Tuyển tập bài tập Đại số tuyến tính: Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:179

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Bài tập Đại số tuyến tính" cung cấp cho người đọc các bài tập về ma trận, dạng song tuyến tính - dạng toàn phương. Cuốn sách có những bài tập về rèn luyện kĩ năng tính toán và cũng có nhiều bài có tính lí thuyết giúp học sinh rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức và rèn luyện tư duy sáng tạo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập bài tập Đại số tuyến tính: Phần 2

Chương 5 MA TRẬN Trong cuốn sách này ta kí hiệu tập hợp các ma trận kiểu (m, n) với các thành phần trong trường K bởi Mat „,(K). Xin nhắc lại rằng trong (m không gian vectơ R", cơ sở gồm các vectơ Ẻ, =(1, 0,..., 0 0), Ẽ, =(0, Ì, 0, ...,0), g = (0,0,0,1) n 8, = (0, 0, Ì, 0), số Ì đứng ở vị trí thứ ị, các số còn lại trong dấu ngoặc đều bằng 0, được gọi là cơ sỏ chính tắc. §1. MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH 1.1. Định nghĩa Giả sử V và Vỉ là hai K - không gian vectơ với cơ sở lần lượt là (4 = {ẽ,,ẽ ,..., ẽj,(ộ={ị 2 \. ..., ịj,f:V-> 1> w là một ánh xạ tuyến tính mà b Aẻ,) = 0;;ậ +0 j| + ••• 1 2 2 +a ị mI m f(ẽ ) = a ị 2 u t +a ị 22 2 + ... + a ị nứ m (1) /tẽ.) = a,„ĩ, inị + - + mnị - +a i a m Ma trận 125
a n a .. 12 a 21 a2- 2 V "mi "m2- được gọi /à ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với hai cơ sở (e) nà (ộ. Có thể viết gọn các đẳng thức (1) như sau: f(ĩ ) = fx^i> t với e {í> 2 —- n} 11 = Kí dụ: Giả sử trong R và R đã chọn các cơ sở chính tắc: 2 3 (E):Ẽ, =(1,0), ẽ =(0, 1), 2 (ị): ị = (Ì, 0, 0), ị = (0, Ì, 0), ị, = (0, 0, 1). 2 f: R -> R xác định bởi f(a„ a ) = (a„ 3a , a -5a,). Khi đó 2 3 2 2 2 f(Ễ,) = f(l,0) = (l,0,0-5)= Ì +oị -5ị 2 3 f(Ễ ) = f(0, 1) = (0, 3, 1-Ợ> = 0 | , + 3 | , + | , l Do đó ma trận của f đối vói hai cơ sở này là í Ì 0 ì 0 3 5 Ì 1.2. Liên hệ giữa Hom (V, W) vói Mat, (K) K m n) Mệnh đê. Giả sử V, w là hai K - không gian uectơ và (è) = ị É ,, EỊ,..., E „}, (ộ = ị ị,, %2>—< Ị, m) lẩn lượt íà cơ sở cố định của V và w. Khi đó: 1) Môi ma trận kiêu ịm, n) xác định duy nhất một ánh xạ tuyến tính f:V->W; 2) Ánh 0: Hom (V, W)-> Mat , (K) xác định bởi 0Ợ) = A, (Ạ là ma K lm nì trận của ánh xạ tuyến tính f đối vời hai cơ sở (Ề) và (ộ), là một song ánh. 126
BÀI TẬP 359. Tìm ma trận của các ánh xạ tuyến tính sau đối vối các cơ sở chính tắc trong các không gian vectơ R , R : 3 4 a) f: R -> R xác định bởi: f(ẽ,) = (- 3, 4, 0, 5), f(Ẽ ) = (0, Ì, - 2, 1), 3 4 2 f(ẽ ) = (0, 0, Ì, 2); 3 b) g: K -> K xác định bồi: g(ẽ,) = (0, 4, 0, 5), g(ẽ ) = (0, 0, 0, 1), 3 4 2 g(ẽ ) = (0, Ì, 1,0). 3 360. Cho f, g thuộc Hom (R , R ), có ma trận đối vối các cơ sở chính tắc của R 4 3 R" và R lần lượt là: 3 0 -Ì 5 ì (2 0-1 5ì A= 0 -Ì 5 0 , B: 0 2 0 -1 -2 -Ì 6 -5 0 0 2 0 a) Tìm ảnh của các vectơ trong cơ sở chính tắc của R qua ánh xạ f; 4 qua ánh xạ g. b) Tìm ảnh của vectơ ã = (0, Ì, 3, - 2) qua ánh xạ f; qua ánh xạ g. 361. Cho ánh xạ f: R -> 3 xác định bởi: f(a„ a , a ) = (0, a„ - a , a, + a ). 2 3 2 2 a) Tìm ma trận của ánh xạ f đối vói các cơ sở chính tắc trong hai không gian. b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở gồm các vectơ | , = (1, Ì, 1), | = (0, Ì, 1), | , = (0, 0, 1) 2 của không gian R và cơ sở chính tắc của R\ 3 127
362. Cho ánh xạ g: R -» R , xác định bởi: 4 3 g(ai, a , a , a ) = (0, a, - a , a, + a ). 2 3 4 2 2 a) Tìm ma trận của ánh xạ g đối vói các cơ sở chính tắc trong hai không gian. b) Tìm ma trận của g đối với cơ sở chính tắc của R và cơ sở gồm các vecto 4 ị = (Ì, Ì, 1), ị = (Ũ. Ì, 1), ị, = (0, 0. 1) của không gian R : 2 J c) Tìm Img và Kerg. 363. Cho ánh xạ tuyến tính f e Hom (V, W) có ma trận đối với cơ sở (E) của R V và cơ sỏ (ị) của w là < 2 1 -2 (T A= 0 1 2 2 ,-1 0 2 1; a) Tìm toa độ của f(ă) đối với cơ sở (ệ), biết rằng toa độ của à đối vái cơ sở (e) là (0, 4, - 2, 1). b) Tìm vectơ p biết rằng toa độ của f( jj) đối với cơ sở (Ị) là (5. 0. - 2). c) Tìm Kerf. 364. Giả sử f là một tự đồng cấu của R - không gian vectơ V có ma trận đối với cơ sở (e) là -1 Ũ -2 s A= 1 -1 -4 V 3 -1 0, a) Tìm toa độ của f(d ). biết rằng toa độ của á là (- 4, 2, 0). b) Tìm một cơ sở của Kerf. c) Tìm một cơ sỏ của Imf. 128
365. Trong R - không gian vectơ P gồm đa thức 0 và các đa thức bậc không 2 lốn hơn 2, gọi (E) là cơ sở {Ì, X, X }, f là tự đồng cấu có ma trận là 2 í 2 Ì 0 A= 0 2 Ì 1 0 2 a) Chứng minh rằng f là một tự đẳng cấu. b) Xác định ảnh của vectơ ã = 3x - X - 4. 2 c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở © - {Ì, Ì - X, Ì - X + X }. 2 (Chú ý: Khi nói ma trận của tự đồng cấu f đối với một cơ sỏ (Ị), ta hiểu rằng đó là ma trận của f đối với cờ sở (Ị) và chính cơ sở (Ị).) 366. Giả sử f là một tự đồng cấu của không gian vectơ R có ma trận đối 3 với cơ sở chính tắc là Ì 2 5 "Ị 0 2 Ì 0 a) Tìm vectơ ă sao cho f(ă) = 4ã . b) Chứng minh rằng tập hợp u - {á 6 R I f(ã) = 4â Ị là một không 3 gian con của R . 3 c) Tìm một cơ sỏ của u. 367. Giả sử f là một tự đồng cấu của không gian vectơ E có ma trận đối 3 với cơ sở chính tắc là ' l i 0 ì A= 0 -2 129
a) Tìm vectơ ã sao cho f(ă) - ã. b) Chứng minh rằng tập hợp u = {ã e K I f( à) = ã } là một không 3 gian con của R . 3 c) Tìm một cở sỏ của u. 368. Giả sử f là một tự đồng cấu của không gian vectd R có ma trận đối 3 với cơ sà chính tắc là 2ì a) Tìm số thực k sao cho tồn tại một vectơ ã * õ sao cho f(ã) = kõ. b) Với mỗi giá trị của k vừa tìm được hãy tìm một vectơ ã thoa mãn đẳng thức f(S) = k à . 369. Giả sử f e Hom (V, W) có ma trận đối vói hai cơ sở đã cho của V và w K là A. Người ta gọi hạng của A là hạng của tự đồng cấu f. Chứng minh rằng dimlmf = hạng(A) và dim Kerf = dimV - hạng(A). §2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC MA TRẬN 2.1. Phép cộng Quy tắc cộng ma trận. Muốn cộng hai ma trận ta chỉ việc cộng các thành phần tương ứng (cùng dòng, cùng cột) của chúng: (ữlýím, nì + (bịỷ(m, ni = K + Vi* ì- 0 5 ì (-1 5 Hì í 3 B= -2 7 4Ì [ 6 13 -8) 130
' 3-1 0 + 5 5 + 14' ' 2 5 19 N A+ B • ,-2+6 7+13 4-8 , ,4 20 -4, Với A = ( ) , „, và B = (bịj) , „, ta có: - B = (- aii (m (m „,, A - B = (a - bịiV „,. s li 5 -3 ì -12 ì Ví dụ 2: Cho A = B= .4-9 15 1-7 10 '11-8 5 + 3 -3 + 12 89Ì A- B : 4+7 -9-5 15-107 li -14 5 2.2. Phép nhân ma trận với một số Quy tắc nhân ma trận với một số. Muốn nhân một ma trận A với một sốk ta chỉ việc nhăn sốk với mọi thành phần của A. 7 ì (-ỉ 0 ' 2 0 7^ 3 Ví dụ 3: c thì - 3 -5 9 12 3 -4 2.3. Không gian vectơ Mat (K) (m n) Mệnh đề. Phép cộng ma trận và phép nhân một ma trận với một số thuộc trường K có các tính chất sau: 1) (A + B) + C = A + (B + C); 2) A + B = B + A; 3) A + ũ = A; 4) A+(-A) = 0; 5) k(A + B) = kA + kB; 6) (k + l)A = kA + IA; 7) (kl)A = k(lA); 8) LA = A, (Ì là đơn vị của trường K), với mọi A, B, c e Mat , JK), mọi k,le K. (m 131
Nói gọn với phép cộng hai ma trận uà phép nhân một ma trận vài một số, Mat,„, JK> là một K - không gian vectơ. Quy tắc nhăn hai ma trận. Muốn tim thành phần c, cùa ma trận k tích AB ta phải lấy mỗi thành phần a,j của dòng thứ í trong ma trận A nhăn với thành phần b của cột thứ k của ma trận B rồi cộng lại. jk Điều này có thể được mô tà bởi sơ đồ sau: cót k cột k b'. dòng i I dòng i fb„ b,, b„ a,| a a, Ví du 4: Cho A : 12 K 22 K b \ -Jl 22 2.w a a a v :u K K b 'a b + a b +a b M u 12 21 n Ị1 a b +a b +a b n 12 12 22 13 32 a„b + a b + a,.,b„ i:1 12 M AB : , 21 u + 22 2l + 23 31 l 12 + 2 22 + 3 :)2 l l:l + 2 23 + 23 33 ì a b a b a b a 2 b a 2 b a 2 b a b 2 a 2 b 3 b Chú ý: 1) Theo định nghĩa, tích AB chỉ được xác định khi số cột cùa ma trận A bằng sô dòng của ma trận B. 2) Phép nhân ma trận không có tính giao hoán. Vi dụ 5: Giả sử (e) = {Ễ,. Ễ ẽ Ị và {ị) ~ {|,, ị.,,...,ị Ị là hai cơ 2 n sở của K - không gian vectơ V, T = (t,j) là ma trận chuyến từ cơ sỏ (E) sang cơ sở (ị). 132
lần lượt là toa độ của một vectd ã đôi với hai cơ sở. Thê thì X = TI. Ví dụ 6: Giả sử hai K - không gian vectơ V và w có cơ sở lần lượt là (e) = { ẽ , Ẽ }, (í) = { ặ j \ \ và f: V -> w là một ánh xạ tuyến tính có m ma trận đối với hai cơ sở này là 3]1 ^1, 'li =12- a21 a . 22 A= fy ^ x= lần lượt là toa độ ã e V đối với cơ sở (E) và của f(ã ) đối với cơ sở (Ị). Thế thì a,j a. l2 a a 21 22- hay Y = AX. Q V "mi m2- 133
Ví dụ 7: Xét hệ phương trình tuyên tính 'a„x, + a x + ... + a 12 2 ljX) +... + a x = b, ln n a x, + a x +... + a x, +... + a x„ = b 21 22 2 2j 2n 2 m ) j m n n V V x 2 b 2 Nếu đật X = ,b = thì hệ (1) có dạng: a„ a . 12 b a a . 2I 22 AX = b. A/a trận đơn vị. Ma írận cấp n ' Ì 0 ... o i 0 Ì ... 0 lo 0 ... Ì J
Ì nếu i = j , ) được gọi là ma trận đơn vị cấp n. 0 nếu i *í Ta có IA=A với mọi ma trận A kiểu (m, rì), BI = B với mọi ma trận B kiểu (p, m). Mệnh đề 2. Với các ma trận A, B, c và mọi số ke K, ta có các đắng thức sau nêu các phép toán có nghĩa: 1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC); 2) Tính chất phân phối của phép nhăn đối với phép cộng: A(B + C) = AB + ÁC, (A + B)C = ÁC + BC; 3) k(AB) = (kA)B = A(kB). BÀI TẬP 370. Cho các ma trận: f-3 5 4 0 N í 7 9 13' f4 -2 7 Ì 2 6 A= 0 -2 6 5 ,B= 5 0 3 1 ,c= 10 4 5 3 V 2 5 1 h v-4 2 5 -3; V 0 3 1 9, Tính: a) A + B - C; b) 3A - 2B + c. 371. Tìm các ma trận chuyên vị của ba ma trận đã cho trong bài tập 370, rồi tính: a) 'A + 'B - 'C; b) 3 A-2'B + C. , , So sánh kết quả tìm được với các kết quả tương ứng trong bài tập 370. 135
372. Cho các ma trận: ' 3 -2 f 4 2^ í 0 2 5 -6 5 0 -1 A= ,B= Ũ 3 1 3 1 0 ,-4 12 0, w 0 8 -3, a) Tìm ma trận X sao cho 2A - X = 3B; b) Tìm ma trận X sao cho 3X - 2B = A, trong đó. 373. Cho các ma trận: -1 5^ f-7 19 -15 N í 1 3 A= 0 7 -6 , B = 20 -13 14 V 8 -1 6, ,-12 19 -14, a) Tìm A - B - 201, trong đó ì là ma trận đơn vị cấp 3. b) Tìm ma trận X sao cho 3A + 2X - B = ì 374. Cho 13 5 Oi ' 0 Ì ỉ) 0 -6 Ì B: 0 -4 2 6 3 0 lần lượt là ma trận của hai ánh xạ tuyến tính f và g thuộc Hom (V Vỉ) K đôi vối hai cơ sở đã cho nào đó của V và w. a) Tìm ma trận của ánh xạ f - 2g. b) Tính hạng của ma trận vừa tìm được ở câu a). 375 ' l Í .Í l , ' ả > hai Cd sở nào đô HOm K(V W) và A là ma trận của f đối vớ cua V và w. Chứng minh rằng: a) f là một đon cấu khi và chỉ khi hạng(A) = dimV- b) f là một toàn cấu khi và chỉ khi hạng(A) = dimW. 136
376. Cho 1 4 3 0 9 4 0) 0 -2 -6 3 B: -2 -13 7 4 -1 0 0 -2 -3 -Ì lần lượt là ma trận của hai ánh xạ tuyến tính f và g thuộc Hom (V, W) K đối với hai cơ sở đã cho nào đó của V và w. a) Tìm ma trận của ánh xạ 2f - g. b) 2f - g có phải là một toàn cấu không? c) Tìm toa độ của vectơ ã 6 V (đối với cơ sở đã cho) sao cho (2f - g)( ã) có toa độ đối vối cơ sở đã cho là (5, 0, 1). d) Tìm một cơ sở của Ker(2f- g). 377. Cho ' 1 -1 0^ < -7 0 4 Ì A= 1 2 1 , B= 3 -2 0 V0 3 ly V -1 -4 4, lần lượt là ma trận của hai tự đồng cấu f và g của R - không gian vectơ V đối vối một cơ sỏ nào đó của V. a) f và g có phải là những đẳng cấu không? b) Tìm ma trận của f + g. c) f + g có phải là một tự đắng cấu không? 378. Thực hiện phép nhân ma trận: f 3 -2Y-5 7ì a) 4 Ì 6 ' 10 7ì 7 ì b) í 2 5 4 ,6 5 12 137
lũ ì í 5 3 -7) c) -7 li 4 -9 I li V 5 0 2 7ì d) 2 4 0 Ì 10 5 0 0 6 -Ì 9 0 -7 4J í 3 0 Ì ì ' 4 li -4 5 0 e) •5 9 2 7 10 V 7 0J 0 -2 9j 379. Cho hai ma tràn ' 2 - 1 ì ' 0 5 > A= , B = v4 0 9, Tính AB - BA. 380. Chứng minh rằng VỚI A và B là hai ma trận vuông cấp n AB - BA không thê là ma trận đơn vị. 381. Cho ma trận 2 A -Ì và đa thức f(x) = X - 5x + 4. 2 Tính Ị(A). (Chú ý rằng khi tính f(A). ở hạng tử vắng X ta phả, điển ma trận đdn vị ì. chẳng hạn. f(A) = A - 5A + 41, trong đó ì là ma trận 2 đơn vị cấp hai.). 138
382. Cho ma trận (2 -lì A= lo 3) Tìm tất cả các ma trận B sao cho AB = BA. 383. Giả sử A và B là hai ma trận thoa mãn điều kiện AB = BA. Chứng minh rằng: a) (A + B) = A + 2AB + B ; 2 2 2 b) (A - B) = A - 2AB + B ; 2 2 2 c)(A + B) = £cÌ,A'B . n n i i=0 384. Chứng minh rằng vái mọi a 6 . và mọi số tự nhiên n > 2, ta đều có: n(n-l)„„_ ì 2 'a 1 0 ^n 2 0 n-1 0 a 1 = ,0 0 a ì lo 0 385. Tìm các ma trận cấp hai A sao cho A = 0, ở đây 0 là ma trận không. 2 386. Tìm tất cả các ma trận cấp hai A sao cho A = A. Ma trận A thoa mãn 2 điều kiện À" = A, n là một số nguyên dương, được gọi là một ma trận lũy đẳng. 367. Giả sử A và B là hai ma trận vuông cấp n thoa mãn điều kiện A + B = ì. Chứng minh rằng AB = 0 khi và chỉ khi A = A, B = B. 2 2 388. Tìm tất cả các ma trận cấp hai A sao cho A = ì, ì là ma trận đơn vị. 2 389. Chứng minh rằng mỗi ma trận a bì A= c d đều là nghiệm của phương trình X - (a + d)X + (ad - be) = 0. 2 139
390. Chứng minh rằng nêu ma trận A thoa mãn điểu kiện A = A(*A) thì A = Ă. 2 391. Cho (a„) là dãy Phibônaxi (Fibonaci); tức là dãy số được xác định tói công thức truy hồi: ía, =a =1, 2 l „ =a„-. +a„_ , với n>2 a 2 Chứng minh rằng ị 0 r a„ N li lì Vu §3. ĐẠI SỐ CÁC MA TRẬN VUÔNG CẤP n 3.1. Định thức của tích hai ma trận Định lí. Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của hai ma trậnấy. 3.2. Ma trận nghịch đảo Định nghĩa. Ma trận A e MaựK) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận B e Mat (K) sao cho n AB = ì = BA. B được gọi là ma trận nghịch đảo củaẢ, kí hiệu B=A~'. Định li. Ma trận vuông A có nghịch đảo khi và chỉ khi \A\* 0. Ma trận mà định thức của nó khác 0 được gọi là ma trận không suy biến. Với khái niệm này có thể phát biểu định lí trên như sau: Ma trận khả nghịch khi và chỉ khi nó không suy biến. 140
3.3. Tim ma trận nghịch đảo 1) Tim ma trận nghịch đảo bằng định thức Giả sử ân â 19 ái. và |A| *• 0. V "mi "m2- A là phần bù đại số của thành phần a j của ma trận A (xem định kj k nghĩa 3.1, Ch. 1). Thế thì A,, A . 2l A ì A A Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận '13 0ì 0 2-1 3 1 5 GIAI Tính định thức A : 1 3 0 1 3 0 A| = 0 2 - 1 = 0 0 -1 (_ l) 2+3 ( - l ) ( l l - 9 ) = 2. 3 1 5 3 li 5 Tìm các phần bù đại số l i , Au = -3, A = -6, A = -15, A = 5, A = 8, A , = -3, 13 21 22 23 3 A 2 - 1 A33 — 2. 3 » 141
Thiết lập ma trận nghịch đảo í li 15 3 ) ' li -15 -3 ' À-' 1 -3 1 en to 1-6 2, ao 2) Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Các phép biến đổi sau đây trên một ma trận là những phép biến đổi sơ cấp: 1) Đổi chỗ hai dòng (hai cột) cho nhau; 2) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) vối cùng một số khác 0; 3) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) vái cùng một số rồi cộng vào thành phần cùng cột (dòng) trong một dòng (cột) khác. Ví dụ 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để tìm ma trận nghịch đào của ma trận '1 3 0 N A= 0 2 -1 v3 1 5, GIẢI Ta viết hai ma trận A và ì liền nhau. Mỗi khi thực hiện một phép biến đổi sơ cấp nào trên A thì cũng thực hiện phép biến đổi ấy trên ì. A ì ' 1 3 0 >' 1 0 0 N 0 2 -1 Ũ 1 0 1 co 5J VO 0 1 , 142
Nhân dòng thứ nhất với - 3 rồi cộng vào dòng thứ ba: í Ì 3 c ư Ì 0 cp 0 2-1 0 10 0 -8 5 -3 0 Ì Nhân dòng thứ hai vối —: í Ì 0ìí Ị 0 0\ 0 1 - - ì 2 0-8 5 -3 0 Ì Nhân dòng thứ hai với - 3 rồi cộng vào dòng thứ nhất và nhân dòng thứ hai với 8 rồi cộng vào dòng thứ ba: Ì 0 - 2 2 1 0 Ì 0 2 0 0 3 4- Nhân dòng thứ ba với -— rồi cộng vào dòng thứ nhất, nhân dòng thứ ba vôi — rồi cộng vào dòng thứ hai: ị 11 15 3 Ì ( 1 0 0} 2 2 2 3 5 1 0 10 2 2 2 0 0 Ì 3 4 143
BÀI TẬP 392. Cho hai ma trận í 3 ỏ Ì ì í 0 4 Ì ì A= 0 2 3 5 Ì 3 Ì 3 Ì •Ì 2 0 Tính định thức của các ma trận AB và BA. 393. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận: ' 3 ÌÌ -2> ' li 2' B=í 5 , 0 -4 3 ,-5 4^ ỉ 2 0 Ì ì < \ 2 %\ n 2 D: Ì 2 0 E= 2 3 Ì F= 2 3 0 Ì 2 3 Ì 2 0 Ì Ì Ì lì í Ì 0 1 0 * Ì Ì -Ì Ì 1 0 0 H -Ì Ì -Ì 2 1 1 0 -Ì -Ì Ì Ì 0 -1 1, 0 0 0ì 2 0 0 Ì 3 0 Ì Ì 4 394. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận < a Ì lì Ì a Ì , vối a * Ì, a * - 2. Ì Ì a 144