intTypePromotion=1

ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2009 vòng sơ khảo

Chia sẻ: Ly Tran Hiep | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

0
70
lượt xem
10
download

ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2009 vòng sơ khảo

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo đề thi học sinh giỏi toán các năm 2009, 2010, 2011 giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng toán học và thực hành làm bài tốt hơn. Dừng cho sinh viên chuyên toán

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2009 vòng sơ khảo

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI -------------* *------------- ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2009 – VÒNG SƠ KHẢO (Thời gian: 150p) Câu 1. Tìm cực trị của hàm số: = + ln ( ) Câu 2. Tìm giới hạn sau: − lim 2 − +1 → Câu 3. Cho hệ vectơ a1 = (2, 3, 5); a2 = (3, 7, 8); a3 = (1, -6, 1); a4 = (7, -2, m). Tìm m để vectơ a4 biểu diển tuyến tính qua các vectơ a1, a2, a3. Câu 4. Cho Ak = 0, với k ∈ N\{0; 1} và E là ma trận đơn vị cùng cấp với A. Chứng minh rằng: (E – A)-1 = E + A2 + ... + Ak-1 Câu 5. Tính định thức: 0 … 0 0 1 + … 0 0 0 1 + … 0 0 … … … … … … 0 0 0 … 1 + ----------&&----------
  2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI -------------* *------------- ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2010 – VÒNG SƠ KHẢO Câu 1. Tìm giới hạn I = lim (2010 + ) / → Câu 2. Cho hàm số f(x) = x(x – 1)(x – 2)...(x – 2010) Tính f’(2010). Câu 3. Cho 4 vectơ X1 = (2, 1, -3, 2); X2 = (-2, 0, 1, 1); X3 = (1, 2, -1, 0); X4 = (-1, 3, -2, 4) a) Tìm hạng và một cơ sở của hệ vectơ. b) Hãy biểu diễn tuyến tính các vectơ còn lại qua cơ sở đã chỉ ở câu a). 3 +4 −5 (+ )+ * =5 Câu 4. Giải hệ phương trình tuyến tính $2 −2 + 3 ( − ) − 2 * = −1 " + 7 ( − 2 ) − * = −8. −5 −6 # +2 − ( + * = 2 " !2 +3 −3 (+ )+2 * =5 Câu 5. Tìm cực trị của hàm số y = sin5x + cos5x trên đoạn /0, 2. 1 ( -----------&&-----------
  3. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI -------------* *------------- ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2011 – VÒNG SƠ KHẢO (Thời gian: 150p) + √( Câu 1. Cho 3 = 4 6. Tính A2011. −1 − √( 211 Câu 2. Cho f(x) = 71 2 1 7. Tìm x để f(x) max. 1 1 2 +1 2 111 Câu 3. +2 + 9 = 3 Cho hệ phương trình: 83 − − 9 = 2. 2 + + 39 = 1) Tìm điều kiện của a và b để hệ có nghiệm duy nhất. 2) Tìm a, b để hệ có vô số nghiệm. Tìm lim → Câu 4. √: √: . Câu 5. Cho f(x) = x2 + 3|x-1|. Tính f’(3) và f’(-3). Hàm số có đạo hàm tại x = 1 không? --------------------&&----------------------
  4. HƯỚNG DẪN GIẢI - NĂM 2009 Câu 1. < < (1 + ) TXĐ: {x : cosx > 0} (1) = − < − =− ; < =0 ( ) ? = AB ⇒ = 2B. =0⇔> @ ; = −1 1 =− − ; "( 2B) = −2 < 0 ;; Suy ra y đạt cực đại tại x = n2B và ymax = y(n2B) = 1. Câu 2. lim = lim = lim O = 1. K :G.MNG (IJ )H :G H K :G.MNG H → → → : IJ H IJ H H PQR G Câu 3. Để a4 biểu diễn tuyến tính qua a1, a2, a3 thì phương trình sau phải có nghiệm 2A + 3A + A( = 7 a4 = k1 a1 + k2a2 + k3a3 3A + 7A − 6A( = −2. có nghiệm Hay hệ: 8 5A + 8A + A( = S Do r(A) = 2 nên r(3̅) = 2 suy ra m = 15. Câu 4. Ta có: (E – A)(E + A + A2 + ... + Ak-1) = E – Ak = E (gt) Suy ra: (E – A)-1(E – A)(E + A + A2 + ... + Ak-1) = (E – A)-1E Suy ra: (E – A)-1 = E + A + A2 + ... + Ak-1 (đpcm). Câu 5. 0 …0 0 0 0 …0 0 Nhân cột 1 với –b và cộng vào cột 2 ta có: …0 0 …0 1+ 1 0 UJ = 0 1 + … 0 0 = 0 1 + … 0 0 …. . . . . …. .. . . (cột 2 – cột 1 x b) 0 …1 + 00 . …1 00 + …0 0 1 + …0 0 . . … . . = a.Dn-1 = . . …. . 0 0 …1 + Suy ra Dn = aDn-1 = a2Dn-2 = ... = an-2D2 = an. ----------&&----------
  5. HƯỚNG DẪN GIẢI - NĂM 2010 ln(2010 + ) 2010 ln 2010 + 1 2010 ln 2010 Câu 1. Ta có: ln I = lim = lim O = lim O 2010 + 2010 ln 2010 + 1 → → → PQR PQR 2010 ln( 2010 = lim O = ln 2010 2010 ln 2010 → PQR Vậy I = 2010. Câu 2. Đặt g(x) = x(x – 1)(x – 2)...(x – 2009) suy ra f(x) = g(x)(x – 2010). Suy ra f’(x) = g(x) + g’(x)(x – 2010) suy ra f’(2010) = g(2010) = 2010! Câu 3. 1 2 −2 −1 1 2 −2 −1 a) Biến đổi mà trận có các cột là các vectơ đã cho 2103 0 −1 −1 −3 3 = V W → V W −1 −3 1 −2 0 0 7 14 0214 00 0 0 Do U = −7 ≠ 0 và định thức cấp 4 bằng 0 nên r(A) = 3 hay r{X1, X2, X3, X4} = 3 , ,( , ,( Dễ thấy {X1, X2, X3} là một cơ sở của hệ vectơ {X1, X2, X3, X4}. b) Giả sử X 4 = aX1 + bX2 + cX3 suy ra a = 1, b = 2, c = 1 Vậy: X 4 = X1 + 2X2 + X3 3 4 −5 1 1 | 5 Câu 4. Biến đổi ma trận hệ số mở rộng | \ 2 −2 3 −1 −2 −1` Y = −5 −6 7 −2 −1 | −8 3 [ _ 1 2 −1 0 1 | 2 Z 2 3 −3 1 2 | 5 ^ về dạng tam giác (nên đổi cột 1 cho cột 4, ẩn cũng đổi tương ứng), thay ẩn, ta được nghiệm duy nhất của hệ: (x1, x2, x3, x4, x5) = (1, 0, 0, 1, 1). Câu 5. =0 < =0 Ta có: y’ = 5sin4x.cosx – 5cos4x.sinx = 5sinx.cosx(sin3x – cos3x) . ⇔ a = B/2 (U ∈ >0, 2B c). =0⇔a =0 ; 3 = B/4
  6. HƯỚNG DẪN GIẢI - NĂM 2011 Câu 1. +< < 1 1 1 Cách 1. Ta có: 3 = f 1 h. g g g −2 < −< 1 1 g g g +< < J1 J1 J1 Bằng quy nạp chứng minh được: A = f J1 h. g g g −2 < −< J1 J1 n g g g +< < − − − i 1 i 1 i 1 √( Suy ra: A2011 = 4 6=4 6. g g g −2 < −< i 1 i 1 i 1 1 − + √( g g g Cách 2. Ta có: A6 = -E (ma trận đơn vị cấp 2) − − − √( = (A ) .A = 4 6. 1 − + √( 2011 6 335 Suy ra A Câu 2. Khai triển theo cột 4, ta có: f(x) = -x2 – 2x + 7. Suy ra f(x) đạt giá trị max là 8 khi x = -1. 1) Để hệ có nghiệm duy nhất thì r(A) = r(3̅) = 3. Xảy ra khi det(A) ≠ 0 hay a ≠ 21/2. Câu 3. Thay a = 21/2, biến đổi ma trận 3̅ về 2) Dễ thấy r(A) ≥ 2, để hệ vô số nghiệm thì r(A) = 2, hay det(A) = 0 suy ra a = 21/2. 2 4 21 6 f0 1 6 1 h 00 0 −3 Suy ra b = 3. Câu 4. TH1: x → +∞ TXĐ: R l k Ta có: lim = lim = √: G: → → √: l l k m n G: G TH2: x → −∞ Ta có: lim = lim . = lim √: o p √: √: H√ : H√ : →H →H →H √ √ H√ : : : − k1 + . o + 1 − √ + 1p = +∞. = lim →H Câu 5. +) Khi x > 1, f(x) = x2 + 3x – 3, f’(x) = 2x + 3 nên f’(3) = 9. Khi x < 1, f(x) = x2 - 3x + 3, f’(x) = 2x - 3 nên f’(-3) = -9. +) Với x = 1, f’(1+) = 5, f’(1-) = -1 nên hàm số không có đạo hàm tại x = 1. ---------------------&&----------------------
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2