Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 10: Biến đổi fourier

Chia sẻ: Lão Lão | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương này trình bày các tính chất của biến đổi Fourier sử dụng các hàm một chiều cho các ký hiệu đơn giản. Sau đó, tổng quát hoá các kết quả cho trường hợp hai chiều, đồng thời chương này cũng xem xét các hàm một chiều như các ví dụ đơn giản và sau đó khai triển cho các hàm không gian hai biến như các ví dụ xử lý ảnh. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 10: Biến đổi fourier

Ch¬ng 10 BIẾN ĐỔI FOURIER 10.1. GIỚI THIỆU Biến đổi Fourier là một công cụ mạnh trong phân tích hệ thống tuyến tính. Nó cho phép chúng ta xác định số lượng các tác dụng của các hệ thống số hoá, các điểm lấy mẫu, các bộ khuếch đại điện tử, các bộ lọc tích chập, nhiễu và các điểm hiển thị. Những người kết hợp kiến thức nguyên lý của các tính chất biến đổi Fourier với kiến thức thực tiễn của sự thể hiện vật lý được chuẩn bị kỹ càng để tiếp cận hầu hết các bài toán xử lý ảnh. Bình thường, những người phát triển sự kết hợp các kỹ năng là các sinh viên khoa điện tử và vật lý quang học, và họ thực hiện công việc này trong các khoá học. Tuy nhiên, đối với bất kỳ người nào thực sự có ý định sử dụng xử lý ảnh số trong công việc của họ, thì thời gian bỏ ra để thành thạo với biến đổi Fourier là đáng để đầu tư. Về ý nghĩa nào đó, biến đổi Fourier giống như một ngôn ngữ thứ hai để miêu tả các chức năng. Những người sử dụng thành thạo hai ngôn ngữ thường xuyên nhận thấy một ngôn ngữ tốt hơn ngôn ngữ kia để diễn tả một ý kiến nào đó. Tương tự, các nhà phân tích xử lý ảnh có thể di chuyển lui tới giữa miền không gian và miền tần số trong khi tiến hành trọn vẹn một vấn đề. Đầu tiên khi học một ngôn ngữ mới, người ta hay nghĩ đến ngôn ngữ bẩm sinh của anh ta hay cô ta và nhẩm dịch trước khi nói. Tuy nhiên, sau khi đã trở nên trôi chảy, họ có thể nghĩ đến một ngôn ngữ khác. Tương tự, một khi đã quen thuộc với biến đổi Fourier, nhà phân tích đều có thể thao tác trong miền không gian hay miền tần số và khả năng rất hữu ích. Trong phần đầu tiên của chương này, chúng ta sẽ trình bày các tính chất của biến đổi Fourier sử dụng các hàm một chiều cho các ký hiệu đơn giản. Sau đó, chúng ta tổng quát hoá các kết quả cho trường hợp hai chiều. Quy ước trong phần hai của quyển sách này là xem xét các hàm một chiều như các ví dụ đơn giản và sau đó khai triển cho các hàm không gian hai biến như các ví dụ xử lý ảnh. Trong nghiên cứu về phân tích hệ thống tuyến tính của chúng ta, chúng ta sẽ giới hạn thảo luận của chúng ta chỉ còn một phần của lĩnh vực được phát triển nhất này. Ví dụ, chúng ta chỉ sử dụng biến đổi Fourier mà không sử dụng biến đổi Laplace hay biến đổi Z, bởi vì chúng không cần thiết cho mục đích của chúng ta. Sự hạn chế này cho phép chúng ta phát triển các kỹ thuật mà chúng ta cần để phân tích các hệ thống xử lý ảnh số với một lượng phép toán phức tạp tối thiểu. Một nguyên nhân khiến chúng ta không cần đến biến đổi Laplace, và các kỹ thuật khác từ lĩnh vực phân tích hệ thống tuyến tính, là chúng ta làm việc với dữ liệu được thu nhận. Điều này làm nhẹ bớt cho chúng ta gánh nặng của việc thao tác bằng khả năng vật lý (tính nhân quả) và quan hệ mật htiết của nó đối với phân tích. Tính nhân quả. Các hệ thống tuyến tính thực hiện bằng phần cứng điện tử được đề cập đến như là nguyên nhân (causal) bởi vì tín hiệu vào gây ra sự xuất hiện tín hiệu ra. Nói chung, điều này có nghĩa là nếu đầu vào là 0 tại tất cả các thời điểm âm thì đầu ra cũng phải như thế với t
thì đáp ứng xung phải bằng 0 với mọi t
 2 F ( s )   e  ( t  j 2st ) dt (6)  Chúng ta nhân phía về phải bởi 2 2 e s e  s  1 Ta được 2  2 F ( s )  e s  e  (t  js ) dt (7)  Chúng ta bây giờ thực hiện biến đổi các biến (tính vi phân) u  t  js du  dt (8) Và biểu thức (7) trở thành 2  2 F ( s )  e s  e u du (9)  Tích phân trong biểu thức 9: được tính và rút gọn sẽ cho 2 F ( s )  e s (10) Hàm trong biểu thức (5) và trong biểu thức (10) là một cặp biến đổi Fourier. Và biến đổi Fourier của Gauss ta cũng gọi là biến đổi Gauss. Tính chất này làm cho hàm truyền đạt Gauss khá hữu dụng trong phân tích sau này: 10.1.2. Các tồn tại trong biến đổi Fourier do biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân. chúng ta phải biết địa chỉ các câu hỏi còn tồn tại trong tích phân biểu thức (1) và (2) 10.1.2.1. Các hàm tức thời một vài hàm có giá trị 0 khi giá trị đối số âm hay dương đủ lớn trong phép tích phân của biểu thức (1) và (2). đối với mục đích của chúng ta Nếu tích phân của giá trị của một hàm tồn tại. Ví dụ nếu:   f (t ) dt   (11)  Và hàm này là liên tục hoặc không liên tục trong một miền giới hạn, sau đó biến đổi Fourier của hàm tồn tại cho tất cả các giá trị của s. Chúng ta có thể gọi các hàm này là các hàm tức thời. Do nó không có nghĩa trong khoảng thời gian lớn: Đây là các hàm chúng ta sẽ cần phải thực hiện. Các tín hiệu số hay ảnh cần phải lược bỏ để giới hạn khung và độ bền của nó. Việc này đòi hỏi phải có biến đổi. Tuy nhiên trong một số trường hợp khác ta có thể không cần dùng các biến đổi 10.1.2.2. Hàm hằng và tuần hoàn biến đổi Fourier không tồn tại cho tất cả các giá trị của s nều f(t)= cosin(2t) hay Nếu f(t) = 1. Tuy nhiên xung (t), được giới thiệu trong chương 9 cho phép chúng ta có thể điều khiển các trường hợp thuận lợi. Xét biến đổi ngược của một cặp xung: 138
 f (t )   1  (s  f 0 )   (s  f 0 )    ( s  f 0 )   ( s  f 0 )e j 2st ds  Bằng cách phân tích tính chất xung, ta có   f (t )    ( s  f 0 )e jst ds    ( s  f 0 )e jst ds    j 2f 0t  j 2f 0t e e  2 cos(2f 0 t ) Trong đó chúng ta đã sử dụng biến đổi ơle, chia cho 2 chúng ta có thể viết 1 cos(2f 0 t )   ( s  f 0 )   (s  f 0 ) (12) 2 Có nghĩa là biến đổi Fourier của một hàm cosin của tần số fo là một cặp xung với s = f0 trong miền tần số. Với biến đổi Fourier cho một hàm sin ta có j sin( 2f 0 t )   ( s  f 0 )   ( s  f 0 ) (13) 2 Nếu chúng ta cho f0 = 0 chúng ta có thể chỉ ra 1   ( s ) (14) Có nghĩa là biến đổi Fourier của một hằng số là một xung khởi đầu: Chúng ta bây giờ đã có thể sử dụng biểu thức cho biến đổi Fourier của hằng số và các hàm tuần hoàn. Chúng ta đã có những hiểu biết tốt về nguyên lý biến đổi Fourier cho các hàm tuần hoàn có miền tần số f chúng ta có thể tổng kết với trường hợp là nf, trong đó n phải là số nguyên. Xem thêm biểu thức (40) bạn sẽ thấy biến đổi Fourier của hàm tuần hoàn tương đương với một chuỗi các xung được đặt tại các điểm cách đều nhau trong miền tần số. 10.1.2.3. Các hàm ngẫu nhiên Chúng ta thu gọn các hàm không tuần hoàn có tích phân không xác định và trong một lớp gọi là các hàm ngẫu nhiên. Trong các chương sau, chúng ta sẽ sử dụng các chế độ đầu ra của một quá trình ngẫu nhiên. Trong đa số các trường hợp, chúng ta đòi hỏi chỉ có hàm tự tương quan của hàm ngẫu nhiên. Hàm này được cho bởi 1 T R f ( )  lim  f (t ) f (t   )d (15) T   2T T Và nó có trong các hàm mà chúng ta quan tâm. các hàm tự tương quan là thực và chẵn, và biến đổi Fourier của nó là phép mũ của phổ f(t), như chỉ ra sau đây. Nếu nó trở lên cần thiết biến đổi một hàm ngẫu nhiên, chúng ta có thể định nghĩa lại biến đổi Fourier của biểu thức 1. 1 T F ( s )  lim  f (t )e  j 2st ds (16) T  2T T Và tương tự cho biến đổi ngược. Chúng ta sau đó có thể làm việc với một lớp của các hàm để định nghĩa lại các biến đổi Fourier đã tồn tại. Tuy nhiên trong quyển sách này chúng ta vẫn làm việc với các định nghĩa được thiết lập trong biểu thức 1 và 2, do chúng 139
gần như đường bao tín hiệu trong giới hạn độ bền. Các nhà phát triển thực hiện với các quy ước 1 và 2 có thể thực hiện lại với các quy ước đề nghị trong biểu thức 16. Chúng ta kết luận cuộc thảo luận này với quan điểm, trong mục đích của chúng ta, rằng biến đổi Fourier không phải là vấn đề chủ yếu. 10.1.3. Khai triển chuỗi Fourier Giả sử ta có hàm g(t) là hàm tức thời theo thời gian có giá trị không bên ngoài khoảng [-T/2, T/2]. Ta cũng có thể coi như là một chu kỳ của hàm tuần hoàn. Chúng ta cũng có thể có một hàm liên tục bằng cách dời dạc hoá s trong biểu thức 1 và tính tích phân chỉ trong miền thời gian trên T /2 G n  G (ns )   g (t )e  j 2 ( nst ) ds (17) T / 2 Trong đó T là chu kỳ và s = 1/T. Việc khai triển này thể hiện g(t) bằng các hệ số (có giá trị phức) vô hạn, mặc dù vậy nhưng trong chủ yếu các hàm mà chúng ta quan tâm chỉ hữu hạn với các hệ số khác không. Hàm truyền đạt ngược trở thành  n 1  j 2 ( t ) g (t )   G (ns )e j 2 ( nst ) s   Gn e T (18) n 0 T n 0 Xây dựng lại một hàm g(t) có thời gian trong miền khác không bằng cách thêm vào các đường hình sin của các tần số khác nhau độ rộng của các đường hình sin này là các hệ số Gn. Khai triển chuỗi Fourier của hàm f(t) là a0  n  n f (t )    a n cos(2 t )   bn sin( 2 t ) (19a) 2 n1 T n 1 T Trong đó 2 T /2 n 2 T /1 n an   f ( x) cos(2 x)dx vµ bn   f ( x) sin( 2 x )dx (19b) T T / 2 T T T / 2 T Nó đưa ra một hàm tuần hoàn với chu kỳ T bằng hai hình sin vô hạn với hệ số thực. 10.1.4. Biến đổi Fourier rời rạc Nếu chúng ta rời rạc hoá cả thời gian và tần số biến đổi Fourier trong biểu thức (19a) sẽ trở thành N /2 N /2 n T  j 2 ( )i G n  G (ns )   g (it )e  j 2 ( ns )it s  i N / 2 N  gie i  N / 2 N (20a) Trong đó T = Nt. Biến đổi ngược sẽ có dạng N /2  n j 2 ( ns ) it 1 j 2 ( )i g i  g (it )   G (ns)e n   s  T G e n  n N (20b) Trở lại với các hàm mà chúng ta quan tâm, g(it), hệ số {Gn} khác không khi các giá trị n tương đối nhỏ. 140
Nếu {fi}là một chuỗi có độ dài N, tất cả những hàm thu được bằng cách lấy mẫu của một hàm liên tục trong khoảng thời gian như nhau, thì biến đổi Fourier rời rạc của nó là chuỗi {Fn} cho bởi N 1 n 1  j 2 i Fn  N  i 0 fie N (21) Và DFT ngược sẽ là N 1 i 1 j 2 n fi  N  Fn e n 0 N (22) Trong đó 0  i, n  N-1. 10.1.4.1. Mối quan hệ với biến đổi liên tục Sự tương đồng DFT đúng với biểu thức (1) và (2) và với biểu thức (20a) và biểu thức (20b) đó là DFT có lẽ có nhiều tính chất giống nhau như biến đổi tích phân. Đối với các loại hàm mà chúng ta thực hiện với việc xử lý ảnh số, sự khác nhau giữa chúng là khá nhỏ. Trong thực tế, nếu {fi} có được bằng mẫu chính xác một kiểu hàm liên tục nào đó, thì biến đổi Fourier rời rạc đưa ra có thể là trường hợp đặc biệt của biến đổi Fourier liên tục. Việc lấy mẫu chính xác như vậy chúng ta có thể gọi là các hàm giới hạn dải thông, và việc sử dụng DFT để tính toán biến đổi Fourier được đề cập đến trong chương 12 và chương 13. Việc sử dụng DFT để thực hiện lọc tuyến tính được trình bày trong chương 16. Thật là may mắn cho chúng ta, DFT cũng có quan hệ rất gần gũi với biến đổi Fourier liên tục. Miễn là chúng ta tuân theo luật lấy mẫu được đặt ra trong chương 12 thì về bản chất chúng ta có thể xem chúng là tương đương. Tính mềm dẻo bắt buộc chúng ta phải xem xét quá trình thiết kế trong phạm vi rộng. Điều đó có nghĩa, chẳng hạn, là chúng ta có thể dùng cách tiếp cận liên tục khi gải quyết một bài toán xử lý ảnh, và sau đó thực hiện lời giải bằng cách tiếp cận rời rạc. 10.1.5. Biến đổi nhanh Fourier (FFT) Khi thực sự cần thiết để tính toán biến đổi Fourier của một tín hiệu hay một ảnh đợc lấy mẫu, chúng ta thường sử dụng DFT. Số các phép nhân và phép cộng cần có để thực hiện biểu thức (21) hay (22) rõ ràng phải tỷ lệ với N2, thậm chí sau đó giá trị yêu cầu số mũ phức phải được lưu trữ trong bảng. Điều này khién cho việc tính toán này trở lên rất phiền toái. Thật may mắn, đã sẵn có một lớp thụât giải làm giảm thiểu số các phép tính chỉ còn ở mức Nlog2N. Việc thực hiện với số phép tính giảm nhẹ này gọi là biến đổi nhanh Fourier. N phải phân tích thừa số thành tích các số nguyên nhỏ. Hiệu quả cao nhất và kết quả thực hiện đơn giản nhất khi N là luỹ thừa của 2 (chẳng hạn N = 2p trong đó p là một số nguyên). Chú ý trong biểu thức (21) có thể viết dưới dạng tích ma trận  F0   W0, 0  W0, N 1   f 0             (23)     FN 1  W N 1,0  WN 1, N 1   f N 1  Hay 141
F=Wf (24) Trong đó ni 1  j 2 N wn ,i  e (25) N Do hàm mũ tuần hoàn theo tích của n và i, nên tính đối xứng trong ma trận W là đáng quan tâm. Ma trận có thể phân tích thành các ma trận N  N chứa các giá trị được lặp lại, bao gồm rất nhiều giá trị 0 và giá trị 1. Nếu N = 2p thì W phân thành p ma trận như trên. Số lượng tổng cộng các phép tính được yêu cầu để thực hiện p tích ma trận về thực chất là ít hơn số các phép tính yêu cầu đối với biểu thức (23). Phân tích bằng FFT làm giảm khối lượng công việc tính toán đi một lượng là N2 N (N)  (26) N log 2 log (2N ) Giá trị này tăng với N, và với N = 1024, FFT nhanh hơn thực hiện trực tiếp xấp xỉ 100 lần. 10.1.6. Biến đổi Fourier của một số hàm thường dùng Bảng 10-1 liệt kê các biến đổi Fourier của một số hàm phổ biến: BẢNG 10-1 BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG DÙNG Hàm f(t) F(s) Gauss t 2 2 e e s sin(s ) Xung vuông  (t) s sin 2 (s ) Xung tam giác (t) (s ) 2 Xung (t) 1 1 j u(i)  (s)   Nhảy bậc đơn vị 2 s  1 Cosin cosin(2ft)  (s  f )   ( s  f ) 2 1 sin(2ft) j  (s  f )   ( s  f ) Sin 2 e j 2ft (s-f) Mũ phức 142
10.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 10.2.1. Tính đối xứng Trong trường hợp tổng quát, một hàm phức của một biến trị thực đơn có biến đổi Fourier cũng là một hàm phức của biến thực. Tuy nhiên, có một số lớp các hàm bị hạn chế vì tính đối xứng của chúng tạo ra hành vi dưới phép biến đổi Fourier. 10.2.1.1. Tính chẵn lẻ Một hàm fe(t) là chẵn nếu và chỉ nếu f e (t )  f e (t ) (27) Và một hàm fo(t) là lẻ nếu và chỉ nếu f o (t )  f o (t ) (28) Một hàm f(t) là không chẵn hay không lẻ có thể phân tích thành các thành phần chẵn và lẻ như sau 1 f e (t )   f (t )  f (t ) (29) 2 Và 1 f o (t )   f (t )  f (t ) (30) 2 Trong đó f (t )  f e (t )  f o (t ) (31) Chúng ta kiểm tra kết quả của tính chẵn lẻ trong biến đổi Fourier bằng cách thực hiện lại quan hệ Euler. e jx  cos( x )  j sin( x) (32) Chúng ta có thể viết lại biểu thức biến đổi Fourier trong biểu thức (1) như sau    F ( s )   f (t )e  j 2st dt   f (t ) cos(2st )dt  j  f (t ) sin( 2st )dt (33)    Như trong biểu thức (31) ta thấy f(t) như là tổng của hàm chẵn và hàm lẻ   F ( s )   f e (t ) cos(2st )dt   f o (t ) cos(2st )dt     (34)  j f e (t ) sin( 2st )dt  j  f o (t ) sin( 2st )dt   Chú ý đó là các số hạng 2 và 3 là tích phân không xác định của các hàm chẵn và hàm lẻ. Các số hạng có giá trị 0, và biến đổi Fourier ốut gọ thành   F ( s )   f e (t ) cos(2st )dt  j  f o (t ) sin( 2st )dt  Fe ( s )  Fo ( s ) (35)   Bây giờ chúng ta có thể đưa ra danh sách các tính chất đối xứng của biến đổi Fourier: 1. Một hàm thành phần chẵn tạo ra một hàm thành phần biến đổi chẵn. 2. Một hàm thành phần lẻ tạo ra hàm thành phần biến đổi lẻ. 143
3. Một hàm thành phần lẻ sẽ có hệ số -j. 4. Một hàm thành phần chẵn không có hệ số. 10.2.1.2. Các thành phần thực và ảo Chúng ta có thể sử dụng 4 qui tắc cho trước để giảm ảnh hưởng cho biến đổi Fourier trên các hàm phức. Nếu chúng ta phân rã các hàm phức tổng quát thành tổng của 4 thành phần – phần thực một chẵn và một lẻ, cộng với phần ảo một chẵn và một lẻ-chúng ta có thể viết 4 qui tắc đối với biến đổi Fourier như sau: 1. Phần chẵn thực tạo ra một phần chẵn thực. 2. Phần lẻ thực tạo ra một phần lẻ thực. 3. Phần chẵn ảo tạo ra một phần chẵn ảo. 4. Phần lẻ ảo tạo ra một phần lẻ ảo. Trong các quan tâm khác là mối quan tâm với trường hợp hàm nhập mà là thực, chúng ta thông thường sử dụng hàm thực để đưa lại các ảnh nhập vào. chú ý đó là một hàm thực đưa ra một biến đổi mà có một phần hàm là chẵn thực và một phần hàm lẻ ảo. Điều này được đề cập như một hàm Hermite, và nó có tính chất đối xứng liên hợp. F s   F *  s  (36) Trong đó dấu * ký hiệu cho liên hợp phức. Bảng 10.2 liệt kê đầy đủ các tính chất đối xứng của biến đổi Fourier. Chú ý rằng biến đổi ngược [biểu thức 2] so với biến đổi trực tiếp [biểu thức 1] chỉ khác dấu của thành phần lẻ. Điều này cho ta thấy rằng với biến đổi xuôi và ngược một hàm chẵn là tương đương. BẢNG 10.2 CÁC TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER f(t) F(s) Chẵn Chẵn Lẻ Lẻ Thực và chẵn Thực và chẵn Thực và lẻ Ảo và lẻ Ảo và chẵn Ảo và chẵn Phức và chẵn Phức và chẵn Phức và lẻ Phức và lẻ Thực Hermite Ảo Phản Hermite Thực và chẵn, cộng ảo và lẻ Thực Thực và lẻ, cộng ảo và chẵn Ảo 10.2.2. Nguyên lý cộng Giả sử chúng ta có cặp biến đổi Fourier  f t   F s  (37) Và g t   G s  (38) Nếu cộng hai hàm thời gian với nhau, biến đổi Fourier tổng của chúng sẽ là   f t   g t      f t   g t e  j 2st dt (39) 144
Có thể sắ xếp lại để được    f t   g t    f t e  j 2st dt   g t e  j 2st dt  F s   G s  (40)   Vì thế, phép cộng trong miền thời gian hay không gian tương ứng với phép cộng trong miền tần số, như minh hoạ trong hình 10-1. Điều này bổ sung cho khái niệm tính tuyến tính của một hệ thống. Nó thừa hưởng từ nguyên lý cộng cf t   cF s  (41) Trong đó c là một hằng số hữu tỉ. Chúng ta coi nó như một sự thật hiển nhiên mà biểu thức 41 đúng với mọi hằng số. HÌNH 10-1 Hình 10-1 Nguyên lý cộng 10.2.3. Nguyên lý dịch chuyển Nguyên lý dịch chuyển miêu tả ảnh hưởng khi di chuyển (dịch chuyển) hàm ban đầu nhờ vào biến đổi Fourier của nó. Sử dụng hàm f(t) như đã miêu tả ở trên. chúng ta có thể viết  t  a    f t  a e  j 2st dt (42)  Trong đó a là lượng dịch chuyển. Nhân vế phải của biểu thức với e j 2as e  j 2as  1 (43) Ta được   f t  a    f t  a e  j 2s t a e  j 2as dt (44)  Tiếp theo, chúng ta thay biến u t a du  dt (45) Và đữ số mũ thứ hai ra khỏi dấu tích phân, còn lại   f t  a   e  j 2as  f u e  j 2su du  e  j 2as F s  (46)  145
Vì thế, phép dịch chuyển một hàm đưa một hệ số mũ phức vào trong biến đổi Fourier của nó. Chú ý rằng nếu a = 0, thì hệ số là duy nhất. Hệ số phức e  j 2as  cos2as   j sin 2as  (47) có biên độ bằng 1 và quay trong mặt phẳng phức khi tăng s. Nghĩa là dịch chuyển một hàm không làm thay đổi biên độ (mô đun) biến đổi Fourier của nó, nhưng nó thay đổi sự phân bố năng lượng giữa các phần thực và phần ảo của nó. Kết quả là pha dịch cân đối với cả tần số lẫn a, lượng dich chuyển. 10.2.4. Nguyên lý tích chập Có lẽ nguyên lý quan trọng nhất trong phân tích hệ thống tuyến tính là nguyên lý tích chập. Chúng ta có thể biểu diễn biến đổi Fourier tích chập các hàm cho trong biểu thức (37) và (38) như sau    f t   g t     f u g t  u due  j 2st dt (48)   Sau khi sắp xếp lại ta có    f t   g t    f u  g t  u e  j 2st dtdu (49)   Theo nguyên lý dịch chuyển, ta có thể viết    f t   g t    f u e  j 2su G s du  G s  f u e  j 2su du (50)   Điều này có nghĩa là  f t   g t   F s G s  (51) và tích chập trong một miền tương ứng với phép nhân trong miền khác. Theo sau là  1 F s G s   f t   g t  (52) Nguyên lý tích chập đưa ra một lợi ích quan trọng của biến đổi Fourier: thay vì thực hiện tích chập trong một miền, một công việc phức tạp để hình dung và đắt đỏ khi thực hiện, chúng ta có thể thực hiện phép nhân trong miền khác mà vẫn có cùng kết quả. Chúng ta có thể sử dụng nguyên lý tích chập để nhận được biến đổi Fourier xung. Nhắc lại f t    t   f t  (53) tức là, xung là đồng nhất trong tích chập. Theo nguyên lý tích chập, F s  t   F s  (54) Do nó đúng với mọi f(t), nên chúng ta có thể chọn một hàm sao cho F(s) không các giá trị 0-Ví dụ như hàm Gauss. Sau đó chúng ta chia cho F(s) để thấy  t   1 (55) Chứng tỏ rằng biến đổi Fourier của xung bằng 1. 146
10.2.5. Nguyên lý đồng dạng Nguyên lý đồng dạng miêu tả ảnh hưởng mà một sự thay đổi tỷ lệ toạ độ gây ra cho biến đổi Fourier của một hàm. Việc thay đổi tỷ lệ của trục toạ độ sẽ mở rộng hay thu hẹp một hàm. Vì thế, chúng ta có thể giãn ra hay nén hàm trong biểu thức (37) bằng cách thay thế một hệ số trong đối số của nó. Khi đó biến đổi Fourier trở thành   f at    f at e  j 2st dt (56)  Nhân cả tích phân và hệ số mũ với a/a ta có 1   f at   f at e  j 2at s / a  adt (57) a  Bây giờ thay biến u  at du  dt (58) Và viết 1   f at    f u e  j 2u s / a  du (59) a  Chúng ta thừa nhận biểu thức này như 1 s  f at   F  (60) a a Nếu hệ số a > 1,thì nó kết thu nhỏ hàm f(t) theo chiều ngang, bằng biểu thức (60), nó làm giảm biên độ của biến đổi Fourier và mở rộng chiều ngang của nó bằng hệ số a. Nếu a < 1, nó có tác động ngược lại. Điều này được minh hoạ trong hình 10-2. Nguyên lý đồng dạng hàm ý rằng một hàm hẹp có một biến đổi Fourier rộng và ngược lại. Chúng ta có thể sử dụng nguyên lý đồng dạng để xây dựng một biểu thức chung cho biến đổi Fourier của hàm Gauss. Nhắc lại, từ biểu thức (5) và (12), biến đổi Fourier của Gauss cũng là một hàm Gauss.   2  e t  e s 2 (61) Theo nguyên lý đồng dạng ta có,  2  e  at    1  s / a 2 a e (62) HÌNH 10-2 147
Hình 10-2 Nguyên lý tương đương Bây giờ chúng ta đặt 2 2 / 2 2 e  at   e  t (63) Và giải với 1 a (64) 2 2 Bây giờ biến đổi được cho bởi  2   e  at   2 2 e 2 2  2s 2 (65) vì nó cũng là một hàm Gauss, nên ta có thể định nghĩa độ lệch tiêu chuẩn  sao cho 2  2s 2 2 / 2 2 e 2  e s (66) Nghĩa là s2 2 2 2 s 2  (67) 2 2 Hay 1  (68) 2 Vì vậy biến đổi Fourier của hàm Gauss có độ lệch tiêu chuẩn  là   e t 2 / 2 2  2 2 e -s 2 / 2 2  1 2 (69) Vì thế, biến đổi Fourier của hàm Gauss có biên độ bằng 1 với độ lệch tiêu chuẩn  là một hàm Gauss khác với biên độ là 2  và độ lệch tiêu chuẩn là 1/(2). Chúng ta có thể sử dụng nguyên lý đồng dạng để chứng minh biến đổi của xung là hằng số. Giả sử rằng 2 f t   ae  at  (70) Và biến đổi của nó là 2 F s   e  s / a  (71) Nếu chúng ta cho a tiến tới vô hạn, thì biên độ của f(t) sẽ hẹp lại và cao lên gần như là một xung, trong khi F(s) mở rộng ra để đạt được hằng số biên độ là 1. Vì vậy, trong trường hợp ràng buộc, phép co hàm Gauss dần tới một xung, và mở rộng biến đổi Gauss của nó tiến đến 1. 10.2.6. Định lý Rayleigh Một lớp các hàm quan trọng chỉ khác 0 trên một phần giới hạn trong miền của chúng. Đối với các hàm này, chúng ta có thể bàn tới tổng năng lượng của chúng. Năng lượng của một hàm được định nghĩa như sau 148
 2 N¨ng lîng   f t  dt (72)  chứng tỏ sự tồn tại của tích phân. Đối với các hàm tức thời, tích phân trong biểu thức (72) tồn tại, và năng lượng là một tham số thích hợp để phản ánh tổng “kích thước” của hàm. Định lý Rayleigh phát biểu rằng  2  2  f t  dt   F s  ds (73)   Điều đó có nghĩa là biến đổi có cùng năng lượng như hàm ban đầu của nó Dưới đây là chứng minh định lý Rayleigh. Đầu tiên chúng ta viết  2    f t  dt   f t   f t dt   f t  f * t e j 2ut dt u0 (74)    tức là, biểu thức thứ hai đúng với u = 0. Ngoài ra, chúng ta sử dụng dấu (*) để ký hiệu cho liên hơp phức, vì nói chung f(t) là phức. Chúng ta coi biểu thức (74) như là biến đổi Fourier ngược của tích hai hàm được ước lượng tại tần số với u = 0. Vì  1  f t  f * t   F u   F* -u  u0 (75) Chúng ta có thể viết tích phân chập như sau   1  f t  f * t    F s   F* s-u ds u0 (76)  Thay u = 0 vào, ta được   1  f t  f * t    F s   F* s ds u0 (77)  Biểu thức đó đã chứng minh biểu thức (73) và phát biểu rằng năng lượng trong cả hai miền là như nhau. Nếu f(t) là thực và chẵn, thì F(s) cũng là thực và chẵn, và    f 2 t dt   F 2 s ds (78) Chú ý rằng định lý Rayleigh phù hợp với nguyên lý đồng dạng: Nếu chúng ta thu hẹp một hàm theo biên độ không đổi, rõ ràng chúng ta có thể giảm năng lượng của nó. Nguyên lý đồng dạng phát biểu rằng thu hẹp một hàm không những giãn rộng biến đổi của nó, mà còn làm giảm biên độ của nó, để giữ cho năng lượng trong hai miền bằng nhau. 10.3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét biến đổi Fourier đóng những vai trò quan trọng như thế nào trong phân tích hệ thống tuyến tính. 10.3.1. Thuật ngữ trong hệ thống tuyến tính Hình 10-3 trình bày, trong cả hai miền, thuật ngữ thường sử dụng cho hệ thống tuyến tính. Nói chung, biến đổi Fourier của một tín hiệu được gọi là phổ tín hiệu, và biến đổi Fourier ngược của phổ là một tín hiệu. Tương tự, đáp ứng xung và hàm truyền đạt tạo thành một cặp biến đổi Fourier 149
10.3.2. Định danh hệ thống tuyến tính Thông thường, chúng ta chưa biết đáp ứng xung và hàm truyền đạt của một hệ thống và phải đi xác định chúng. Quá trình này gọi là định danh hệ thống. Đối với hệ thống tuyến tính trong hình 10-3, nguyên lý tích chập ngụ ý rằng H s   F s G s  (79) Bây giờ chúng ta có thể viết H s  G s   F s   0 (80) F s  HÌNH 10-3 Hình 10-3 Thuật ngữ hệ thống tuyến tính Và do đó  ht   g t    1   (81)   f t  Nghĩa là chúng ta có thể nhập một hàm f(t) đã biết, đáp ứng xung h(t), và tính g(t) bằng phép tích phân số học. Ví dụ, giả sử f(t) là một xung. Thì h(t) chỉ đơn thuần là đáp ứng xung, và không cần thêm một hành động nào để định danh hệ thống. Một ví dụ đáng quan tâm hơn, giả sử rằng f t    t  (82) Là đầu vào và ht    t  (83) được đo tại đầu ra, như đã cho trong hình 10-4. Bây giờ HÌNH 10-4 150
Hình 10-4 Định danh hệ thống, ví dụ 1  sin 2 s      s   2 g t    1     t  (84)  sin  s    s   Là đáp ứng xung Một ví dụ thứ 2, xem hình 10-5. Giả sử chúng ta chọn một đầu vào HÌNH 10-5 Hình 10-5 Định danh hệ thống, ví dụ 2  1  2 t  0 1  f t   u t     0 t  0 (85) 2  1  t 0  2 nó là một hàm biên có phổ j F s   (86) 2s Nếu đáp ứng hệ thống được cho bởi  1  2 t  1  ht    t  1  t  1 (87)  1  t 1  2 Có phổ là sin s  H s    j 2 (88) 2s  151
Chúng ta có thể viết H s  sin s  G s    (89) F s  s chứng tỏ đáp ứng xung là g t    t  (90) Trong các ví dụ trước, đầu ra hệ thống được thể hiện theo phép giải tích và bài toán được giải trực tiếp. Tuy nhiên, trong trường hợp thông thường, quá trình này giống điều này hơn: Đầu ra được số hoá, cả đầu vào lẫn đầu ra được biến đổi bằng tích phân số học. Tỷ lệ trong biểu thức (80) được tính trực tiếp, và biến đổi Fourier ngược của biểu thức (81) được thực hiện bằng tích phân số học. Biến đổi nhanh Fourier, một thuật giải hiệu quả cho việc tính toán biến đổi Fourier, được sử dụng phổ biến nhất. Chú ý rằng chọn lựa thận trọng một hàm đầu vào mà phổ của nó không có những giá trị 0. Trong ví dụ thứ hai, chúng ta đã vi phạm điều này, nhưng rất may chúng ta gặp phải một đáp ứng xung có những giá trị 0 trong miền tần số. Nếu F(s) có chéo 0, thì H(s) cũng sẽ, và G(s) có thể được nội suy từ các giá trị liền kề trước khi thực hiện biến đổi ngược. 10.3.3. Phân tích hàm điều hoà Biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân tuyến tính, sử dụng số mũ ảo như hàm hạt nhân của nó. Như đã cho trong biểu thức (33), biến đổi Fourier có thể biểu diễn như tổng của hai biến đổi hàm sin và hàm cosin. Do đó, không có gì phải ngạc nhiên khi các hàm sin và cosin được đối xử đặc biệt trong biến đổi Fourier. Bài tập dưới đây sẽ mang lại sự hiểu biết sâu sắc mối quan hệ giữa đáp ứng xung và hàm truyền đạt của một hệ thống tuyến tính. Xem lại hệ thống tuyến tính đã cho trong hình 10-3, và giả sử rằng, để thuận tiện cho đồ thị, f(t) và g(t) là thực và chẵn. Trong hình 10-6, đầu vào và đáp ứng xung được vẽ trong cả hai miền. Đối với phổ đầu vào, cho phép chúng ta chia trục s thành các đoạn s nhỏ và chia F(s) thành các dải hẹp rộng s. Nếu s đủ nhỏ, F(s) sẽ xấp xỉ với tổng của các xung chữ nhật, như trong hình 10-7. Chú ý rằng phép xấp xỉ F(s) được đưa ra tổng vô hạn các cặp xung như vậy. HÌNH 10-6 Hình 10-6 Ví dụ hệ thống tuyến tính 152
HÌNH 10-7 Hình 10-7 Phân tích điều hoà    s  is   s  is  F s    F is      (91) i 1   s   s   Xem xét một cặp xung cụ thể, mà vị trí của chúng nằm tại s = s0 và có biên độ F(s0), độ rộng s, và diện tích là F(s0)s. Khi s tiến tới 0, cặp xung tiến tới một cặp xung đơn vị chẵn tại s = s0, với F(s0)s vô cùng nhỏ. Biến đổi ngược của cặp xung chẵn tiến tới 2 F s0 s cos2s0 t  s0  is (92) Bởi vì F(s) gần bằng tổng của các cặp xung chẵn [biểu thức (91)], nên f(t) tiến tới tổng các hàm cosin có dạng như trong biểu thức (92). Điều đó có nghĩa là các hàm chẵn có thể phân thành tổng của rất nhiều hàm cosin có biên độ vô hạn. Do phổ đầu ra là tích của phổ đầu vào và hàm truyền đạt, nên tín hiệu ra h(t) có thể được biểu diễn như là tổng của các hàm cosin có dạng 2Gs0 F s0 s cos2s 0 t  (93) Bây giờ chúng ta có thể xem hoạt động của bộ lọc tuyến tính như sau đây. Đầu tiên tín hiệu vào f(t) được phân tích thành tổng các hàm cosin có tần số khác nhau. Biên độ của mỗi hàm cosin riêng biệt được xác định duy nhất bởi F(s), nó là biến đổi Fourier (duy nhất) của f(t). Trong hệ thống tuyến tính, mỗi hàm cosin tần số s0 được nhân với G(s0), biên độ hàm truyền đạt xác định tại tần số đó. Cuối cùng, tất cả các hàm cosin có biên độ thay đổi được cộng với nhau tại đầu ra bộ lọc để tạo thành tín hiệu ra h(t). Lưu ý rằng cách giải thích này phù hợp với hai tính chất của hệ thống tuyến tính đã đề cập trước đây: (1) Một đầu vào điều hoà luôn tạo ra đầu ra điều hoà có cùng tần số, và (2) hàm truyền đạt tại tần số s là biên độ tín hiệu điều hoà có tần số s nhân với một hệ số. Nếu chúng ta đã tạo hàm f(t) lẻ, thì F(s) sẽ là ảo và lẻ, cặp xung sẽ phải ảo và lẻ, và sau đó f(t) sẽ được phân tích thành các hàm sin. Quá trình còn lại là giống nhau, ngoại trừ, tại đầu ra, các hàm sin có biên độ biến thiên sẽ được cộng lại để tạo tín hiệu ra h(t) lẻ. Tương tự, nếu f(t) không lẻ hoặc không chẵn, thì đầu tiên nó được phân tích thành các hàm thành phần lẻ và chẵn, mỗi một thành phần sau đó sẽ phân tích như trên thành các hàm cosin và sin tương ứng. Các hàm sin và cosin biến thiên lại được cộng với nhau tại đầu ra để tạo tín hiệu ra h(t). Thảo luận trước đây giả thiết rằng hàm truyền đạt thực và chẵn. Giả sử tín hiệu vào là thực và chẵn, nhưng đáp ứng xung g(t) là thực và lẻ. Điều này tạo ra hàm truyền đạt ảo và lẻ. Khi các cặp xung đến, chẵn được nhân với hàm truyền đạt ảo và lẻ, chúng chuyển 153
đổi thành các cặp xung ảo lẻ. Quá trình này chuyển đổi các hàm đến cosin thành các hàm ra sin. Khi đó hàm ra trở thành tổng của các hàm sin, và g(t) là lẻ. Phần trước chứng minh rằng tích chập một hàm vào chẵn với một đáp ứng xung lẻ sẽ tạo ra một hàm lẻ. Từ giải thích bằng đồ thị của tích phân chập, ta có thể tự chứng minh điều đó là đúng. Bây giờ xem xét trường hợp khi hàm đầu vào là hàm cosin, có nghĩa là f t   cos2f 0 t  f0  0 (94) Và đáp ứng xung là thực, bao gồm các thành phần chẵn và lẻ g t   g e t   g o t  (95) Hàm truyền đạt Gs   Ge s   jGo s  (96) đây là công thức Hermite, có nghĩa là G f 0   Ge  f 0   jGo  f 0  f0  0 (97) Và G f 0   G *  f 0   Ge  f 0   jGo  f 0  f0  0 (98) Nhắc lại phổ của hàm cosin là 1 F s    s  f 0    s  f 0  (99) 2 Chúng ta bây giờ có thể viết lại phổ ra như sau 1 1 H s   Ge  f 0  s  f 0    s  f 0   j Go  f 0  s  f 0    s  f 0  (100) 2 2 Điều đó có nghĩa là tín hiệu ra là ht   Ge  f 0 cos2f 0 t   Go  f 0 sin 2f 0 t  (101) Cũng có thể viết lại như sau ht   A cos2f 0 t    (102) Trong đó  G  f  A  Ge2  f 0   Go2  f 0  vµ   arctan o 0  (103)  Ge  f 0   Đây là kết quả mong đợi về mặt tính chất mà một hệ thống tuyến tính có thể thay đổi biên độ và pha của một đầu vào điều hoà, nhưng không thể thay đổi tần số hay dạng hàm của nó. Bài tập trước minh hoạ mối quan hệ giữa các thành phần chẵn và lẻ của một đáp ứng xung thực và các thành phần thực và ảo của hàm truyền đạt. Nó cho thấy cách mà một thành phần lẻ trong đáp ứng xung đưa một hàm lẻ ảo vào hàm truyền đạt. Việc này tạo ra một thành phần sin đầu ra từ thành phần cosin của đầu vào và tác động lên pha dịch 154
của chính nó tại đầu ra. Cuối cùng, nó chứng tỏ rằng biên độ đầu ra phụ thuộc vào căn bậc hai bình phương trung bình biên độ của hàm truyền đạt phức. Chú ý rằng bây giờ chúng ta đã có hai phương pháp tương đương để xem xét hoạt động của một hệ thống tuyến tính: (1) Chúng ta có thể hình dung tích chập, với các hàm được phản xạ, dịch chuyển, nhân và tích phân, hay (2) chúng ta có thể hình dung sự phân tích điều hoá theo sau bởi phép nhân và phép cộng. Chúng ta cũng hiểu những hạn chế mà tính chẵn và lẻ trong một miền được thay bằng các hàm trong miền khác. Có hai tuỳ chọn rất linh hoạt và hữu ích cho chúng ta khi tiếp cận một bài toán phân tích hệ thống tuyến tính. Nó cũng minh hoạ sự tương tự song ngữ đã đề cập tại phần đầu của chương này. 10.3.4. Tần số âm (Negative Frequency) Những người đã có kinh nghiệm với truyền sóng vô tuyến hay sử dụng một bộ phân tích dạng sóng hay bộ phân tích phổ đôi khi cảm thấy không được thoải mái với các khái niệm tần số nhỏ hơn 0. Các bộ phân tích dạng sóng và phân tích phổ hợp nhất các bộ lọc thông dải hẹp chỉ cho phép năng lượng đi qua trong một dải hẹp xung quanh các tần số điều hoà nào đó. Những bộ lọc này có tác dụng chọn lựa, bên ngoài tín hiệu, thành phần điều hoà tại một tần số cụ thể. Ta có thể nhận được phổ của một tín hiệu điện bằng cách đổi chiều bộ lọc dải hẹp ngang qua dải tần số (dương) và vẽ biên độ của đầu ra. Những người có kinh nghiệm trong việc sử dụng loại thiết bị này có thể xa lạ với khái niệm tần số âm. Nhắc lại biến đổi Fourier của hàm cosin là một cặp xung chẵn và biến đổi của hàm sin là một cặp xung lẻ và ảo. Vì hàm cosin là một hàm chẵn, nên nó phải có phổ chẵn, và tương tự cho tính lẻ của hàm sin. Đối với một hàm thực bất kỳ, phổ là hàm Hermite, và nửa trái chỉ đơn thuần là liên hợp phức của nửa phải. Vì thế, đối với các hàm thực chúng ta sẽ sử dụng một kỹ thuật hai cạnh trong toán học có phần không cần thiết. Bởi vì nửa phổ bên trái là không cần thiết đối với các hàm thực, nên ta có thể bỏ qua nó như khi nó hoàn toần bị bỏ qua trong việc sử dụng bộ phân tích phổ. Tuy nhiên, chúng ta đang sử dụng cách tiếp cận có phần tổng quát hơn để mô phỏng các quá trình vật lý, và việc phân tích sẽ đơn giản hơn nếu chúng ta giữ lại phần bên trái của các hàm. Qua phần 2 của tài liệu, chúng ta đã vẽ phổ hai cạnh, mặc dù phổ thường được vẽ ở nơi khác chỉ là phổ mang tần số dương. Chúng ta nên giữ nguyên ý nghĩ, ngay cả khi chúng ta sử dụng toán học hai cạnh để mô phỏng hoạt động của hệ thống tuyến tính, thì nửa trái của hàm, mặc dù nó có thể không cần thiết, là một phần của phép phân tích. 10.4. BIẾN ĐỔI FOURIER HAI CHIỀU Từ trước tới giờ, chúng ta đã nghiên cứu biến đổi Fourier của các hàm một chiều theo thời gian. Trong xử lý ảnh số, và trong phân tích các hệ thống quang học, đầu vào và đầu ra thường là hai chiều và, trong một số trường hợp, có thể nhiều chiều hơn. Sự đầu tư của chúng ta vào biến đổi Fourier một chiều không chứng tỏ được rằng nó sẽ trở nên mất tác dụng, vì biến đổi có thể được tổng quát hoá lên nhiều chiều hơn. 10.4.1. Định nghĩa Đối với các hàm hai chiều, biến đổi Fourier trực tiếp và biến đổi Fourier ngược được định nghĩa tương ứng như sau   F u , v     f  x, y e  j 2 ux vy  dxdy (104)    155