Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
SA SB SC a
.
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
2. Chứng minh
SBD
vuông tại S.
HDG:
1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì
SA SB SC a
nên
. Mà
AC BD
vì ABCD là hình thoi, nên
O BD
Có:
,
SO SBD SO ABCD SBD ABCD
2. Các em tự chứng minh.
Bài 2: Tứ diện SABC có
.
SA mp ABC
Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
1.Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
SAC BHK
2.Chứng minh
HK SBC
và
.
SBC BHK
HDG:
1. Vì H là trực tâm tam giác
ABC BH AC
, theo giả thiết
SA mp ABC BH SA
. Nên
BH mp SAC SC BH
Do K là trực tâm
SBC BK SC
Từ đó suy ra
SC mp BHK mp BHK mp SAC
(đpcm)
2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:
SB mp CHK SB HK
Mà
SC mp BHK SC HK
. Do đó:
HK mp SBC mp SBC mp BHK
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với
(ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
1.Chứng minh
.
SBD SAC
2.Chứng minh
||
BD mp P
Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
Page 2 of 3
HDG:
1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông
góc với (ABCD) nên
SA BD BD SAC SBD SAC
2. Từ giả thiết suy ra:
P SAC
, mà
||
BD SAC BD P
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với
(P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (
S A
). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC. Giả sử
(Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
CMR : ' , '
AB SB AD SD
và
. ' . ' . '
SB SB SC SC SD SD
HDG: Từ giả thiết suy ra:
, '
SA BC AB BC BC SAB BC AB
Mà
'
SC Q SC AB
. Do đó
' '
AB SBC AB SB
Ngoài ra ta cũng có
, ' ' ' '
BC SB SC B C SBC SC B
nên:
. ' . '
' '
SB SC
SB SB SC SC
SC SB
Chứng minh tương tự ta được '
AD SD
và
. ' . '
SD SD SC SC
Vậy ta có đpcm.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=
3
a
, mặt bên (SBC)
vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD=
5
a
.
a. Chứng minh:
( )
SA ABCD
. Tính SA=?
b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HIJ).
CMR:
( )
AK SBC
;
( )
AL SCD
.
c. Tính diện tích tứ giác AKHL=?
Giải:
Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải.
Page 3 of 3
a)Ta có:
( )
( )
( )
BC BA BC SAB BC SA
BC BS
SA ABCD
DC DA DC SAD DC SA
DC DS
. Ta có:
2
SA a
b)Trong (SBC) gọi:
{ } ( )
SB HI K K SB HIJ
Trong (SAD) gọi:
{ } ( )
SD HJ L L SD HIJ
.
Ta có:
(1)
BC AK
mà:
IJ IJ ( ) IJ SC ( IJ) (2)
AC IJ
SC
SA SAC SC H SC AK
AH
Từ (1) và (2) ta có:
( )
AK SBC
. Tương tự cho
( )
AL SCD
c)Tứ giác AKHL có: ;
AL KH AL LH
nên: 1
( . . )
2
AKHL AK KH AL LH
S .
Vậy :
2
8
15
a
AKHLS
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn