Bài tập đại số tuyến tính: Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu "Đại số tuyến tính qua các ví dụ & bài tập" tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn; Không gian thương và các định lí đồng cấu; Hệ phương trình tuyến tính; Cấu trúc tập nghiệm; Toán tử tuyến tính; Không gian Ơclit và không gian unita; Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập đại số tuyến tính: Phần 2

C h ư ơ n g 4 A n h x ạ t u y ề n t í n h v à m a trận biêu diên 13 Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính Cho u, V là hai không gian véc tơ trên cùng trường K. Để kiểm tra xem một, ánh xạ ip : u — V có là á n h xạ tuyến tính hay không, ta kiểm tra xem > nó có bảo t o à n hai p h é p t o á n hay không theo định nghĩa sau đây: Định nghĩa 13.1 Ta gọi ip : u —> V là ánh xạ tuyến tính, nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau đây (i) íp(u + v) = ip(u) + (f(v), và
84 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn (b) M ộ t cách tổng quát. nếu u c V, thì ánh x ạ jf ; ũ —•* V xác định bởi j(u) = u với mọi ụ e u là một ánh xạ tuyến tính và đước gọi l ả ánh xạ nhúng. (c) Ánh xạ 0 : (7 -» V biến mọi véc tơ của u thành véc tơ 0 của V là một ánh xạ tuyến tính, đước gọi là ánh xạ không và cũng đước kí hiệu là 0. (d) Ánh xạ p : K —k K , (n > ro) xác định bởi n m p{ai,...,a ) = (ai, ...,a ) n m là ánh xạ tuyến tính và đước gọi là phép chiếu. Đây chính là mở rộng của phép chiếu t ừ mặt phang lên trục tọa độ t h ứ nhất, hay phép chiếu trong không gian (ba chiều) lên mặt phang hay trục tọa độ. Tổng quát hơn, các ánh xạ Pi : Ư X V u vã P2 : u X V -* V xác định bởi Pl{u,v)=u, p (u,v)=v 2 là các á n h xạ tuyến tính và đước gọi là các phép chiếu (lên u hay V). (e) Phép liên hớp c —> C; z H-> z là một ánh xạ tuyến tính nếu xét c là không gian véc tơ trên R, vì nếu 21 = ai + b\i và 22 = 0,2 + ai, Ũ2, bi, ỉ>2 £ K i thì với mọi Oi, p € H a2i+/?2:2 = (aai + Pa ) + (abi + ị3h)i 2 = oai + ^ a - (abi + /3ò )i 2 2 = ázĩ + /?22 • Tuy nhiên nó không phải là ánh xạ tuyến tính nếu xét c là không gian véc tơ trên c , vì ị •Ị = —i Ỷ ì — ĩ l ) tức là nó không bảo toàn phép nhân vô hướng (mặc d ù nó bảo toàn p h é p cộng). Một cách khác cũng hay đước sử dụng là dựa vào tính chất hớp của hai ánh xạ tuyến tính l ạ i là á n h xạ tuyến tính. C ụ t h ể Mệnh đề 13.2 Cho ự, V, w là các không gian véc tơ trên K, ip : u —> V và •ệ : V — w là các ánh xạ tuyến tính. Khi đỏ ánh xạ hợp thành -ệíp : u —í w > cũng là ánh xạ tuyến tính. Ta củng có thể sử dụng các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính để nhận đước một ánh x ạ mới đương nhiên là ánh xạ tuyến tính (xem B ài 13.9). Mục 15 sẽ đề cập tới các cách xác định một ánh xạ tuyến tính. Sau đây là một số tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính:
ĩ3. Các tính chất cơ bản của ảnh xạ tuyến tính 85 M ệ n h đ ề 13.3 Cho ự} : u ~f V lạ ánh xạ tuyến tính. Khi đó (ì) Anh của các không gian con của u là khôn!] 9^ V> nghĩa an con nia là nếu u c u là không gian con, thì
86 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn (ìv) tp là đơn, ánh khi và chỉ khi ảnh của các véc tơ của một cơ sở đỉa u là khá,c nhau và độc lập tuyến tính trong V. (XÌ) ip là đẳng cấu khi và chỉ khi ảnh của các véc tơ của một cơ sở của u là khác nhau và lập thành một cơ sở của V. Từ đó suy ra chiền của ảnh ánh xạ tuyến tính không vướt quá chiều của không gian nguồn. Đ ị n h lí 13.6 Hai không gian véc tơ hữu hạn chiều đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều. Nói cách khác mọi không gian véc tơ chiều n đều đẳng cấu với K . n Cuối cùng ta có định lí hạng ánh xạ Đ ị n h lí 13.7 Cho LỌ : u — V là m,ột ánh xạ tuyến tính với dim u < » Khi đó d i m ơ = dimKer((^) + rank(t^). Bài tập Bài 13.1 a) Chứng tỏ rằng phép lấy đạo hàm là ánh xạ tuyến tính từ không gian các hàm thực khả vi trên khoảng (ũ, b) vào không gian các hàm thực xác định trên (a,b). Hãy xác định hạch của ánh xạ này. b) Chứng tỏ rằng phép lấy tích phân J f{x)dx là ánh xạ tuyến tính từ b không gian các h à m thực khả tích trên đoạn [ã, b} vào E. Bài 13.2 Xét xem những ánh xạ nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính. Trong trường hớp đó hãy tính hạch của nó. a) / : R - M , 3 2 f(x,y,z) = (z,y). b) / : R -> R\ f(x, y, z) = (ì, y, z) + (0,0, 3). 3 c) / : R —> R , f(v) = -V. 5 5 á) /:R ^M , f(x,y) = (xy,y). 2 2 e) / : R -» R, f(x) = 2x - 3. Bài 13.3 Cho / : u -> V và g : u -* w là các ánh xạ tuyến tính. Chứng tỏ rằng ánh xạ (ọ : lĩ—•* V X w cho bởi f(u) = Ư(u),g(u)) là ánh xạ tuyến tính. Tìm Ker(íp) qua Ker(/) và Ker(g).
Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính 87 B à i 13.4 a) Chứng tỏ rằng ánh xạ V X V -> V : (u,v)*-*u + v là ánh xạ tuyến tính. Tính hạch của ánh xạ này. b) Cho f.g : ư — V là hai ánh xạ tuyến tính. Chứng tỏ rằng ánh xạ > u X Lĩ -> V, (ti, v) h-> / ( t í ) + 5f(v) là ánh xạ tuyến tính. Bài 13.5 Cho A M(l, n;K) cho bởi = AB và = By4 là các ánh xạ tuyến tính. Khi l = m = n hãy tìm điều kiện cần và đủ để hai ánh xạ trên bằng nhau. Bài 13.7 Cho / : V -»ỉ/ là ánh xạ tuyến tính và^cv. Kí hiệu /V là ánh xạ hạn chế của / trên w. T ì m ảnh và hạch của ánh xạ hạn chế này thông qua / . Bài 13.8 Cho u là không gian con tùy ý của V. Chứng tỏ rằng u là ảnh của một ánh xạ tuyến tính / : V —> u và là hạch của một ánh xạ tuyến tính g :V -*w thích hớp. Bài 13.9 a) Cho f,g : u -> V là hai ánh xạ tuyến tính, và a,j3Ễ K. Chứng tỏ rằng các ánh xạ v?0) = /(ít) + và Va(«) = là các ánh xạ tuyến tính. Từ đó hãy suy ra ánh xạ X : u H-» ữf(u) + 0g(u) cũng là ánh xạ tuyến tính. Các ánh xạ tp, tị) đước gọi là tổng và tích (với một, phần t ử vô hướng) của các ánh xạ tuyến tính, và đước kí hiệu là / +g và ữỉ, còn X đước kí hiệu là Oi/ + /3ý. b) Chứng tỏ rằng tập hớp Hom(ỉ/, ì/) (hoặc còn đước kí hiệu là L(u, V)) các ánh xạ tuyến tính t ừ u và V với các phép toán định nghĩa ở trên lập thành không gian véc tơ.
88 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn B à i 13.10 Cố định một ánh xạ tuyến tính ip:U-*V. G i ả sử w là không gian véc tơ t h ứ ba. Chứng tỏ rằng các ánh xạ ộ : Hom(V, W) -» Hom(í/, W); / H-» fip và V?* : Uom(W, U) -> Hom(VK, V ) ; / h-» V?/ là những ánh xạ tuyến tính. Bài 13.11 Kí hiệu D là phép lấy đạo hàm của các đa thức với hệ số thực. Cho n > 1. T ì m K e r ( D " ) . Bài 13.12 Cho D là phép lấy đạo hàm trong không gian C'(a,b) các hàm số thực khả vi. T ì m Ker(£) — id). Bài 13.13 Cho Vi, v% c V là các không gian con. Chứng tỏ rằng dãy các ánh xạ 0 -» Vi n v - i u Vi X v 2 2 Vi + y -> 0, 2 trong đó (5('u) = (u, li) và p(u,v) = u — v lập t h à n h dãy khớp ngắn, tức là ỗ là đơn ánh, /9 là toàn ánh, và Ker(p) = Im(ổ). Bài 13.14 Chứng tỏ rằng nếu ip : lĩ —• V lạ ánh xạ tuyến tính, ai, ...,a € n i f và f Ì , f n G c , thì ự>(ữiVi + h a v ) = aitp(vi) -ị h w là các ánh xạ tuyến tính, trong đó ip là toàn ánh. Chứng tỏ rằng Ker(i/'í c) = 0 khi và chỉ khi Ker(tp) = 0 / và Ker(v) = 0. Có thể phát biểu hai điền kiện san gộp l ạ i t h à n h Ker((p) — Ker(V0 = 0 đước không? Có thể bỏ điều kiện íf là toàn ánh đước không? Bài 13.16 Cho f,g:V—+V\h các ánh xạ tuyến tính. Phải chăng a) fg = gf = 0 thì / = 0 hoặc 0 = 0? b) /0 = 0 thì 5/ = 0? Bài 13.17 Cho ĩ :U —» F và # : F —» w là các ánh xạ tuyến tính. Chứng minh rằng gf là đẳng cấu khi và chỉ khi / và g là các đắng cấu. Hơn nữa khi đó l l l Uũ)- = 9- r -
ĩ 3. Các tính chất cơ bản của, ánh xạ tuyến tính 89 B à i 13.18 Cho Tí là t ậ p các ma t r ậ n phức Hermit cấp n, tức là các ma t r ậ n vuông D cấp ri thỏa mãn điều kiện B = B* (nghĩa là b*j = bji). a) Chứng tỏ rằng H là không gian véc tơ trên R. T ì m ảimH. b) Cố định Ả 6 M(n, C). Chứng t ỏ rằng các ánh xạ Li (i?) = {AB + BA*)/2 và L ( B ) = ( A B - Bi4*)/(2i) 2 là các ánh xạ tuyến tính của Ti và giao hoán với nhau. Bài 13.19 Cho s là tập các ma trận phức đối xứng lệch cấp n, tức là tập các ma t r ậ n vuông B cấp n thỏa m ã n điền kiện B = —B . Chứng tỏ rằng T a) s lập t h à n h không gian véc tơ trên c . T ì m dim dim V thì không tồn tại đơn ánh từ u vào V. Bài 13 23 Cho f,g:U —t V là các ánh xạ tuyến tính của các không gian véc tơ hữu hạn chiều. Chứng minh rằng r a n k ( / + g) < r a n k ( / ) + rank(
90 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính và ma trận biếu diễn B à i 13.24 Cho / : V -* w và g : u — V là các ánh xạ tuyến tính của các > không gian véc tơ hữu hạn chiều. Chứng minh rằng dim(Ker(/p)) < dim(Ker /) + dim(Kerg). Bài 13.25 Cho ự) : u —> V là một đơn cấu. Giả sử lĩ' là không gian con hữu hạn chiều của lĩ. Chứng tỏ rằng dim í/' = dim
14. Không gian thương và các định lí đồng cấu 91 V í d ụ : Cho V là các véc tơ t ự do trên mặt, phảng tọa độ, còn u là các véc tơ t ự do trên một. đường thẳng ả (đi qua gốc tọa độ O) và V = OA e V là một véc tơ nào đó. K h i đó lớp kề V + u chính là các véc tơ có gốc là o và ngọn nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với ả. Rõ ràng lớp kề này không là không gian con của V trừ phi Ả nằm trên d, tức là V € u. (Vì sao? Hãy vẽ hình để minh họa). Phần t ử V thường đước gọi là phần tử đại diện của lớp kề V + Lĩ. Tuy nhiên để tính toán đước thì thông thường người ta không làm việc vói lớp kề. mà phải thông qua phần t ử đ ạ i diện đ ì a nó. K h i đó, trong nhiều trường hớp việc tính toán t r ẽ n các lớp kề cứ đước thực hiện như là trên các phần t ử đ ạ i diện. Rắc r ố i (và đôi khi cũng là mi điểm) xuất hiện là ở chỗ một, lớp kề nói chung có vô số đ ạ i diện. Do đó khi sử dụng phần t ử đ ạ i diện thay cho lớp kề, phải biết chắc đước việc sử dụng như vậy cho cùng một kết quả khi thay đổi phần t ử đ ạ i diện. V í .dụ: Trên t ậ p các lớp kề v/u của V theo u ta định nghĩa "phép toán cộng" như sau ũ f + vĩ ••= Vi + t>2, với mọi V\,1'2 € V. Ta tạm thời để "phép toán cộng" trong nháy khi ta chưa biết đó có phải là ánh xạ v/u_x v/u —>_v/u hay không, bởi vì rất, có thể có v[,v' € V sao cho vĩ = Vị và Ũ2 = v' , nhưng V\ + V2 Ỷ '\ + 2 2 2 v v (tức là ảnh không đước xác định duy nhất). Nói cách khác ta chiía biết định nghĩa trên có phụ thuộc vào việc chọn phần t ử đ ạ i diện hay không? Rất may vì u là không gian con, nên dựa vào kết quả sau có thể kiểm tra dỗ dàng V\ + V2 = vị + vị. Bổ đề 14.1 Hai lớp kềv + u vàv' + u trùng nhau, tức ỉàv + u = v' + u xét như các tập hợp, khi và chỉ khi V — v' & u. Bây giờ có thể yên tâm bỏ hai dấu nháy trong ba chữ phép toán cộng nêu trên. Sử dụng bổ đề này cũng dễ dàng kiểm tra phép nhân vô hướng trên v/u được cho bởi áv := ãv đủng là một phép toán. Khi đó ta có Đinh lí - Đinh nghĩa 14.2 Tập hợp các lớp kề v/u với hai phép toán cộng và nhân vô hĩCỚní) dược định nghĩa như trên lập thành một không gian véc tơ trên trưụng K. Ta qọi không gian này là không gian thương của V theo u và cũng kí hiệu là v/u.
92 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn Tính chất đ ầ n tiên và quan trọng nhất là Bổ đề 14.3 Ánh xạ tự nhiên lĩ : V —» V/U; V >-* V + Ư là một toàn cấu với Ker lĩ = u. Từ đó ta có công thức tính chiều của không gian thương. Bổ đề 14.4 Cho u là không gian con của V. V là không gian véc tơ hữu hạn chiều khi và chỉ khi cả ư và v/u là các khônq gian véc tơ hữu hạn chiều. Khi đó ảimV = dim ỉ/ + á\mV/U. Để chứng tỏ hai không gian véc tơ đẳng cấu với nhau, việc xây dựng trực tiếp một đẳng cấu t ừ không gian này vào không gian kia nhiều khi khá khó. Định lí sau đây và các hệ quả của nó cho phép khắc phục khó khăn đó. Định lí 14.5 (Định lí về đồng cấu) Cho ự} : V —> u là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó ip cảm sinh ra đẳng cấu Ọ : V/Kery? —> Im í/?; V I—> ự>(v). Như vậy, để xây dựng một đẳng cấu từ V vào u. ta có thể tìm cách xây dựng một toàn cấu f t ừ không gian véc tơ V vào u sao cho V — V Ị Ker / . Điều này rất hay đước sử dụng khi làm việc với các không gian thương. K h i xây dựng một ánh xạ t ừ không gian thương vào một không gian véc tơ nào đó. như trên ta thấy, trước hết phải chứng t ỏ phép xây dựng không phụ thuộc vào việc chọn phần t ử đại diện. Sử dụng định lí trên ta có thể t r á n h đước việc đó. Minh họa đẹp đẽ nhất, cho phương p h á p này là các chứng minh của hai hệ quả sau. Hai hệ quả này cũng cho phép "làm tính" với các không gian véc tơ. Hệ quả 14.6 Cho Vi và Vĩ là hai khônq gian con của V. Khi đó (Vi + v )/v ^v /(v nv ). 2 l 2 l 2 Hệ quả 14.7 Cho Vi c Vi là hai không gian con của V. Khi đó {V/V )/{V ỈV{)^VỊV . X 2 2
14. Không gian thương và các định lí dồng cấu 93 Bài tập Bài 14.1 Cho ự c V và V, v' G V. Chứng tỏ rằng hoặc V + lĩ = v' + u, hoặc (v + Ù) n (ĩ/ + Ư) = 0. Hãy minh họa bằng hình học? Bài 14.2 Cho ư c V và Ui,...,Un e V. Chứng tỏ rằng nếu Vi + U,V2 + u , v n + ư độc lập tuyến tính trong không gian thương v/u, thì Vi,..., Vu cũng độc lập tuyến tính. Bài 14.3 Cho u c V và Vị,...,v Ễ V là các véc tơ độc lập tuyến tính. n Tìm điều kiện cần và đủ để Vì + u, ...,v + u là độc lập tuyến tính trong n không gian thương v/u. Bài 14.4 Hãy mô tả các không gian thương v/o và v/v. Không dùng hạch, hãy chứng tỏ ánh xạ tự nhiên 7 : V —> v/o là một đẳng cấu. T Bài 14.5 Cho u = V © w. a) Chứng minh rằng V i , v G V là hệ sinh (t.ư. cơ sở) của V khi và n chỉ khi Vi,Vu cũng là hệ sinh (t.ư. cơ sở) của u/w. b) Hãy xây dựng một cơ sở (t.ư. hệ sinh) của u khi biết, cơ sở (t.ư. hệ sinh) của V và u/v. Bài 14.6 Cho u — V@w. Chứng minh rằng w SẾ [//Ị/. Bài 14.7 Cho w là không gian con của K gồm các nghiệm của phương n trình tuyến tính a\X\ + 0,-2X2 -ị h a x — 0. n n Cho V = (bĩ, ..., &„). Chứng tỏ rằng lớp kề Ư + ly chính là tập nghiệm của phương trình tuyến tính CL\X\ + 02X2 + • • • + a x = ò, n n trong đó b = d\bị + a b H h a ò„. Nêu ý nghĩa hình học. 2 2 n Bài 14.8 Cho V, w £ í/. Chứng tỏ rằng mỗi lớp kề của V n w là giao của một lớp kề của ĩ/ và một lớp kề của V, và ngước l ạ i , giao khác rỗng của một, lớp kề của lĩ và một lớp kề của V là một lớp kề của V n w. Bài 14 9* Cho V\,V-ỉQV thỏa mãn điều kiện dim VỊ Vi và dim V/V2 hữu hạn. Chứng minh rằng dim V/{Vi n v ) < 00. 2
94 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn B à i 14.10 Cho dãy khớp ngắn 0 -> V -> V -» V" -> 0 các không gian véc tơ. Chiêng tỏ rằng V là không gian véc tơ hữu hạn chiều khi và chỉ khi cả V và V" có chiều hữu hạn. Hơn nữa khi đó dimV' = dim V + dim V". Bài 14.11* Cho Vx,v c V. Chứng minh rằng ta có dãy khớp 2 0 - V/(VÌ n Vá) X vyvi © V/Vá ^ VỊw + v ) -»0, 2 trong đó + Vi n V2) = (i> + Vi,u + V2) và 5(^1 + Fijư2 + V2) = Vi - V2 + Vi + V . (So sánh với Bài 13.13.) 2 Bài 14.12 (Mở rộnq Định lí về đồng cấu) Cho / : V —* tí là một ánh xạ tuyến tính. Cho V* c V và ĩ / ' c í / sao cho f { V ) c í/'. Chứng minh rằng / cảm sinh một đồng cấu ĩ :V/V ^U/Ư; v^ĩĩv) với Ker / = f~ (U')/V. Nói riêng nếu w c Ker / thì / cảm sinh một đồng l cấu f:V/W-*U\ v ^ f ( v ) và K e r / = Ker//W. Bài 14.13 Cho u c V. Chứng minh rằng có một tương ứng 1-1 giữa các không gian con của V chứa, u và các không gian con của v/u. Hơn nữa, tương ứng này bảo toàn bao h à m thức. Bài 14.14 Cho Vi c V2 và V3 là các không gian con của V. Chứng minh rằng (V + V )/{V + Và) = V /{V + v n Và). 2 Z X 2 1 2 Bài 14.15 Cho C\ c C2 và Di c D2 là các không gian con của V. Chứng minh rằng ƠI + (Co n DỊ) ^ DỊ + (£>2 n Cạ) ƠI + (Ơ2 n D i ) D i + (Da n ơ i ) ' Bài 14.16 Cho dãy khớp các không gian véc tơ hữu hạn chiều oẠ / Ạv Ạ... ^ / ^o, Ị 1 2 / l n (nghĩa là Im(/i) = Ker(/j+i) với mọi ỉ = 0,...,n - 1). Chứng minh rằng dim Vi - dim y + • • • + (-l) 2 n_1 dim K " = °-
ĩ5. Các cách xác định một ánh xạ tuyến tính 95 15 Các cách xác định một ánh xạ tuyến tính De xác định một ánh xạ nói chung, ta có thể cho công thức tiíờng minh chỉ rõ ảnh của từng phần t ử (chẳng hạn xem Ví dụ 13.1, B ổ đề 14.3). hoặc sử dụng p h é p toán hớp t h à n h để xác định thông qua các ánh xạ đã biết khác. Đ ố i với á n h xạ tuyến tính, ngoài những cách thông dụng đó, ta còn có thể xác định t h ô n g qua các phép toán cộng hay nhân vô hướng các ánh xạ tuyến tính đã biết. Tuy nhiên để xây dựng những ánh xạ tuyến tính "ban đ ầ u " có hai cách quan trọng nhất và thường dùng nhất là: - thông qua tập ảnh của một cơ sở, hoặc - thông qua ma trận biểu diễn. Trong cả hai cách này đặc thù của ánh xạ tuyến tính đước sử dụng triệt để. Để trình bày đơn giản, ta chỉ xét trường hớp hữu hạn chiều. Cách t h ứ nhất dựa trên kết quả sau Định lí 15.1 Cho s = ịeị, ...,e } là một cơ sở của không gian véc tơ V. n Ánh xạ tuyến tính ip : V — u được xác định duy nhất bởi ảnh của nó trên > s. Nói cách khác, nếu Ui,..., Un là một tập các véc tơ tùy ý (có thê trùng nhau) trong u, thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính ự) : V —* u thỏa mân điều kiện ự)(ei) - Ui, ự>(e ) = u , ...,(p(e ) = u . 2 2 n n Ánh xạ này được xác định như sau: nếu V =Ỵ^aịeị thì íf(v) = Y^OLiUi. Ví dụ 15.1 Mọi ánh xạ tuyến tính ự> : K —> K đều có dạng n m tp(ai, a ) = (eiiữl + Ci2ữ2ỉ- C\ a , Cm\0.\ + C 2d2 • • • + Cmnũn). n n n m Đây là mệnh đề đảo của Bài 13.5. Để chứng tỏ điều này, ta chỉ việc chọn s trong định lí trên là cơ sở t ự nhiên, còn Ui là véc tơ ( d i , •:,c i). m Ví du 15.2 Để chứng minh phần đảo của một, trong những định lí cơ bản về không gian véc tơ, Định lí 13.6, ta chỉ việc chọn 5 = { e i , . . . . e } là một n cơ sỏ của V và T = {ui,Un) là một cơ sở của u. K h i đó có một ánh xạ tuyến tính / : V — u sao cho f ( e ) = Ui với mọi ì. Theo Mệnh đề 13.5(v). * l / là đẳng cấu.
96 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính và ma trận hiểu diễn Cách t h ứ hai là hệ quả của cách t h ứ nhất. c ố định một cơ sở ĩ = {/ì, ỉm) của không gian véc tơ u. Viết t ậ p ảnh của á n h xạ tuyến tính ip trên s dưới dạng
lỗ- Các cách xác định một ánh xạ tuyến tính 97 c) N ế u chọn s = { e i , . . . , e „ } và T = { / ì , — , / m } lần lướt là các cơ sở t ự nhiên trong K và i f , thì ma t r ậ n biểu diễn của (v)r = Avs- Như vậy, sử dụng định lí này ta có ngay kết quả trong Ví dụ 15.3(b) mà không cần phải biểu d i ễ n If(ei). Các tính chất của ma t r ậ n biểu diễn có thể tóm t ắ t như sau: Mệnh đề 15.4 (i) Nếu A, B là hai ma trận biêu diễn của ọ, tị) ìV —» u, thì A + B là ma trận biểu diễn của ự}. + lị), còn O.A là ma trận biểu diễn của a
98 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn (Viết gọn hơn: ( / ì , / 2 , / „ ) = ( e i , e „ ) P . ) Khi đó ta gọi p là ma írận chuyên cơ sở từ s sang T. Bô đẽ 15.6 (ì) Một ma trận vuông p cấp Tì là ma trận chuyển cơ sở khi và chỉ khi p khả nghịch. (ũ) Nếu p là ma trận chuyển cơ sở từ s sang T, thì p~ là ma trận x chuyển cơ sở từ T sang s. (Ui) p là ma trận chuyển cơ sở từ s sang T khi và chỉ khi với mọi V G V ta có vs = PVT- Định lí 15.7 (Công thức đổi cơ sở của ma trận biển diễn) Cho ự) : u —* V là ánh xạ tuyến tành của hai không gian véc tơ hữu hạn chiều. Cho Si, 52 và T\.T2 tương ứng là các cơ sở của u và V, còn p là ma trận chuyển cơ sở từ Si sang S2, Q là m,a trận chuyển cơ sở từ Ti sang T2. Nếu A và B tương ứng là các m,a trận biểu diễn của ìp : V —* u. Mở rộng đó có duy nhất không? Bài 15.2 Cho u, V là hai không gian véc tơ (có thể vô hạn chiều). Chứng tỏ rằng hoặc tồn t ạ i toàn cấu t ừ u lên V, hoặc tồn tại đơn cấu t ừ u vào V. Khi nào có thể giả thiết thêm toàn cấu hoặc đơn cấu đó không là đang cấu cho dù u = V.
Các cách xác định một ánh xạ tuyến tính 99 B à i 15.3 Cho 5 là một t ậ p con (hữu hạn) của không gian véc tơ V và u là một không gian véc tơ khác. Cho u là một ánh xạ (tập hớp) tùy ý. L i ệ u có t ồ n t ạ i hay không ánh xạ tuyến tính ự} : V ~* u mở rộng ự>0 (nghĩa là ự)(v) = tp (v) với mọi V € 5 ) , nếu 0 a) 5 là một t ậ p sinh. b) s là một t ậ p độc lập tuyến tính. Trong trường hớp t ồ n t ạ i , nó có là duy nhất không? Trong trường hớp không luôn luôn t ồ n t ạ i , hãy t ì m điều kiện cần và đủ đối với ipo để t ồ n t ạ i 1. T ì m ma t r ậ n biểu d i ễ n của ánh xạ này theo cơ sở t ự nhiên. Bài 15.5 Cho Vỉ = (2,0,3), v = (4,1,5), v = (3,1,2), Vị = (1,0,9/5) 2 3 và Ui = ( 1 , 2 , - 1 ) , U2 = ( 4 , 5 , - 2 ) , u = ( 1 , - 1 , 1 ) , U4 = ( 1 , 2 , - 1 ) . Chứng 3 tỏ rằng t ồ n t ạ i duy nhất một á n h xạ tuyến tính ự} : R — M thỏa tính > 3 3 chất 1. T ì m ma t r ậ n biểu d i ễ n của ánh xạ này theo cơ sở t ự nhiên. Bài 15.6* Chứng minh rằng nếu ánh xạ tuyến tính tp : u —* V có ranky = r, thì t ồ n t ạ i cơ sở s của u và T của V để ma t r ậ n biểu d i ễ n của nó có dạng chuẩn tắc / 1 • •• 0 0 •• • 0 \ 0 • •• 1 0 •• • 0 0 • •• 0 0 •• • 0 Vo • • • 0 0 • • chính là Ả.
100 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn B à i 15.9 Chứng minh rằng phép nhân trái hay phải của ma t r ậ n vuông cấp 2 với ma t r ậ n ^ a ^ cho trước là một ánh xạ tuyến tính t ừ M ( 2 , K) vào chính nó. T ì m ma t r ậ n biểu d i ễ n của các á n h xạ tuyến tính này theo cơ sỏ N 'ĩ 0 \ /0 0\ /0 1\ /0 0 0 cự' ụ v o y ' vo ó ; ' vo Ì Bài 15.10 Chứng minh rằng ma trận ^ ^\ khả nghịch khi và chỉ khi ữ ma t r ậ n la 0 c 0\ 0 a 0 c ồ 0 ả 0 Vo ò 0 cự là khả nghịch. B à i 15.11 T ì m ma t r ậ n biểu diễn của phép lấy đạo h à m (hình thức) từ không gian các đ a thức bậc không vướt quá n trên E vào chính nó trong hai trường hớp sau: a) Cơ sở là l,x,x , 2 ...,x , n b) Cơ sở là ĩ,x - a,(x - a) /{2\),...,(x 2 - a) /(n\), aêK. n Bài 15.12 Tìm ma trận biểu diễn của phép quay quanh gốc tọa độ một góc a trong mặt phảng (theo cơ sở t ự nhiên). Bài 15.13 Ma trận biểu diễn của một toán tử tuyến tính thay đổi thế nào nếu ta đ ổ i chỗ hai véc tơ trong cơ sở? Bài 15.14* Chứng minh rằng ma trận vuôngẢ đồng dạng với ma trận B nhận đước t ừ Ả bằng phép đ ố i xứng qua t â m . Bài 15.15* Cho (li,...,in) là một hoán vị của [Ì,...,»). Chứng minh rằng hai ma t r ậ n sau đồng dạng với nhau Ị au «12 • • a hin\ «21 122 • • 0,2n a i2ln Ả = và B = a2 n • \a-inh a ini2 a inln/
15. Các cách xác định một, ánh xạ tuyến tính lũi B à i 15.16 K h á c với trường hớp theo cặp cơ sở, chứng t ỏ rằng các ma t r ậ n biểu d i ễ n của cùng một toán t ử tuyến tính (theo một cơ sở) có cùng vết. Bài 15.17 Cho (f(x.y,z,t) — (2x, 3y, z, — t). Tìm ma trận biểu diễn của toán t ử tuyến tính này trong K theo cơ sở 4 (1,2,1,1), (2,3,1,0), (3,1,1,-2), (4,2,-1,-6). Bài 15.18 Toán tử tuyến tính ip có ma trận biểu diễn / Ì -18 15\ -Ì -22 20 \ Ì -25 22/ theo cơ sở ai = (8,-6,7), Ũ2 — (—16,7,-13), 03 = (9,-3.7). Tìm ma t r ậ n biểu diễn của nó theo cơ sở 6i = (1,-2,1), òa = (3,-1,2), 63 = (2,1,2). Bài 15.19 Cho /(í) € Kịt] và V? là toán tử tuyến tính của V. Chứng tỏ rằng nếu A là ma t r ậ n biểu d i ễ n của ự> theo cơ sở s, thì f(A) là ma t r ậ n biểu diễn của f(ự>) theo cơ sở 5. Bài 15.20 Trong cơ sở tự nhiên toán tử tuyến tính ụ> có ma trận biểu diễn 15 -li 5 20 -15 8 8 -7 6 Tìm ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính này theo /1 = (2,3,1), /2 = (3,4,1), /3 = (1,2,2). Bài 15.21 Cho S.T.R là các cơ sỏ của V. Cho p là ma trận chuyển cơ sở t ừ s sang T, còn Q là ma t r ậ n chuyển cơ sở t ừ T sang R. T ì m ma t r ậ n chuyển cơ sở t ừ 5 sang R. Bài 15.22* Cho
102 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn B à i 15.24 Dinh thức của toán t ử tuyến tính ự} là định thức của một ma t r ậ n biểu d i ễ n của nó và đước kí hiệu là Det(ọ). Chxírng minh rằng a) Định nghĩa này khống phụ thuộc vào việc chọn ma t r ậ n biếu diễn. b) lC là đẳng cấu khi và chỉ khi Det(ip) Ỷ 0- y Bài 15.25 ChoẢ G M(n;K) và ip là toán tử tuyến tính của M(n;K) A cho bởi ip (B) = AB - BA; Be Mịn; K). A Chứng minh rằng ~Det{ipÀ) = 0. Bài 15.26* ChoẢ € Min; K) và L là toán tử tuyến tính của M(n;K) A cho bởi L {B) = AB. Chứng minh rằng Det(L ) A = (Đét A A) . n Bài 15.27 Cho ip là toán tử tuyến tính của không gian véc tơ 2-chiều thỏa mãn