YOMEDIA
ADSENSE
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII chủ đề: Lượng giác - Hình học phẳng
99
lượt xem 10
download
lượt xem 10
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Gửi đến các bạn tài liệu Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII chủ đề: Lượng giác - Hình học phẳng. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu bổ ích để các bạn tham khảo cũng như củng cố nâng cao kiến thức của mình trước kì thi Olympic Toán học toàn miền Nam. Để nắm vững hơn nội dung chi tiết bài tập mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
AMBIENT/
Chủ đề:
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII chủ đề: Lượng giác - Hình học phẳng
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam<br />
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán<br />
BÀI TẬP LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN HỌC TOÀN MIỀN NAM LẦN THỨ XVIII<br />
Chủ đề: LƯỢNG GIÁC- HÌNH HỌC PHẲNG<br />
( VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐH QUẢNG NAM)<br />
1. Giả sử M là điểm nằm trong ABC . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các đường<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
MA<br />
MB<br />
MC<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
thẳng BC , CA, AB . Chứng minh rằng: <br />
<br />
<br />
3.<br />
MB MC MC MA MA MB <br />
<br />
HD:<br />
A<br />
<br />
MB MC MB MC <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
sin MAB sin MAC <br />
MA<br />
MA MA<br />
<br />
Ta có:<br />
B'<br />
<br />
C'<br />
M<br />
<br />
= 2sin<br />
Suy ra:<br />
C<br />
<br />
A'<br />
<br />
B<br />
<br />
Chứng minh tương tự ta được:<br />
<br />
<br />
<br />
MAB MAC <br />
MAB MAC <br />
A<br />
.cos<br />
2sin<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
MA<br />
1<br />
<br />
.<br />
MB MC 2sin A<br />
<br />
MB<br />
1<br />
MC<br />
1<br />
<br />
;<br />
<br />
.<br />
MC MA 2 sin B<br />
MA MB 2sin C<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
MA<br />
MB<br />
MC<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
Khi đó: <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C<br />
MB MC MC MA MA MB <br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:<br />
<br />
sin 2<br />
<br />
Ta có bất đẳng thức: sin<br />
Do đó:<br />
<br />
1<br />
A<br />
sin<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
B<br />
sin<br />
2<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
A<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
sin 2<br />
<br />
B<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
sin 2<br />
<br />
C<br />
2<br />
<br />
3.<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
3<br />
<br />
sin 2<br />
<br />
A 2B 2C<br />
sin<br />
sin<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
A<br />
B<br />
C 1<br />
sin sin .<br />
2<br />
2<br />
2 8<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
C<br />
sin<br />
2<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
3<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
8<br />
<br />
2<br />
<br />
12 .<br />
<br />
2<br />
<br />
MA<br />
MB<br />
MC<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Vậy <br />
<br />
<br />
3.<br />
MB MC MC MA MA MB <br />
<br />
Dấu "=" xảy ra ABC đều và M là trọng tâm tam giác này.<br />
<br />
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com<br />
<br />
www.MATHVN.com<br />
<br />
1<br />
<br />
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam<br />
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán<br />
2. Cho ABC . Các đường phân giác xuất phát từ A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại A, B, C <br />
tương ứng. Chứng minh: AA.BB.CC 16 R 2 r .<br />
HD:<br />
Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác ABAC ta có:<br />
<br />
A<br />
<br />
AA.BC AB. AC AC. AB hay aAA cAC cAB .<br />
<br />
<br />
Do AA là tia phân giác BAC nên A là điểm chính giữa của cung BC .<br />
Suy ra: aAA b c AC b c 2 R sin<br />
C<br />
<br />
B<br />
<br />
AA <br />
<br />
A'<br />
<br />
2R b c <br />
a<br />
<br />
Chứng minh tương tự ta được: BB <br />
Khi đó: AA.BB.CC <br />
Do r 4 R sin<br />
<br />
sin<br />
<br />
2R a c <br />
b<br />
<br />
8 R3 b c a c a b <br />
abc<br />
<br />
A<br />
( theo định lý sin)<br />
2<br />
<br />
A<br />
.<br />
2<br />
<br />
sin<br />
<br />
B<br />
2<br />
<br />
sin<br />
<br />
2R a b <br />
<br />
A<br />
B<br />
C<br />
sin sin<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
; CC <br />
<br />
c<br />
<br />
sin<br />
<br />
C<br />
.<br />
2<br />
<br />
A<br />
B<br />
C<br />
sin sin và b c a c a b 8abc nên AA.BB.CC 16 R 2 r .<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
3. Cho ABC thỏa ma mb mc <br />
sau xảy ra: ma <br />
<br />
3<br />
a b c . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức<br />
2<br />
<br />
3<br />
3<br />
3<br />
a, mb <br />
b, mc <br />
.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
HD:<br />
A<br />
<br />
Theo giả thiết: ma mb mc <br />
<br />
3<br />
3<br />
3<br />
a<br />
b<br />
c<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
(1)<br />
2<br />
<br />
3 3 2 3 <br />
Đã biết: m m m <br />
2 a 2 b 2 c (2)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
a<br />
<br />
B<br />
<br />
2<br />
c<br />
<br />
C<br />
<br />
Từ (1) và (2) suy ra: ma mb mb mc mc ma <br />
<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
a<br />
b<br />
b<br />
c<br />
c<br />
a<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
Bình phương hai vế của (3) ta được: ma mb mc <br />
Từ (1), (3) và (4) suy ra:<br />
<br />
2<br />
b<br />
<br />
3<br />
3<br />
3<br />
a.<br />
b.<br />
c<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
(3)<br />
<br />
(4)<br />
<br />
3<br />
3<br />
3<br />
a,<br />
b,<br />
c là 3 nghiệm của một phương trình bậc 3.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com<br />
<br />
www.MATHVN.com<br />
<br />
2<br />
<br />
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam<br />
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán<br />
3<br />
3<br />
3<br />
Giả sử a b c <br />
a<br />
b<br />
c.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Ta có kết quả quen thuộc sau: mc mb ma .<br />
<br />
3<br />
b.<br />
2<br />
<br />
Từ các nhận xét trên dễ dàng suy ra: mb <br />
<br />
4. Cho ABC có 3 góc nhọn với trực tâm H . Gọi diện tích các tam giác HAB, HBC , HCA lần lượt là:<br />
S1 , S 2 , S3 . Chứng minh rằng ABC đều <br />
<br />
2 S1 S 2 S3 <br />
27<br />
<br />
<br />
<br />
R<br />
.<br />
r<br />
<br />
HD:<br />
Ta có:<br />
<br />
A<br />
<br />
3<br />
<br />
8 S1 S 2 S3 <br />
1 S1 S2 S2 S3 S3 S1 <br />
<br />
<br />
<br />
27 S1 S2 S3<br />
S1S 2 S3 <br />
3<br />
<br />
<br />
B'<br />
C'<br />
H<br />
<br />
<br />
B<br />
<br />
S1 S 2 S2 S3 S3 S1<br />
.<br />
.<br />
S3<br />
S1<br />
S3<br />
<br />
3<br />
<br />
( bất đẳng thức AM-GM).<br />
<br />
C<br />
<br />
A'<br />
<br />
Gọi A, B, C lần lượt là các chân đường cao.<br />
Ta có:<br />
<br />
<br />
S1 S 2 HB HB HA sin HAB<br />
1<br />
cos B<br />
.<br />
<br />
<br />
.<br />
<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
S3<br />
HB HA HB sin HBA sin HAC cos A cos C<br />
<br />
Chứng minh tương tự ta được:<br />
<br />
Khi đó:<br />
<br />
S2 S3<br />
cos C<br />
<br />
;<br />
S1<br />
cos A cos B<br />
<br />
S3 S1<br />
cos A<br />
<br />
.<br />
S2<br />
cos B cos C<br />
<br />
S1 S 2 S 2 S3 S3 S1<br />
1<br />
8<br />
.<br />
.<br />
<br />
<br />
S3<br />
S1<br />
S3<br />
cos A cos B cos C cos A cos B cos B cos C cos C cos A <br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
sin<br />
<br />
A<br />
B<br />
C<br />
sin sin<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
4R<br />
.<br />
r<br />
<br />
S S 2 S3<br />
Dấu "=" xảy ra 1<br />
ABC đều.<br />
A B C<br />
<br />
5. Gọi A, B, C là 3 góc của ABC . Chứng minh rằng:<br />
<br />
3<br />
<br />
2 A <br />
2 B <br />
2 C <br />
<br />
1 cos<br />
1 cos 1 cos<br />
1 <br />
2 <br />
2 <br />
2 <br />
4 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 3<br />
<br />
.<br />
<br />
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com<br />
<br />
www.MATHVN.com<br />
<br />
3<br />
<br />
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam<br />
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán<br />
HD:<br />
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:<br />
1 <br />
B<br />
C<br />
<br />
2 A <br />
2 B <br />
2 C <br />
2 A<br />
cos 2 cos 2 <br />
1 cos<br />
1 cos<br />
1 cos<br />
<br />
3 cos<br />
2 <br />
2 <br />
2 27 <br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
Đã biết: cos 2<br />
<br />
3<br />
<br />
(1)<br />
<br />
A<br />
B<br />
C 9<br />
cos 2 cos 2 <br />
2<br />
2<br />
2 4<br />
<br />
(2)<br />
3<br />
<br />
A <br />
B <br />
C 1 <br />
9 3<br />
<br />
Từ (1) và (2) suy ra: 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 3 1 <br />
2 <br />
2 <br />
2 27 <br />
4 4<br />
<br />
<br />
3<br />
3 <br />
3<br />
Áp dụng bất đẳng thức Bernouli ta có: 1 1 3.<br />
1 <br />
<br />
4<br />
4 <br />
4 <br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
(3)<br />
<br />
<br />
3<br />
3 <br />
1 1 <br />
<br />
4 <br />
4 <br />
<br />
<br />
<br />
A <br />
B <br />
C <br />
3<br />
<br />
Từ (3) và (4) suy ra: 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 <br />
<br />
2 <br />
2 <br />
2 <br />
4 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
6. Cho ABC . Chứng minh rằng: ma mb mc <br />
<br />
3<br />
<br />
3 3<br />
<br />
(4)<br />
<br />
3 3<br />
<br />
.<br />
<br />
9R<br />
.<br />
2<br />
<br />
HD:<br />
Đã biết: sin 2 A sin 2 B sin 2 C <br />
<br />
A<br />
<br />
9<br />
.<br />
4<br />
<br />
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:<br />
2<br />
2<br />
ma mb mc 3 ma mb mc2 3.<br />
<br />
B<br />
<br />
C<br />
<br />
3 2<br />
a b2 c2 <br />
4<br />
<br />
9 R 2 sin 2 A sin 2 B sin 2 C 9 R 2 .<br />
7. Chứng minh rằng: MA2 MB 2 MC 2 <br />
<br />
9 9R<br />
<br />
.<br />
4<br />
2<br />
<br />
a 2 b 2 c 2 <br />
, , , 0 , M ABC .<br />
<br />
<br />
HD:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Dựng điểm I ABC sao cho: IA IB IC 0 IM MA IM MB IM MC 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
I M MA MB MC I M <br />
MA <br />
MB <br />
MC <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Đặt x <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
, y<br />
, z<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com<br />
<br />
www.MATHVN.com<br />
<br />
4<br />
<br />
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam<br />
Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán<br />
Khi đó:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
IM xMA yMB MC<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
IM 2 x 2 MA2 y 2 MB 2 z 2 MC 2 2 xyMAMB 2 yzMBMC 2 zxMAMC<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= x 2 MA2 y 2 MB 2 z 2 MC 2 xy MA2 MB 2 AB 2 yz MB 2 MC 2 BC 2 zx MC 2 MA2 AC 2 <br />
Do IM 2 0 nên suy ra được điều phải chứng minh.<br />
Dấu "=" xảy ra M I .<br />
8. Cho ABC . Chứng minh rằng: ma .mb .mc p ra .rb .rc .r<br />
HD:<br />
Ta có: S pr p a ra p b rb p c rc .<br />
Suy ra: S 4 p p a p b p c ra .rb .rc .r S 2 ra .rb .rc .r S ra .rb .rc .r<br />
2<br />
a<br />
<br />
Mặt khác: m <br />
<br />
2 b2 c 2 a 2<br />
4<br />
<br />
b c <br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
a2<br />
<br />
4<br />
<br />
Tương tự chứng minh được: mb <br />
<br />
<br />
<br />
b c a b c a p<br />
<br />
p p b ; mc <br />
<br />
4<br />
<br />
(1)<br />
<br />
p a ma <br />
<br />
p p a .<br />
<br />
p p c .<br />
<br />
Suy ra: ma mb mc p p p a p b p c pS<br />
<br />
(2)<br />
<br />
Từ (1) và (2) suy ra: ma .mb .mc p ra .rb .rc .r .<br />
9. Cho ABC . Chứng minh rằng:<br />
<br />
1 1 9 3<br />
<br />
.<br />
R r 2p<br />
<br />
HD: Ta có: abc 4 R.S 4 Rrp .<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 p a b c 27 abc 27.4 Rrp p 2 <br />
<br />
27<br />
Rr (1)<br />
2<br />
<br />
3<br />
<br />
Mà r <br />
<br />
S<br />
<br />
p<br />
<br />
p p a p b p c <br />
<br />
Suy ra: p 3 3r<br />
<br />
p<br />
<br />
p a p b p c <br />
p<br />
<br />
3<br />
p<br />
<br />
<br />
<br />
p<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
(2) .<br />
<br />
Từ (1) và (2) ta được: p 3 <br />
<br />
81 3 2<br />
1<br />
3 3<br />
Rr 3<br />
<br />
.<br />
2<br />
2<br />
4 Rr<br />
2p<br />
<br />
Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:<br />
<br />
1 1 1 1<br />
1<br />
1<br />
9 3<br />
<br />
33<br />
<br />
2<br />
R r R 2r 2r<br />
4 Rr<br />
2p<br />
<br />
Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com<br />
<br />
www.MATHVN.com<br />
<br />
5<br />
<br />
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
LAVA
AANETWORK
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn