BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Biên soạn: Tập thể GV Bộ môn Toán – Khoa Công nghệ thông tin – HVNN VN
Bài 1. Cho các ma trận:
2 4 6 7 1 2 1 34
, ,
3 5 7 0 4 3 2 6
ABC


Hãy thực hiện các phép tính sau:
AB
,
3AB
,
2
tt
AB
,
t
AB
,
.,
t
AB
.t
A B C
.
ĐS:
14 14 5
28 16 23
42 34 9
t
AB






,
,
62 0
.0 62
t
A B C 


Bài 2. Cho các ma trận
21
2 1 3 , 0 2
0 1 2 11
AB









và
11
01
C


.
1) Hai ma trận nào có thể nhân được với nhau ?
2) Tính
,,
n
AB ABC C
.
ĐS: 1)
, , ,AB BA BC CA
2)
1 3 1 4 1
,,
2 0 2 2 0 1
nn
AB ABC C
Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
1)
4
213 3
1 2 0 1








; 2)
3
1 3 1
2 2 0
0 1 1





. ĐS: 1)
14
10



; 2)
1 27 9
18 28 0
0 9 1






.
Bài 4. Cho ma trận
21
02
A


1) Tìm ma trận
X
thỏa mãn
22 3 0A A X
2) Tính
2017
A
.
ĐS: 1)
82
38
03
X






; 2)
2017 2016
2017
2017
2 2017.2
02
A


Bài 5. Tính các định thức sau:
1)
11
11
11
x
x
x
; 2)
0 1 1
10
10
x
x
; 3)
11
21
3 2 1
a
a

; 4)
1 0 3 1
0 2 6 0
1 0 3 1
4 1 5 0

; 5)
4 0 0 1
3 1 0 2
0 1 2 2
1 2 1 0


.
ĐS: 1)
2
( 2)( 1)xx
2) 0 3)
2
3 4 2aa
4) 40 5) -45
Bài 6. Cho ma trận
21
1 1 1
2 1 3
m
A





1) Với
1m
hãy tính
4
det , det(5 ), det( )
t
A A A
.
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Biên soạn: Tập thể GV Bộ môn Toán – Khoa Công nghệ thông tin – HVNN VN
2
2)
m
là giá trị nào đó mà
det 3A
. Với những giá trị
m
đó hãy tính
12
det( ), det(2 )AA
ĐS: 1)
det 2A
,
det(5 ) 250
t
A
,
4
det( ) 16A
2)
12
1
det , det(2 ) 72
3
AA

Bài 7. Tìm hạng của các ma trận sau:
2 7 3 1 6
3 5 2 2 4
9 4 1 7 2
A





;
3 4 1 2
1 4 7 2
1 10 17 4
4 1 3 3
B






;
0 1 0 1 0
1 3 1 3 1
3 5 3 5 3
79797
C






.
ĐS:
( ) 2, ( ) 3, ( ) 2r A r B r C
Bài 8 : Xác định hạng của các ma trận sau tùy theo tham số
a
:
1)
1 1 3
21
13
Aa
a





2)
3 1 2
1 4 7 2
1 10 17 4
4 1 3 3
a
B






3)
4 1 3 3
0 6 10 2
1 4 7 2
6 8 2
C
a






ĐS: 1) Với
0; 5 ( ) 2; 0; 5 ( ) 3.a r A a r A
2) Với
0 ( ) 2; 0 ( ) 3.a r B a r B
3) Với
6 ( ) 2; 6 ( ) 3.a r C a r C
Bài 9. Tìm
m
để ma trận sau có hạng bằng 2:
3 1 4 1
2 3 1
3 1 1 0
3 3 7 2
m
A






ĐS :
0m
Bài 10. Cho các ma trận:
1 3 2
2 1 1
3 0 2
A






,
2 6 5
1 4 3
3 9 7
B






,
1 1 2
2 1 1
3 0 2
C






và
2 2 3
1 4 3
3 3 3
D






.
1) Hãy tính các tích
AB
và
BA
. Từ đó hãy cho biết ma trận
A
có khả nghịch không? chỉ ra ma
trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận
A
.
2) Ma trận
C
có phải ma trận nghịch đảo của ma trận
B
hay không? Vì sao?
3) Tìm ma trận
X
(nếu có) thỏa mãn:
XA B
.
4) Hãy tính tích
CD
. Từ đó hãy cho biết ma trận
D
có khả nghịch không? chỉ ra ma trận
nghịch đảo (nếu có) của ma trận
D
.
ĐS: 1)
3
AB BA I
,
1
AB
2) không 3)
2...XB
4)
3
3CD I
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Biên soạn: Tập thể GV Bộ môn Toán – Khoa Công nghệ thông tin – HVNN VN
3
Bài 11. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau :
0 2 1
12
, 3 4 2
25 1 1 1
AB

 
 
 

ĐS:
11
2 3 8
52
, 1 1 3
21 1 2 6
AB







Bài 12. Cho ma trận
1 2 1
01
1 1 3
Am






1) Tìm
m
để ma trận
A
khả nghịch.
2) Giả sử
m
là những giá trị mà ma trận
A
khả nghịch. Chứng minh rằng với những giá trị
m
đó thì
23
,AA
cũng khả nghịch.
3) Với
1m
, hãy tìm ma trận nghịch đảo của A .
ĐS: 1)
1/ 2m
3)
1
4 5 3
1 2 1
1 1 1
A






Bài 13. Cho ma trận
1 2 1
10
1 1 2
Am





1) Với giá trị nào của
m
thì hạng của ma trận
A
bằng 3? Với các giá trị
m
vừa tìm được thì
ma trận
A
có khả nghịch không?
2) Với
1m
, hãy tính tích các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận nghịch đảo
1
A
(nếu có)
ĐS: 1)
3
5
m
(hạng của mt vuông
A
bằng cấp của mt khi và chỉ khi
det( ) 0A
) ; 2)
3
Bài 14. Cho ma trận
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
m
m
Am
m






1) Tìm điều kiện của
m
để
A
khả nghịch.
2) Khi
A
khả nghịch, gỉả sử ma trận nghịch đảo của
A
là
1
44
ij
Ac
. Tìm
m
để
23 1
4
c
và
11
det 16
A
ĐS: 1)
0m
và
4m
2)
2m
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Biên soạn: Tập thể GV Bộ môn Toán – Khoa Công nghệ thông tin – HVNN VN
4
Bài 15. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau
1)
22
2 3 3
2 3 2 1
x y z t
x y z t
x y z t
2)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 0
2 4 3 4 0
5 10 12 7 0
x x x x
x x x x
x x x x
3)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
5 2 6 5
3 4 7
x x x
x x x
x x x
4)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 4
4 3 2 6
8 5 3 4 12
3 3 2 2 6
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
5)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
31
2 2 1
3
2 3 1
x x x
x x x
x x x
x x x
ĐS: 1)
5
13
22
za
xa
ya
ta



; 2)
4
2
3
1
2
3
23
xa
xb
a
x
x b a



; 3)
1
2
3
3
2
1
x
x
x

; 4)
1
2
3
4
1
1
1
1
x
x
x
x


; 5) vô nghiệm
Bài 16.
1) Với giá trị nào của
m
thì các hệ phương trình sau có nghiệm:
a)
21
3 2 2
5 4 5
x y z t
x y z t
x y z mt
b)
10 6 3
21
2 5 2
x y z t
x y mz t
x y z mt
2) Với giá trị nào của
m
thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất? Có vô số nghiệm?
3 2 0
20
20
40
x y t
y z t
x z t
x y mz
3) Tìm
m
để hệ phương trình sau trở thành hệ Cramer? Khi đó hãy tính thành phần
x
trong
công thức nghiệm:
22
2 2 1
33
x y z
my z
x y z

ĐS:
1) a)
4m
b)
3m
( HD: Biến đổi ma trận bổ sung của hệ pttt về dạng bậc thang. Hệ
pttt có nghiệm khi và chỉ khi
( ) ( )
bs
r A r A
)
2)
det( ) 11 5Am
với
A
là ma trận hệ số của hệ pttt( Hệ vuông thuần nhất có nghiệm duy
nhất khi và chỉ khi
det( ) 0A
, có vô số nghiệm khi và chỉ khi
det( ) 0A
)
3)
1/ 2m
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Biên soạn: Tập thể GV Bộ môn Toán – Khoa Công nghệ thông tin – HVNN VN
5
Bài 17. Tìm tất cả các ma trận
X
(nếu có) thỏa mãn:
1)
2 1 2 1
1 3 1 3
XX
; 2)
1 2 1 2 1 1
1 1 0 1 0 2
1 1 2
X










3)
3 2 1 2
5 4 5 6
X

4)
1 3 2 2
1 2 3 1
1 1 0 3
X

5)
1 2 3 1 3 0
3 2 4 10 2 7
2 1 0 10 7 8
X


ĐS: 1)
,,
xy
X x y
y x y




; 2)
3 7 2
1 1.5 0.5
X



;
3)
32
54
X



; 4)
7 / 4
5/ 4
7 / 4
X





; 5)
6 4 5
2 1 2
333
X





Bài 18. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là không gian véctơ con của các không gian tương ứng ?
1)
3
, , | 2 3 1S x y z x z
trong
3
2)
3
, , | 2 0Q x y z xy z
trong
3
.
3)
4
, , , | 2 3 0, 0F x y z t x t y t z
trong
4
4)
3
, , | 2 3 0J x y z x z
trong
3
5)
2
, | 2 0H x y x y
ĐS: 4)
Bài 19. Trong
3
, véctơ
u
sau đây có phải là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại không? Tại
sao? Với
1 2 3
1,1,1 , 0, 1,1 , 2, 1,3 , 2, 1,5u u u u
.
ĐS: Có vì
12
2 3 uuu
.
Bài 20. Tìm điều kiện của
m
để véctơ
u
trong
3
sau đây là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại
với
1 2 3
0,1, 1 , 2,1,3 , ,2, 1 , 1, ,2u u u m u m
.
ĐS: Là THTT khi và chỉ khi
1
2
m
Bài 21: Chứng minh
(1, 1), (0,3)U u v
là một hệ sinh của không gian véctơ
2
. Hãy tìm
biểu thị tuyến tính của mỗi véctơ
(4,2), ( 2,5), 3w t s w t
qua hệ véctơ
U
.
ĐS:
4 2 , 2 , 14 5w u v t u v s u v
Bài 22. Họ các véctơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong không gian tương ứng?
1)
12
2,4 , 1, 2 vVv
trong
2.
2)
12
2, 1,1,0 , 4, 2,2,1vVv
trong
4
3)
1 2 3
1, 2,0,4 , 3, 2,1,1 , 0,0,0,0U u u u
trong
4
.
4)
1 2 3
1, 2,0 , 3, 2,1 , 2,0,1U u u u
trong
3
.