VẬT LÍ CHẤT RẮN

Phạm Đỗ Chung Bộ môn Vật lí chất rắn – Điện tử Khoa Vật lí, ĐH Sư Phạm Hà Nội 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

Chương 2

• Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển • Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein • Nhiệt dung theo lí thuyết Debye

• Dao động của mạng tinh thể 1. Dao động của mạng 3 chiều 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử 4. Lượng tử dao động: Phonon 5. Nhiệt dung của vật rắn

6. Sự giãn nở vì nhiệt

2

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

5. Nhiệt dung của vật rắn • Nhiệt dung là đại lượng vật lí đặc trưng cho sự thay đổi năng lượng của vật rắn theo nhiệt độ.

năng của các nguyên tử tại nút mạng.

• Sự thay đổi năng lượng là sự thay đổi động

• Nhiệt dung của vật rắn có mối liên hệ chặt

3

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

chẽ với dao động mạng.

Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển 1. Tinh thể là hệ các nguyên tử, mỗi nguyên

tử có 3 bậc tự do.

2. Các nguyên tử ở nút mạng, luôn luôn dao

động nhiệt.

3. Ở nhiệt độ đủ cao, coi như các nguyên tử

4

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

dao động độc lập nhau. ҧ𝜀 = 𝑘𝐵𝑇 kB là hằng số Boltzmann T là nhiệt độ tuyệt đối

Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển Nội năng của tinh thể có N nguyên tử là:

Nhiệt dung của vật rắn là:

𝐸 = 3𝑁𝑘𝐵𝑇

C = = 3𝑁𝑘𝐵

𝑑𝐸 𝑑T Nếu xét 1 mol vật rắn, trong đó chứa NA nguyên tử thì nhiệt dung của nó là:

5

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

C = 3𝑁𝐴𝑘𝐵 = 3𝑅

Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển

• Nhiệt dung của vật rắn không phụ thuộc nhiệt độ và như nhau với mọi chất (định luật Dulong-Petit).

Cần có một lí thuyết mới để xác định nhiệt dung của vật rắn phù hợp hơn với thực nghiệm ở vùng nhiệt độ thấp.

6

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

• Ở nhiệt độ thấp, nhiệt dung cổ điển không phù hợp với thực nghiệm: T→0 thì nhiệt dung thực nghiệm tiến đến không (định lí Nernst)

Sửa đổi mô hình cổ điển

Năng lượng của dao động của mạng tinh thể

1 2 3 4 𝜔2

𝜔1

𝜔4

𝜔3

n

𝑛

𝐸 𝜔𝑖

𝐸𝑖 𝜔

𝜔𝑛 E = ෍ 𝜔𝑖

E = ෍ 1

7

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

Sửa đổi mô hình cổ điển

Tổng năng lượng của N nguyên tử trong tinh thể

𝑛

𝐸 𝜔𝑖

𝐸𝑖 𝜔

𝜔𝑛 E = ෍ 𝜔𝑖

E = ෍ 1

Trong mạng tinh thể các dao động mạng có tần số 𝜔 khác nhau là độc lập nhau (không tương tác)

8

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

Tổng năng lượng của tất cả các loại phonon

Sửa đổi mô hình cổ điển

Yêu cầu phù hợp với các định luật cơ bản của

vật lí, phù hợp với thực nghiệm và không mâu

1. Nhiệt dung ở 0K phải bằng không (C=0)

2. Nhiệt dung ở nhiệt độ thấp tỉ lệ với T3

3. Nhiệt dung ở nhiệt độ cao tiến tới giá trị cổ điển

(phù hợp định luật Dulong-Petit)

9

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

thuẫn với cổ điển:

Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein

1. Các nguyên tử trong vật rắn dao động với cùng một tần số ωE (tần số Einstein)-tức là chỉ có một loại phonon trong tinh thể.

2. Năng lượng trung bình của dao động tử có tần số

ωE là:

𝑈 = 𝑛𝐸 ℏ𝜔𝐸

Trong đó:

𝑛 =

10

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

1 ℏ𝜔𝐸 𝑘𝐵𝑇 − 1 𝑒

Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein

Xét tinh thể có N nguyên tử, tổng năng lượng của tinh thể là tổng năng lượng của 3N dao động tử có giá trị là: 3𝑁ℏ𝜔𝐸 ℏ𝜔𝐸 𝑘𝐵𝑇 − 1

𝑈 =

ℏ𝜔𝐸 𝑘𝐵𝑇

𝑒 Ta tính được nhiệt dung của mạng tinh thể là:

2

𝑒

2

𝐶𝑉 = = 3𝑁 ℏ𝜔𝐸

𝑉

ℏ𝜔𝐸 𝑘𝐵𝑇 − 1

𝑘𝐵𝑇2 𝑒

11

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

𝜕𝑈 𝜕𝑇

Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein

• Ở nhiệt độ cao nhiệt dung tính theo lí thuyết Einstein là:

ℏ𝜔𝐸 𝑘𝐵𝑇

2

𝑒

2 = 3𝑁𝑘𝐵

ℏ𝜔𝐸 𝑘𝐵𝑇 − 1

𝐶𝑉 = 3𝑁 ℏ𝜔𝐸

12

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

𝑘𝐵𝑇2 𝑒 Nhiệt dung tính theo lí thuyết Einstein phù hợp với định luật Dulong-Petit

Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein

• Ở nhiệt độ thấp nhiệt dung tính theo lí thuyết

Einstein giảm theo nhiệt độ:

−

ℏ𝜔𝐸 𝑘𝐵𝑇

• Khi T = 0 K nhiệt dung giảm đến không.

𝐶𝑉~𝑒

13

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

Nhiệt dung tính theo lí thuyết Einstein chưa phù hợp với thực nghiệm ở vùng nhiệt độ thấp vì trong thực tế C ~ T3

Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein

Hạn chế của lí thuyết Einstein: 1. Cho rằng chỉ có một tần số dao động duy nhất trong tinh thể. Tức là chỉ xét đến các phonon quang có tần số thay đổi không đáng kể theo vectơ sóng K.

2. Bỏ qua vai trò của các phonon âm, trong khi ở khu vực nhiệt độ thấp phonon âm đóng vai trò chủ yếu.

14

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

Cần có lí thuyết phù hợp hơn cho nhiệt dung trong vùng nhiệt độ thấp

Nhiệt dung theo lí thuyết Debye

• Năng lượng trung bình của dao động có tần số ωs là:

𝜖𝑝(𝐾) =

ℏ𝜔𝑝 𝐾 ℏ𝜔𝑝 𝐾

𝑘𝐵𝑇 − 1

• Năng lượng trung bình của các dao động trong

tinh thể là:

𝑈 = ෍

𝑒

෍ 𝑝

𝜖𝑝(𝐾) = ෍ 𝐾,𝑝

𝐾

ℏ𝜔𝑝 𝐾 ℏ𝜔𝑝 𝐾

𝑘𝐵𝑇 − 1

15

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

𝑒

Nhiệt dung theo lí thuyết Debye

Tinh thể có chứa N nguyên tử, thì trong vùng Brillouin thứ nhất có N giá trị của K. Do N rất lớn nên ta có thể thay tổng theo K bằng tích phân theo K như sau:

𝐾

D(K) là mật độ trạng thái theo K Do 𝜔 là hàm của K, ta có:

𝑈 = න 𝜖𝑝 𝐾 𝐷 𝐾 𝑑𝐾

𝑈 = න 𝐷 𝜔 𝑑𝜔

𝜔

𝑒

16

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

𝜖𝑝 𝜔 𝐷 𝜔 𝑑𝜔 = න 𝜔 ℏ𝜔 ℏ𝜔 𝑘𝐵𝑇 − 1

Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Hàm mật độ trạng thái một chiều 𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑠

𝑢𝑠+𝑁 = 𝑢𝑠𝑒𝑖𝑁𝐾𝑎

∆𝐾 =

2𝜋 𝐿 Mật độ trạng thái trong không gian K là:

𝐷(𝐾) =

𝐿 2𝜋

17

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

Fig 4, p110, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th

Nhiệt dung theo lí thuyết Debye

Hàm mật độ trạng thái một chiều

𝐷 𝜔 𝑑𝜔 =

2𝑑𝐾 =

𝑑𝜔 =

𝐿 2𝜋

𝐿 𝜋

𝑑𝐾 𝑑𝜔

𝐿 𝜋

𝑑𝜔 𝑑𝜔/𝑑𝐾

𝑑𝜔/𝑑𝐾 là vận tốc nhóm trong tinh thể

Hàm mật độ trạng thái một chiều trong gần đúng Debye:

𝐷 𝜔 𝑑𝜔 =

⟹ 𝐷 𝜔 =

𝐿 𝜋

𝑑𝜔 𝑑𝜔/𝑑𝐾

𝐿 𝜋𝜐

18

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Hàm mật độ trạng thái ba chiều Mật độ trạng thái trong không gian K là:

3

𝐷 𝐾 =

=

𝐿 2𝜋

𝑉 8𝜋3

Số mode dao động trong hình cầu có bán kính K là:

𝑁 =

𝜋𝐾3

𝐿 2𝜋

3 4 3

Mật độ trạng thái theo tần số là:

𝐷 𝜔 =

=

𝑑𝑁 𝑑𝜔

𝑉𝐾2 2𝜋2

𝑑𝐾 𝑑𝜔

19

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

Nhiệt dung theo lí thuyết Debye

• Trong gần đúng Debye:

𝐷 𝜔 =

=

𝑉𝐾2 2𝜋2

𝑑𝐾 𝑑𝜔

𝑉𝜔2 2𝜋2𝜐3

• Nếu tinh thể có chưa N nguyên tử (N ô sơ cấp) thì số mode

dao động cũng là N:

1/3

𝐾𝐷 =

6𝜋2𝑁 𝑉 1/3

3 =

𝜔𝐷 = 𝜐𝐾𝐷= 𝜐

𝜔𝐷

6𝜋2𝑁 𝑉

6𝜋2𝜐3𝑁 𝑉

20

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

Nhiệt dung theo lí thuyết Debye

Biết qD ta sẽ tính được giá trị của tích phân Chú ý: Tích phân theo φ được kết quả là 2π, tích phân theo θ được kết quả là 2.

𝜔𝐷

𝑈 = න

0

𝑉𝜔2 2𝜋2𝜐3 𝑑𝜔

𝑒

𝑈 =

𝑑𝜔 =

𝑑𝑥

𝜔𝐷 3𝑉ℏ 2𝜋2𝜐3 න

𝑥𝐷 4𝑇4 3𝑉𝑘𝐵 2𝜋2𝜐3ℏ3 න

ℏ𝜔 ℏ𝜔 𝑘𝐵𝑇 − 1

0

0

𝑥3 𝑒𝑥 − 1

𝑥 =

=

→ 𝑥𝐷 =

𝜃 𝑇

𝑒

ℏ𝜔𝐷 𝑘𝐵𝑇

21

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

𝜔2 ℏ𝜔 𝑘𝐵𝑇 − 1 ℏ𝜔 𝑘𝐵𝑇

Nhiệt dung theo lí thuyết Debye

Nhiệt độ Debye:

ℏ𝜐 𝑘𝐵

𝜃 = (6𝜋2 𝑁 𝑉

3

න

𝑑𝑥

𝑈 = 9𝑁𝑘𝐵𝑇

𝑇 𝜃

𝑥3 𝑒𝑥 − 1

0

𝑥𝐷

3

)1/3 𝑥𝐷

න 𝐶𝑉 = = 9𝑁𝑘𝐵

𝑉

0

22

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

𝜕𝑈 𝜕𝑇 𝑇 𝜃 𝑥4𝑒 𝑥 𝑒𝑥 − 1 2 𝑑𝑥

Nhiệt dung theo lí thuyết Debye

Ở nhiệt độ T rất nhỏ (T<< 𝜃)

Fig 10, p115, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th

Phù hợp tốt với định luật T3. Do trong vùng nhiệt độ này chỉ có dao động của nhánh âm học ứng với các bước sóng dài được kích thích.

23

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

Nhiệt dung theo lí thuyết Debye

Fig 7&8, p113, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th

Với T>>θ nhiệt dung tiến tới giá trị cổ điển là 3NkB

Với T rất nhỏ nhiệt dung tiến đến không

24

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

Einstein vs Debye

• Lí thuyết Einstein và lí thuyết Debye đã giải thích khá tốt

các kết quả mà thực nghiệm tìm ra.

• Trong vùng nhiệt độ cao cả hai lí thuyết đều chỉ ra được là nhiệt dung tiến tới một giá trị không đổi và bằng nhiệt dung cổ điển.

• Thiếu sót: Lí thuyết Einstein chỉ tính đến các phonon

quang; lí thuyết Debye chỉ tính đến các phonon âm.

25

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

Kết hợp giữa lí thuyết Einstien và Debye Xét đến đóng góp của cả hai loại dao động (âm học và quang học) vào nhiệt dung.

6. Sự giãn nở vì nhiệt

• Thế năng phi điều hòa

• Độ lệch trung bình khỏi vị trí cân bằng của nguyên tử

𝑥𝑒

ҧ𝑥 =

𝑈(𝑥) 𝑘𝐵𝑇 dx 𝑈(𝑥) 𝑘𝐵𝑇 dx

𝑒

+∞ ׬−∞ +∞ ׬−∞

26

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

(với c, g, f>0)

6. Sự giãn nở vì nhiệt

1 𝑘𝐵𝑇

• Khai triển tích phân ở tử số:

• Khai triển tích phân ở mẫu số:

• Giả thiết U(x)<

ҧ𝑥 =

27

PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020

3𝑔 4𝑐2 𝑘𝐵𝑇