





28

2

b

2 25 b 4





4

    3 b  

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 104

Tất cả vì học sinh thân yêu

a

 -

 - 1 3

x x

y -  - 1   3 y







2

2

 - 5

x

-  - y 5

b

-



b 18



29



0

5  b 2  - b 2 b 3 3



     

 - 1

x

  - y 1

a     b  a   b 

       

(

x

-

1)(

y

-

1)(

x

 - y

 2) 6

Câu 17 : Giải HPT :

2

2

x



y

-

2

x

-

2

y

- 

3 0

  

3

2

ab a b (



 ) 6

ab a b (



 ) 6

3 a b

-

2 a b 5



0







2

2

2

x y

-  1 -  1

a b

a



b



5

(

 a b

)

-

2

ab



5

ab a b (



 ) 6

  

  

36 2 -   

  

 

2 1

x y

-  - 

1 1 1 2

ab



2







a b

 

3

  

 

1 2

x y

-  - 

1 2 1 1

b   a  b   a 

     

      

      

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 105

Tất cả vì học sinh thân yêu

y

-

x

 - y

2



6

Câu 18:

2

2



 1 y

-

2

 1 -

x

 3 0

- 

2

y

  - x   x 





6

Đặt

, hệ đã cho trở thành:

2

2

x y

1 -  -  1

a b

 ab a b 

  5

b

a

  

   

2 1

x y

-  - 

1 2 1 1

2

x y

1 -  - 2 -  - 1 1

(

 a b

)









ab  

2

2

2

a



b



36 2 2 a b 5

    

1 2

x y

-  - 

1 1 1 2

 - 1  - 2

x y

-  - 1 1 -  - 1 2

 a    b  a  - 2   b  - 1    a   b  a   b 

               

2

2

x



xy



1

2

Câu 19 : Giải HPT :

  1

4

2

9 x - 2(1

x

)

3 xy - x 2(1

)

    

2

x

Dễ thấy

. Thế vào PT2 ta

0x  không phải nghiệm của HPT

    0

y

x

- 1 2 x

được :

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 106

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

  1

4

9 x - 2(1

x

)

2 3(1 2 ) - 2 - 2(1

x x )

2

4

2

2

  9 x

2(1

-

x

)



3(1 2 )(1

-

x

-

x

)

2

2



(2

x



2

x

-

1)(2

x

-

4

x



 5) 0

x



  y

2

-

x



  y

2

     

- 3 1 2 - 3 1 2

3

3 x y



x



xy

  x

1

Câu 20 : Giải HPT :

2

3

4

3 x y



4

x

-

8

xy

-

17

x

 -

8

  

2

(

xy



x x )(

 

1) 1

Hệ

2

2

4 (

x xy



x

)

-

8 (

xy x

 -

1) 17

x

 -

8

   

    -

xy

a

a

x

Đặt

x xy 2 1

 

x

b

  

ab



1

Hệ trở thành :

2

4

a



b 8

-

 17 0

  

2

 - (2

a

1)(2

a

 -

2 8) 0

 . Do

0

       a 2

a

b

1

1 b

1 2

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 107

Tất cả vì học sinh thân yêu

y



xy

  x





1 2

2

x

x



1

    



y

1 - 1 2 1  - - 3 2

  x            

2

x



xy

-

3

x

  y

0

Câu 21 : Giải HPT :

4

2

2

x



3

2 x y

-

5

x



y



0

  

2

x

  y

xy

-

3

x



0

Hệ

2

2

2

(

x



y

)



2 x y

-

5

x



0

   

2

Thế

vào PT2 ta được

x

  y

3

x

-

xy

2

2

2

9

x



2 x y

-

6

2 x y



2 x y

-

5

x

 0

2



2 x y (

-

5

y



 4) 0

x

0



1

2

x

L 4 0( )

   0 y     1 x y        4 x y 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 108

Tất cả vì học sinh thân yêu



1



2

2



x

3 y

-

2 y x

Câu 22 : Giải HPT :

2

2

y

-



4

1 x 2 y

      x 

2

y

2 1

- 

a



1

Đặt

giải PT bậc nhất cơ bản





b

2   b b 2



3

3   a   - a 

x   x   y 

2

2

-

x

y



-

3 y 2

1 x

Câu 23 : Giải HPT :

3

y

)



5

     ( x 

y

3

PT(1)

. Thế PT(2) vào PT(1) ta được :

  ( x

y x )(

-

y

)



- 2 x 2 xy

y

6

5(

y 4 )







x - y ) 5( 2  y ) x (

- 4 x 4 xy

x (

- x

y 

(6 - - x ) 2 - 4 xy ) y

x -  ( - y x (

y ) 2 )

3

3

 - 5(

x

y

)

 -  x (

y

)

 -  -  - x 1

5

y

x

-  - 1 y

3

x

  y

5

   

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 109

Tất cả vì học sinh thân yêu

4

4

x

-

2

x



y

-

y

Câu 24 : Giải HPT :

2

2 3

(

x

-

y

)



3

  

x

  y

a

Đặt :

. Đặt kì diệu :



x

- 

y b

  

  x     y 

 a b 2 - a b 2

3

3

3

c

  3

3 a b

    .Khi đó :

ab c

3

c

2

2

4

4

2

2

x

-

y



(

x

-

y x )(



y x )(



y

)





ab

 a b 2

- a b 2

ö ÷ ø

æ ç è

ö ÷ ø

æ ç è

  

3

a



2

x

-   -

a b

y





- a b 2

 b 3 2

    a c b 2

2

2

a

b

2

2





PT

(1)



ab



c a (



b

)

 

3 a c b

 2

3  a c b 2

æ ç è

ö ÷ ø

2

2

c a (



b

)

3 a c b

Ta có hệ mới :

ab c

  

b

  c a

   

2

3



2



c a (



4    -

ac

a

(

)

1)(

a

-

) 0

2

2

 ac 1 a c

c a

c a

c a

   

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 110

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

3

a c

 

3

x

  y

3





Với a c :

ab c

  

b

1

x

-  y

1

    

    

a

x

  y

3

3

1   c

1 3

1 3

Với





ac  :

1

2

3

3



9

x

-  y

9

     b c 

    

2

2

2

xy



-

y

x

y

x

y





y x 14

 2

- 2

Câu 25 : Giải HPT :

3

3

x

y

x

y





9

 2

- 2

ö ÷ ø

æ ç è

ö ÷ ø

    æ  ç  è 

y

x



a

2

2

a



b



x

 2

3

3

Đặt

. Khi đó

(

a



b

   

a b

9

0;

a b ,



0)

2

2

a

-

b



y

y

x

   



b

- 2

     

hệ trở thành :

2

2

2

2

2

2

a

2(



b

)(

a

-



(

a

-

b

)2

ab

 

a b

b ) 14

3

3

b



9

     a 

3

3

a b

a

-

b

- ) 14



0

 

3

3



a

b

) 2(   

9

  (    

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 111

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

3

3

a

-

b



7

a



8







3

3

3

 

2 1

x x

y   -  y

8 2

a



b



9



1

a   b 

  

   

  b 

  1

y

 

1 2

x

Câu 26 : Giải HPT :

2

2

3



29

x

-

y



4

   72 xy  - x y

Đặt

. Hệ trở thành :

  x    y 

 a b 2 - a b 2

2

2

2

 a b

  1

 

1 2

a



2)

-

b

 - 2

a

(

3

- a b 2

2

2





-

b 112

-

 128 0

b

)

a

2

3

b

)

 a b 2 2 a



29

ab



4

3

2



29

ab



4

- b

   18(  

8   b 9    a 

- b

    18(  

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 112

Tất cả vì học sinh thân yêu

4

   b 

     

...

a

b

x

...;

y



...

- 4 3 - 8 3

    b 

2

2

2 x y



2

y

 

4 7

xy

Câu 26 : Giải HPT :

2

2

2

x



2

y



6

y



3

xy

  

Dễ thấy

y  không phải nghiệm của hệ . Khi đó hệ tương đương :

0

2

2

x

-

  2



0

-

x

-

 

2 0

2

x 7 y

4 y

2 y

x 3 y

ö ÷ ø



2

2

 

2 3

-

x



0

 

2 3

-

x



0

x y

2 y

x y

2 y

ö ÷ ø

æ ç è

ö ÷ ø

    æ  ç  è 

ö ÷ ø

æ ç è

ö ÷ ø

 æ ç è  æ  ç  è 

- 

x a

2

a

-

b 3

 

2 0

Đặt



  (

a b a b )(

- -

 3) 0

2



a 3

 

2 0

  b 

b

2   y   x    y

2

Với

a b

    0

a

a 3

1 2

1 2

a  -   b       -   2 0 a b 

2

Với

a b

-   - 3

a

a 3



11 0

 (Loại)

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 113

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

x



xy



y



3

y

-

1

Câu 27 : Giải HPT :

3

2

x



2 x y



x

-  x

1

  

Dễ thấy

0x  không phải nghiệm của hệ .

2

2



x .(1)

-

(2) 0

  

x

xy

-

3

xy

  (3) 1 0

2

ta được :

xy

-

y

2 4 -

xy



3

y

 0

Lấy (3)

(1)-

 y

Xét thấy

1x  không phải nghiệm của hệ

0 x - 3 4 - 1 x

   y 

Với

y  thay vào không thỏa mãn hệ .

0

Với

thay vào (2) ta được :

y



x 4 x

- 3 - 1

5

5

x



  y

2

2

(

x

 - x

1)

  0

-

5

x



  y

     

- 5 1 2 - 5 1 2

- 2  5 2

y

x

3)

x

-  y

2

y

 

4 0

Câu 28 : Giải HPT :

2

2

-

x

y x )(

(



4)



y



1

   (   

PT

(1)

 -  x

y

(

1)(

x

  -

4

y

x

-

y

) 0

  -    y 4

y

x

x

Thế 4



x

- - - vào PT(2) ta được :

y

x

y

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 114

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

(

x

-

y x )(



x

- - -

x

y

y

)



y



1

2

3



x x (

- - 

1)

y

(

x

-

y

)

- 

1 0

x

1

2

 - - x

y

(

1)(

x



 ) 0

-  y x

x -  y

-  y 1

x

-  y

1

Ta được hệ mới :



x y

 - 1  - 2

x

  y

x

- - y

4

  

    

2

x



2

xy

  y

0

Câu 29 : Giải HPT :

3

x



3

xy



2

y



1(

x



2 x y



 2) 4

  

2

Thế

vào PT(2) ta được :

x

  - 2 y

xy

2

- 2

2 x y

-

x

-  y

2

x y

 

1 2

y



1

2 x y

 - 

4 0

2

2

2



(

x y

 -

1 1)



(

2 x y

 - 2

y



1)



0

x y

 

1 1

2 x y

  2

y



1

2 x y (

 

1) 1

2

x y

  

2

y

1

        

2

2 x y

  - 2 3

x

2 x y

  

2

y

1

2

    x

     - 1 2

xy

y

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 115

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

Dễ thấy

   -  2

y

x

0x  không phải nghiệm của hệ

- 1 x

1 x

1

y

  y

 5 1 2

- 2  5 1



x

  y

- 5 1 2

2 -

1

5

   -   x 1     x     

Đối chiếu điều kiện



x y ( ; )

 -

( 1;1);(

;

 5 1 2

2 - )  5 1

(2

x

-

1)

x

  y

(6

- - x

y

) 2

-

x

Câu 30 : Giải HPT :

2

2

x

-

4

xy

-

7

y

 -

72

   3 

Xét thấy

x

  -       - không thỏa PT(2) y

2

2

0

0

2

x

x

y

 

x

y

, 2

-  0

x

)

-

PT(1)





x  y - 6 (  y x

6 (8 4 ) - x - x 8 4

2

6

t

6

Xét hàm số

f

t ( )





f

t '( )



-  suy ra hàm số nghịch biến

1 0

2

- t

- t

Mà

f

(

x



y

)



f

x ( 8 4 )

-    -   -

8 4

8 5

y

x

x

y

x

Thế vào PT(2) giải PT bậc 2 cơ bản.

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 116

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

x



y



2

x



3

Câu 31 : Giải HPT :

3

3

2

2

2

2(

x



y

 ) 6

x



3(

x



y

 ) 5

  

3

2

2

2

2

Ta có

x 2 .(1)

-

 (2) 2

y

-

2

xy



2

x



3(

x



y

 - ) 5 6

x



y

2(2

y

-

2

x

-

3)



(

x

-

1)(

x

- 5)

Mà

2

2

y

 - 3

x

-

2

x

 - (1

x

)(3

  -

x

x

(

)

1)(

x



3)(2

y

-

2

x

-

3)



(

x

-

1)(5

-

x

)

Với

x

   y 0

1

2

x

7

Với

(

x



3)(2

y

-

2

x

-

3)



(5

-  

x

y

)

  

x

x - 5  x 2( 3)

3 2

 x

4  x  3

Thế vào PT(1) ta được :

2

2

x

7

2

x



2

x





3

 x

4  x  3

2

2

2

2

2

æ ç è 2 )( x x

ö ÷ ø ( x

  ( x



3)





4

x



7)



3(

x



3)

2

2

  ( x

1) (

x



6

x



 11) 0

  -   1

y

x

2

2

x



xy

  

3 0

x

Câu 32 : Giải HPT :

y x (



3)

  

1 2

x

2 x y



2

y

  

2

Lấy

(1)

-

(2)



x

 -

2 3

y



2

2 x y



2

y

 0

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 117

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2



(

x

 - 2

y

)(

x

 

2 3

y

 ) 0

2

x  y

 2

3

Thế vào PT(1) ta được :

x



x

2 3 

x

    -   3

3 0

1

x

y

2

2

(

x



y

)(1



 ) 5

2

1 2 x y

Câu 33 : Giải HPT :

2

2

2

(

xy

-

1)



x

-

y



2

    

2

2

(

x



)



(

y

-

)



5

1 y

1 x

2

2

(

x



1)(

y

- 

1) 2

xy

2

2

(

x



)



(

y

-

)



5

1 y

          

)(

y

-

 ) 2

1 y

1 x 1 x

  x ( 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 118

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

1

 - 2

x

a

2

2

 - 1

a

a



b



5

Đặt





ab



2

  

y

-



b

1   x 1 y

      

1 2

 - 1  - 2

  b   a  b       b     a  b   a 

Xét từng TH giải

,x y đơn giản .

2

(

x



2 1) (

y



1)



9

xy



0

Câu 34: Giải HPT :

2

2

(

x



1)(

y

 

1) 10

xy



0

  

(

x

  2

)(

y

  2

)

 - 9

1 x

1 y

    

)(

y



)

 -

10

1 x

1 y

  x ( 

2

x

a

 - 5

(

a



b 2)(



2)

 - 9

a b

  - 3

Đặt







ab

 -

10

ab

 -

10

  

  



b

1   x 1 y

      y 

 - 5  2

 b    a   b   a 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 119

Tất cả vì học sinh thân yêu

Do vai trò của

,x y là như nhau nên ta xét 1 TH của cặp

,a b rồi hoán đổi lại.

2

2

2

y

)

x

  7

y

2

y

  1

xy



2

y

Câu 35 : Giải HPT :

2

2

2

2

x x

  7

(

x



y

) 2

y

 

1 3

xy

-

x

  ( x   

Ta thấy

thỏa mãn là một cặp nghiệm của hệ

0 0

 x   y

2

2

Xét

x

y

 0

Dùng định thức ta có :

2

2

D x



y

2

2



2 (

y x



y

)

2

2

D x D

 -

x x (



y

)

y

     

x

x





2

y

(Loại)



  -    x

2

x

x

y

0

y

 -

x

     y 

D D D D

Kết hợp

là nghiệm duy nhất

x y ( ; )



(0;0)

y

) 2

xy

  5

4

xy

-

3

y



1

Câu 36 : Giải HPT :



x

(

y 2 ) 2

xy

  5

6

xy

 - x

7

y

-

6

  ( x   

(2)

Xét hệ mới :

- 2.(1) - 3.(1) 2.(2)

  

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 120

Tất cả vì học sinh thân yêu

3 (2

xy

-

5)

-

x

2

xy



5

xy

 

5 5

y

-

2

x



15

) 2

-

x

y

(

 - -  x y   

3 (2

xy

-

5)

-

x

2

xy



5

3)( 2

xy

 

5 5) 3(



x

-

2

xy



5)

- - y

x

(

 - -  y x     (2

 - 5

xy



x

2

xy



5)( 2

xy

 

5 5) 3(



x

-

2

xy



5)

 - ( x

2

xy



5)(2

xy

 

5 5 2

xy

 

5 3) 0



  x

2

xy



5

2

xy

 

5 5 2

xy

  

5 3 0

  

Có 2

xy

 

5 5 2

xy

   5 3 0

x

.Thế vào PT(1) ta được

  x

2

xy

  

xy

5

2 5 - 2

2

2

x

5

5)

3(

2

2

x





2(

x

-

5)

-

 1

- 2

x 2

- x

3

 - x

23 x

-

13

x



 15 0



L 3( ) y

y

 - x     5 x 2      - x 1 2 

2

y

  x

xy

-

6

y

 

1 0

Câu 37 : Giải HPT :

3

2

xy



2 x y

 - x

8

y



0

  

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 121

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

Lấy

(1)

-

(2)



xy y (

 - 

1)

x

(3

y

-

1)

2

2

Lại có

xy



(

x



y

- 

1) 2(3

y

-

1)



xy y ,(

 - là 2 nghiệm của PT

1)

x

2

2

X

-

2(3

y

-

1)

X



(3

y

-

1)

  

X

0

3

y

- 1

xy



3

y

-

1

2

x



y

- 

1 3

y

-

1

   

Thấy

y  không phải nghiệm của hệ.

0

3

Thế

vào PT(2) ta được :

x



- 1y y

1

3

2

3

2



y

  -

3

y

y

3

y



3

y

-    -   4

1 0

1

y

x

- y y

x

-  y



8

Câu 38 : Giải HPT :

x

  y



7

 x 3 2 - x x - 3 2 - x

y 2 y y 2 y

 3     3  

Đặt

2

2

2

2

x

  y

a

 b a a b 2



2

a b

 

8

ab

a b 2 (

  1)

b a (

 

1) 8

ab





2

2

2

2

x

- 

y b

2

 a b ab



b a 2

 

7

ab

b a 2 (

  1)

a b (

 

1) 7

ab

  

  

  

(

ab  )

0

2

2

2

2



a b 2 (

 

1) 3 (

b a



1)

2

2

2 ( a b b a 2 (

1)     1)

( b a a b (

 

1) 1)

8   7

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 122

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

Mà có

a b 3 (

 

1) 3 (

b a

 

1) 15

ab

3

5

2



a b 5 (

 

1) 15

ab

2  - b

b 3

   1 0

3

5

  b    b 

 2 - 2

2

1

b

5

3

2

Với

b



  

a 1 2 .

a

   1

2

a

a

 3 b

 2

x

  y

1

5

3

x

-  y

 2

     

2

1

b

5

3

2

Với

b



  

a 1 2 .

a

   1

a

a

2

 3 b

- 2

x

  y

1

5

3

x

-  y

- 2

     

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 123

Tất cả vì học sinh thân yêu

GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH , PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM KÉP

ĐÁNH GIÁ PHẦN SAU BẰNG CASIO

THẦY QUANG BABY

22 x

-

3

x

-  2

x

2

x

-  5

2(

x

-

2) 2

x

Bài 1 :

- 2

3

2

Bài 2 :

x

2

x

- 

5 2(

x

-

2) 2

x

-  2

x

-

7

x



24

x

-

29

2

2

5

x

2

x

 -

5 (

x

-

1) 3

x

-  3

32

x



114

x



99(1)

Bài 3 :

22 x



5

x

  6

7

x



 11 4

x

9

BÀI 2 :

 , Điều kiện :

6 x  - 5

2

2

x



5

x

  6

7

x



 11 4

x



9

2



2(

x

- - x

2)

-

x

 - 2

5

x



6

x

 - 3

7

x



11



0

-

 

 

 

 

1

-

-



0

2  - - x

x

(

1 x 11



7

x

  2

5

x



6

x

  3

 2) 2  

  

Bước 1 , dò nghiệm ta được 2 nghiệm : x = 2 , x = -1 .

1

f x ( )



2

-

-

Ta đặt :

x

  2

5

x



6

x

  3

1 x 11



7

  

  

( )

0

Chứng minh

f x  , bằng việc sử dụng casio , chức năng Table như sau :

1

g x ( )



Nhập mode , 7 ,

, start -6/5 , end 5 , step 0,2 thấy g(x) lớn hơn 1,25 , vậy ta tách

x

  2

5

x



6

1

-

0

-

biểu thức

 , còn lại ta có

5 4

3 4

x

  2

5

x



6

1 x 11



7

x

  3

Việc còn lại các em biến đổi tương đương thôi .

Bước 2 , ta chứng minh biểu thức trong ngoặc luôn dương

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 124

Tất cả vì học sinh thân yêu

1

2

-

(

x

- - x

-

2   - - 

2 0

0

x

x

Bước 3 : Kết luận :

x

  2

5

x



6

x

  3

1 x 11



7

 2) 2  

  

-

x

2x 

Nghiệm : 1.25

  - hoặc 1

Video hướng dẫn : https://www.youtube.com/watch?v=fGcVf77I-9g

1

Giải bài 3 : Điều kiện :

  - 1 x

 x - 2.5 

CHÚNG TA GIẢI MỘT BPT CŨNG GIỐNG NHƯ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH , GỒM CÁC BƯỚC SAU :

Bước 1 : Casio ta tìm được nghiệm kép , các em bấm Shift + Cal thì sẽ thầy Eror , nhưng thực tế không

phải là vô nghiệm , các e thử nhật : Mode , 7 , f(x) = VT – VP , Start -2,5 , end -1 , step 0,2 . Các em sẽ thấy x

= -2 thì f(x) = 0 và không đổi dấu , vậy ta sẽ có f(x) = 0 có nghiệm kép

BƯỚC 1: DÒ NGHIỆM : Dùng casio phát hiện ra nghiệm kép (qua chức năng Table ) : x = -2

5x

 

ax b

Tiếp đến chúng ta tạo lien hợp cho các căn : 2

 : sử dụng điều kiện để 2 đường tiếp xúc :

1

xét tại điểm có x = - 2 ta có hệ :

f x ( ) f x '( )

 

g x ( ) g x '( )

  a b 1

  

- 2    a

x

 - 5 (

x



3)

Vậy ta có được liên hợp : 2

, làm hoàn toàn tương tự ta sẽ có :

23 x

- 

3 (2

x

 1)

2

2

(1)



5 ( 2

x

x

 - - - x

3)

5

(

x

-

1)( 3

x

- 

3 2

x

 

1) 25(

x



4

x



4)

x

-

1

2

2

-



25

  

0

x

(

f x 2) . ( ) 0



  x (

4

x



4)

2

x 5    5

x

x

3

2

3

x

- -

3 2

x

-

1

  

5

x

f x ( )



-



25

2

2

x

   x 5    5

x

3

3

x

- -

3 2

x

-

1

BƯỚC 2 : XỬ LÝ BIỂU THỨC TRONG NGOẶC :

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 125

Tất cả vì học sinh thân yêu

x

-

1

-

f x ( )





25

Xét :

, ta chứng minh nó luôn dương với mọi x thuộc tập

2

x 5    5

x

3

2

x

3

x

- -

3 2

x

-

1

xác định

+)Đầu tiên ta khẳng định rằng :

1x  thì

0

f x  , chỗ này em cứ dung table , mode 7 , star 1 , end 100 , ( )

step 10 xem , sẽ thầy

-

2.5

x

+)Xét

  - ,dung 1

chức

năng

table

ta

thấy

x

-

1

f x ( )



-



 25 0

(bấm mode 7 , nhập f(x) , start -2,5 , end -2 , step

2

x 5    5

x

3

2

x

3

x

- -

3 2

x

-

1

0,2)

x

-

1

Chọn riêng hàm

(bấm mode 7 , nhập f(x) , start -2,5 , end -2 , step 0,2) thì ta

g x ( )

 -

2

3

x

- -

3 2

x

-

1



 25 0

thấy

, vậy ta sẽ có

, cái này các em dễ chứng minh bằng biến đổi

g x  - ( )

25

x 5    5

x

3

2

x

tương đương .

2

Vậy trên tập xác định thì

(1)

  ( x

2)

   - x 2

0

f x  , vậy 0

( )

Đáp sô : x = -2

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 126