Bài tập kiểm tra nhóm, ôn thi cao học

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

196
lượt xem 92
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập kiểm tra nhóm, ôn thi cao học bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập kiểm tra nhóm, ôn thi cao học

Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS Tr n Huyên Ngày 28 tháng 10 năm 2004 Các bài t p ki m tra nhóm con M t d ng khác c a k năng ki m tra nhóm là k năng ki m tra nhóm con. Mu n ki m tra nhóm con ta c n n m v ng ba tiêu chu n thông thư ng v nhóm con như sau. 1 Tiêu chu n 1 M t t p con A = ∅ trong nhóm X là nhóm con c a X (vi t A ⊂ X ho c A n X) n u • ∀x, y ∈ A thì xy ∈ A; • e ∈ A; • ∀x ∈ A thì x−1 ∈ A. 1 Ví d 1: Ch ng minh r ng Mn = A : det A = 1 (g m các ma tr n vuông c p n, đ nh th c ∗ b ng 1) là nhóm con c a nhóm Mn (nhóm nhân các ma tr n c p n không suy bi n) 1 n ∗ 1 Bài gi i: Ta ch ng minh Mn ⊂ Mn theo tiêu chu n 1. Trư c h t hi n nhiên Mn = ∅, đ ng th i ta có 1 • ∀ X, Y ∈ Mn thì det X = det Y = 1 do đó det X.Y = det X. det Y = 1.1 = 1 nghĩa là 1 X.Y ∈ Mn . 1 • Ma tr n đơn v E ∈ Mn (vì det E = 1). 1 • ∀ X ∈ Mn thì det X = 1 nên det X −1 = 1 = 1, do đó X −1 ∈ Mn . 1 det X 1 1 n ∗ V y Mn th a c ba đi u ki n c a tiêu chu n 1 nên Mn ⊂ Mn . 1
2 Tiêu chu n 2 Đư c suy ra t tiêu chu n 1 nhưng b đi đòi h i e ∈ A (vì đòi h i này ch là h qu c a hai đòi h i còn l i). Như v y, n u áp d ng tiêu chu n 2 đ x lí Ví d 1 thì trong l i gi i ta 1 lo i b đòi h i E ∈ Mn . Ví d 2: Cho trư c s nguyên m. Ch ng minh r ng mZ = {mz : z ∈ Z} ⊂ (Z, +) n Bài gi i: Ta ki m tra mZ ⊂ (Z, +) theo tiêu chu n 2. Trư c h t, hi n nhiên mZ = ∅ và ta có: n • ∀ mz1 , mz2 ∈ mZ : mz1 + mz2 = m(z1 + z2 ) ∈ mZ. • ∀ mz ∈ mZ : −(mz) = m(−z) ∈ mZ. V y mZ th a c hai đòi h i c a tiêu chu n 2 nên mZ ⊂ (Z, +). n Nh n xét: Thông thư ng trong lý thuy t ta ng m đ nh phép toán trong nhóm là nhân và ký hi u ph n t ngh ch đ o là (·)−1 . Tuy nhiên khi phép toán trong nhóm là c ng thì t t c các d u nhân trong các bi u th c đ u đ i sang d u c ng và ph n t ngh ch đ o đ i thành ph n t đ i và vi t là −(·). 3 Tiêu chu n 3 M t t p h p con A = ∅ trong nhóm X là nhóm con c a X n u ∀ x, y ∈ A thì xy −1 ∈ A. N u áp d ng tiêu chu n 3 này đ x lý Ví d 1 ta ch c n ki m tra: 1 ∀ X, Y ∈ Mn ⇒ det X = det Y = 1 det X 1 ⇒ det(XY −1 ) = = =1 det Y 1 ⇒ XY −1 ∈ Mn 1 N u áp d ng tiêu chu n 3 cho ví d 2, ta ch c n ki m tra ∀ mz1 , mz2 ∈ mZ ⇒ mz1 − mz2 = m(z1 − z2 ) ∈ mZ Nh n xét: Trong ba tiêu chu n nêu trên, các l i gi i s d ng tiêu chu n 3 có v ng n g n hơn c . Tuy nhiên n u trong l i gi i b t bu c ph i tính ph n t ngh ch đ o thì đ tránh s rư m rà ta nên dùng tiêu chu n 2 vì th c ch t vi c dùng tiêu chu n 3 lúc đó các bư c tính toán cũng dài ngang v i dùng tiêu chu n 2. Ví d 3: Cho t p h p các ma tr n c p hai a b K= :a=0 0 1 ∗ ∗ Ch ng minh K ⊂ M2 (M2 là nhóm nhân các ma tr n c p hai không suy bi n). n Bài gi i: (Vì n u dùng tiêu chu n 3, ta cũng ph i tính trư c các ph n t ngh ch đ o, do v y ta dùng tiêu chu n 2) Trư c h t K = ∅ (hi n nhiên). Và đ ng th i: 2
a b c d • ∀ , ∈ K ta có: a = 0, b = 0 nên 0 1 0 1 a b c d ac ad + b = ∈K 0 1 0 1 0 1 vì ac = 0 −1 a b a b 1/a −b/a 1 • ∀ ∈ K thì = ∈ K vì a = 0. 0 1 0 1 0 1 ∗ V y theo tiêu chu n 2: K ⊂ M2 n Đ n đây, chúng tôi đã cùng đ c gi ôn l i ba tiêu chu n thông d ng đ ki m tra m t t p h p A = ∅ trong nhóm X cho trư c có là nhóm con c a nhóm X không? Tùy theo t ng bài t p c th mà chúng ta l a ch n h p lý m t trong các tiêu chu n đó đ áp d ng gi i quy t bài t p đã cho. Khi đ t v n đ đ u m c chúng tôi có nói r ng k năng ki m tra nhóm con là m t d ng khác c a ki m tra nhóm. Nguyên do ph n l n các bài t p v ki m tra nhóm, t p A đã cho cùng v i phép toán ch là b ph n c a m t trong nh ng nhóm khá quen bi t và do v y thay vì ki m tra nhóm theo đ nh nghĩa ta ch c n ki m tra theo tiêu chu n nhóm con đương nhiên là đơn gi n hơn. Ví d 4: Cho X là t p h p t t c các căn ph c b c n c a đơn v . Ch ng minh r ng X cùng v i phép nhân thông thư ng các s ph c l p thành nhóm. Bài gi i: Hi n nhiên X = ∅ cùng v i phép toán nhân trên nó ch là m t b ph n c a nhóm nhân C∗ các s ph c khác 0. V y đ ch ng minh X là nhóm ta c n ki m tra r ng X ⊂ (C∗ , .). n Ta bi u di n X = z ∈ C : zn = 1 và áp d ng tiêu chu n 3: n n ∀ z1 , z2 ∈ X ⇒ z1 = z2 = 1 n −1 z1 1 ⇒ (z1 .z2 )n = n = =1 z2 1 −1 ⇒ z1 .z2 ∈X V y X ⊂ (C∗ ), t c là X là nhóm. n Nh n xét: M i t p h p X cho trư c có th có m t s cách bi u di n khác nhau, tương đương nhau và do v y có th cho chúng ta nh ng l i gi i khác nhau. Ch ng h n trong Ví d 4, ta còn có th bi u di n: 2kπ 2kπ X = {z = cos + i sin : k ∈ Z} n n nh vào công th c l y căn ph c b c n c a đơn v . Khi đó l i gi i d a theo s bi u di n m i này là: 2k1 π 2k1 π 2k2 π 2k2 π ∀ z1 = cos + i sin , z2 = cos + i sin ∈X n n n n thì −1 2(k1 − k2 )π 2(k1 − k2 )π z1 z2 = cos + i sin ∈X n n (Dĩ nhiên n u đ c gi có bi t d ng Ơle c a m t s ph c thì l i gi i trên đây s còn đư c vi t ng n g n hơn!) 3
√ √ Ví√ 5: Cho t p h p các s ph c Z( −3) = {a + b −3 : a, b ∈ Z}. Ch ng minh r ng d Z( −3) là m t nhóm v i phép c ng thông thư ng các s ph c. √ Bài gi i: Hi n nhiên Z( −3) = ∅ và cùng v i phép c ng nói trên là m t b ph n c a nhóm √ c ng C√ các s ph c. V y ta ch c n ki m tra Z( −3) ⊂ (C, +) theo tiêu chu n 3: v i m i √ √ n a1 + b1 −3, a2 + b2 −3 ∈ Z( −3) thì √ √ √ √ (a1 + b1 −3) − (a2 + b2 −3) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) −3 ∈ Z( −3) Đ n đây hi n nhiên m t câu h i đ t ra là nh ng nhóm như th nào đư c g i là quen bi t. Đó chính là nh ng nhóm đư c ngiên c u trong nh ng chuyên ngành trư c đây m t cách khá k lư ngvà g n như tr thành thông d ng. Ch ng h n đó là các nhóm (C, +); (C∗ , .) các s ph c; ∗ các nhóm (Mm×n , +) các ma tr n c p m × n v i phép công ma tr n; (Mn , .) các ma tr n vuông c p n không suy bi n; nhóm nhân các song ánh S(X) t t p X = ∅ vào chính nó; nhóm công các đa th c h s th c. Khi ti p c n m t bài toán ki m tra nhóm, đi u đ u tiên ph i xem xét là t p h p cho trư c cùng phép toán có là b ph n c a m t nhóm quen bi t nào không, t đó mà l a ch n h p lý phương th c ki m tra: theo đ nh nghĩa hay theo tiêu chu n nhóm con. Bài t p làm thêm 1. Cho t p h p các ma tr n 1 0 1 a K1 = :b=0 và K1 = :a∈R a b 0 1 Ch ng minh r ng các t p h p trên đ u là nhóm v i phép nhân ma tr n. ±1 2. Ch ng minh r ng t p h p Mn g m các ma tr n vuông c p n có đ nh th c b ng 1 hay −1 là nhóm v i phép nhân ma tr n. √ √ √ 3. Cho t p h p các s th c Q( 2) = a + b 2 : a, b ∈ Q, a2 + b2 = 0 . Ch ng minh Q( 2) là nhóm v i phép nhân các s th c. √ √ √ 4. Cho Q( −2) = {a + b −2 : a, b ∈ Q}. Ch ng minh r ng Q( −2) là nhóm v i phép c ng các s ph c. 5. Ch ng minh r ng t p h p các s ph c có môđun b ng m t, là nhóm v i phép nhân các s ph c. ∞ 6. G i Xn là t p h p các căn ph c b c n c a đơn v . Ch ng minh X = Xn là nhóm v i n: 2 phép nhân s ph c. 4