Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII chủ đề: Lượng giác - Hình học phẳng

Chia sẻ: Huynh Duc Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

100
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Gửi đến các bạn tài liệu Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII chủ đề: Lượng giác - Hình học phẳng. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu bổ ích để các bạn tham khảo cũng như củng cố nâng cao kiến thức của mình trước kì thi Olympic Toán học toàn miền Nam. Để nắm vững hơn nội dung chi tiết bài tập mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII chủ đề: Lượng giác - Hình học phẳng

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán BÀI TẬP LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN HỌC TOÀN MIỀN NAM LẦN THỨ XVIII Chủ đề: LƯỢNG GIÁC- HÌNH HỌC PHẲNG ( VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐH QUẢNG NAM) 1. Giả sử M là điểm nằm trong  ABC . Gọi A, B, C  lần lượt là hình chiếu của M trên các đường 2 2 2 MA MB MC       thẳng BC , CA, AB . Chứng minh rằng:        3.  MB   MC    MC   MA   MA  MB  HD: A MB  MC  MB MC       sin MAB  sin MAC  MA MA MA Ta có: B' C' M = 2sin Suy ra: C A' B Chứng minh tương tự ta được:     MAB  MAC  MAB  MAC  A .cos  2sin 2 2 2 MA 1  . MB  MC  2sin A MB 1 MC 1  ;  . MC   MA 2 sin B MA  MB  2sin C  2 2 2 MA MB MC 1 1       1 1 Khi đó:           4  sin 2 A sin 2 B sin 2 C  MB   MC    MC   MA   MA  MB  2 2 2  1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: sin 2 Ta có bất đẳng thức: sin Do đó: 1 A sin 2 2  1 B sin 2 2 2 A 2 1  sin 2 B 2 1  sin 2 C 2  3.   .   1 3 sin 2 A 2B 2C sin sin 2 2 2 A B C 1 sin sin  . 2 2 2 8  1 C sin 2 2 1 3 3 2 1   8 2  12 . 2 MA MB MC       Vậy        3.  MB   MC    MC   MA   MA  MB  Dấu "=" xảy ra   ABC đều và M là trọng tâm tam giác này. Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com 1 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 2. Cho  ABC . Các đường phân giác xuất phát từ A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp  ABC tại A, B, C  tương ứng. Chứng minh: AA.BB.CC   16 R 2 r . HD: Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác ABAC ta có: A AA.BC  AB. AC  AC. AB hay aAA  cAC  cAB .  Do AA là tia phân giác BAC nên A là điểm chính giữa của cung BC . Suy ra: aAA   b  c  AC   b  c  2 R sin C B  AA  A' 2R b  c  a Chứng minh tương tự ta được: BB  Khi đó: AA.BB.CC   Do r  4 R sin sin 2R  a  c  b 8 R3  b  c  a  c  a  b  abc A ( theo định lý sin) 2 A . 2 sin B 2 sin 2R  a  b  A B C sin sin 2 2 2 ; CC   c sin C . 2 A B C sin sin và  b  c  a  c  a  b   8abc nên AA.BB.CC   16 R 2 r . 2 2 2 3. Cho  ABC thỏa ma  mb  mc  sau xảy ra: ma  3  a  b  c  . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức 2 3 3 3 a, mb  b, mc  . 2 2 2 HD: A Theo giả thiết: ma  mb  mc  3 3 3 a b c 2 2 2 2 (1) 2  3   3 2  3  Đã biết: m  m  m    2 a    2 b    2 c  (2)          2 a B 2 c C Từ (1) và (2) suy ra: ma mb  mb mc  mc ma  3 3 3 3 3 3 a b b c c a 2 2 2 2 2 2 Bình phương hai vế của (3) ta được: ma mb mc  Từ (1), (3) và (4) suy ra: 2 b 3 3 3 a. b. c 2 2 2 (3) (4) 3 3 3 a, b, c là 3 nghiệm của một phương trình bậc 3. 2 2 2 Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com 2 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 3 3 3 Giả sử a  b  c  a b c. 2 2 2 Ta có kết quả quen thuộc sau: mc  mb  ma . 3 b. 2 Từ các nhận xét trên dễ dàng suy ra: mb  4. Cho  ABC có 3 góc nhọn với trực tâm H . Gọi diện tích các tam giác HAB, HBC , HCA lần lượt là: S1 , S 2 , S3 . Chứng minh rằng  ABC đều  2  S1  S 2  S3  27  R . r HD: Ta có: A 3 8  S1  S 2  S3  1   S1  S2    S2  S3    S3  S1      27 S1 S2 S3 S1S 2 S3  3  B' C' H  B S1  S 2 S2  S3 S3  S1 . . S3 S1 S3 3 ( bất đẳng thức AM-GM). C A' Gọi A, B, C  lần lượt là các chân đường cao. Ta có:  S1  S 2 HB HB HA sin HAB 1 cos B .   .  .    S3 HB HA HB sin HBA sin HAC cos A cos C Chứng minh tương tự ta được: Khi đó: S2  S3 cos C  ; S1 cos A cos B S3  S1 cos A  . S2 cos B cos C S1  S 2 S 2  S3 S3  S1 1 8 . .   S3 S1 S3 cos A cos B cos C  cos A  cos B  cos B  cos C  cos C  cos A  1  sin A B C sin sin 2 2 2  4R . r  S  S 2  S3 Dấu "=" xảy ra   1  ABC đều. A  B  C 5. Gọi A, B, C là 3 góc của  ABC . Chứng minh rằng:  3  2 A  2 B  2 C    1  cos  1  cos  1  cos   1  2  2  2  4     3 3 . Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com 3 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán HD: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 1  B C  2 A  2 B  2 C  2 A  cos 2  cos 2   1  cos  1  cos  1  cos   3  cos 2  2  2  27  2 2 2  Đã biết: cos 2 3 (1) A B C 9  cos 2  cos 2  2 2 2 4 (2) 3 A  B  C 1  9  3  Từ (1) và (2) suy ra:  1  cos 2  1  cos 2  1  cos 2    3    1   2  2  2  27  4  4  3 3  3 Áp dụng bất đẳng thức Bernouli ta có: 1   1  3.  1   4 4  4    3 (3)  3  3    1    1   4   4    A  B  C  3  Từ (3) và (4) suy ra:  1  cos 2  1  cos 2  1  cos 2    1   2  2  2  4     6. Cho  ABC . Chứng minh rằng: ma  mb  mc  3 3 3 (4) 3 3 . 9R . 2 HD: Đã biết: sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  A 9 . 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2 2 ma  mb  mc  3  ma  mb  mc2   3. B C 3 2  a  b2  c2  4  9 R 2  sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C   9 R 2 . 7. Chứng minh rằng:  MA2   MB 2   MC 2  9 9R  . 4 2   a 2 b 2 c 2      ,  ,  ,   0 , M   ABC  .          HD:                  Dựng điểm I   ABC  sao cho:  IA   IB   IC  0   IM  MA   IM  MB   IM  MC  0                             I M    MA   MB   MC  I M    MA  MB  MC               Đặt x      , y , z .           Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com 4 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Khi đó:       IM   xMA  yMB   MC       IM 2  x 2 MA2  y 2 MB 2  z 2 MC 2  2 xyMAMB  2 yzMBMC  2 zxMAMC   = x 2 MA2  y 2 MB 2  z 2 MC 2  xy  MA2  MB 2  AB 2   yz  MB 2  MC 2  BC 2   zx  MC 2  MA2  AC 2  Do IM 2  0 nên suy ra được điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra  M  I . 8. Cho  ABC . Chứng minh rằng: ma .mb .mc  p ra .rb .rc .r HD: Ta có: S  pr   p  a  ra   p  b  rb   p  c  rc . Suy ra: S 4  p  p  a  p  b  p  c  ra .rb .rc .r  S 2 ra .rb .rc .r  S  ra .rb .rc .r 2 a Mặt khác: m  2  b2  c 2   a 2 4 b  c   2  a2 4 Tương tự chứng minh được: mb    b  c  a  b  c  a   p p  p  b  ; mc  4 (1)  p  a   ma  p  p  a . p  p  c . Suy ra: ma mb mc  p p  p  a  p  b  p  c   pS (2) Từ (1) và (2) suy ra: ma .mb .mc  p ra .rb .rc .r . 9. Cho  ABC . Chứng minh rằng: 1 1 9 3   . R r 2p HD: Ta có: abc  4 R.S  4 Rrp . 3 3 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  2 p    a  b  c   27 abc  27.4 Rrp  p 2  27 Rr (1) 2 3 Mà r  S  p p  p  a  p  b  p  c  Suy ra: p  3 3r p   p  a   p  b   p  c  p  3 p    p 3 3  (2) . Từ (1) và (2) ta được: p 3  81 3 2 1 3 3 Rr  3  . 2 2 4 Rr 2p Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 1 1 1 1 1 1 9 3      33  2 R r R 2r 2r 4 Rr 2p Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com 5